一元二次方程总复习知识点梳理(学生)

1、v1.0可编辑可修改一元二次方程总复习考点1: 一元二次方程的概念一元二次方程：只含有一个未知数，未知数的最高次数是2,且系数不为0 ,这样的方程叫一元二次方程.一般形式：ax2+bx+c=0(a W0)。注意：判断某方程是否为一元二次方程时，应首先将方程化为一般形式。考点2: 一元二次方程的解法1 .直接开平方法：对形如(x+a) 2=b (b>0)的方程两边直接开平方而转化为两个一元一次方程的方法。X+a= bXi =-a+ b bX2 =-a- b b2 .配方法：用配方法解一元二次方程：ax2+bx+c=0(k W0)的一般步骤是：化为一般形式；移项，将常数项移到方程的右边；化二

2、次项系数为1,即方程两边同除以二次项系数；配方，即方程两边都加上一次项系数的一半的平方；化原方程为(x+a) 2=b的形式；如果b>0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果b<0,则原方程无解.3 .公式法：公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法.它是通过配方推导出来的.一元二 次方程的求根公式是 x b、b2 4ac (b24ac-0)。步骤:把方程转化为一般形式； 确定a,2ab, c的值；求出b24ac的值，当b24ac>0时代入求根公式。4. 因式分解法：用因式分解的方法求一元二次方程的根的方法叫做因式分解法.理论根据：若ab=0,则a=0或b=0o步骤是：将方

3、程右边化为0；将方程左边分解为两个一次因式的乘积；令每个因式等于0,得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方 程的解.因式分解的方法：提公因式、公式法、十字相乘法。5. 一元二次方程的注意事项： 在一元二次方程的一般形式中要注意，强调aw0.因当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程. 应用求根公式解一元二次方程时应注意：先化方程为一般形式再确定a, b, c的值；若b2-4ac<0,则方程无解. 利用因式分解法解方程时，方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式.如2(x+4) 2 =3 (x+ 4)中，不能随便约去 x + 4。(4)注意：解一元二次方程

4、时一般不使用配方法(除特别要求外) 但又必须熟练掌握，解一元二次方程的一般顺序是：开平方法一因式分解法一公式法.6. 一元二次方程解的情况b2- 4ac>0方程有两个不相等的实数根；b2 4ac=0 方程有两个相等的实数根；b2 4ac w 0方程没有实数根。解题小诀窍：当题目中含有“两不等实数根”“两相等实数根” “没有实数根”时，往往首先考虑用b2-4ac解题。主要用于求方程中未知系数的值或取值范围。考点3:根与系数的关系：韦达定理bc对于方程 ax2+ bx+c=0(a w0)来说，x1 +x2 = a , x1x2= a。222利用韦达定理可以求一些代数式的值(式子变形)，如x1

5、 x2 (x1 x2)2x1x211 xi x2xi x2xix2o解题小诀窍：当一元二次方程的题目中给出一个根让你求另外一个根或未知系数时，可以用韦达定理。18.二、经典考题剖析：【考题1 1】下列方程是关于 x的一元二次方程的是()A . ax2 +bx+c=0 B. k 2 x+5k+6=012 +2x+x=0D.( k 2+3) x 2 +2x+1=0【考题1 2解方程：x2 +2x3=0【考题1 3(2009、青岛，6分)已知方程5x2 +kx 10=0一个根是一5,求它的另一个根及k的值.三、针对性训练：1、下列方程中，关于 x的一元二次方程是()2111)2 2(x 1) B.2

6、 0x y22.bx c 0 D.x 2x x 13W 2x 4互为相反数，则x的值为()1B 、2 C 、±2 D、±23、用配方法解下列方程时，配方有错误的是()2 -2x-99=0 化为(x-1) 2 =1002 +8x+9=0 化为(x+4) 2 =25(t 7)2812 -7t-4=0 化为 4164、关于x的一元二次方程(m3 0的一个根为x=0,则A.3(xC.ax222、若2x1A .二-4y-2=0/2 2(y -)化为 3101)x22m 2mm的值为A . m=3或 m=- 1 B . m=- 3 或 m= 1C . m= 1 D . m 35、(20

7、09济南)若x1 , x2是方程x2 5x+6=0的两个根，则x1 +x2的值是()A .1 C.-5116、(2009眉山)若x1 , x2是方程x2 3x1=0的两个根，则x1 x2的值为()11B. - 3 C. 3 D 一 3227、(2009潍坊)若x1 , x2是方程x2 6x+k1=0的两个根，且x1 x224 ,则k的值为()B. -78、(2009成都)若关于x的方程kx2 -2x-1=0有两个不相等的实数根，则 k的取值范围是()>-1B. k> 1 且 kw0C. k <1D. k<1 且 kw09、已知一元二次方程 x2 +2x8=0的一根是2,

8、则另一个根是.10、(2009泰安)若关于x的方程x2 + (2k+1) x+2k2=0有实数根，则k的取值范围是 211、解方程：(1) 2(2x 3)32;(2)3y(y 1) 2(y 1);(3) 3(4x2 - 9) - (2x - 3)=0;(4) x 2 - 6x+8=0k12、(2009鄂州)关于x的方程kx 2 +(k+2)x+ 4 =0有两个不相等的实数根，(1)求k的取值范围；(2)是否存在实数k使方程的两个实数根的倒数和等于0若存在求出k的值；不存在说明理由。依题意得x 33 2x130图 1-2-1考点：一元二次方程的应用一、考点讲解：1 .构建一元二次方程数学模型，常

9、见的模型如下： 与几何图形有关的应用：如几何图形面积模型、勾股定理等； 有关增长率的应用：此类问题是在某个数据的基础上连续增长（降低）两次得到新数据，常见的 等量关系是a（1 ±x） 2 =b,其中a表示增长（降低）前的数据，x表示增长率（降低率），b表示后来的数据。注意：所得解中，增长率不为负，降低率不超过1。 经济利润问题：总利润=（单件销售额-单件成本）x销售数量；或者，总利润=总销售额-总成本。（4）动点问题：此类问题是一般几何问题的延伸，根据条件设出未知数后，要想办法把图中变化的线 段用未知数表示出来，再根据题目中的等量关系列出方程。2 .注重解法的选择与验根：在具体问题中

10、要注意恰当的选择解法，以保证解题过程简洁流畅，特别 要对方程的解注意检验，根据实际做出正确取舍，以保证结论的准确性.二、经典考题剖析：【考题1】（2009、深圳南山区）课外植物小组准备利用学校仓库旁的一块空地，开辟一个面积为130平方米的花圃（如图121）,打算一面利用长为 15米的仓库墙面，三面利用长为33米的旧围栏，求花圃的长和宽.解：设与墙相接的两边长都为x米，则另一边长为 33 2x米,132x2 33x 130 0 xi 10x2 万又.当为 10时 33 2x 1313当 x2 2时，33 2x 20>1513x2不合题意，舍去.X 10答：花圃的长为13米，宽为10米.【考

11、题2】(2009、襄樊)为了改善居民住房条件，我市计划用未来两年的时间，将城镇居民的住房面积由现在的人均约为10平方米提高到平方米，若每年的增长率相同，则年增长率为()% C. 11%解：设年增长率为x,根据题意得10(1+X)2=,解得 x1 = , x2 =.因为增长率不为负，所以 x=。故选d【考题3】(2009、海口)某水果批发商场经销一种高档水果如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价 1元，日销售量将减少 20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元解：设每千克水果应涨价 x元，依题

12、意，得(500 2 0 x) (10+x) =6000.整理，得 x2 15x+50=0.解这个方程，x 1=5, x2=10.要使顾客得到实惠，应取 x=5.答：每千克应涨价 5元.点拨：此类经济问题在设未知数时，一般设涨价或降价为未知数；应根据“要使顾客得到实惠”来取舍根的情况.【考题4】如图，在 ABC中，/ B=90° , AB=5, BC=7；点P从A点开始沿AB边向点B点以1cm/s的速度移动，点 Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动.(1)如果点P、Q分别从A、B两点同时出发，经过几秒钟，PBQ的面积等于4(2)如果点P、Q分别从A、B两点同时出发，经过几秒

13、钟，PQ的长度等于5解：(1)设经过x秒钟， PBQ的面积等于4,则由题意得 AP=x, BP=5-x, BQ=2x,由 2bp- BQ=4 彳2 2 (5-x) - 2x=4,解得，x1=1, x2 =4.当x=4时，BQ=2x=8> 7=BC,不符合题意。故 x=1(2)由 BP2+BQ2=52 得(5 x) 2+ (2x) 2=52 ,解得x1=0 (不合题意)，x 2 =2.所以2秒后，PQ的长度等于5。三、针对性训练：1 .小明的妈妈上周三在自选商场花10元钱买了几瓶酸奶，周六再去买时，正好遇上商场搞酬宾活动，同样的酸奶，每瓶比周三便宜元，结果小明的妈妈只比上次多花了2元钱，却

14、比上次多买了2瓶酸奶，问她上周三买了几瓶2 .合肥百货大搂服装柜在销售中发现：“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元。为了迎接“十一”国庆节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存。经市场调查发现：如果每件童装降价4元，那么平均每天就可多售出8件。要想平均每天在销售这种童装上盈利 1200元，那么每件童装应降价多少3 .在宽为20米、长为32米的矩形地面上，修筑同样宽的两条互相垂直的道路，余下部分作为耕地,要使耕地面积为540米2 ,道路的宽应为多少图 12-34 .小红的妈妈前年存了 5000元一年期的定期储蓄，到期后自动转存.今年到期扣除利息税(利息税为

15、利息的20%,共取得5145元.求这种储蓄的年利率.(精确到o%5 .如图12-3, ABC中，/ B=90°，点P从A点开始沿 AB向点B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向C点以2cm/s的速度移动。(1)如果P、Q分别从 A B同时出发，经几秒钟，使 ABQ的面积等于8cm2(2)如果P、Q分别从A B同时出发，并且 P至ij B后又继续在BC边上前进，Q以C后又继续在 AC边上前进，经几秒钟，使 PCQ勺面积等于cm2 。中考真题1 .钟老师出示了小黑板上的题目(如图1 2 2)后，小敏回答：“方程有一根为1"，小聪回答：“方程有一根为2”.则你认为()

16、A .只有小敏回答正确B .只有小聪回答正确C .两人回答都正确D .两人回答都不正确已如方程-配+人】印，成添加小箝件，使它的两根之粮为2/ )图 1-2-22 .解一元二次方程 x2 x 12=0,结果正确的是()A . x1=4, x 2 =3 B . x1=4, x2=3 C . x1 = 4, x 2 = 3 D . x1=4, x 2 =33 .方程 x(x 3) (x 3)解是()A . x1=1 B . x1=0, x2 = 3C . x1=1, x2 =3 D . x 1=1, x2=34 .若t是一元二次方程 ax2+bx+c=0(a w0)的根，则判别式A = b2 4a

17、c和完全平方式 M=(2at+b) 2的关系是C. A< MD .大小关系不能确定、一 2 /5.方程 x (x 1)0的根是（）.0,-1 D . 0, 16.已知二次方程x2 2x7=0的两个根为x1x2x1 + x 2的值为（）7.已知x 1x2是方程3x+1 =0的两个实数根,Xi1一的值是（*2A、3B、- 3D、 18.用换元法解方程（x 2+ x) 2 + (x 2 + x) =6 时，如果设x2 +x=y,那么原方程可变形为（A、y2 + y-6=0B、y2 -y-6=0C、y2 _ y+6=0、y 2 + y + 6= 09.方程x25x=0的根是（）10.若关于x的方

18、程x2 +2x+k=0有实数根，则（）A . k<1,B. k< 111.如果次方程x2 4x+2 = 0的两个根是x1 , x2 ,那么x1+x2等于（）A. 4 B.C. 2 D.-212.用换元法解方程(x2 -x) -Vx2 x = 6时，设Jx2 x = y,那么原方程可化为（）2A. y + y 6= 0B.+ y + 6= 02c. y y 6= 0D.2y y+ 6= 013.设 x1, x2 是方程 2x 2 +3x-2=0的两个根，则x1+x2的值是 （）14.方程x3-x=0的解是（）A . 0, 1 B .1,-1C. 0,-1 D . 0, 1 , - 1

19、15.用换元法解方程(看2上工4 0时，若设=y，则原方程 x 1x+116 .两个数的和为6,差（注意不是积）为 8,以这两个数为根的一元二次方程是 17 .方程x2 -x=0的解是18 .等腰 ABC中，BC=& AB、BC的长是关于x的方程x2 10x+m=0的两根，则m的值是19.关于x的一元二次方程 ax2 +2x+1=0的两个根同号，则 a的取值范围是 .20.解方程 J2x2-9x+5=x-321.解方程：x3 -2x2 -3x=0.22.解方程组:y=x+1x2 +y 2 =523.解方程：2 (x1) 2+5 (xl) +2=0.24.解方程：x2 -2x-2=0 2

20、5.解方程：x2 +5x+3=0226.已知关于x的一元二次方程x （k 1）x 6 0的一个根是2,求方程的另一根和 k的值.2227 .已知关于x的一元二次方程（k 4）x 3x k 3k 4 0的一个根为0,求k的值.28 .如图1 23为长方形时钟钟面示意图，时钟的中心在长方形对角线的交点上，长方形的宽为20厘米，钟面数字2在长方形的顶点处，则长方形的长为 厘米.（此题用到三角函数） I 1011 121口Pn 7 » « L用1 13中考预测题一、基础经典题（44分）（一）选择题（每题4分，共28分）【备考1】如果在1是方程x2+mxH 1=0的一个根，那么 m的

21、值为（）A.2 B.3 C.1 D . 2【备考2】方程2Mx 3） 5（x 3）的解是（）x 3 B.x -A .2C.xi3,X22【备考3若n是方程x mx n 0的根，nw0,则m+n等于（）A.7 B . 6 C.1 D .12【备考4】关于x的方程x mx n 0的两根中只有一个等于 0,则下列条件中正确的是（）A . m= 0, n=0B. m= 0, n w0C .0, n = 0D . rn 0, nw0【备考5以5246和5+2，6为根的一元二次方程是（）A . x2 10x 1 0 B.x2 10x 1 0C . x2 10x 1 0 D . x2 10x 1 0【备考6】已知x1, x2是方程x2x 3=0的两根，那么x； x2值是（）49T【备考7】关于x的方程4(m 3)x m 0有两个不相等的实根，那么 m的最大整数是（A . 2 B .1 C . 0 D . l（二）填空题（每题 4分，共16分）【备考8】已知一元二次方程 x2 +3x+1=0的两个根为x1,x2那么（1+ x1）（1+ x2）的值等于 .【备考9】已知一个一元二次方程 x2+px+l=0的一个实数根的倒数恰是它本身，则P的值是.【备考10如图，在 ABCD, AELBC于E, AE=EB=EC=a且a是一元二次方程 x2+2x3=0的根,则口 ABCD勺周长是2【备考1