高考数学 第七章 不等式、推理与证明 7.4 直接证明与间接证明课件 文 新人教A

1、7.4直接证明与间接证明-2-3-知识梳理考点自测1.直接证明 成立 充分 -4-知识梳理考点自测2.间接证明间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法,反证法是一种常用的间接证明方法.(1)反证法的定义:假设原命题(即在原命题的条件下,结论不成立),经过正确的推理,最后得出,因此说明假设错误,从而证明的证明方法.(2)用反证法证明的一般步骤:反设假设命题的结论不成立;归谬根据假设进行推理,直到推出矛盾为止;结论断言假设不成立,从而肯定原命题的结论成立.不成立 矛盾 原命题成立 -5-知识梳理考点自测1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”.(1)综合法的思维过程是由因导果,逐步寻找

2、已知的必要条件. ()(2)分析法是从要证明的结论出发,逐步寻找使结论成立的充要条件. ()(3)反证法是指将结论和条件同时否定,推出矛盾. ()(4)用反证法证明时,推出的矛盾不能与假设矛盾. ()(5)常常用分析法寻找解题的思路与方法,用综合法展现解决问题的过程. ()(6)证明不等式 最合适的方法是分析法. () -6-知识梳理考点自测2.命题“对于任意角,cos4-sin4=cos 2”的证明:“cos4-sin4= (cos2-sin2)(cos2+sin2)=cos2-sin2=cos 2”过程应用了()A.分析法B.综合法C.综合法、分析法综合使用D.间接证明法B 解析解析:因为

3、证明过程是“从左往右”,即由条件推出结论.故选B.3.若实数a,b满足a+b0,则()A.a,b都小于0B.a,b都大于0C.a,b中至少有一个大于0D.a,b中至少有一个小于0D解析解析:假设a,b都不小于0,即a0,b0,则a+b0,这与a+b0相矛盾,因此假设错误,即a,b中至少有一个小于0.-7-知识梳理考点自测4.用分析法证明不等式 时,最后推得的显然成立的最简不等式是.04 5.(教材习题改编P15T(2)用反证法证明“把100个球放在90个盒子里,至少有一个盒子里不少于2个球”应假设.每个盒子里都少于2个球 解析解析:因为“至少有一个盒子里不少于”的反面是“所有盒子里都少于”,所

4、以应填“每个盒子里都少于2个球”.-8-考点一考点二考点三综合法的应用综合法的应用(多考向多考向)考向1数列中的证明例1设数列an的前n项和为Sn,已知3an-2Sn=2.(1)证明an是等比数列并求出通项公式an;-9-考点一考点二考点三-10-考点一考点二考点三思考哪些问题的证明适合用综合法?解题心得综合法的适用范围是:(1)定义明确的问题,如证明函数的单调性、奇偶性等,求证没有限制条件的等式或不等式.(2)已知条件明确,并且容易通过分析和应用条件逐步逼近结论的题型.-11-考点一考点二考点三对点训练对点训练1(2017湖北黄冈模拟)设数列an的前n项和为Sn,且(3-m)Sn+2man=

5、m+3(nN*),其中m为常数,且m-3.(1)求证:an是等比数列;-12-考点一考点二考点三-13-考点一考点二考点三考向2立体几何中的证明例2(2017山东枣庄一模,文18)如图,在四棱台ABCD-A1B1C1D1中,四边形ABCD是菱形,AB=2A1B1,AA1平面ABCD.求证:(1)BDC1C;(2)C1C平面A1BD.-14-考点一考点二考点三证明 (1)连接AC,AA1平面ABCD,AA1BD.四边形ABCD是菱形,ACBD,又ACAA1=A,BD平面ACC1A1.CC1平面ACC1A1,BDCC1.(2)连接AC和A1C1,设ACBD=E.底面ABCD是菱形,E为菱形ABCD

6、的中心,由棱台的定义及AB=2A1B1,可得ECA1C1,且EC=A1C1,故ECC1A1为平行四边形,CC1A1E.CC1平面A1BD,A1E平面A1BD,CC1平面A1BD.-15-考点一考点二考点三解题心得用综合法证明立体几何中的平行或垂直问题常用转化法,例如证明线面平行或垂直一般转化成证明线线平行或垂直.-16-考点一考点二考点三对点训练对点训练2如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PAB平面ABCD, AB=AD,BAD=60,E,F分别是AP,AB的中点. 求证:(1)直线EF平面PBC;(2)平面DEF平面PAB.-17-考点一考点二考点三证明 (1)在PAB中,因为E,F分别为P

7、A,AB的中点,所以EFPB.又因为EF平面PBC,PB平面PBC,所以直线EF平面PBC.(2)连接BD,因为AB=AD,BAD=60,所以ABD为正三角形.因为F是AB的中点,所以DFAB.因为平面PAB平面ABCD,DF平面ABCD,平面PAB平面ABCD=AB,所以DF平面PAB.又因为DF平面DEF,所以平面DEF平面PAB.-18-考点一考点二考点三考向3证明不等式例3已知x,y,z是互不相等的正数,且x+y+z=1,思考综合法证明的特点是什么? -19-考点一考点二考点三解题心得用综合法证明的特点是“由因导果”,即从命题的条件出发,利用定义、公理、定理及运算法则,通过演绎推理,一

8、步一步地接近要证明的结论,直到完成命题的证明.-20-考点一考点二考点三-21-考点一考点二考点三分析法的应用分析法的应用 -22-考点一考点二考点三思考哪些问题的证明适合用分析法?解题心得分析法证明问题的适用范围:当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接,或证明过程中所需知识不太明确、具体时,往往采用分析法,特别是含有根号、绝对值的等式或不等式,从正面不易推导时,常考虑用分析法.-23-考点一考点二考点三-24-考点一考点二考点三反证法的应用反证法的应用例5设数列an是公比为q的等比数列,Sn是它的前n项和.(1)求证:数列Sn不是等比数列.(2)数列Sn是等差数列吗?为什么?-25-考点一

9、考点二考点三因为a10,所以(1+q)2=1+q+q2,即q=0,这与公比q0矛盾,所以数列Sn不是等比数列.(2)解 当q=1时,Sn=na1,故Sn是等差数列;当q1时,Sn不是等差数列.假设Sn是等差数列,则2S2=S1+S3,即2a1(1+q)=a1+a1(1+q+q2),得q=0,这与公比q0矛盾.综上,当q=1时,数列Sn是等差数列;当q1时,Sn不是等差数列.-26-考点一考点二考点三思考反证法的适用范围及证题的关键是什么?解题心得反证法的适用范围及证题的关键(1)适用范围:当一个命题的结论是以“至多”“至少”“唯一”或以否定形式出现时,宜用反证法来证.(2)关键:在正确的推理下

10、得出矛盾,矛盾可以是与已知条件矛盾,与假设矛盾,与定义、公理、定理矛盾,与事实矛盾等.推导出的矛盾必须是明显的.-27-考点一考点二考点三对点训练对点训练5设an是公比为q的等比数列,且q1,证明数列an+1不是等比数列.证明 假设an+1是等比数列,则对任意的kN*,(ak+1+1)2=(ak+1)(ak+2+1),a10,2qk=qk-1+qk+1.q0,q2-2q+1=0,q=1,这与已知矛盾.假设不成立,故an+1不是等比数列.-28-考点一考点二考点三1.分析法是从结论出发,逆向思维,寻找使结论成立的充分条件.应用分析法要严格按分析法的语言表达,下一步是上一步的充分条件.2.证明问题的常用思路:在解题时,常常把分析法和综合法结合起来运用,先以分析法寻求解题思路,再用综合法表述解答或证明过程.3.用反证法证明问题要把握三点:(1)必须先否定结论,即肯定结论的反面;(2)必须从否定结论进行推理,即应把结论的反面作为条件,且必须依据这一条件进行推证;(3)推导出的矛盾可能多种多样,有的与已知矛盾,有的与假设矛盾,有的与已知事实矛盾等,且推导出的矛盾必须是明显的