山东大学电动力学课件第6讲

1、第一章 电磁现象的普遍规律(4) 1.4介质中的介质中的Maxwell方程组方程组教师姓名： 宗福建单位： 山东大学物理学院2015年9月25日山东大学物理学院 宗福建1 1、直接给出库仑定律的数学表达式，写明其中各个符号的物理意义。 2、写出电场强度的定义，给出有限区域分布电荷电场强度的计算公式，并推导出高斯定理的积分形式和微分形式。 3、计算静电场的旋度。山东大学物理学院 宗福建2 4、电流密度的定义，电荷守恒定律的物理意义，电流连续性方程的积分形式和微分形式。 5、磁感应强度的定义，毕奥-萨伐尔定律的数学表达式，并推导出磁感应强度的散度和旋度公式。 6、安培环路定律的数学表达式，并能灵活

2、应用。山东大学物理学院 宗福建3 7、直接给出法拉第电磁感应定律的积分形式和微分形式，写明其中各个符号的物理意义。 8、什么是Maxwell的位移电流假设，位移电流的表达式，位移电流的实质是什么？ 9 9、直接给出真空中麦可斯韦方程组的积分形式和微分形式，写明其中各个符号的物理意义。 10、写出电荷与电磁场相互作用的洛伦兹力密度公式及洛伦兹力公式。山东大学物理学院 宗福建4山东大学物理学院 宗福建500tt BEEBJEB 000山东大学物理学院 宗福建600lslssdldStdlIdStQdSQdVdSIdS BEEBEBJ 000s若电荷连续分布，其密度为，则电荷系统单位体积所承受的力密

3、度 f 为 洛仑兹把这结果推广为普遍情况下场对电荷系统的作用力，因此上式称为洛仑兹力密度公式。 山东大学物理学院 宗福建7EB fJ 对于带电粒子系统来说，若粒子电荷为q，速度为v，则J等于单位体积内qv之和。把电磁作用力公式应用到一个粒子上，得到一个带电粒子受电磁场的作用力 这公式称为洛仑兹力公式。山东大学物理学院 宗福建8qqFEB v山东大学物理学院 宗福建9山东大学物理学院 宗福建10山东大学物理学院 宗福建11 介质的概念 介质的极化 介质的磁化 介质中的Maxwell方程组 电磁场法向分量的跃变 电磁场切向分量的跃变山东大学物理学院 宗福建12山东大学物理学院 宗福建131.4.1

4、 介质的电磁性质 1. 关于介质的概念关于介质的概念 介质由分子组成。分子内部有带正电的原子核和绕核运动的带负电的电子。从电磁场观点来看，介质是一个带电粒子系统，其内部存在着不规则而又迅速变化的微观电磁场。在研究宏观电磁现象时，我们所讨论的物理量是在一个包含大数目分子的物理小体积的平均值，称为宏观物理量。山东大学物理学院 宗福建141.4.1 介质的电磁性质 1. 关于介质的概念关于介质的概念 介质由分子组成。 可分为极性分子和非极性分子。 极性分子：H2O 非极性分子：CO2山东大学物理学院 宗福建151.4.1 介质的电磁性质 由于分子是电中性的，而且在热平衡时各分子内部的粒子运动一般没有

5、确定的关联，因此，当没有外场时介质内部一般不出现宏观的电流分布，其内部的宏观电磁场亦为零。有外场时，介质中的带电粒子受场的作用，正负电荷发生相对位移，有极分子（原来正负电中心不重合的分子）的取向以及分子电流的取向亦呈现一定的规则性，这就是介质的极化和磁化现象。山东大学物理学院 宗福建161.4.1 介质的电磁性质 由于极化和磁化的原因，介质内部及表面上便出现宏观的电荷电流分布，我们把这些电荷、电流分别称为束缚电荷和磁化电流。这些宏观电荷电流分布反过来又激发起附加的宏观电磁场，叠加在原来外场上而得到介质内的总电磁场。介质内的宏观电磁现象就是这些电荷电流分布和原来外电磁场之间相互作用的结果。 山东

6、大学物理学院 宗福建171.4.1 介质的电磁性质2 2、介质的极化、介质的极化存在两类电介质： 一类介质分子的正电中心和负电中心重合，没有电偶极距。 另一类介质分子的正负电中心不重合，有分子电偶极矩，但是由于分子热运动的无规则性，在物理小体积的平均电偶极距为零，因而也没有宏观电偶极距分布。在外场作用下，前一类分子的正负电中心被拉开，后一类介质的分子电偶极距平均有一定取向性，因此都出现宏观电偶极距分布。山东大学物理学院 宗福建181.4.1 介质的电磁性质 2 2、介质的极化、介质的极化宏观电偶极距分布用电极化强度矢量 P P 描述，它等于物理小体积V 内的总电偶极距与V 之比，式中pi为第i

7、个分子的电偶极距，求和符号表示对V内所有分子求和。 VipP山东大学物理学院 宗福建191.4.1 介质的电磁性质 2 2、介质的极化、介质的极化由于极化，分子正负电中心发生相对位移，因而物理小体积V内可能出现净余的正电或负电，即出现宏观的束缚电荷分布。我们现在首先要求出束缚电荷密度p和电极化强度P之间的关系。 山东大学物理学院 宗福建201.4.1 介质的电磁性质2 2、介质的极化、介质的极化我们用一个简化模型来描述介质中的分子。设每个分子由相距为l l的一对正负电荷q构成，分子电偶极距为p p = ql l。如右图所示，介质内某曲面S上的一个面元dS S。介质极化后，有一些分子电偶极子跨过

8、dS S。由图可见，当偶极子的负电荷处于体积l l dS S内时，同一偶极子的正电荷就穿出界面dS S外边。山东大学物理学院 宗福建211.4.1 介质的电磁性质 2 2、介质的极化、介质的极化设单位体积分子数为n，则穿出dS S外面的正电荷为即，介质外边界dS处的束缚电荷面密度为：nqdnddSpSPSlp P n 山东大学物理学院 宗福建221.4.1 介质的电磁性质 2 2、介质的极化、介质的极化对包围区域V的闭合界面S积分，则介质总表面束缚电荷为 由于介质是电中性性的，这量也等于V内净余的负电荷。这种由于极化而出现的电荷分布称为束缚电荷。以p表示束缚电荷密度，有 dPS0pVsdVdP

9、SpVsdVd PS山东大学物理学院 宗福建231.4.1 介质的电磁性质 2 2、介质的极化、介质的极化即，pVsdVd PSp PVdV P山东大学物理学院 宗福建241.4.1 介质的电磁性质 2 2、介质的极化、介质的极化极化电流密度与极化强度的关系当电场随时间改变时，极化过程中正负电荷的相对位移也将随时间改变，由此产生的电流称为极化电流。极化电流和极化电荷也满足连续性方程：0pppppttttt JJPPJP山东大学物理学院 宗福建251.4.1 介质的电磁性质2 2、介质的极化、介质的极化极化电荷面密度与极化强度的关系在均匀介质中，极化电荷只出现在介质界面上。在介质1和介质2分界面

10、上取一个面元为在分界面两侧取一定厚度的薄层，使分界面包围在薄层内。p P n 山东大学物理学院 宗福建261.4.1 介质的电磁性质2 2、介质的极化、介质的极化 在薄层内出现的束缚电荷与dS之比称为界面上的束缚电荷面密度。 通过薄层上侧面进入介质2的负电荷为P P2dS S，由介质1通过薄层下侧面进入薄层的正电荷为P P1dS S。因此，薄层内出现的净余电荷为 (P P2P P1)dS S。以p表示束缚电荷面密度，有 2121()()ppdSd PPSPPn山东大学物理学院 宗福建271.4.1 介质的电磁性质2 2、介质的极化、介质的极化介质内的电现象包括两个方面。一方面电场使介质极化而产

11、生束缚电荷分布，另一方面这些束缚电荷又反过来激发电场，两者是互相制约的。介质对宏观电场的作用就是通过束缚电荷激发电场。因此，若在麦氏方程中电荷密度包括自由电荷密度f和束缚电荷密度p在内，则在介质内麦氏方程仍然成立。0()/fpE山东大学物理学院 宗福建281.4.1 介质的电磁性质 2 2、介质的极化、介质的极化在实际问题中，自由电荷比较容易受实验条件的直接控制或观测，而束缚电荷则不然。因此，在基本方程中消去p比较方便。 00()/()pfpfPEE P将 带入得，山东大学物理学院 宗福建291.4.1 介质的电磁性质 2 2、介质的极化、介质的极化引入电位移矢量D D,定义为 则，0DEPf

12、D山东大学物理学院 宗福建301.4.1 介质的电磁性质2 2、介质的极化、介质的极化实验指出，各种介质材料有不同的电磁性能，D D和E E的关系也有多种形式。对于一般各向同性线性介质，极化强度P P和E E之间有简单的线性关系0000(1)1eerre PEDEPEE山东大学物理学院 宗福建311.4.1 介质的电磁性质3 3、介质的磁化、介质的磁化介质分子内的电子运动构成微观分子电流，由于分子电流取向的无规则性，没有外场时一般不出现宏观电流分布。在外磁场作用下，分子电流出现有规则取向，形成宏观磁化电流密度J JM。分子电流也可以用磁偶极距描述。把分子电流看作载有电流的小线圈，线圈面积为a

13、a，则与分子电流相应的磁矩为 ima山东大学物理学院 宗福建321.4.1 介质的电磁性质3 3、介质的磁化、介质的磁化介质磁化后，出现宏观磁偶极距分布，用磁化强度M M表示，它定义为物理小体积V内的总磁偶极距与V之比， VimM山东大学物理学院 宗福建331.4.1 介质的电磁性质3 3、介质的磁化、介质的磁化如图所示，设S为介质内部的一个曲面，其边界线为L.为了求出磁化电流密度，我们计算从S的背面流向前面的总磁化电流IM.由图可见，若分子电流被边界线L链环着，这分子电流就对IM有贡献。 山东大学物理学院 宗福建341.4.1 介质的电磁性质3 3、介质的磁化、介质的磁化在其他情形下，或者分

14、子电流根本不通过S，或者从S背面流出来后再从前面流进，所以对IM都没有贡献。因此，通过S的总磁化电流IM等于边界线L所链环着的分子数目乘上每个分子的电流i 。 山东大学物理学院 宗福建351.4.1 介质的电磁性质3 3、介质的磁化、介质的磁化图示边界线L上的一个线元dl l。设分子电流圈的面积为a a 。由图可见，若分子中心位于体积为a a dl l的柱体内，则该分子电流就被dl l所穿过。因此，若单位体积分子数为n，则被边界线L链环着的分子电流数目为 Lndal山东大学物理学院 宗福建361.4.1 介质的电磁性质 3 3、介质的磁化、介质的磁化此数目乘上每个分子的电流i即得从S背面流向前

15、面的总磁化电流 把线积分变为M M的面积分，由S的任意性可得微分形式 MmLLLSInidndddJSalmlMl MJM山东大学物理学院 宗福建371.4.1 介质的电磁性质3 3、介质的磁化、介质的磁化两边取散度得，这就说明磁化电流不引起电荷的积累，不存在磁化电流的源头。MJM()0 MJM山东大学物理学院 宗福建381.4.1 介质的电磁性质3 3、介质的磁化、介质的磁化介质内的磁现象也包括两个方面，一方面电磁场作用于介质分子上产生磁化电流和极化电流分布，另一方面这些电流又反过来激发磁场，两者也是互相制约的。介质对宏观磁场的作用是通过诱导电流（J JM M+J JP P）激发磁场。因此，

16、若在麦氏方程式中的J J包括自由电流密度J Jf f和介质内的诱导电流密度J JM M+J+JP P在内，那么麦氏方程在介质中仍然成立， ()fMPt EB000JJJ山东大学物理学院 宗福建391.4.1 介质的电磁性质3 3、介质的磁化、介质的磁化在实际问题中，自由电流分布J Jf可以直接受实验条件控制和测定，而J JM和J JP则不然。因此，在基本方程中消去J JM和J JP比较方便。 1()fMPMPfttt EBMPBD000JJJJJMJ山东大学物理学院 宗福建401.4.1 介质的电磁性质 3 3、介质的磁化、介质的磁化引入磁场强度H H，定义为则， B0HMftDHJ山东大学物

17、理学院 宗福建411.4.1 介质的电磁性质 3 3、介质的磁化、介质的磁化实验指出，对于各向同性非铁磁物质，磁化强度M M和H之间有简单的线性关系 0(1)1MMrrM BMHBHHH0000HM=M =山东大学物理学院 宗福建421.4.2介质中的Maxwell方程组 略去f和Jf的下角标f，除特殊说明外，以后公式中出现的和J都代表自由电荷和自由电流分布。 介质中的麦克斯韦方程组为 介质方程为：介质方程为：0tt BEDHJDBDEBHJE山东大学物理学院 宗福建431.4.2介质中的Maxwell方程组 真空中的麦克斯韦方程组为0tt BEDHJDBDEBH00山东大学物理学院 宗福建4

18、41.4.2介质中的Maxwell方程组 积分形式： 介质中的麦克斯韦方程组为 介质方程为：介质方程为：0lSlSSSSVddddtddIddtdQIddQdV ElBSHlDSDSJSBS DEBHJE山东大学物理学院 宗福建451.4.3 电磁场边值关系 我们知道, 由于在外场作用下，介质分界面上一般出现一层束缚电荷和束缚电流分布，这些电荷、电流的存在又使得界面两侧场量发生跃变，这种场量跃变是面电荷、面电流激发附加的电磁场产生的，描述在两介质分界面上，两侧场量与界面上电荷、电流的关系，是本节的主要讨论内容。麦克斯韦方程组可以应用于任何连续介质内部。在两介质分界面上，由于一般出现面电荷电流分

19、布，使物理量发生跃变，微分形式的麦氏方程组不再适用。因此，在介质分界面上，我们要用积分的Maxwell方程组。山东大学物理学院 宗福建461.4.3 电磁场边值关系 一、法向分量的跃变一、法向分量的跃变 如图所示，在分界面处作一个小扁平体，体的上下底面ds1, ds2 分别位于界面的两侧，且 ds1,ds2,ds三个面元平行，大小相等，ds为界面上被截出的面元，高度h0，山东大学物理学院 宗福建471.4.3 电磁场边值关系 一、法向分量的跃变一、法向分量的跃变 用 求矢量 D D 通过匣表面的通量。 由于匣的高度h0，所以通过侧面的 D D 的通量也可以忽略不计，因此12121122)SSS

20、SfddSdSdSdSdSDSDDDD nD n侧侧侧(SdQDS山东大学物理学院 宗福建481.4.3 电磁场边值关系 一、法向分量的跃变一、法向分量的跃变1122212121)()ffnnfdSdS D nD nnnnDDnDD(山东大学物理学院 宗福建491.4.3 电磁场边值关系 一、法向分量的跃变一、法向分量的跃变2121021()nnfnnPnnfPDDPPEE 山东大学物理学院 宗福建501.4.3 电磁场边值关系 一、法向分量的跃变一、法向分量的跃变 讨论讨论： 对于两种电介质的分界面 f=0 ，则得 D2n=D1n 法向分量连续；E2nE1n 法向分量不连续。 只有导体与介质

21、交界面上，存在f 0 。这时 D和E在法线上都不连续，有跃变。山东大学物理学院 宗福建511.4.3 电磁场边值关系 一、法向分量的跃变一、法向分量的跃变对于磁场B B，把应用到边界上的扁平状区域上，重复以上推导可以得到 nnBB120Sd BS山东大学物理学院 宗福建521.4.3 电磁场边值关系 二、切向分量的跃变二、切向分量的跃变 面电荷分布使界面两侧电场法向分量发生跃变。下面我们证明面电流分布使界面两侧磁场切向分量发生跃变。 定义面电流线密度，其大小等于垂直通过单位截面的电流。 由于存在面电流，在界面两侧的磁场强度发生跃变。 山东大学物理学院 宗福建531.4.3 电磁场边值关系 二、切向分量的跃变二、切向分量的跃变如图所示，在界面两旁取一狭长形回路，回路的一长边在介质1中，另一长边在介质2中。长边l l与面电流f正交。把麦氏方程应用到狭长形回路上。取回路上下边深入到足够多分子层内部，使面电流完全通过回路内部。从宏观来说回路短边的长度仍可看作趋于零。山东大学物理学院 宗福建541.4.3 电磁场边值关系 二、切向分量的跃变二、切向分量的跃变 因而有 其中t表示沿l的切向分量。通过回路