第六章+机械波

1、第六章 机械波振动在空间的传播过程振动在空间的传播过程波动波动。不同种类的波其产生和传播的机制不同，但有着不同种类的波其产生和传播的机制不同，但有着波动的共性：有相似的波动的共性：有相似的波动方程波动方程，有，有反射反射、折射折射、干涉干涉、衍射衍射等等波动性波动性。机械振动在介质中的传播机械振动在介质中的传播机械波机械波。电磁震荡在空间的传播电磁震荡在空间的传播电磁波电磁波。本章主要讨论机械波。本章主要讨论机械波。6-1 机械波的产生和传播 波源（振源）波源（振源）：波动的形式和能量的来源。：波动的形式和能量的来源。一一、产生机械波的条件、产生机械波的条件 弹性介质弹性介质：机械波只能在介质

2、（气体、液体、：机械波只能在介质（气体、液体、固体）中传播。介质内各质元间当有相对位移固体）中传播。介质内各质元间当有相对位移时，能互相施以弹性恢复力，使各质元能在平时，能互相施以弹性恢复力，使各质元能在平衡位置附近按波源的形式振动，并将波源的振衡位置附近按波源的形式振动，并将波源的振动形式（和能量）传播开去。动形式（和能量）传播开去。二二、横波和纵波、横波和纵波横波横波介质中质元的振动方向垂直于波的传播方向。介质中质元的振动方向垂直于波的传播方向。纵波纵波介质中质元的振动方向平行于波的传播方向。介质中质元的振动方向平行于波的传播方向。如：绳波如：绳波如：声波如：声波横波只能在固体中传播。横波

3、只能在固体中传播。纵波可在任何介质中传播。纵波可在任何介质中传播。水面波水面波水表面因受重力和表面张力的作用而形成水表面因受重力和表面张力的作用而形成的横波和纵波的叠加。的横波和纵波的叠加。 波传播的是振动的状态和能量，而不是质量。波传播的是振动的状态和能量，而不是质量。横波演示纵波演示三三、波动的几何描述、波动的几何描述波线波线沿波的传播方向所画的射线。沿波的传播方向所画的射线。在各向同性的均匀介质中，波线恒与波面垂直。在各向同性的均匀介质中，波线恒与波面垂直。波面波面介质中振动相位相同的点所构成的面介质中振动相位相同的点所构成的面。球面波传到足够远时，在一小范围内可看作平面波。球面波传到足

4、够远时，在一小范围内可看作平面波。（如：传到地球上的太阳光波）（如：传到地球上的太阳光波）波线波线波面（波阵面）波面（波阵面）波波前前波波前前波面（波阵面）波面（波阵面）波线波线平面波平面波球面波球面波6-2 波速波速 波长波长 波的周期和频率波的周期和频率一、波速一、波速波速（相速）波速（相速）c c 波在介质中的传播速度。波在介质中的传播速度。单位时间内，某振动状态（相位）传播的距离。单位时间内，某振动状态（相位）传播的距离。波速的大小决定于弹性介质的密度和弹性模量，波速的大小决定于弹性介质的密度和弹性模量，与波源无关。与波源无关。各向同性的均匀固体介质中：各向同性的均匀固体介质中： Gc

5、 横G G：固体的固体的切变弹性模量切变弹性模量Y Y：固体的固体的杨氏弹性模量杨氏弹性模量 Yc 纵二、波长和频率二、波长和频率波长波长 同一波线上两个相邻的相位相同的质点之同一波线上两个相邻的相位相同的质点之间的距离，即一个完整波的长度。间的距离，即一个完整波的长度。周期周期T 波传过一个波长的时间，或一个完整的波波传过一个波长的时间，或一个完整的波通过波线上某点所需的时间，就是质点完成一次振通过波线上某点所需的时间，就是质点完成一次振动的时间。动的时间。频率频率 单位时间内质点完成振动的次数，或单位单位时间内质点完成振动的次数，或单位时间内在波动前进距离中完整波长的数目，或单位时间内在波

6、动前进距离中完整波长的数目，或单位时间内通过波线上某点的完整波的数目。时间内通过波线上某点的完整波的数目。波速波速c c和波长和波长、周期、周期T T之间的关系：之间的关系：Tc 波速波速c c和波长和波长、频率、频率之间的关系：之间的关系： c例7-1例例6-1：声波：声波： = 3000Hz，c=1560m/s，沿一波线从沿一波线从A传播到传播到B。x=AB=0.13m。求：求：(1) 波的周期和波长；波的周期和波长；(2)B点振动比点振动比A点落后多少时间；点落后多少时间； (3) A、B两点的相位差；两点的相位差；(4)若若A=1mm,则波则波线上各质元振动速度的最大值为多少？线上各质

7、元振动速度的最大值为多少？ 波的传播速度与介质中质元的振动速度是两个波的传播速度与介质中质元的振动速度是两个(2)sTcxtBA51033. 84 (3)2x2 (4)smAAm8 .182 不相同的概念。不相同的概念。(1)sT300011 cmc52 6-3 波动方程 最简单、最基本的波动形式称为简谐波。最简单、最基本的波动形式称为简谐波。简谐波简谐波：波源作简谐振动时，介质中各个质点也作简：波源作简谐振动时，介质中各个质点也作简谐振动，其频率与波源频率相同，振幅与波源相关。谐振动，其频率与波源频率相同，振幅与波源相关。任意复杂的波总可以表示为若干简谐波的叠加。任意复杂的波总可以表示为若干

8、简谐波的叠加。波面为平面且向前传播的简谐波称为平面简谐波。波面为平面且向前传播的简谐波称为平面简谐波。本节讨论平面简谐波在本节讨论平面简谐波在无吸收、均匀无限大无吸收、均匀无限大介质中介质中传播的波动方程传播的波动方程yxo一一、简谐波的波动方程、简谐波的波动方程设平面简谐波以波速设平面简谐波以波速 c 沿波线沿波线 x 传播。传播。tAyo cos 波线上波线上o点的振动方程为：点的振动方程为：波从波从o点传到点传到 p 点需要时间：点需要时间：即即p点质元点质元t 时刻的振动状态（相位）为时刻的振动状态（相位）为o点质元点质元t-t时刻的振动状态（相位）。时刻的振动状态（相位）。)(cos

9、cxtAy p点质元的振动方程：点质元的振动方程：称为（称为（沿沿x正向传播的正向传播的）平面简谐波方程平面简谐波方程或或波函数波函数。cpxcxt 若波沿若波沿x轴负方向传播，则波函数为：轴负方向传播，则波函数为：)(coscxtAy 若若o点质元振动初相位点质元振动初相位0，则波函数为：则波函数为：)(cos cxtAy)xt (2cosAy )xTt(2cosAy 考虑到：考虑到：T22 和和Tc 波函数还可写成：波函数还可写成：二二、波动方程的意义、波动方程的意义1、 当当x一定时，波函数为一定时，波函数为x点处质元的振动方程：点处质元的振动方程：)x2(t2cosAy 式中：式中：x

10、2 为为x点处质元的振动初相位。点处质元的振动初相位。而：而：x2 为为x点处振动落后于点处振动落后于o点处振动的相位。点处振动的相位。位移位移时间图上相邻两个同相点的间隔即为周期时间图上相邻两个同相点的间隔即为周期T。ytoT2、 当当t一定时，波函数为一定时，波函数为t时刻各质元的位移分布情况：时刻各质元的位移分布情况：波形图（照片）波形图（照片）波形图上相邻同相位点的间隔为波长波形图上相邻同相位点的间隔为波长。同一时刻同一时刻t，同一波线上，同一波线上x1、x2两点处振动的相位差：两点处振动的相位差：)xt (2)xt (212 x2xx212 x = x2 - x1 称为称为波程差波程

11、差。yxoux2tx1(3) 当当t、x都变化时，波函数表示波线上所有质元的都变化时，波函数表示波线上所有质元的位移随时间的变化情况。位移随时间的变化情况。（电影）（电影）实线：实线：t 时刻波形。时刻波形。虚线：虚线：时刻波形。时刻波形。4Tt 整个波形随时间向整个波形随时间向 x 正方向运动正方向运动 行波行波yxoutt+T/4例7-2例例6-2：频率频率=12.5kHz的平面余弦纵波沿细长的金属棒传播，的平面余弦纵波沿细长的金属棒传播，棒的杨氏弹性模量为棒的杨氏弹性模量为Y=1.91011N/m2，棒的密度为，棒的密度为=7.6103kg/m3，棒中弹性纵波的传播速度公式为，棒中弹性纵

12、波的传播速度公式为 。已。已知波源的振幅为知波源的振幅为A=0.01m。写出（。写出（1）波源的振动方程，（）波源的振动方程，（2）波动方程，（波动方程，（3）离波源）离波源0.1m处质点的振动方程，（处质点的振动方程，（4）在波）在波源振动源振动0.0021s时的波形。时的波形。 Yc 振动方程：振动方程：波动方程：波动方程：tAtAyo 2coscos )(coscxtAy Yc 6-4 波的能量和强度 波的吸收和散射一一、波的能量、波的能量设一列简谐纵波沿均匀细杆传播，波的表达式：设一列简谐纵波沿均匀细杆传播，波的表达式：)(coscxtAy 细杆上任取体积元细杆上任取体积元V=Sx，其

13、质量为其质量为m=V。动能：动能：势能：势能：)(sin21)(212222cxtAVtymEk )(sin21)(212222cxtAVxymEp 机械能（不守恒）：机械能（不守恒）：)(sin222cxtAVEEEpk 波的能量密度波的能量密度：介质中单位体积的波动能量。：介质中单位体积的波动能量。)(sin222cxtAVEw )mJ(3波的平均能量密度波的平均能量密度：能量密度在一个周期内的平均值。：能量密度在一个周期内的平均值。22T0A21dtwT1w Ek、Ep随时间周期性变化且随时间周期性变化且Ek=Ep。它们同时达到它们同时达到最大值最大值(过平衡位置时过平衡位置时) ；同时

14、为零；同时为零(最大位移时最大位移时)介质内任一体积元的机械能不守恒。介质内任一体积元的机械能不守恒。 E增大时，体积元从一侧吸收能量；增大时，体积元从一侧吸收能量； E减小时，从减小时，从另一侧输出能量，从而实现能量的传递。另一侧输出能量，从而实现能量的传递。二二、波的强度、波的强度Sc能流：能流：单位时间内通过某一面积的波的能量。单位时间内通过某一面积的波的能量。平均能流：平均能流：ScAScwE 2221能流密度（波的强度）：能流密度（波的强度）：通过垂直于波传播方向单位面积的平均能流。通过垂直于波传播方向单位面积的平均能流。cAcwSEI 2221cAcwI2221 单位：单位：)mW

15、(2或：或：三三、波的吸收、波的吸收平面行波在均匀介质中传播时，介质总要吸收波平面行波在均匀介质中传播时，介质总要吸收波的一部分能量，波的强度和振幅都将逐渐减小，的一部分能量，波的强度和振幅都将逐渐减小，所吸收的波动能量将转换成其他形式的能量。所吸收的波动能量将转换成其他形式的能量。平面波通过极薄的一层介质（厚度为平面波通过极薄的一层介质（厚度为dxdx）后，振）后，振幅的衰减（幅的衰减（-dA-dA）既正比于此处的振幅）既正比于此处的振幅A A，也正比，也正比于厚度于厚度dxdx，aAdxdA 经过积分可得经过积分可得：介介质质的的吸吸收收系系数数处处的的振振幅幅，：处处的的振振幅幅，axA

16、xA0:0 平面波强度衰减规律：平面波强度衰减规律：axeAA 0axeII20 处处的的波波的的强强度度：处处的的波波的的强强度度，xIxI0:0 四四、波的散射、波的散射如果介质中存在许多悬浮粒子，当波动传到这些如果介质中存在许多悬浮粒子，当波动传到这些粒子后，这些粒子将成为新的波源向四周发射次粒子后，这些粒子将成为新的波源向四周发射次级波。级波。强度衰减规律：强度衰减规律：振幅衰减规律：振幅衰减规律：axeAA 0axeII20 ：介介质质的的散散射射衰衰减减系系数数a如果粒子线度远小于波长，散射不显著；粒子愈如果粒子线度远小于波长，散射不显著；粒子愈大，散射愈甚，将使沿原来方向进行的波

17、的振幅大，散射愈甚，将使沿原来方向进行的波的振幅和强度有所衰减。和强度有所衰减。6-5 波的叠加原理 波的干涉一一、波的叠加原理、波的叠加原理1、 波动传播的独立性：波动传播的独立性：几个波源发射的波在同一几个波源发射的波在同一介质中传播，在空间某点处相遇时，每个波仍将保介质中传播，在空间某点处相遇时，每个波仍将保持各自原有特性（频率、波长、振幅、振动方向持各自原有特性（频率、波长、振幅、振动方向等），按原来的传播方向继续向前传播。等），按原来的传播方向继续向前传播。2、 波的叠加原理：波的叠加原理：在任一时刻质点振动的位移是在任一时刻质点振动的位移是各列波单独存在时在该点引起振动的分位移的矢

18、量各列波单独存在时在该点引起振动的分位移的矢量和。和。波的叠加原理二二、波的干涉、波的干涉任意两列波在空间的叠加情况是很复杂的，但当两任意两列波在空间的叠加情况是很复杂的，但当两列简谐波满足列简谐波满足相干条件相干条件时，可在波场中得到稳定的时，可在波场中得到稳定的干涉图样干涉图样。相干条件：相干条件：(1) 两列波具有两列波具有相同的频率相同的频率；(2) 两列波具有两列波具有相同的振动方向相同的振动方向；(3) 两列波的两列波的相位相同相位相同或或相位差保持恒定相位差保持恒定。满足相干条件的两列波称为满足相干条件的两列波称为相干波相干波，它们的波源，它们的波源称为称为相干波源相干波源。定量

19、分析：定量分析：设产生简谐波的两波源设产生简谐波的两波源S1、S2的振动方程为：的振动方程为：)tcos(Ay11010 )tcos(Ay22020 两列波在波场中两列波在波场中P点引起的振动为：点引起的振动为：)r2tcos(Ay1111 )r2tcos(Ay2222 这是两个同方向、同频率的简谐振动，相位差为：这是两个同方向、同频率的简谐振动，相位差为：rr2)(1212 波源相位波源相位差差波程差引起波程差引起的相位差的相位差S1S2r1r2P由简谐振动的合成规律：由简谐振动的合成规律：P点的振动仍为简谐振动。点的振动仍为简谐振动。)tcos(Ay 其振幅和初相位为：其振幅和初相位为：c

20、osAA2AAA212221 )r2cos(A)r2cos(A)r2sin(A)r2sin(Atan222111222111 两列相干波在空间叠加时，波场中各质元的振幅两列相干波在空间叠加时，波场中各质元的振幅A保保持不变，有些点处振动始终被加强（持不变，有些点处振动始终被加强（相长干涉相长干涉）、）、有些点处始终被减弱（有些点处始终被减弱（相消干涉相消干涉），得到稳定的），得到稳定的干干涉图样涉图样，称为，称为干涉现象干涉现象。讨论：讨论：(1)即：即： = r2 - r1 = k 时时 相长干涉相长干涉k2rr221 当当时：时：即：即：= r2 -r1 =(2k+1)/2 时时 相消干涉

21、相消干涉当当时：时：)1k2(rr221 不满足相干条件的两列波不能产生干涉现象。不满足相干条件的两列波不能产生干涉现象。cosAA2AAA212221 当当 时时，A=A1+A2 相长干涉相长干涉 k2 当当 时时，A= A1A2 相消干涉相消干涉 12 k(2) 时：时：12 波 的 干 涉6-6 波的反射 驻 波0t 8Tt yxxxxxx4Tt 8T3t 2Tt 一一、驻波、驻波/2/2两列反向传播的相干两列反向传播的相干波形成波形成驻波驻波。(1) 波节波节振幅为零；振幅为零；(2) 波腹波腹振幅最大；振幅最大；(3) 波节、波腹位置波节、波腹位置(5) 相邻波节间相邻波节间(6)

22、同一波节两侧同一波节两侧不变；不变；同相位；同相位；反相位；反相位；(4) 相邻波节（波腹）相邻波节（波腹）相距相距/2；驻波方程：驻波方程：,)xt (2cosAy1 )xt (2cosAy2 驻波方程：驻波方程：tcosx2cosA2t2cosx2cosA2yyy21 x2cosA2(1) 驻波的振幅：驻波的振幅：波节处：波节处：2)1k2(x2 4)1k2(x 波腹处：波腹处：kx2 2kx 测得波节、波腹位置可求出波长。测得波节、波腹位置可求出波长。两行波方程：两行波方程：(2) 驻波的相位：驻波的相位：tcosx2cosA2y 同一时刻同一时刻 t ，相邻相邻波节间波节间x2cos符

23、号符号相同相同，所以：所以：相邻波节间所有质元相位相同相邻波节间所有质元相位相同； 同一时刻同一时刻 t ，同一同一波节两侧波节两侧x2cos符号符号相反相反，所以：所以：同一波节两侧的质元相位相反同一波节两侧的质元相位相反。 形成驻波的两列行波能流密度等值、反向，所以：形成驻波的两列行波能流密度等值、反向，所以：驻波不传播能量驻波不传播能量，只是介质的一种特殊振动形式。，只是介质的一种特殊振动形式。二二、半波损失、半波损失一列行波遇到两种介质的分界面时，会发生反射。一列行波遇到两种介质的分界面时，会发生反射。入射波与反射波叠加可形成驻波。入射波与反射波叠加可形成驻波。定义：介质密度与波速的乘

24、积定义：介质密度与波速的乘积 c 称为称为波阻波阻。 c大称为大称为波密介质波密介质； c小称为小称为波疏介质波疏介质。 波从波从波密波密介质射到介质射到波疏波疏介质表面时，入射波与反射波介质表面时，入射波与反射波在反射点处在反射点处相位相同相位相同，形成，形成波腹波腹。称为。称为全波反射全波反射。 波从波从波疏波疏介质射到介质射到波密波密介质表面时，入射波与反射波介质表面时，入射波与反射波在反射点处在反射点处相位相反相位相反，形成，形成波节波节。称为。称为半波反射。半波反射。在在反射点处反射波相位突变反射点处反射波相位突变 的现象称为的现象称为半波损失。半波损失。6-7 声一一、声波、次声波

25、和超声波、声波、次声波和超声波1、 声波：声波：频率范围在频率范围在20Hz20000Hz之间的振动叫之间的振动叫声振动，由声振动所激起的波叫声波。声振动，由声振动所激起的波叫声波。2、 次声波：次声波：频率低于频率低于20Hz的机械波。的机械波。3、 超声波：超声波：频率高于频率高于20000Hz的机械波。的机械波。二二、声压、声强和声强级：、声压、声强和声强级：介质中有声波传播时的压强与无声波传播时的静压介质中有声波传播时的压强与无声波传播时的静压强之间的差额称为强之间的差额称为声强。声强。正常听觉反应的声强范围正常听觉反应的声强范围（ = 10000 Hz ）：最低（最低（闻域闻域）：）

26、：)m/W(10212 最高（最高（痛感域痛感域）：）：)m/W(12声波的能流密度称为声波的能流密度称为声强。声强。声压振幅：声压振幅：声强：声强：cAPm 2221 cAI 声强级：声强级：按对数标度的声强。按对数标度的声强。0IIlgL （单位：贝尔）（单位：贝尔）0IIlg10L （单位：（单位：分贝分贝 dB）式中式中I0为闻域的声强为闻域的声强（ I0 = 10-12 W/m2） 。 声强增大声强增大 10 倍，声强级增加倍，声强级增加 10 dB 。 声强增大声强增大 1 倍，声强级增加倍，声强级增加 3 dB 。6-8 多 普 勒 效 应波源与观察者相对静止时，观察者测得的频率与波波源与观察者相对静止时，观察者测得的频率与波源相同；但当波源和观察者相对介质运动时，观察源相