刚体平面运动20121122

1、*20-1 20-1 平面运动的基本概念平面运动的基本概念平面运动平面运动结论：结论： 刚体的平面运动可以简化为平面图形在其自刚体的平面运动可以简化为平面图形在其自身平面内的运动来研究。身平面内的运动来研究。 刚体运动时，刚体运动时，其上各点到其上各点到某固定面的距离保持不变。某固定面的距离保持不变。N0NR1AA2AS特点：特点：1,2直线作平动直线作平动点代表点代表1 ,2直线任一点的运动直线任一点的运动平面图形代表整个刚体的运动平面图形代表整个刚体的运动20-2 20-2 平面运动分解为平动和转动平面运动分解为平动和转动平面图形上任意一点平面图形上任意一点, ,O O基点基点III 平面

2、运动可以分解为随着基点的平面运动可以分解为随着基点的平动平动和绕基和绕基点的点的转动转动，即可视为平动和转动的合成运动。，即可视为平动和转动的合成运动。oMoMM 与点的合成运动是否相同？牵连运动牵连运动随同以基点为原点的动坐标系的平动随同以基点为原点的动坐标系的平动)(1tfxoooMMM IIIxyoxyoMoxoy相对运动相对运动绕基点的转动绕基点的转动运动方程运动方程)(2tfyo)(3tfA1AB1B1BIII1A)(1tfxo运动方程运动方程)(2tfyo)(3tf因为因为所以所以结论结论 在任意瞬时，平面图形绕任何基点的转动角在任意瞬时，平面图形绕任何基点的转动角速度（或角加速度

3、）都相同。或者说，平面图形速度（或角加速度）都相同。或者说，平面图形的角速度（或角加速度）与基点的选择无关。的角速度（或角加速度）与基点的选择无关。 20-3 20-3 平面图形内各点的速度平面图形内各点的速度结论结论BAABvvv随基点平动随基点平动AvABAvAvABABBAvAB绕基点转动绕基点转动其中其中 ABvBA基点法基点法AvBAvBv090coscoscosBAABvvvAvBAvAvBv投影法投影法因为因为coscosABvv所以所以BAABvvv解解s/mm64.34300ctgvvAB030A基点基点A根据矢量关系根据矢量关系AvBBvAvBAvs./mm20,mm200

4、AvAB例例 图示图示AB杆，已知杆，已知 求求 图示瞬时杆的角速度和图示瞬时杆的角速度和B B点速度。点速度。由由s /mm4030sin/0ABAvvs /rad2 . 0/ABvBBAABvvvs /mm64.3460cos30cos00ABvv由投影定理由投影定理0030cos60cosABvv所以所以求解步骤：求解步骤：根据题意，分析各刚体的运动，哪些刚体作平动、转动或平面运动；根据题意，分析各刚体的运动，哪些刚体作平动、转动或平面运动；分析作平面运动的刚体上哪一点的速度的大小和方向为已知、未知，是分析作平面运动的刚体上哪一点的速度的大小和方向为已知、未知，是否可解；否可解；应用基点

5、法作速度图，并检查是否符合各速度矢量间的正确的合成关系；应用基点法作速度图，并检查是否符合各速度矢量间的正确的合成关系；利用矢量关系，求解未知量。利用矢量关系，求解未知量。BAABvvv030AAvBBvAvBAv20-4 20-4 平面图形的瞬时速度中心平面图形的瞬时速度中心AvAP 速度瞬时中心速度瞬时中心APAAvP位置位置 平面图形上瞬时速平面图形上瞬时速度等于零的点。度等于零的点。0APvvAP因为因为所以所以PAvAvAvAvAAAvPAvAAvPPAvCvPAvAP 且且AAvAPvPCvCC结论：平面图形上任一点的速度等于该点随图形绕结论：平面图形上任一点的速度等于该点随图形绕

6、 瞬时速度中心转动速度。瞬时速度中心转动速度。注：注：速度瞬心的位置时唯一的；速度瞬心的位置时唯一的；n速度瞬心处在平面图形之内或其伸部分；速度瞬心处在平面图形之内或其伸部分；n速度瞬心的位置一般是随时间而改变的。速度瞬心的位置一般是随时间而改变的。确定速度瞬心的几种典型情况：确定速度瞬心的几种典型情况：已知两点已知两点速度方向速度方向纯滚动纯滚动AAvBvBAAvBBvAAvBBvAAvBBvPAPB两 点 速 度两 点 速 度方 向 平 行方 向 平 行且 垂 直 两且 垂 直 两点连线点连线两 点 速 度两 点 速 度方 向 平 行方 向 平 行且 不 垂 直且 不 垂 直两点连线两点连

7、线PPrv042R301)(vrrRrRv1r0v例例 图示纯滚动火车轮，已知图示纯滚动火车轮，已知 求求 1 1、2 2、3 3、4 4各点的速度。各点的速度。3v1v2v4vP解解瞬心瞬心 P03)(vrrRrRv022222vrrRrRv24vv .,0vrR.,0lABrOA例例 图示曲柄滑块机构，已知图示曲柄滑块机构，已知 求求 图示位置连杆角速度和滑块速度。图示位置连杆角速度和滑块速度。解解 由正弦定理由正弦定理 )90sin()90sin()sin(00BAABvvvAv0OAAvBAvBv090090BAvBvAv基基点点法法 B)90sin()90sin()sin(00BAA

8、Bvvv0OA090090AvBAvBvBAvBvAvAv因此因此 00cos)sin()90sin()sin(rvvAB000cossin)90sin()90sin(rvvABA0coscoslrlvBAAB0APBPBPrvBAB0900OA090090APAP0rvABABv瞬心法瞬心法 BAvPBA)90sin(AB)90sin(AP)sin(BP00因为因为coscoscoscosABAPlcos)sin(APBP所以所以 0cos)sin(rvB0coscoslrAB20-5 20-5 平面图形内各点的加速度平面图形内各点的加速度基点基点 AnBABAABaaaa 由牵连运动为平动

9、由牵连运动为平动时的加速度合成定理时的加速度合成定理reaaaaAaAaBaABBAanBAa故加速度为故加速度为AovoaoDCB.,ooav例例 图示半径为图示半径为r r的轮子作纯滚动，已知的轮子作纯滚动，已知 求求 轮缘上轮缘上A A、B B、C C、D D各点加速度。各点加速度。解解 rvo速度分析速度分析rao又因又因tvrtodd1dd由于纯滚动，速度瞬心为点由于纯滚动，速度瞬心为点A A故角速度为故角速度为 所以所以AovoaoDCBnAoaAoaAaoaBoanBoaBaoaCoanCoaCaoaDoanDoaDaoarvo加速度分析加速度分析 rao其中其中ioniooia

10、aaa取基点取基点 O，则，则 i取取A A、B B、C C、D Drvraonio22oioaraAoanAoaAaoaBoanBoaBaoaCoanCoaCaoaDoanDoaDaoa所以所以 rvaaonAoA2rvraonio22oioara22222oooBonBoBarvaaaa222222OoConCoCarvaaa22222oooDonDoDarvaaaa 求求 图示瞬时图示瞬时BCBC杆和杆和CDCD杆的角加速度。杆的角加速度。解解 因为因为 BP=CP=BC=BP=CP=BC=b速度分析速度分析 BCBvPB瞬心瞬心 P P0AB例例 图示四连杆机构，图示四连杆机构，AB=

11、BC=CD=AB=BC=CD=b，AD=2AD=2b，在图示，在图示 位置位置ABAB杆的瞬时角速度杆的瞬时角速度 ，瞬时角加速度，瞬时角加速度 。0AB0600060ACDBPBvCvBCBCCvCP所以所以00BPbbvBBCBCBvPB0600060ACDBPBvCvBCBCCvCB因为因为 BP=CP=BC=BP=CP=BC=b0CPbvBCC00CDbbvCCDCD加速度分析加速度分析 0ABa因为因为BnBaa CBnCBBCaaaa所以所以取基点取基点 B B 分析点分析点 C CCCnCaaa又杆又杆DCDC作定轴转动，故有作定轴转动，故有CBnCBBnaaa所以所以CCnaa

12、0600060ACDBCD0600060ACDBCDCDCDCba CDCBnCBBnaaa因为因为CCnaaCanCBaBnaCBa202BCbaBCnCBBCBCCBba BC202CDbaCDCnCna2020ABbaBnC030030030030yx建立建立x、y 坐标坐标0600060ACDBCDCanCBaBnaCBaCnaCDCbaCBnCBBnaaaCCnaa20banCBBCCBba20baCn20baBnC03003003003000030cos60cos60cosCBnCBBnCnaaaa加速度在加速度在x 方向投影，方向投影，得得00030cos60cos60cosBn

13、nCBCnCBaaaa2032bBCCBBCa2032yx0600060ACDBCDCanCBaBnaCBaCnaCDCbaCBnCBBnaaaCCnaa20banCBBCCBba20baCn20baBnC030030030030nCBBnCnCaaaa00060cos60cos30cos加速度在加速度在y 方向投影，方向投影，得得00030cos60cos60cosCnnCBBnCaaaa2034bCDCCDa203420-6 20-6 刚体绕平行轴转动的合成刚体绕平行轴转动的合成运动方程运动方程rea角速度角速度reaer1oz2ozare2o2o1oxxAyyeerA合成转动时的转轴位置

14、合成转动时的转轴位置ReCrCeCCoCovvv211ore2oCCevCrv1ore2oCCrvCev由于由于erCoCo21所以所以rrr321,例例 图示行星轮，已知左右轮半径为图示行星轮，已知左右轮半径为R，中间轮半径，中间轮半径 为为r。r1r301o3o2or2AB解解 求求 右轮的相对角速度与绝对角速度及图示位置右轮的相对角速度与绝对角速度及图示位置A A、B B两点的速度。两点的速度。设各轮相对角速度为设各轮相对角速度为131RrrRrr有轮系传动比，可得有轮系传动比，可得rr31即即rea11r1r301o3o2or2AB由平行轴转动合成定理由平行轴转动合成定理得得rr31r

15、ea33rr3010所以所以r30010r0)(RrvvBA结论：右轮平动结论：右轮平动故故A A、B B两点速度为两点速度为0AB1o3oBvAv3ov例例 图示轮纯滚动，半径为图示轮纯滚动，半径为R，轮心速度、加速度分，轮心速度、加速度分 别为别为v0、a0。0v0a解解速度分析速度分析瞬心：瞬心：P P2sin2APRRv0 求求 导杆速度、加速度与角导杆速度、加速度与角 的关系。的关系。2sin20vAPvAAvAevv avrv22900220v0a三种速度三种速度2sin20vvAAv动点动点杆上点杆上点A动系动系轮上转动动系轮上转动动系由由2coscoseavv2coscoseavv 在在OAB方向投影方向投影reavvv2cos2sin2cos0vcossin0vtan0vRv0ev2sin20vvAavrv22900220v0aev由由2cos290cos0ravv2cos2sinarvv 在在AP方向投影方向投影reavvv2tanavtan0vvaRv0所以所以2cos2sinravv2tantan0vaara0v0a由由krAOnAOoa