2014级线代课件：陈建利向量组及其线性组合

1、3.2 向量组及其线性组合向量组及其线性组合 一、一、n 维向量维向量二、向量组与矩阵二、向量组与矩阵三、向量组的线性组合三、向量组的线性组合四、等价向量组四、等价向量组线性方程组线性方程组 .,22112222212111212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxamnmnmmnnnn), 2 , 1(),(21njaaaTmjjjj 设设,),(21Tmbbbb bxxxnn 2211 线性方程组的向量表示线性方程组的向量表示一、一、n 维向量维向量1. 定义定义3.1 n 个有次序的数个有次序的数 a1,a2, ,an 所组成的数组所组成的数组称为称为 n 维向量维向量 , 第

2、第 i 个数称为第个数称为第 i 个分量个分量.分量全为实数的向量称为分量全为实数的向量称为实向量实向量,分量为复数的向量称为复向量分量为复数的向量称为复向量. .2. n 维向量的表示方法维向量的表示方法n 维向量写成一维向量写成一列列, 称为称为列向量列向量. naaa21 通常用通常用 , , , 或或 a a,b b,c c, 等表示等表示.n 维向量写成一维向量写成一行行, 称为称为行向量行向量. ),(21naaa T 通常用通常用 T, T, T, 或或 a aT,b bT,c cT, 等表示等表示.列向量可通过转置变为行向量列向量可通过转置变为行向量.列向量可写为列向量可写为:

3、.),(21Tnaaa 元素全为零的元素全为零的向量向量称为称为零零向量向量. . 记作记作)0 , 0 , 0(0 .)0 , 0 , 0(0T 或或 说明说明1. 行向量和列向行向量和列向量总被看作是量总被看作是两个不同的向量两个不同的向量.当没有明确说明是行向量还是列向量时当没有明确说明是行向量还是列向量时, 所指向所指向量都当作量都当作列向量列向量.2. 行、列向量都按照行、列向量都按照矩阵的运算法则矩阵的运算法则进行运算；进行运算；向量向量加加与数乘与数乘运算运算统称为统称为向量向量的的线性运算线性运算. .TnTnbbbaaa.),(,),( 32121 设设)., 2 , 1(

4、,nibaii 则则1. 若干个同维数的若干个同维数的列列 向量组成的集合叫做向量组成的集合叫做列列 向量组向量组二、向量组与矩阵二、向量组与矩阵(行行)(行行) 2. 一个一个m n矩阵矩阵A=(aij)的每一列都可看成一个的每一列都可看成一个m维列向维列向量量, ),( 21mA 记记向量组向量组 1, 2, , m 称为矩阵称为矩阵A的列向量组的列向量组. 3.一个一个m n矩阵矩阵A=(aij)的每一行都可看成一个的每一行都可看成一个n维行向量维行向量, , 21 TmTTA 记记向量组向量组 称为矩阵称为矩阵A的行向量组的行向量组TmTT ,21 矩阵的列向量组和行向量组都是只含有有

5、限个矩阵的列向量组和行向量组都是只含有有限个向量的向量组；向量的向量组； 反之反之, 一个含有限多个向量的向一个含有限多个向量的向量组总可以构成矩阵量组总可以构成矩阵.如如: 由由n个个m维列向量可以构成一个维列向量可以构成一个m n矩阵矩阵.由由m个个n维行向量也可以构成一个维行向量也可以构成一个m n矩阵矩阵. 4. 线性方程组线性方程组 A m n x =0 的全体解的全体解, 当当R(A) n 时时是一个含无限多个是一个含无限多个n维列向量的向量组维列向量的向量组 本章我们先讨论只含有有限个向量的向量组的本章我们先讨论只含有有限个向量的向量组的有关知识有关知识, 然后再把讨论的结果推广

6、到含无限多个然后再把讨论的结果推广到含无限多个向量的向量组向量的向量组三、向量组的线性组合与线性表示三、向量组的线性组合与线性表示, , , , , , ,: 2121mmkkkA组实数组实数一一对于任何对于任何给定向量组给定向量组 1. 定义定义3.2 向量向量mmkkk 2211 线性组合线性组合, ,21的一个的一个称为向量组称为向量组m . , , , 21合系数合系数称为这个线性组合的组称为这个线性组合的组mkkk , , , ,: 21bAm和向量和向量给定向量组给定向量组 mmb 2211使使若存在一组数若存在一组数,21m 则称则称向量向量 b 能由向量组能由向量组 A 线性表

7、示线性表示例如例如: ,210 131, 321 : 21 bA和向量和向量给定向量组给定向量组 ,21 b: :则有则有., :21线性表示线性表示可以向由量组可以向由量组向量向量即即 b2. 定理定理3.5 向量向量 b 能由向量组能由向量组 1, 2, , m 线性线性表示的充分必要条件是表示的充分必要条件是 矩阵矩阵 A=( 1, 2, , m ) 的的秩等于矩阵秩等于矩阵 B=( 1, 2, , m,b ) 的秩的秩. ), ( , ), ( 2121bBA : :如上例若记如上例若记, 2),()( bARAR: :则有则有例例1 1 ,1301, 0411,3121, 2211

8、321 b 设设 ? , :321线线性性表表示示能能否否由由向向量量组组向向量量 问问 b 若能若能, 求出表示式求出表示式.解解 ) , ( 321 A记记 1032341201211111),( bAB 0000000012102301 r, 2),()( bARAR.,:321线性表示线性表示可以向由量组可以向由量组向量向量即即 b由上可求得方程组由上可求得方程组Ax=b的通解的通解:).(, 12, 23321Rccxcxcx ).( ,)12()23(321Rccccb : :表示式为表示式为四、等价向量组四、等价向量组1. 定义定义3.3 设有两个向量组设有两个向量组 ,:,:2

9、121smBA 及及若向量组若向量组B中的每个向量都能由向量组中的每个向量都能由向量组A线性表示线性表示,就称向就称向向量组向量组 B 能由向量组能由向量组 A 线性表示线性表示.若向量组若向量组A与向量组与向量组B能相互线性表示能相互线性表示, 则称则称向量向量组组 A 与与B 等价等价.,:,: 2121smBA 及及 设有两个向量组设有两个向量组向量组向量组 B 能由向量组能由向量组 A 线性表示线性表示,2211mmjjjjkkk 即有即有, ),(21mA 记矩阵记矩阵, ),(21sB ,)(212222111211 msmmsssmijkkkkkkkkkkK,AKB 则有则有矩阵

10、矩阵K 称为这一线性表示的系数矩阵称为这一线性表示的系数矩阵.若有矩阵若有矩阵C = AB,则则: 1)矩阵矩阵 C 的的列列向量组能由矩阵向量组能由矩阵A的的列列向量组向量组线性表示线性表示, 且矩阵且矩阵B 称为这一线性表示的系数矩阵称为这一线性表示的系数矩阵. 2) 矩阵矩阵 C 的的行行向量组能由矩阵向量组能由矩阵B的的行行向量组向量组线性表示线性表示, 且矩阵且矩阵A 称为这一线性表示的系数矩阵称为这一线性表示的系数矩阵.2. 若矩阵若矩阵A与与B 行等价行等价, 则则 A与与B的行向量组等价的行向量组等价.若矩阵若矩阵 A与与B 列等价列等价, 则则 A与与B的列向量组等价的列向量

11、组等价.3. 几个结论几个结论定理定理3.6 向量组向量组B: 1, 2, , s 能由向量组能由向量组A: 1, 2, , m 线性表示的充要条件是线性表示的充要条件是 矩阵矩阵 A=( 1, 2, , m ) 的秩等于矩阵的秩等于矩阵 (A, B)=( 1, 2, , m, 1, 2, , s) 的秩的秩,即即 R(A)=R(A,B).推论推论 向量组向量组A: 1, 2, , m 与与向量组向量组B: 1, 2, , s 等价的充要条件是等价的充要条件是 R(A)=R(B)=R(A,B), 其中其中A和和B 是是向量组向量组A和和B 所构成的矩阵所构成的矩阵. 定理定理3.7 向量组向量组B: 1, 2, , s 能由向量组能由向量组A: 1, 2, , m 线性表示线性表示, 则则 R( 1, 2, , s) R( 1, 2, , m ).例例2 2 ,1223, 1001,4112, 1111 2121 设设证明向量组证明向量组 1, 2 与与向量组向量组 1, 2 等价等价. 证明证明 记记 A=(