二次函数图像对称变换前后系数的关系(专题)(20210204113950)

1、二次函数图像对称变换前后系数的关系课时学习目标：1 .能熟练根据二次函数的解析式的系数确定抛物线的开口方向，顶点坐标，和对称轴、 最值和增减性区域。2 .会根据二次函数的解析式画出函数的图像，并能从图像上描述出函数的一些性质。3 .能说出抛物线y=ax2+bx+c,关于x轴、y轴对称变换后的解析式、关于坐标原点对称 变换前后的解析式系数变化规律，能根据系数变化规律，熟练写出函数图像对称变换后解析式。学习重点：利用函数的图像，观察认识函数的性质，结合解析式，认识 a、b、c、b24ac的取值, 对图像特征的影响。学习难点：利用图像认识总结函数性质变化规律。一、复习预备1 .抛物线y =2x+4)

2、25的顶点坐标是,对称轴是,在 侧，即x 时，y随着x的增大而增大； 在 侧，即x 时，y随着x的增大而减小；当 x=时，函数 y 最 值是。2 .抛物线y=x2 -2x-3的顶点坐标是,对称轴是,在 侧，即x 时，y随着x的增大而增大； 在 侧，即x 时,y随着x的增大而减小；当 x=时，函数 y最 值是 o3.已知函数y= x 2 -2x -3 ,(1)把它写成y =a(x+m)2+k的形式；并说明它是由怎样的抛物线经过怎样平移得到 的？(2)写出函数图象的对称轴、顶点坐标、开口方向、最值；(3)求出图象与坐标轴的交点坐标；(4)画出函数图象的草图；(5)设图像交x轴于A、B两点，交y轴于

3、P点，求 APB的面积；(6)根据图象草图，说出x取哪些值时， y=0;y<0;y>0.4.二次函数 y=ax2+bx+c(a w0)的图象如图2所示，贝U: a_0; b_0;c 0 b2 -4ac_0。例3:已知二次函数的图像如图一3所示，下列结论：(1)a+b+c <0, (2)a-b+c >0, abc >0, b=2a其中正确的结论的个数是()A.1个，B.2个，C.3个，D.4个.图一2、归纳二次函数 y=ax2+bx+c(a w0)的图像与系数a、b、c、b2_4ac的关系系数的符号图像特征a的符号决定 开口方向a>0.抛物线开口向a<0

4、抛物线开口向a、b的符号决 定对称轴方位ab>0,同号抛物线对称轴在y轴的侧ab=0, b=0抛物线对称轴在ab<0,亓 p抛物线对称轴在y轴的侧c的符号决定y 轴交点方位c>0.抛物线与y轴交于C=0抛物线与y轴交于c<0抛物线与y轴交于b2 -4ac的符号决定与x轴 交点个数2,一b -4ac>0.抛物线与x轴后个交点b2 -4ac =0抛物线与x轴后个交点一 2一一b -4ac <0抛物线与x轴后个交点三、二次函数图像对称变换前后系数的关系探究例1.某抛物线和函数y= -x 2 +2x -3的图象关于y轴成轴对称，请你求出该抛物线的 关系式。例2.某抛

5、物线和函数y= -x 2 +2x -3 关系式。的图象关于x轴成轴对称，请你求出该抛物线的例3.某抛物线和函数 关系式。y= -x 2 +2x -3的图象关于原点成中心对称，请你求出该抛物线的例4.某抛物线和函数 的关系式。y= -x 2 +2x -3的图象关于顶点坐标成轴对称，请你求出该抛物线例5.某抛物线和函数y= -x 2 +2x -3的图象关于点(3,2)成中心对称，请你求出该抛物线的关系式函数y= ax2+bx+c的图象对称变换后，解析式系数变化规律:变换形式图像关系系数关系原因关于轴x轴对称变换1/a系数a互为相反数开口方向相反b系数b互为相反数b一泊值小艾，a、b同变rc系数c互

6、为相反数两交点大于x轴对称的点关于轴y轴对称变换P卜匕a系数a /、父开口方向相同b系数b互为相反数b一3变号，a /、变b变c系数c /、父两交点重合关于原定中心对称变换W/a系数a互为相反数开口方向相反b系数b /、父b一"2a变号，a变号b /、变c系数c互为相反数两交点大于x轴对称的点四、达标检测1 .二次函数y= ax2 +bx+c(a w0)的图象如图所示，则点A(a,b)在()A.第一象限B. 第二象限 C.第三象限D. 第四象限2 .二次函数y= ax2 +bx+c(a w0)的图象如图所示，则下列条件不正确的是()A.a<0,b>0,c<0 B.b

7、2-4ac<0C.a+b+c<0D.a-b+c>0(1)(2)3 .二次函数y= 6x2 +7x -3的图象关于x轴对称的图象解析式为 , 关于y轴对称的图象解析式为，关于坐标原点对称的解析式二次函数图象变换规律-、二次函数图象的平移变换(1)具体步骤：先利用配方法把二次函数化成y=a(x h)2+k的形式，确定其顶点(h,k),然后做 出二次函数y= ax2的图像，将抛物线y= ax2平移，使其顶点平移到(h,k).具体平移方 法如图所示：殴Q),下不移|比|个单僖向上(t>0>.下(h。)平移J k 个单位(2)平移规律：在原有函数的基础上 左加右减，上加下减

8、” .二、二次函数图象的对称变换二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达1 .关于x轴对称y = aX十b叶充F x轴对称后，得到的解析式是 y = ax2bx c；22y =a(x -h ) +k关于x轴对称后，得到的解析式是y =a(x h ) k ；2 .关于y轴对称y = ax + b叶充f y轴对称后，得到的解析式是y=ax2bx+c；2y =a(x -h ) +k关于y轴对称后，得到的解析式是2y =a(x +h ) +k ；3 .关于原点对称y = ax+b叶充F原点对称后，得到的解析式是y=-ax2+bxc；2y = a( x- h+关于原点对称后，得到的解析

9、式是2y =-a(x +h ) -k ；4 .关于顶点对称(即：抛物线绕顶点旋转180 )y = a x + b叶关计顶点对称后，得到的解析式是y 二-ax2-bx cE;2a22y =a(xh )+k关于顶点对称后，得到的解析式是y = a(xh)+k.5 .关于点(m, n网称2一 2 一y =a(x h ) +k关于点(m , n网称后，得至解析式是 y=-a(x + h-2m) +2n-k无论抛物线作何种对称变换，形状不变，|a不变.求抛物线的对称抛物线的表达式时，先确定已知抛物线的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，再写出其对称抛物线的表达式.【习题分类】 一

10、、二次函数图象的平移变换1、函数y=3(x+2)21的图象可由函数y=3x2的图象平移得到，那么平移的步骤是：()A.右移两个单位，下移一个单位B.右移两个单位，上移一个单位C.左移两个单位，下移一个单位D.左移两个单位，上移一个单位2、函数y=/(x1)2 1的图象可由函数y = 2(x+2)2+3的图象平移得到，那么平移的步骤是()A.右移三个单位，下移四个单位B,右移三个单位，上移四个单位C,左移三个单位，下移四个单位D.左移四个单位，上移四个单位223、二次函数v=22 +4x+1的图象如何移动就得到y=-2x的图象()A.向左移动1个单位，向上移动3个单位.B.向右移动1个单位，向上

11、移动3个单位.C.向左移动1个单位，向下移动3个单位.D.向右移动1个单位，向下移动3个单位.4、将函数y =x2+x的图象向右平移a(a>0介单位，彳#到函数y =x2 3x+2的图象，则a的值 为()A. 1 B. 2 C. 3 D. 45、把抛物线y =ax2+bx+c的图象先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得的图象的解析式是 y =x2 -3x +5 ,贝U a +b +c =6、对于每个非零自然数n,抛物线y=x2 2n+1x十一1一与x轴交于A、Bn两点，以Ae表n n -1n n 1示这两点间的距离，则AB1 +A2B2 + +A2009B2009的值是()A200

12、9b 2008 c 2010 d 2009'2008' 2009' 2009' 20107、把抛物线y=x2向左平移1个单位，向上平移3个单位,则平移后抛物线的解析式为() 2222y=x-1|»3 y = x1-3A. y=-(x-1)-3B. y=-(x+1j-3 C. y ， D. y ')8、将抛物线y=2x2向下平移1个单位，得到的抛物线是()2222 一A. y=2(x+1j B. y=2(x1) C. y =2x +1D, y=2x -19、将抛物线y=3x2向上平移2个单位，得到抛物线的解析式是()一 2_一 2_2_2_A.

13、y =3x -2 B. y =3xC. y =3(x 2) D. y =3x 210、一抛物线向右平移3个单位，再向下平移2个单位后得抛物线y = -2x2+4x,则平移前抛 物线的解析式为:11、如图，aBCD中，AB=4 ,点D的坐标是(0 , 8),以点C为顶点的抛物线y = ax2+bx + c经过x轴上的点A, B .求点A, B , C的坐标.若抛物线向上平移后恰好经过点 D,求平移后抛物线的解析式.12、抛物线y=ax2-5x+4a与x轴相交于点A、B,且过点C(5,4). 求a的值和该抛物线顶点P的坐标.请你设计一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落要第二象限，并写出平移后抛物

14、 线的解析式.二、二次函数图象的对称变换1、函数y=x2与y =X2的图象关于对称，也可以认为y = x2是函数y = X2的图象绕旋转得到.2、已知二次函数y=x22x1,求：关于x轴对称的二次函数解析式；关于y轴对称的二次函数解析式；关于原点对称的二次函数解析式.3、在平面直角坐标系中，先将抛物线y=x2+x2关于x轴作轴对称变换，再将所得的抛物线 关于y轴作轴对称变换，那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为()A. y=-x2-x+2B. y=-x2+x-222C. y = x +x+2D. y=x +x+24、已知二次函数y =ax2 +4ax +4a -1的图象是g . 求ci关于

15、R(1,0域中心对称的图象c2的函数解析式； 设曲线g、C2与y轴的交点分别为A, B ,当AB=18时，求a的值.5、已知抛物线y=x2-6x+5,求 关于y轴对称的抛物线的表达式; 关于x轴对称的抛物线的表达式;关于原点对称的抛物线的表达式.6、设曲线C为函数y =ax2+bx+c(a#0 )的图象，C关于y轴对称的曲线为& , G 关于x轴对称的曲线为C2 ,则曲线C2的函数解析式为 A(-1, 0'B(1, 0),记过三点的二我们称这两个二次函数的图象为全等抛物线，现有 MBM 次函数抛物线为7、对于任意两个二次函数：y =ax2+bj+q,y2=%x2+b2x + C

16、2(aa20。)，当a1二a2时,若已知M (0, 1 在图2中，以A B、M三点为顶点，画出平行四边形.若已知M(0, n%求抛物线Cabm的解析式，并直接写出所有过平行四边形中三个顶点且能与Cabm全等的抛物线解析式. 若已知M(m, n%当n n满足什么条件时,存在抛物线 Cabm ?根据以上的探究结果，判 断是否存在过平行四边形中三个顶点且能与 Cabm全等的抛物线.若存在，请写出所有满足条 件的抛物线 C ”；若不存在，请说明理由.8、已知：抛物线f:y=Tx-2)2+5.试写出把抛物线f向左平行移动2个单位后，所得的新抛物线fi的解析式；以及f关于x轴对称的曲线f2的解析式.画出f

17、i和f2的略图， 并求：X的值什么范围，抛物线fi和f2都是下降的；X的值在什么范围，曲线fi和f2围成一个封闭图形； 求在fi和f2围成封闭图形上，平行于y轴的线段的长度的最大值.二次函数图形变换综合压轴题1、在平面直角坐标系xoy中，抛物线y=mx22mx3 (mw0)与x轴交于A (3,0) , B两百 八、.(1)求抛物线的表达式及点B的坐标.(2)当-2<x<3时的函数图像记为G,求此时函数y的取值范围.(3)在(2)的条件下，将图像G在x轴上方的部分沿x轴翻折，图像G的其余部分保 持不变，得到一个新图像 M.若经点C(4,2)的直线y=kx+b (k*0)与图像M在第三

18、象限 内有两个公共过点，结合图像求 b的取值范围.22、已知关于x的一元二次方程x -3x + k-1=0有实数根，k为正整数.(1)求卜的值；2(2)当此方程有两个不为0的整数根时，将关于x的二次函数y=x -3x + k 1的图象向下 平移2个单位，求平移后的函数图象的解析式；(3)在(2)的条件下，将平移后的二次函数图象位于 y轴左侧的部分沿x轴翻折，图象的 其余部分保持不变，得到一个新的图象 G.当直线y =5x+b与图象G有3个公共点时, 请你直接写出b的取值范围.n4 3 .2 .1 -L111+ j1111-T7 -3, 12 3 4-2 -1I-3 ,3、已知：抛物线C1: y = ax2+4ax+4a 5的顶点为P,与x轴相交于A,B两点(点A在点B的左边)，点B的横坐标是1(1)求抛物线的解析式和顶点坐标；(2)将抛物线沿x轴翻折，再向右平移，平移后的抛物线 C2的顶点为M,当点P,