高等工程数学课件(研究生)

1、科学计算与数学建模中南大学数学科学与计算技术学院中南大学数学科学与计算技术学院高等工程数学高等工程数学数学建模及其重要意义数学建模及其重要意义2数值方法与误差分析数值方法与误差分析3误差的种类及其来源误差的种类及其来源4算法的相对稳定性算法的相对稳定性* 85绝对误差和相对误差绝对误差和相对误差6有效数字及其误差的关系有效数字及其误差的关系*7误差的传播与估计误差的传播与估计 1数学与科学计算数学与科学计算第一章数学建模与误差分析第一章数学建模与误差分析1 数学与科学计算数学与科学计算 数学是科学之母，科学技术离不开数学，它通过建立数学模型与数学数学是科学之母，科学技术离不开数学，它通过建立数

2、学模型与数学产生紧密联系。数学又以各种形式应用于科学技术各领域。数学擅长于处产生紧密联系。数学又以各种形式应用于科学技术各领域。数学擅长于处理各种复杂的依赖关系，精细刻画量的变化以及可能性的评估。它可以帮理各种复杂的依赖关系，精细刻画量的变化以及可能性的评估。它可以帮助人们探讨原因、量化过程、控制风险、优化管理、合理预测助人们探讨原因、量化过程、控制风险、优化管理、合理预测 。 随着计算机技术的飞速发展，科学计算在工程技术中发挥着愈来愈大随着计算机技术的飞速发展，科学计算在工程技术中发挥着愈来愈大的作用的作用, ,已成为继科学实验和理论研究之后已成为继科学实验和理论研究之后科学研究的第三种方法

3、科学研究的第三种方法。了解或了解或掌握科学计算的基本方法、数学建模的过程和基本方法已成为科技人才必掌握科学计算的基本方法、数学建模的过程和基本方法已成为科技人才必需的技能。因此，科学计算与数学建模的基本知识和方法是当代大学生，需的技能。因此，科学计算与数学建模的基本知识和方法是当代大学生，尤其是尤其是现代科技人才必备的数学素质现代科技人才必备的数学素质。 科学计算科学计算是指利用计算机来完成科学研究和工程技术中提出的数学问是指利用计算机来完成科学研究和工程技术中提出的数学问题的计算，是一种使用计算机解释和预测实验中难以验证的、复杂现象的题的计算，是一种使用计算机解释和预测实验中难以验证的、复杂

4、现象的方法。科学计算是伴随着电子计算机的出现而迅速发展并获得广泛应用的方法。科学计算是伴随着电子计算机的出现而迅速发展并获得广泛应用的新兴交叉学科，是数学及计算机应用于高科技领域的必不可少的纽带和工新兴交叉学科，是数学及计算机应用于高科技领域的必不可少的纽带和工具。具。 2 数学建模过程及其重要意义数学建模过程及其重要意义1.2.1 数学建模过程数学建模过程实践实践理论理论实践实践演绎法演绎法数值法数值法解析解解析解数值解数值解求解方法求解方法现现实实世世界界现实问题的信息现实问题的信息验证验证表述表述解释解释数学模型数学模型数学模型的解答数学模型的解答数数学学世世界界 ？求解求解现实问题的解

5、答现实问题的解答1.2.2 数学建模的一般步骤数学建模的一般步骤 模型应用模型应用模型检验模型检验模型分析模型分析模型求解模型求解模型假设模型假设模型构成模型构成模型准备模型准备在合理与简化之间作出折中在合理与简化之间作出折中作出合理的、简化的假设作出合理的、简化的假设针对问题特点和建模目的针对问题特点和建模目的模模型型假假设设形成一个比较清晰的数学问题形成一个比较清晰的数学问题掌握对象特征掌握对象特征搜集有关信息搜集有关信息明确建模目的明确建模目的了解实际背景了解实际背景模模型型准准备备确保模型的合理性、适用性确保模型的合理性、适用性实际问题实际问题模型应用模型应用模型检验模型检验模型分析模

6、型分析模型求解模型求解模型构成模型构成与实际现象、数据比较与实际现象、数据比较如：结果的误差分析、统计分析、如：结果的误差分析、统计分析、 模型对数据的稳定性分析模型对数据的稳定性分析各种数学方法、软件和计算机技术各种数学方法、软件和计算机技术尽量使用简单的数学工具尽量使用简单的数学工具用数学的语言、符号描述问题用数学的语言、符号描述问题1.2.3 数学建模意义数学建模意义在一般工程技术领域，数学建模仍然大有用武之地在一般工程技术领域，数学建模仍然大有用武之地 在高新技术领域，数学建模几乎是必不可少的工具在高新技术领域，数学建模几乎是必不可少的工具数学迅速进入一些新领域，为数学建模开拓了许多新

7、的处女地数学迅速进入一些新领域，为数学建模开拓了许多新的处女地 美国科学院一位院士总结了将数学转化为生产力过程中的成美国科学院一位院士总结了将数学转化为生产力过程中的成功和失败，得出了功和失败，得出了“数学是一种关键的、普遍的、可以应用的技数学是一种关键的、普遍的、可以应用的技术术”的结论，认为数学的结论，认为数学“由研究到工业领域的技术转化，对加强由研究到工业领域的技术转化，对加强经济竞争力是有重要意义经济竞争力是有重要意义”，而，而“计算和建模重新成为中心课题，计算和建模重新成为中心课题，它们是数学科学技术转化的主要途径它们是数学科学技术转化的主要途径”。 作为用数学方法解决实际问题的第一

8、步，数学建模自然有着作为用数学方法解决实际问题的第一步，数学建模自然有着与数学同样悠久的历史。进入与数学同样悠久的历史。进入2020世纪以来，随着数学以空前的广世纪以来，随着数学以空前的广度和深度向一切领域的渗透，以及计算机的出现与飞速发展，数度和深度向一切领域的渗透，以及计算机的出现与飞速发展，数学建模越来越受到人们的重视，数学建模在现实世界中有着重要学建模越来越受到人们的重视，数学建模在现实世界中有着重要意义。意义。 3 数值方法与误差分析数值方法与误差分析v 数值方法已成为科学研究的数值方法已成为科学研究的第三种基本手段第三种基本手段。所谓。所谓数值方法数值方法，是指，是指将所欲求解的数

9、学模型（数学问题）简化成一系列算术运算和逻辑运算，将所欲求解的数学模型（数学问题）简化成一系列算术运算和逻辑运算，以便在计算机上求出问题的数值解，并对算法的收敛性和误差进行分析、以便在计算机上求出问题的数值解，并对算法的收敛性和误差进行分析、计算。这里所说的计算。这里所说的“算法算法”，不只是单纯的数学公式，而且是指由基本，不只是单纯的数学公式，而且是指由基本的运算和运算顺序的规定所组成的整个解题方案和步骤。一般可以通过的运算和运算顺序的规定所组成的整个解题方案和步骤。一般可以通过框图（流程图）来较直观地描述算法的全貌。框图（流程图）来较直观地描述算法的全貌。选定适合的算法选定适合的算法是整个

10、数值计算中非常重要的一环。例如，当计是整个数值计算中非常重要的一环。例如，当计算多项式算多项式0111)(aaxaxaxPnnnn的值时，的值时，(0,1, )iia x in再逐项相加，共需做再逐项相加，共需做2) 1() 1(21nnnn次乘法和次乘法和n次加法。次加法。 若直接计算若直接计算 时需做时需做5555次乘法和次乘法和1010次加法。次加法。10n 01221)()(axaxaxaxaxaxPnnn来计算时，只要做来计算时，只要做 n n 次乘法和次加法即可。次乘法和次加法即可。 对于小型问题，对于小型问题，计算的速度计算的速度和和占用计算机内存的多少占用计算机内存的多少似乎意

11、义不似乎意义不大。但对于复杂的大型问题而言，却是起着决定性作用。算法取得不大。但对于复杂的大型问题而言，却是起着决定性作用。算法取得不恰当，不仅影响到计算的速度和效率，还会由于计算机计算的近似性恰当，不仅影响到计算的速度和效率，还会由于计算机计算的近似性和误差的传播、积累直接影响到计算结果的精度甚至直接影响到计算和误差的传播、积累直接影响到计算结果的精度甚至直接影响到计算的成败。不合适的算法会导致计算误差达到不能容许的地步，而使计的成败。不合适的算法会导致计算误差达到不能容许的地步，而使计算最终失败，这就是算最终失败，这就是算法的数值稳定性问题算法的数值稳定性问题。若用著名秦九韶（我国宋朝数学

12、家）算法，将多项式若用著名秦九韶（我国宋朝数学家）算法，将多项式 改成改成( )P x什么叫做误差？误差的种类有哪些呢？什么叫做误差？误差的种类有哪些呢？“过失误差过失误差”或或“疏疏忽误差忽误差”：算题者在算题者在工作中的粗心大意而工作中的粗心大意而产生的，例如笔误以产生的，例如笔误以及误用公式等及误用公式等 。它完。它完全是人为造成的，只全是人为造成的，只要工作中仔细、谨慎要工作中仔细、谨慎，是完全可以避免的，是完全可以避免的 数值计算误差数值计算误差 “非过失误差非过失误差”：在数在数值计算中这往往是无法值计算中这往往是无法避免的，例如近似值带避免的，例如近似值带来的误差，模型误差、来的

13、误差，模型误差、观测误差、截断误差和观测误差、截断误差和舍入误差等。对于舍入误差等。对于“非非过失误差过失误差”，应该设法，应该设法尽量降低其数值，尤其尽量降低其数值，尤其要控制住经多次运算后要控制住经多次运算后误差的积累，以确保计误差的积累，以确保计算结果的精度。算结果的精度。 数值计算过程中会出现各种误差，可分为两大类：数值计算过程中会出现各种误差，可分为两大类： 66219 97 0219 97 02121xxxx可用四种算式算出：可用四种算式算出：按上列四种算法计算按上列四种算法计算 值，其结果如下表值，其结果如下表1.3.11.3.1所示。所示。x27 51.42 17 12 1.4

14、166如果分别用近似值如果分别用近似值和和32 12 1x 例例1.3.1 计算计算下面是一个简单的例算，可以看出近似值带来的误差与算法的选择对计算下面是一个简单的例算，可以看出近似值带来的误差与算法的选择对计算结果精度所产生的巨大影响。结果精度所产生的巨大影响。序序号号算式算式 计算结果计算结果 12134217/1227/56) 12(004096.0)52(6005233. 0)125(627099166667. 0616)121(005233. 0)125(6005020. 0)2912(6270991005076. 01971005046. 0237812 表表1.3.1v 由表由表

15、1.3.11.3.1可见，按不同算式和近似值计算出的结果各不相同，可见，按不同算式和近似值计算出的结果各不相同，有的甚至出现了负值，这真是差之毫厘，谬以千里。因此，在研究有的甚至出现了负值，这真是差之毫厘，谬以千里。因此，在研究算法的同时，还必须算法的同时，还必须正确掌握误差的基本概念，误差在近似值运算正确掌握误差的基本概念，误差在近似值运算中的传播规律，误差分析、估计的基本方法中的传播规律，误差分析、估计的基本方法和和算法的数值稳定性概算法的数值稳定性概念念，否则，一个合理的算法也可能会得出一个错误的结果。，否则，一个合理的算法也可能会得出一个错误的结果。v 衡量一个算法的好坏时，衡量一个算

16、法的好坏时，计算时间的多少计算时间的多少是非常重要的一个标是非常重要的一个标志。由于实际的执行时间依赖于计算机的性能，因此所谓算法所花志。由于实际的执行时间依赖于计算机的性能，因此所谓算法所花时间是用它执行的所有基本运算，如算术运算、比较运算等的总次时间是用它执行的所有基本运算，如算术运算、比较运算等的总次数来衡量的。这样时间与运算的次数直接联系起来了。当然，即使数来衡量的。这样时间与运算的次数直接联系起来了。当然，即使用一个算法计算同一类型的问题时，由于各问题的数据不同，计算用一个算法计算同一类型的问题时，由于各问题的数据不同，计算快慢也会不同，一般是用快慢也会不同，一般是用最坏情况下所花的

17、时间最坏情况下所花的时间来作讨论。来作讨论。 4 误差的种类及其来源误差的种类及其来源 非过失误差非过失误差 数值计算中，数值计算中，除了可以避免的过失误差外，除了可以避免的过失误差外，还有不少来源不同而又无法避免的还有不少来源不同而又无法避免的非过失误差存在于数值计算过程中，非过失误差存在于数值计算过程中，主要有如下几种主要有如下几种 截断误差截断误差观测误差观测误差 模型误差模型误差 舍入误差舍入误差 1.4.2 1.4.2 观测误差观测误差 在建模和具体运算过程中所用到的一些初始数据往往都是通过人在建模和具体运算过程中所用到的一些初始数据往往都是通过人们实际观察、测量得来的，由于受到所用

18、观测仪器、设备精度们实际观察、测量得来的，由于受到所用观测仪器、设备精度 的限的限制，这些测得的数据都只能是近似的，即存在着误差，这种误差称为制，这些测得的数据都只能是近似的，即存在着误差，这种误差称为“观测误差观测误差”或或“初值误差初值误差”。 1.4.3 1.4.3 截断误差截断误差 在不少数值运算中常遇到超越计算，如微分、积分和无穷级数求在不少数值运算中常遇到超越计算，如微分、积分和无穷级数求和等，它们须用极限或无穷过程来求得。然而计算机却只能完成有限和等，它们须用极限或无穷过程来求得。然而计算机却只能完成有限次算术运算和逻辑运算，因此需将解题过程化为一系列有限的算术运次算术运算和逻辑

19、运算，因此需将解题过程化为一系列有限的算术运1.4.1 1.4.1 模型误差模型误差 在建模（建立数学模型）过程中，欲将复杂的物理现象抽象、归在建模（建立数学模型）过程中，欲将复杂的物理现象抽象、归纳为数学模型，往往只得忽略一些次要因素的影响，而对问题作某些纳为数学模型，往往只得忽略一些次要因素的影响，而对问题作某些必要的简化。这样建立起来的数学模型实际上必定只是所研究的复杂必要的简化。这样建立起来的数学模型实际上必定只是所研究的复杂客观现象的一种近似的描述，它与真正客观存在的实际问题之间有一客观现象的一种近似的描述，它与真正客观存在的实际问题之间有一定的差别，这种误差称为定的差别，这种误差称

20、为“模型误差模型误差”。 算和逻辑运算。这样就要对某种无穷过程进行算和逻辑运算。这样就要对某种无穷过程进行“截断截断”，即仅保无穷过，即仅保无穷过程的前段有限序列而舍弃它的后段。这就带来了误差，称它为程的前段有限序列而舍弃它的后段。这就带来了误差，称它为“截断误截断误差差”或或“方法误差方法误差”。357sin3!5!7!xxxxx (1.4.1)(1.4.1)234ln(1)( 11)234xxxxxx (1.4.2) (1.4.2)若取级数的起始若干项的部分和作为函数值的近似，例如取若取级数的起始若干项的部分和作为函数值的近似，例如取35sin3!5!xxxx (1.4.3)(1.4.3)

21、例如，函数例如，函数 和和 可分别展开为如下的无穷幂级数：可分别展开为如下的无穷幂级数：sin xln(1)x 则由于它们的第四项和以后各项都舍弃了，自然产生了误差。这就是则由于它们的第四项和以后各项都舍弃了，自然产生了误差。这就是由于截断了无穷级数自第四项起的后段的产生的截断误差。由于截断了无穷级数自第四项起的后段的产生的截断误差。(1.4.3)(1.4.3)和和(1.4.4)(1.4.4)的截断误差是很容易估算的，因为幂级数的截断误差是很容易估算的，因为幂级数(1.4.1)(1.4.1)和和(1.4.2)(1.4.2) 都是都是交错级数，当交错级数，当 时的各项的绝对值又都是递减的，因此，

22、这时它们的截时的各项的绝对值又都是递减的，因此，这时它们的截断误差断误差 可分别估计为：可分别估计为： 23ln(1)23xxxx(1.4.4)(1.4.4) 4R x74( )7!xxR 444xxR1.4.4 1.4.4 舍入误差舍入误差 在数值计算过程中还会用到一些无穷小数，例如无理数和有理数在数值计算过程中还会用到一些无穷小数，例如无理数和有理数中某些分数化出的无限循环小数，如中某些分数化出的无限循环小数，如 和和1x 3.1415926521.41421356110.1666663!6 由于受计算机机器字长的限制，它所能表示的数据只能有有限位数，由于受计算机机器字长的限制，它所能表示

23、的数据只能有有限位数，这时就需把数据按四舍五入舍入成一定位数的近似的有理数来代替。这时就需把数据按四舍五入舍入成一定位数的近似的有理数来代替。由此引起的误差称为由此引起的误差称为“舍入误差舍入误差”或或“凑整误差凑整误差”。 综上所述，综上所述，数值计算中除了可以完全避免的过失误差外，还存在数值计算中除了可以完全避免的过失误差外，还存在难以避免的难以避免的模型误差模型误差、观测误差观测误差、截断误差截断误差和和舍入误差舍入误差。数学模型一数学模型一旦建立，进入具体计算时所要考虑和分析的就是旦建立，进入具体计算时所要考虑和分析的就是截断误差截断误差和和舍入误差舍入误差了。在计算机上经过千百次运算

24、后所积累起来的总误差不容忽视，有了。在计算机上经过千百次运算后所积累起来的总误差不容忽视，有时可能会大得惊人，甚至到达时可能会大得惊人，甚至到达“淹没淹没”所欲求解的真值的地步，而使所欲求解的真值的地步，而使计算结果失去根本的意义。因此，在讨论算法时，有必要对其截断误计算结果失去根本的意义。因此，在讨论算法时，有必要对其截断误差的估算和舍入误差的控制作适当的分析。差的估算和舍入误差的控制作适当的分析。5 绝对误差和相对误差绝对误差和相对误差1.5.1 绝对误差和绝对误差限绝对误差和绝对误差限x*xx定义定义1.5.11.5.1 设某一个准确值（称为真值）为设某一个准确值（称为真值）为，则，则与

25、与的差的差*( ) xx x （1.5.11.5.1）*x( )0 x称为近似值称为近似值的的“绝对误差绝对误差”，简称，简称“误差误差”。当。当时，称为亏近时，称为亏近似值或弱近似值，反之则称为盈近似值或强近似值。似值或弱近似值，反之则称为盈近似值或强近似值。 ( )x由于真值往往是未知或无法知道的，因此，由于真值往往是未知或无法知道的，因此，就无法求出。就无法求出。但一般可估计此绝对误差的上限，也即可以求出一个正值但一般可估计此绝对误差的上限，也即可以求出一个正值 ，使使的准确值（真值）的准确值（真值）也也( )*xxx （1.5.21.5.2）*x称为近似值称为近似值的的“绝对误差限绝对

26、误差限”，简称，简称“误差限误差限”，或称，或称“精度精度”。有时也用。有时也用 *x来表示（来表示（1.5.21.5.2）式，这时等式右端的两个数值）式，这时等式右端的两个数值和和代表了代表了在范在范围的上、下限。围的上、下限。越小，表示该近似值越小，表示该近似值的精度越高。的精度越高。，其近似值为其近似值为*x*xx（1.5.31.5.3）*x*xx所所例例1.5.1 1.5.1 用有毫米刻度的尺测量不超过一米的长度。读数方法如下：用有毫米刻度的尺测量不超过一米的长度。读数方法如下： 如长度接近于毫米刻度，就读出该刻度数作为长度的近似值。显如长度接近于毫米刻度，就读出该刻度数作为长度的近似

27、值。显然，这个近似值的绝对误差限就是半个毫米，则有然，这个近似值的绝对误差限就是半个毫米，则有*1( )()2lll毫米如果读出的长度是如果读出的长度是513513毫米，则有毫米，则有5130.5l 这样，虽仍不知准确长度这样，虽仍不知准确长度l是多少，但由（是多少，但由（1.5.31.5.3）式可得到不等式：）式可得到不等式：512.5513.5()l 毫米l512.5,513.5这说明这说明必在必在毫米区间内。毫米区间内。1.5.2 相对误差和相对误差限相对误差和相对误差限 用绝对误差还不能完全评价近似值的精确度。例如测量用绝对误差还不能完全评价近似值的精确度。例如测量1010米的长度时米

28、的长度时产生产生1 1厘米的误差与测量厘米的误差与测量1 1米的长度时产生米的长度时产生1 1厘米的误差是大有区别的。虽然厘米的误差是大有区别的。虽然两者的绝对误差相同，都是两者的绝对误差相同，都是1 1厘米，但是由于所测量的长度要差十倍，显然厘米，但是由于所测量的长度要差十倍，显然前一种测量比后一种要精确得多。这说明要评价一个近似值的精确度，除前一种测量比后一种要精确得多。这说明要评价一个近似值的精确度，除了要看其绝对误差的大小外，还必须考虑该量本身的大小，这就需要引进了要看其绝对误差的大小外，还必须考虑该量本身的大小，这就需要引进相对误差相对误差的概念。的概念。*( )( )rxxxxxx

29、 （1.5.41.5.4） 称为近似值称为近似值*x的的“相对误差相对误差”。110001100在上例中，前一种测量的误差为在上例中，前一种测量的误差为，而后一种测量的相对误差则为，而后一种测量的相对误差则为，是前一种的，是前一种的十倍十倍。定义定义1.5.2 1.5.2 绝对误差与真值之比，即绝对误差与真值之比，即 由（由（1.5.41.5.4）可见，相对误差可以从绝对误差求出。反之，绝对误）可见，相对误差可以从绝对误差求出。反之，绝对误差也可由相对误差求出，其相互关系式为：差也可由相对误差求出，其相互关系式为： ( )( )rxxx （1.5.51.5.5） ( )xx 相对误差不仅能表示

30、出绝对误差来，而且在估计近似值运算结果的相对误差不仅能表示出绝对误差来，而且在估计近似值运算结果的误差时，它比绝对误差更能反映出误差的特性。因此在误差分析中，相误差时，它比绝对误差更能反映出误差的特性。因此在误差分析中，相对误差比绝对误差更为重要。相对误差也无法准确求出。因为（对误差比绝对误差更为重要。相对误差也无法准确求出。因为（1.5.41.5.4）中的中的和和均无法准确求得。均无法准确求得。 也和绝对误差一样，可以估计它的大小范围，即可以找到一个正数也和绝对误差一样，可以估计它的大小范围，即可以找到一个正数，使，使( )rx （1.5.61.5.6） *x称为近似值称为近似值的的“相对误

31、差限相对误差限”。相对误差是个纯数字，它没有量纲。相对误差是个纯数字，它没有量纲。 例例1.5.2 1.5.2 称称100 100 千克重的东西若有千克重的东西若有1 1千克重的误差和量千克重的误差和量100100米长米长的东西有的东西有1 1米长的误差，这两种测量的相对误差都是米长的误差，这两种测量的相对误差都是 。与此相。与此相反，由于绝对误差是名词，有量纲，上例中两种测量的绝对误差反，由于绝对误差是名词，有量纲，上例中两种测量的绝对误差1 1千克和千克和1 1米的量纲不同，两者就无法进行比较。米的量纲不同，两者就无法进行比较。x在实际计算中，由于真值在实际计算中，由于真值1100总是无法

32、知道的，因此往往取总是无法知道的，因此往往取*( )( )rxxx （1.5.71.5.7） 作为相对误差的另一定义。作为相对误差的另一定义。*( )rx( )rx下面比较下面比较与与之间的相差究竟有多大：之间的相差究竟有多大：*2*111( )( )( )() ( )*rrxxxxxxx x2221( )( ( )*1 ( )1( )rrrrxxxxxxxxx( )rx0.5一般地，一般地，很小，不会超过很小，不会超过。这样。这样11( )rx不大于不大于2 2，因此，因此，上式右端是一高阶小量，可以忽略。上式右端是一高阶小量，可以忽略。 *2( )( )2( )( )rrrrxxxx *(

33、 )rx( )rx上式右端是一高阶小量，可以忽略，故用上式右端是一高阶小量，可以忽略，故用来代替来代替。相对误差也可用百分数来表示：相对误差也可用百分数来表示：*( )( )100%rxxx这时称它为这时称它为百分误差百分误差。 6 6 有效数字及其误差的关系有效数字及其误差的关系 1.6.1 1.6.1 有效数字有效数字 在表示一个近似值的准确程度时，常用到在表示一个近似值的准确程度时，常用到“有效数字有效数字”的概念。的概念。例例1.6.1 1.6.1 ，若，若 按四舍五入取四位小数，则得的近按四舍五入取四位小数，则得的近似值为似值为3.14163.1416；若取五位小数则得其近似值为；若

34、取五位小数则得其近似值为3.141593.14159。这种近似值。这种近似值取法的特点是误差限为其末位的半个单位，即取法的特点是误差限为其末位的半个单位，即*xx*x定义定义1.6.11.6.1 当近似值当近似值，其近似值，其近似值的规格化形式：的规格化形式：的误差限是其某一位上的半个单位时，称其的误差限是其某一位上的半个单位时，称其“准确准确”到这一位且从该位起直到前面第一位非零数字为止的所有数字到这一位且从该位起直到前面第一位非零数字为止的所有数字称为有效数字。一般说，设有一个数称为有效数字。一般说，设有一个数*120.10mnx （1.6.11.6.1） 413.14161023.141

35、59265式中式中 都是都是 中的一个数字，中的一个数字， 是正整数，是正整数， 是整数。是整数。若若 的误差限为：的误差限为： 0,1,2,9nm*x*1( )102m nxxx （1.6.2）*x10m n则称则称为具有为具有n n位有效数字的有效数，或称它精确到位有效数字的有效数，或称它精确到一位数字一位数字 12,n *x都是都是的有效数字。的有效数字。 若（若（1.6.11.6.1）中的）中的*x是经四舍五入得到的近似数，是经四舍五入得到的近似数， *xn则则具有具有位有效数字。位有效数字。3.1416例例 1.6.21.6.2 是是的具有五位有效数字的近似值，精确到的具有五位有效数

36、字的近似值，精确到0.00010.0001。2030.0203例例 1.6.31.6.3 和和都是具有三位有效数字的有效数。都是具有三位有效数字的有效数。 但要注意，但要注意，0.0203和和 0.020300就不同了，前者仅具有三位有效数字，就不同了，前者仅具有三位有效数字， 即仅精确即仅精确。其中每其中每 到到 0.0001 0.0001 ；而后者则具有五位有效数字，即精确到；而后者则具有五位有效数字，即精确到0.0000010.000001。可见，。可见，两者的精确程度大不相同，后者远较前者精确（差两者的精确程度大不相同，后者远较前者精确（差100100倍）。因此，有倍）。因此，有另一种

37、情况，另一种情况， 0.1524x *0.154x 例如例如，*x0.0016这时这时的误差为的误差为值超过值超过 0.00050.0005（第三位小数的半个单位），但却（第三位小数的半个单位），但却没有超过没有超过0.005（第二（第二位小数的半个单位），即位小数的半个单位），即*0.00050.005xx注注 用计算机进行的数值计算，由于受到计算机字长的限制，要求输入用计算机进行的数值计算，由于受到计算机字长的限制，要求输入的数有一定的位数，计算的结果也只保留一定的位数，且所保留下来的的数有一定的位数，计算的结果也只保留一定的位数，且所保留下来的不一定都是有效数字，同时也不是所有的有效数字

38、都可保留下来。不一定都是有效数字，同时也不是所有的有效数字都可保留下来。 ，其绝对，其绝对显然，显然， 虽然有三位小数但却只精确到第二位小数，因此，它只具虽然有三位小数但却只精确到第二位小数，因此，它只具有二位有效数字。有二位有效数字。其中其中1 1和和5 5都是准确数字，而第三位数字都是准确数字，而第三位数字4 4就不再是准就不再是准确数字了，我们就称它为确数字了，我们就称它为存疑数字存疑数字。*x1.6.2 1.6.2 有效数字与误差的关系有效数字与误差的关系 由由(1.6.2)(1.6.2)可知可知, ,从有效数字可以算出近似数的绝对误差限从有效数字可以算出近似数的绝对误差限; ;有有效

39、数字的位数越多效数字的位数越多, ,其绝对误差限也就越小，且还可以从有效数字其绝对误差限也就越小，且还可以从有效数字求出其相对误差限。求出其相对误差限。当用当用(1.6.1)(1.6.1)表示的近似值表示的近似值，具有，具有位有效数字时，显然有位有效数字时，显然有*1110mx故由故由(1.6.2)(1.6.2)可知，其相对误差可知，其相对误差*1111110( )12( )10*102m nnrmxxx （1.6.3）故相对误差限为故相对误差限为111102n （1.6.4） *xn 由由(1.6.4)(1.6.4)可见可见, ,有效数字的位数反映了近似值的相对精确度。有效数字的位数反映了近

40、似值的相对精确度。 上述关系的逆也是成立的，即当用上述关系的逆也是成立的，即当用 (1.6.1) (1.6.1) 表示的近似值，如果表示的近似值，如果其相对误差能满足其相对误差能满足*111( )102(1)nrx （1.6.5）则则至少具有至少具有位有效数字。这是因为位有效数字。这是因为: :由由(1.6.5)(1.6.5)及及 *11110mx有有*111111( )( )(1) 1010102(1)2mnm nrxxx *xn即即至少具有至少具有位有效数字。位有效数字。*xn例例1.6.4 1.6.4 当用当用3.14163.1416来表示的近似值时来表示的近似值时, ,它的相对误差是多

41、少它的相对误差是多少? ?解解 3.14163.1416具有五位有效数字具有五位有效数字, ,13，由，由(1.6.3)(1.6.3)有有*5 1411( )10102 36rx 例例1.6.51.6.5 为了使积分的近似值的相对误差不超过为了使积分的近似值的相对误差不超过0.1%0.1%，问至少要取，问至少要取几位有效数字几位有效数字? ?解解 可以知道可以知道I=0.7476I=0.7476，这样，这样17，由，由(1.6.3)(1.6.3)有有*11( )100.1%2 7nrI 3n *I*0.747I *I可解出可解出，即即只要取三位有效数字只要取三位有效数字就能保证就能保证的相对误

42、差不大于的相对误差不大于0.1%0.1%。7 7 误差的传播与估计误差的传播与估计1.7.1 1.7.1 误差估计的一般公式误差估计的一般公式 在实际的数值计算中，参与运算的数据往往都是些近似值，带有在实际的数值计算中，参与运算的数据往往都是些近似值，带有误差，这些数据误差在多次运算过程中会进行传播，使计算结果产生误差，这些数据误差在多次运算过程中会进行传播，使计算结果产生误差，而确定计算结果所能达到的精度显然是十分重要的，但往往很误差，而确定计算结果所能达到的精度显然是十分重要的，但往往很困难。不过，对计算误差作出一定的定量估计还是可以做到的。下面困难。不过，对计算误差作出一定的定量估计还是

43、可以做到的。下面利用利用函数泰勒（函数泰勒（TaylorTaylor）展开式）展开式推出误差估计的一般公式。推出误差估计的一般公式。12( ,)yf x x*1x*2x1x2x*y*12(,)yf xx12( ,)f x x*12( , )x x考虑二元函数考虑二元函数，设，设和和分别是分别是和和的近似值，的近似值，是函数值是函数值的近似值，且的近似值，且，函数，函数在点在点处的泰勒展开式为：处的泰勒展开式为：*12121122122* 2*11112221122* 21222( ,)( *,*) () ()() () 1()()2()()()2!()() fff x xf xxxxxxxxf

44、fxxxxxxxx xfxxx y略高阶小量，则上式可简化为略高阶小量，则上式可简化为)()(1*11xxx)()(2*22xxx式中，式中，和和一般都是小量值，如忽一般都是小量值，如忽*12121212( ,)(,)()()()()fff x xf xxxxxx*12121212( )*( , )( *, *) ()( ) ()( )ffyy yf x xf xxxxxx （1.7.1）)(1x)(2x的绝对误差增长因子，它们分别表示绝对误差的绝对误差增长因子，它们分别表示绝对误差和和经过传播经过传播因此，因此，的绝对误差为的绝对误差为*y)(1x)(2x*1)(xf*2)(xf*y式中，式

45、中，和前面和前面的系数的系数和和分别是分别是和和对对*1x*2x由（由（1.7.11.7.1）可得出）可得出的相对误差：的相对误差：后增大或缩小的倍数。后增大或缩小的倍数。*y （1.7.21.7.2） *1212*1212*12()()( )( )()()*()()()()rrrxxyffyyxyxyxxffxxyxyx*1()rx*2()rx*1*1()xfyx*2*2()xfyx*1x式中，式中，和和前面的系数前面的系数和和分别是分别是经过传播后增大或缩小的倍数。经过传播后增大或缩小的倍数。*2x*1()rx*2()rx和和对对的相对误差增长因子，它们分别表示相对误差的相对误差增长因子，

46、它们分别表示相对误差和和*y2200V1 . 010I例例1.7.11.7.1 用电表测得一个电阻两端的电压和流过的电流范围分别为用电表测得一个电阻两端的电压和流过的电流范围分别为 （伏特（伏特) )和和（安培（安培),),求这个电阻的阻值求这个电阻的阻值其绝对误差和相对误差。其绝对误差和相对误差。，并估算，并估算RVRI*22022()10R 欧姆由（由（1.7.11.7.1）可计算）可计算*R的绝对误差：的绝对误差： *2*1( ) ()( ) ()( )( )( )RRVRVIVIVIII将它们带入上式，即可估算出的绝对误差：将它们带入上式，即可估算出的绝对误差：*220( )V 伏(

47、)2V（伏）*10I （安）( )0.1I（安）；，令令，* 2211220( )( )( )20.1 0.42( )10(10)VRVIII *( )0.42( )0.01911.91%22rRRR解解 由欧姆定律，有由欧姆定律，有 （1.7.11.7.1）和（）和（1.7.21.7.2）可推广到更为一般的多元函数）可推广到更为一般的多元函数 中，只要将函数中，只要将函数 在点在点 处作泰勒展开，处作泰勒展开，12(,)nyf x xx),(21nxxxf),(*2*1nxxx)(,),(),(21nxxx等小量的高阶项，即可得到函数的等小量的高阶项，即可得到函数的近似值的绝对误差和相对误差

48、的估算式分别为：近似值的绝对误差和相对误差的估算式分别为：并略去其中的并略去其中的*1( )()()niiifyxx （1.7.3）和和*1()()()nirriiixfyxyx （1.7.4） 对的绝对误差和相对误差的增长因子。对的绝对误差和相对误差的增长因子。*(1,2, , )ix in上两式中的各项上两式中的各项 和和 分别为各个分别为各个*()ifx*() (1,2, )iixfinyx 从（从（1.7.31.7.3）和（）和（1.7.41.7.4）可知，误差增长因子的绝对值很大时，数据误）可知，误差增长因子的绝对值很大时，数据误差在运算中传播后，可能会造成结果的很大误差。凡原始数据

49、的微小变化可差在运算中传播后，可能会造成结果的很大误差。凡原始数据的微小变化可能引起结果的很大变化的这类问题能引起结果的很大变化的这类问题, ,称为称为病态问题病态问题或或坏条件问题坏条件问题。 可以利用可以利用(1.7.3) (1.7.3) 和（和（1.7.41.7.4）对算术运算中数据误差传播规律）对算术运算中数据误差传播规律作一具体分析。作一具体分析。11( )nniiiixx （1.7.5）*11nniriniiiixxx (1.7.6)1.7.2 1.7.2 误差在算术运算中的传播误差在算术运算中的传播 由由(1.7.3) (1.7.3) 和（和（1.7.41.7.4）有）有（1 1

50、）加，减运算）加，减运算及及 *121212*1212rrrxxxxxxxxxx 由由(1.7.5)(1.7.5)可知：近似值之和的绝对误差等于各近似值绝对误差的可知：近似值之和的绝对误差等于各近似值绝对误差的代数和。两数代数和。两数 和和 相减，由相减，由(1.7.6)(1.7.6)有有2x1x 当当 ，即大小接近的两个同号近似值相减时，由上，即大小接近的两个同号近似值相减时，由上式可知，这时式可知，这时 可能会很大，说明计算结果的有效可能会很大，说明计算结果的有效数字将严重丢失，计算精度很低。数字将严重丢失，计算精度很低。 因此在实际计算中，应尽量设法避开相近数的相减。当实因此在实际计算中

51、，应尽量设法避开相近数的相减。当实在无法避免时，可用在无法避免时，可用变换计算公式变换计算公式的办法来解决。的办法来解决。即即 *121212*1212rrrxxxxxxxxxx*12rxx*12xx 例例1.7.3 1.7.3 当当 很小时，很小时， ，如要求，如要求 的值，可利用三角的值，可利用三角恒等式恒等式 进行公式变换后再来计算。同理，也可把进行公式变换后再来计算。同理，也可把 展开成泰勒级数后，按展开成泰勒级数后，按 来进行计算。这两种算法都避开了两个相近数相减的不利情况。来进行计算。这两种算法都避开了两个相近数相减的不利情况。 例例1.7.21.7.2 当要计算当要计算 ，结果精

52、确到第五位数字时，至少取到，结果精确到第五位数字时，至少取到 和和 ，这样，这样 才能达到具有五位有效数字的要求。如果变换算式：才能达到具有五位有效数字的要求。如果变换算式： 也能达到结果具有五位有效数字的要求，而这时也能达到结果具有五位有效数字的要求，而这时 和和 所需的有所需的有 效位数只要五位，远比直接相减所需有效位数（八位）要少。效位数只要五位，远比直接相减所需有效位数（八位）要少。 3.0133.011.734935231.732050833.0132.8844 1033.01 30.013.0132.8843 101.7349 1.73213.0133.013xcos1x 1 co

53、sx21 cos2sin2xxcosx241cos2 !4 !xxx （2 2）乘法运算）乘法运算 由（由（1.7.31.7.3）及（）及（1.7.41.7.4）有）有 因此，近似值之积的相对误差等于相乘各因子的相对误差的代数和。因此，近似值之积的相对误差等于相乘各因子的相对误差的代数和。当乘数的绝对值很大时，乘积的绝对值误差当乘数的绝对值很大时，乘积的绝对值误差 可能会很大，因此可能会很大，因此也应设法避免。也应设法避免。*111nnnijiiijjixxx （1.7.7）和和*11nnririiixx （1.7.8）1niix（3 3）除法运算）除法运算 由（由（1.7.31.7.3）及（

54、）及（1.7.41.7.4）有）有 由由（1.7.101.7.10）可知，两近似值之商的相对误差等于被除数的相对可知，两近似值之商的相对误差等于被除数的相对误差与除数的相对误差之差。误差与除数的相对误差之差。 又由又由（1.7.91.7.9）可知，当除数可知，当除数 的绝对值很小，接近于零时，商的绝对值很小，接近于零时，商的绝对误差的绝对误差 可能会很大，甚至造成计算机的可能会很大，甚至造成计算机的“溢出溢出”错错误故应设法避免让绝对值太小的数作为除数。误故应设法避免让绝对值太小的数作为除数。 *11112122*22221rrxxxxxxxxxxx （1.7.91.7.9）和和 *1122r

55、rrxxxx （1.7.101.7.10） *2x12xx （4 4）乘方及开方运算）乘方及开方运算 由（由（1.7.31.7.3）及（）及（1.7.41.7.4）有）有 由（由（1.7.121.7.12）可知，乘方运算将使结果的相对误差增大为原值）可知，乘方运算将使结果的相对误差增大为原值 的的 （乘方的方次数）倍，降低了精度；开方运算则使结果的相对误差缩（乘方的方次数）倍，降低了精度；开方运算则使结果的相对误差缩 小为原值小为原值 的的 （ 为开方的方次数），精度得到提高。为开方的方次数），精度得到提高。 综上分析可知，大小相近的同号数相减，乘数的绝对值很大，以及综上分析可知，大小相近的同

56、号数相减，乘数的绝对值很大，以及除数接近于零等，在数值计算中都应设法避免。除数接近于零等，在数值计算中都应设法避免。 1*ppxp xx （1.7.11）及及 *prrxpx （1.7.12）xpx1qq1.7.3 1.7.3 对对1.3.11.3.1中算例的误差分析中算例的误差分析序号序号近似值近似值 真真 值值 绝对误差绝对误差 相对误差相对误差 10.0142 0.0355=3.55% 0.000955 60.0355=21.3% 234 应用上述误差估计的公式，可对应用上述误差估计的公式，可对1.3.11.3.1中提出的算例中的各种中提出的算例中的各种算式作出误差估计和分析，从而可以比

57、较出它们的优劣来。见结算式作出误差估计和分析，从而可以比较出它们的优劣来。见结果下表果下表1.7.11.7.1。 27099 995.000245. 0000182. 00000255. 04.015712 00409.01576612 1577099%5 .99995. 0416667.01571121%589. 000589. 000523278.0157166121%53. 300589. 0600507614. 05770991270991%502. 00502. 0表表1.7.11.7.18 8 算法的相对稳定性算法的相对稳定性 通过前面对误差传播规律的分析和对通过前面对误差传播规律

58、的分析和对1.31.3算例的剖析，可知同一问题算例的剖析，可知同一问题当选用不同的算法时，它们所得到的结果有时会相差很大，这是因为运当选用不同的算法时，它们所得到的结果有时会相差很大，这是因为运算的舍入误差在运算过程中的传播常随算法而异。凡一种算法的计算结算的舍入误差在运算过程中的传播常随算法而异。凡一种算法的计算结果受舍入误差的影响小者称它为数值稳定的算法。下面再通过其他一些果受舍入误差的影响小者称它为数值稳定的算法。下面再通过其他一些例子来进一步说明算法稳定性的概念。例子来进一步说明算法稳定性的概念。 例例1.8.1 1.8.1 解方程解方程 （1.8.1） 解解 由韦达定理可知，此精确解

59、为由韦达定理可知，此精确解为 如果利用求根公式如果利用求根公式299101100 xx 91210 ,1xx21,242bbacxa （1.8.2） 来编制计算机程序，在字长为来编制计算机程序，在字长为8 8基底为基底为1010的计算机上进行运算，则的计算机上进行运算，则由于计算机实际上采用的是规格化浮点数的运算，由于计算机实际上采用的是规格化浮点数的运算， 这时这时 的第二项最后两位数的第二项最后两位数“0101”，由于计算机字长的限制，在机器上表示，由于计算机字长的限制，在机器上表示不出来，故在计算机对其舍入运算（用不出来，故在计算机对其舍入运算（用 标记）时标记）时910101010.1

60、 100.0000000001 10b 10101090.1 100.0000000001 100.1 1010b 2299941014 1010bac 29991410101022bbacxa 299241010022bbacxa 这样算出的根显然是严重失真的（这样算出的根显然是严重失真的（ 精确解精确解 ），这说明直接利用），这说明直接利用（1.8.21.8.2）求解方程（）求解方程（1.8.11.8.1）是不稳定的。其原因是在于当计算机进行加减运算时）是不稳定的。其原因是在于当计算机进行加减运算时要对阶舍入计算，实际上受到机器字长的限制，在计算要对阶舍入计算，实际上受到机器字长的限制，在