初二数学复习提纲

1、初二年级（上）（20082009学年）数学复习提纲第12章 数的开方§12.1平方根与立方根一、平方根1、平方根的定义：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根。（也叫做二次方根）即：若x2=a，则x叫做a的平方根。2、平方根的性质：（1）一个正数有两个平方根。它们互为相反数；（2）零的平方根是零；（3）负数没有平方根。二、算术平方根1、算术平方根的定义：正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根。2、算术平方根的性质：（1）一个正数的算术平方根只有一个为正；（2）零的算术平方根是零；（3）负数没有算术平方根；（4）算术平方根的非负性：0。三、平方根和算术平方根是记号：平方根&#

2、177;（读作：正负根号a）；算术平方根（读作根号a）即：“±”表示a的平方根，或者表示求a的平方根；“”表示a的算术平方根，或者表示求a的算术平方根。其中a叫做被开方数。负数没有平方根，被开方数a必须为非负数，即：a0。四、开平方：求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方。其实质就是：已知指数和二次幂求底数的运算。五、立方根1、立方根的定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根。（也叫做三次方根）即：若x3=a，则x叫做a的立方根。2、立方根的性质：（1）一个正数的立方根为正；（2）一个负数的立方根为负；（3）零的立方根是零。3、立方根的记号：（读作：三次根号a），a称为

3、被开方数，“3”称为根指数。中的被开方数a的取值范围是：a为全体实数。六、开立方：求一个数的立方根的运算，叫做开立方。其实质就是：已知指数和三次幂求底数的运算。七、注意事项：1、“±”、“”、“”的实质意义：“±”问：哪个数的平方是a；“”问：哪个非负数的平方是a；“”问：哪个数的立方是a。2、注意和中的a的取值范围的应用。如：若有意义，则x取值范围是 。（x-30，x3）（填：x3） 若有意义，则x取值范围是 。（填：全体实数）3、。如：，4、对于几个算数平方根比较大小，被开方数越大，其算数平方根的值也越大。如：等。2和3怎么比较大小？（你知道吗？不知道就问！）5、算数平

4、方根取值范围的确定方法：关键：找邻近的“完全平方数的算数平方根”作参照。如：确定的取值范围。，23。6、几个常见的算数平方根的值：，。八、补充的二次根式的部分内容1、二次根式的定义：形如（a0）的式子，叫做二次根式。2、二次根式的性质：(1)（a0，b0）；(2) （a0，b0）；(3) （a0）； (4) 3、二次根式的乘除法：（1）乘法：（a0，b0）；（2）除法：（a0，b0）。§12.2实数与数轴一、无理数1、无理数定义：无限不循环小数叫做无理数。2、常见的无理数：（1）开方开不尽的数。如：，等。（2）“”类的数。如：，等。（3）无限不循环小数。如：2.1010010001，

5、-0.234242242224，等二、实数1、实数定义：有理数与无理数统称为实数。2、与实数有关的概念：（1）相反数：实数a的相反数为-a。若实数a、b互为相反数，则a+b=0。（2）倒 数：非零实数a的倒数为（a0）。若实数a、b互为倒数，则ab=1。（3）绝对值：实数a的绝对值为：3、实数的运算：有理数的所有运算法则及运算律均适用于实数的运算。4、实数的分类：（1）按照正负性分为：正实数、零、负实数三类。（2）按照定义分为：5、几个“非负数”：（1）a20；（2）|a|0；（3）0。6、实数与数轴上的点是一一对应关系。第13章 整式的乘除§13.1幂的运算一、同底数幂的乘法1、法

6、则：am·an·ap·=am+n+p+（m、n、p均为正整数） 文字：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。2、注意事项：（1）a可以是实数，也可以是代数式等。如：2·3·4=2+3+4=9；(-2)2·(-2)3=(-2)2+3=(-2)5=-25；()3·()4=()3+4=()7；(a+b)3·(a+b)4·(a+b)= (a+b)3+4+1=(a+b)8（2）一定要“同底数幂”“相乘”时，才能把指数相加。（3）如果是二次根式或者整式作为底数时，要添加括号。二、幂的乘方1、法则：(am)n=amn（m、

7、n均为正整数）。推广：(am)nps=amn p s 文字：幂的乘方，底数不变，指数相乘。2、注意事项：（1）a可以是实数，也可以是代数式等。如：(2)3=2×3=6；()34=()3×4=()12；(a-b)24= (a-b)2×4=(a-b)8（2）运用时注意符号的变化。（3）注意该法则的逆应用，即：amn= (am)n，如：a15= (a3)5= (a5)3三、积的乘方1、法则：(ab)n=anbn（n为正整数）。推广：(acde)n=ancndnen 文字：积的乘方等于把积的每一个因式都分别乘方，再把所得的幂相乘。2、注意事项：（1）a、b可以是实数，也可

8、以是代数式等。如：(2)3=222=42；(×)2=()2×()2=2×3=6；(-2abc)3=(-2)3a3b3c3=-8a3b3c3；(a+b)(a-b)2=(a+b)2(a-b)2（2）运用时注意符号的变化。（3）注意该法则的逆应用，即：anbn =(ab)n；如：23×33= (2×3)3=63，(x+y)2(x-y)2=(x+y)(x-y)2四、同底数幂的除法1、法则：am÷an=am-n（m、n均为正整数，mn，a0） 文字：同底数幂相除，底数不变，指数相减。2、注意事项：（1）a可以是实数，也可以是代数式等。如：4&#

9、247;3=4-3=；(-2)5÷(-2)3=(-2)5-3=(-2)2=4；()6÷()4=()6-4=()2=2；(a+b)16÷(a+b)14= (a+b)16-14=(a+b)2=a2+2ab +b2（2）注意a0这个条件。（3）注意该法则的逆应用，即：am-n = am÷an；如：a x-y= ax÷ay，(x+y)2a-3=(x+y)2a÷(x+y)3§13.2 整式的乘法一、单项式与单项式相乘法则：单项式与单项式相乘，只要将它们的系数与系数相乘，相同字母的幂相乘，多余的字母照搬到最后结果中。如：(-5a2b2)

10、·(-4 b2c)·(-ab)=(-5)×(-4)×(-)·(a2·a)·(b2·b2)·c =-30a3b4c二、单项式与多项式相乘法则：（乘法分配律）只要将单项式分别去乘以多项式的每一项，再将所得的积相加。如：(-3x2)·(-x2)+(-3x2)·2 x一(-3x2)·1=三、多项式与多项式相乘法则：（1）将一个多项式中的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再将所得的积相加。如：(m+n)(a+b)= ma+mb+na+nb (2)把其中一个多项式看成一个整体（单项式）

11、，去乘以另一个多项式的每一项，再按照单项式与多项式相乘的法则继续相乘，最后将所得的积相加。如：(m+n)(a+b)= (m+ n)a+( m +n)b= ma+ na+mb+nb§13.3 乘法公式一、两数和乘以这两数的差1、公式：(a+b)(a-b)=a2-b2；名称：平方差公式。2、注意事项：（1）a、b可以是实数，也可以是代数式等。如：(10+9)(10-9)=102-92=100-81=19；(2xy+a)(2xy-a)=(2xy)2-a2=4 x2y2-a2；(a+b+)( a+b -)=(2xy)2-a2=4 x2y2-a2；（2）注意公式中的第一项、第二项各自相同，中间

12、是“异号”的情况，才能用平方差公式。（3）注意公式的来源还是“多项式×多项式”。二、完全平方公式1、公式：(a±b)2=a2±2a b+b2；名称：完全平方公式。2、注意事项：（1）a、b可以是实数，也可以是代数式等。如：(+3)2=()2+2××3+32=2+6+9=11+6；(mn-a) 2=(mn)2-2mn·a+ a2= m2n2-2mna+ a2；( a+b -)2=( a+b)2-2( a+b)+2= a2+2a b+b2-2a-b +2；（2）注意公式运用时的对位“套用”；（3）注意公式中“中间的乘积项的符号”。3、补充

13、公式：(a+ b+ c)2=a2+c2+b2+2a b+2bc+2ca特别提醒：利用乘法公式进行整式的运算时注意“思维顺序”是：“一看二套三计算”。§13.4 整式的除法一、单项式除以单项式法则：单项式相除，只要将它们的系数与系数相除，相同字母的幂相除，只在被除式中出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。如：-21a2b3c÷3ab=(-21÷3)·a2-1·b3-1·c =-7ab2c（2x2y）3·（-7xy2）÷14x4y3 =8x6y3·（-7xy2）÷14x4y3=8×

14、;（-7）·x6+1y3+2÷14x4y3 =（-56÷14）·x7-4·y5-3=-4x3y25（2a+b）4÷（2a+b）2=（5÷1）（2a+b）4-2=5（2a+bz2=5（4a2+4ab+b2）=20a2+20ab+5b2二、多项式除以单项式法则：（乘法分配律）只要将多项式的每一项分别去除以单项式，再将所得的商相加。如：(21x4y3-35x3y2+7x2y2)÷(-7x2y)=21x4y3÷(-7x2y)-35x3y2÷(-7x2y)+ 7x2y2÷(-7x2y)=-3x2

15、y2+5xy-y4y(2x-y)-2x(2x-y)÷(2x-y)= 4y(2x-y)÷(2x-y)-2x(2x-y)÷(2x-y)=4y-2x整式的运算顺序：先乘方（开方），再乘除，最后加减，括号优先。§13.5 因式分解一、因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做因式分解。（分解因式）因式分解与整式乘法互为逆运算二、提取公因式法：把一个多项式的公因式提取出来，使多项式化为两个因式的积，这种分解因式的方法叫做提公因式法。公因式定义：多项式中每一项都含有的相同的因式称为公因式。具体步骤：（1）“看”。观察各项是否有公因式；（2）“隔”。把每

16、项的公因式“隔离”出来；（3）“提”。按照乘法分配律的逆运用把公因式提出来，使多项式化为两个因式的积。(a-b) 2n=(b-a) 2n(n为正整数)；(a-b) 2n+1=-(b-a) 2n+1(n为正整数)；如：8a2b-4ab+2a=2a·4ab-2a·2b+2a·1=2a(4ab-2b+1)；-5 a2+25 a=-5 a·a+5a·5=-5 a(a+5)(注意：凡给出的多项式的“首项为负”时，要连同“-”号与公因式一并提出来。)三、公式法：利用乘法公式进行因式分解的方法，叫做公式法。1、平方差公式： a2-b2=(a+b)(a-b)；

17、名称：平方差公式。注意事项：（1）a、b可以是实数，也可以是代数式等。如：102-92 =(10+9)(10-9)=19×1=19；4 x2y2-a2=(2xy)2-a2=(2xy+a)(2xy-a)；（2）注意公式中的第一项、第二项各自相同，中间是“异号”的情况，才能用平方差公式。（3）注意公式的结构好形式，运用时一定要判断准确。2、完全平方公式：(a±b)2=a2±2a b+b2；名称：完全平方公式。注意事项：（1）a、b可以是实数，也可以是代数式等。如：m2n2-2mna+ a2=(mn)2-2mn·a+ a2=(mn-a)2；x2+4xy+y2=

18、x2+2·x·2y+(2y)2=( x+2 y)2（2）注意公式运用时的对位“套用”；（3）注意公式中“中间的乘积项的符号”。四、补充分解法：1、公式：x2+(a+b)x+ab=(x+a)( x+b)。如：x2+5x+6= x2+(2+3)x+2×3=(x+2)( x+3)；x2+5x-6=x2+6+(-1)x+6×(-1)=(x+6)( x-1)2、“十字相乘法”如：=(x+2)( x+7) =(x+2)( x-4) 1 2 1 2 1 7 1 -4 2 + 7=9 2 + (-4)=-2五、综合1、注意利用乘法公式进行因式分解时注意“思维顺序”是：“

19、一看二套三分解”。2、遇到因式分解的题目时，其整体的思维顺序是：（1）看首项是否为“一”，若为“一”，就要注意提负号；（2）看各项是否有公因式，若有公因式，应该首先把公因式提取出来再说；（3）没有公因式时，就要考虑用乘法公式进行因式分解或者“十字相乘法”。3、注意事项：（1）注意（a-b）与（b-a）的关系是互为相反数；（2）因式分解要彻底，不要只提出公因式就完，还要看剩下的因式是否可以继续分解；（3）现阶段的因式分解的题目，一般都要求在有理数范围内分解，所以不能出现带根号的数；（4）注意“十字相乘法”只适用于“二次三项式型”因式分解，不要乱用此法。第14章 勾股定理§14.1勾股定

20、理ACBcab一、直角三角形三边的关系1、勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。几何语言：如图，在RtABC中，C=90o，A、B、C所对的边分别是a、b、c则有：a2+b2=c2。2、勾股定理的证明反映了一种常用数学思想：“面积拼图法”。3、注意事项：（1）勾股定理必须在Rt使用，若遇到非Rt，则可引垂线段“造”Rt。（2）注意Rt中告诉的“直角”是哪个，以便准确确定“斜边”。（3）在运用勾股定理求边长时，要用到“开平方”运算，一定要指明“边长为正”的条件，求的是边长的算数平方根。二、Rt的判定1、直角三角形的定义：有一个角为直角的三角形叫做直角三角形。2、有两个锐角互余的三角

21、形是直角三角形。3、勾股定理的逆定理：若ABC的三边a、b、c满足a2+b2=c2，则C=90o。“勾股数”：指三个满足a2+b2=c2的正整数，我们称为勾股数。注意勾股定理的逆定理的应用，只要涉及三角形三边长的问题，都要判定一下是否为Rt。§14.2勾股定理的应用常见问题：1、求最短路径问题。如“蚂蚁爬树”、“到两个点的路程之和最短”等问题。2、“通过问题”。如“过门洞”、“路线穿过公园”等问题。3、“干扰问题”。如“台风影响”、“噪音影响”等问题。4、阴影面积问题。5、作图中的作，等问题。第15章 平移与旋转§15.1平移一、 图形的平移1、平移的定义：把一个图形沿着一

22、定的方向移动一定的距离，这种图形的运动（变换）叫做平移。2、平移的两个要素：“一定方向”、“一定距离”。二、平移的性质（特征）1、平移不改变图形的形状和大小，只改变图形的空间位置。2、平移后的图形与原来的图形的对应线段平行且相等，对应角相等。3、平移后的图形与原来的图形的对应点所连的线段平行且相等。三、平移的作图：注意抓住两个关键要素：“平移的方向”、“平移的距离”。§15.2旋转一、图形的旋转1、旋转的定义：将一个图形绕一个定点，沿着一定的方向，转动一定的角度的图形的运动（变换）叫做旋转。“定点”是旋转中心，“一定方向”是旋转方向（一般是指“顺时针”或“逆时针”方向），“一定角度”

23、是旋转角度（旋转角）。2、旋转的要素：“旋转中心”、“旋转方向”、“旋转角”3、旋转角的确定：对应线段的夹角。二、旋转的性质（特征）1、旋转不改变图形的形状和大小，只改变图形的空间位置。2、旋转后的图形与原来的图形的对应线段相等，对应角相等。3、旋转图形中每一点都绕旋转中心按同一旋转方向旋转了同样大小的角度。4、旋转图形的对应点到旋转中心的距离相等。三、旋转的作图：注意抓住三个关键要素：“旋转中心”、“旋转方向”、“旋转角”。四、旋转对称图形1、定义：一个图形绕一个定点旋转一定角度后能够与自身重合，这种图形称为旋转对称图形。2、旋转对称图形的最小旋转角。如正n边形的最小旋转角为：360o/n。

24、§15.3中心对称一、中心对称1、定义：把一个图形绕一个定点旋转180o后能够与另一个图形重合，就称这两个图形关于这点成中心对称。这个定点称为对称中心。2、中心对称的性质（特征）（1）成中心对称的两个图形中，连接对称点的线段都经过对称中心，并且被对称中心平分。（2）若两个全等的图形的所有对应点连成的线段都经过某一定点，且被这点平分，则这两个图形一定关于这点成中心对称。（3）成中心对称的两个图形是全等形，其对应边平行且相等，对应角相等。3、作“成中心对称”的作图要诀：“连中心，顺延长，取相等”。二、中心对称图形的定义：一个图形绕其中心点旋转180o后能够与自身重合，就称这种图形为中心对

25、称图形。（中心点就是它的对称中心）。三、注意事项：（1）“中心对称”与“中心对称图形”是两个不同的概念。主要区别是：“中心对称”是指两个图形的空间位置；而“中心对称图形”是指一个图形所具有的性质（特性）。（2）中心对称图形一定是旋转对称图形，旋转对称图形不一定是中心对称图形。（3）找“成中心对称”的两个图形的对称中心的方法：对应点连线的交点，或对应点连线的中点。§15.4图形的全等一、全等形1、定义：能够完全重合的两个图形叫做全等图形，简称全等形。2、一个图形经过翻折、平移和旋转等变换后所得到的图形一定与原图形全等。反之，两个全等的图形经过上述变换后一定能够互相重合。二、全等多边形A

26、BCABC1、定义：能够完全重合的多边形叫做全等多边形。互相重合的点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。2、性质：（1）全等多边形的对应边相等，对应角相等。（2）全等多边形的面积相等。三、全等三角形1、全等符号：“”。如图，不是为：ABCABC。读作：三角形ABC全等于三角形ABC。2、全等三角形的判定定理（1）有两边和它们的夹角对应相等的两三角形全等。（即SAS，“边角边”）（2）有两角和它们的夹边对应相等的两三角形全等。（即ASA，“角边角”）（3）有两角和其中一角的对边对应相等的两三角形全等。（即AAS，“角角边”）（4）有三边对应相等的两三角形全等。（即SSS

27、，“边边边”）（5）有斜边和一条直角边对应相等的两直角三角形全等。（即HL，“斜边直角边”）3、全等三角形的作用（1）用于直接证明线段相等，角相等。（2）用于证明直线的平行关系、垂直关系等。（3）用于测量人不能的到达的路程的长短等。（4）用于间接证明特殊的图形。（如证明等腰三角形、等边三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形和梯形等）。（5）用于解决有关等积等问题。第16章 平行四边形的认识§16.1平行四边形的性质ABCD一、平行四边形的有关概念1、定义：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。2、表示方法：专用符号：“”。如图的平行四边形看表示为：ABCD；读作：“平行四边形ABCD”3、平行四边形的“对边”是指：互相平行的两边；“对角”是指：“开口”相对的两角。4、平行四边形的对角线：指两对角定点的连线。二、平行四边形的性质1、平行四边形的对边相等，对角相等。2、平行四边形的对角线互相平分。3、两平行线之间的距离处处相等。4、平行四边形是中心对称图形。5、S=底×高。§16.2矩形、菱形