二次根式及其运算

1、二次根式二次根式及其运算及其运算 1 1二次根式的概念：二次根式的概念： 式子式子 叫做二次根式叫做二次根式2 2二次根式的性质：二次根式的性质： (1)( )(1)( )2 2 ； (2) (2) | |a a| | (3) (3) (4) (4) 要点梳理要点梳理( (a0)0)a a( (a0)0)a( (a0)0)0( (a0)0)a( (a0)0)ab ( (a00，b0)0)a 3 3二次根式的运算：二次根式的运算： (1)(1)二次根式加减法的实质是合并同类根式；二次根式加减法的实质是合并同类根式； (2)(2)二次根式的乘法：二次根式的乘法： ； (3)(3)二次根式的除法：二

2、次根式的除法： 4 4最简二次根式：最简二次根式： 运算结果中的二次根式，一般都要化成最简二次根式运算结果中的二次根式，一般都要化成最简二次根式 最简二次根式，满足两个条件：最简二次根式，满足两个条件： 被开方数不含分母；被开方数不含分母； 被开方数中不含开得尽方的因数或因式被开方数中不含开得尽方的因数或因式( (a00，b0)0)ab ab ( (a00，b0)0)1 1正确理解二次根式的意义正确理解二次根式的意义 二次根式二次根式 定义中的定义中的“a00”是定义的一个重要组成部分，是定义的一个重要组成部分，不可以省略，因为负数没有平方根，所以当不可以省略，因为负数没有平方根，所以当a00

3、时，没有意时，没有意义在具体问题中，一旦出现了二次根式义在具体问题中，一旦出现了二次根式 ，就意味着，就意味着a00，这通常作为一个重要的隐含条件来应用；被开方数，这通常作为一个重要的隐含条件来应用；被开方数a既可以是具体的数，也可以是单项式或多项式，如：既可以是具体的数，也可以是单项式或多项式，如： 、 ( (ab0)0)、 ( (x3)3)都是二次根式都是二次根式 难点正本难点正本 疑点清源疑点清源 2 2注意正确的化简及二次根式的混合运算注意正确的化简及二次根式的混合运算 实数的混合运算与有理数混合运算相似，而二次根式的混实数的混合运算与有理数混合运算相似，而二次根式的混合运算则与整式、

4、分式的混合运算有很多相似之处，如：合运算则与整式、分式的混合运算有很多相似之处，如：运算顺序都是先算乘方、开方、再算乘除、最后算加减，运算顺序都是先算乘方、开方、再算乘除、最后算加减，如有括号，应先算括号里面的；有理数、整式、分式运算如有括号，应先算括号里面的；有理数、整式、分式运算中的运算律中的运算律( (分配律、结合律、交换律等分配律、结合律、交换律等) )和所有的乘法公和所有的乘法公式式( (平方差公式、完全平方公式平方差公式、完全平方公式) )在二次根式中的运算仍然在二次根式中的运算仍然适用适用3 3与二次根式相关的求值问题与二次根式相关的求值问题 条件二次根式的求值，问题往往与整式、

5、分式综合起来，条件二次根式的求值，问题往往与整式、分式综合起来，因此技巧性较强，解题不要急于动手，宜先统筹好解题的因此技巧性较强，解题不要急于动手，宜先统筹好解题的方法与过程通常是将已知式与求值式化简后，再按照求方法与过程通常是将已知式与求值式化简后，再按照求代数式的方法进行，以简便、准确为目的代数式的方法进行，以简便、准确为目的1 1(2011(2011泉州泉州)()(2)2)2 2的算术平方根是的算术平方根是( () ) A. 2 . 2 B2 2 C2 2 D. . 解析：解析： 2.2.2 2(2011(2011广安广安) )下列运算正确的是下列运算正确的是( () ) A( (x1)

6、1)x1 1 B. . + + C. . 2 2 D( (ab) )2 2a2 2b2 2 解析：因为解析：因为 22， 2020，所以，所以 ( ( 2)2) 2 22 2基础自测基础自测A 2 2 2 C3 3 3 3 32 3 3 3 3 3 3 3 3(2011(2011泰安泰安) )下列运算正确的是下列运算正确的是( () ) A. . 5 5 B4 4 1 1 C. . 9 9 D. . 6 6 解析：解析： 6.6.4 4(2011(2011杭州杭州) )下列各式中，正确的是下列各式中，正确的是( () ) A. . 3 3 B 3 3 C. . 3 3 D. . 3 3 解析：

7、因为解析：因为 3 3，所以，所以 3.3.D2424 3 32 2 24243 32 2 B32 32 36 5 5(2011(2011菏泽菏泽) )实数实数a在数轴上的位置如图所示，则在数轴上的位置如图所示，则 化简后为化简后为( () ) A. 7. 7 B7 7 C2 2a1515D无法确定无法确定 解析：可知解析：可知5 5a0 0，a11113 3或或k B0 0k3 3 解析：要使等式成立，必须解析：要使等式成立，必须 有有 k k 3.3.题型分类题型分类 深度剖析深度剖析D 2k10，k30， k12，k3. (2)(2)已知已知a、b、c是是ABC的三边长，试化简：的三边长

8、，试化简： . . 解：原式解：原式| |abc| | |abc| | |bca| | |cab| | ( (abc) )( (bca) )( (cab) )( (abc) ) 2 2a2 2b2 2c. .探究提高探究提高 1.1.对于二次根式，它有意义的条件是被开方数非负对于二次根式，它有意义的条件是被开方数非负. . 2. 2.注意二次根式性质注意二次根式性质( ( ) )2 2a( (a0)0)， | |a| |的区别，的区别， 判断出各式的正负性，再化简判断出各式的正负性，再化简知能迁移知能迁移1 1( ( 1 1 )()( ) )2 2的平方根是的平方根是_，9 9的算术平的算术平

9、方根方根 是是_，_是是6464的立方根的立方根 解析：解析：( ( ) )2 2 2 2 , , 2 2的平方根是的平方根是 ； 3 3； 4.4.2 2 3 34 42 2 2 2 9 9 3 36464 (2)(2011(2)(2011烟台烟台) )如果如果 1 12 2a，则，则( ( ) ) Aa B. . a Ca D. . a 解析：由解析：由1 12 2a00，得，得a . .B1 12 2 (3)(3)若化简若化简 |1|1x| | 的结果为的结果为2 2x5 5，则则x的取值范围是的取值范围是_ 解析：解析：|1|1x| | ( (x1)1)(4(4x) )2 2x5 5，

10、 |1|1x| |x1010，x11， 且且 4 4x00，x4.4. 1 1x4.4.11x44x28x16 x28x16 题型二二次根式的运算题型二二次根式的运算【例例2 2】 (1) (1)下列运算正确的是下列运算正确的是( ( ) ) A2 2 4 4 6 6 B. . 4 4 C. . 3 3 D. . 3 3 解析：解析： 3 3，选，选C. . (2) (2)计算：计算： 2 .2 . 解：原式解：原式2 2 . .C2727 3 3 273273 9 9 6 6 1 12 2 6 6 1 13 3 6 6 1 13 3 6 6 3 32 2 6 6 (3)(3)计算：计算： 解

11、：原式解：原式 1515 6 .6 .4 45 5 1 12 2 45451515 4 45 5 1 12 2 3 3 3 3 探究提高探究提高 1.1.二次根式化简，依据二次根式化简，依据 ( (a00，b0)0)， ( (a00，b0)0)，前者将被开方数变形为，前者将被开方数变形为有有m2 2 ( (m为正整数为正整数) )因式，后者分子、分母同时乘一个适当的因式，后者分子、分母同时乘一个适当的 数使分母变形为数使分母变形为m2 2( (m为正整数为正整数) )的形式，即可将其移到的形式，即可将其移到 根号外根号外. . 2. 2.二次根式加减，即化简之后合并同类二次根式二次根式加减，即

12、化简之后合并同类二次根式 3 3二次根式乘除结果要化简为最简二次根式二次根式乘除结果要化简为最简二次根式知能迁移知能迁移2 2(1)(2011(1)(2011潍坊潍坊) )下面计算正确的是下面计算正确的是( ( ) ) A3 3 3 3 B. . 3 3 C. . D. . 2 2 解析：解析： 3.3.B2727 3 3 9 9 (2)(2)如图，数轴上如图，数轴上A、B两点表示的数分别为两点表示的数分别为1 1和和 ，点，点B关于关于 点点A的对称点为的对称点为C，则点，则点C所表示的数为所表示的数为( ( ) ) A2 2 B1 1 C2 2 D1 1 解析：解析：A、B两点表示的数分别

13、是两点表示的数分别是1 1和和 ， OA| |1|1|1 1，OB| | | | ，AB1 1 AC， OCACOA(1(1 ) )1 12 2 . . 点点C所表示的数为所表示的数为(2(2 ) )2 2 ，选，选A. . A3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 题型三二次根式混合运算题型三二次根式混合运算【例例3 3】 计算：计算： (1)(3 (1)(3 1)(11)(13 3 ) )(2 (2 1)1)2 2； (2)( (2)( 3)3)20102010( ( 3)3)20102010. . 解题示范解题示范规范步骤，该得的分，一分不丢！规范步骤，该得的分，

14、一分不丢！ 解：解：(1)(1)原式原式(3 (3 ) )2 21 1(2 (2 ) )2 24 4 11 18181 18 84 4 1 21 2分分 8 84 44 4分分 (2) (2)原式原式( ( 3)( 3)( 3)3)2010 2010 22分分 ( ( ) )2 23 32 2 20102010 (10(109)9)201020101 41 4分分 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1010 1010 1010 探究提高探究提高 1.1.二次根式混合运算，把若干个知识点综合在一起，二次根式混合运算，把若干个知识点综合在一起，计算时要认真仔细计算时要认真仔细. . 2. 2

15、.可以适当改变运算顺序，使运算简便可以适当改变运算顺序，使运算简便知能迁移知能迁移3 3(1) (1) ( ( ) )0 0 解：原式解：原式3 3 3 3 1 1 1 12 2 2 2 (2)(2)(3)3)2 2 ( ( ) )1 1； 解：原式解：原式9 92 22 29 9(3)(3)已知已知 的整数部分为的整数部分为a，小数部分为，小数部分为b，求，求a2 2b2 2的值的值 解：解：3 3 4 4， 的整数部分的整数部分a3 3，小数部分，小数部分b 3.3. a2 2b2 23 32 2( ( 3)3)2 2 9 9(10(106 6 9)9) 1010 6 6 . .1010

16、1010 1010 1010 1010 1010 题型四二次根式运算中的技巧题型四二次根式运算中的技巧【例例4 4】 (1) (1)已知已知x2 2 ，y2 2 ，求：，求：x2 2xyy2 2的的值；值； (2)(2)已知已知x 3 3，求，求x 的值的值 解：解：(1)(1)x2 2 ，y2 2 ， xy(2(2 ) )(2(2 ) )4 4， xy(2(2 ) )(2(2 ) )1 1， x2 2xyy2 2( (xy) )2 2xy4 42 21 115.15. (2) (2) 4 4( (3)3)2 24 45 5， x . .3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 ( (

17、x ) )2 21 1x ( ( x ) )2 21 1x 1 1x 5 5 探究提高探究提高 1.1.x2 2xyy2 2是一个对称式，可先求出基本对称式是一个对称式，可先求出基本对称式xy4 4， xy1 1，然后将，然后将x2 2xyy2 2转化为转化为( (xy) )2 2xy，整体代入即可，整体代入即可. . 2. 2.注意到注意到( (x ) )2 2( (x ) )2 24 4，可得，可得( (x ) )2 25 5， x . .5 5 知能迁移知能迁移4 4(1)(1)若若y x3 3，则，则1010 x2 2y的的 平方根为平方根为_； 解析：解析：(1) (1) x2 2，

18、y2 23 38 8， 6.6. 3 3x6 60 06 63 3x0 0， x2 2，x2 2， 1010 x2 2y 10102 22 28 8 3636 6 6(2)(2)已知已知a3 32 2 ，b3 32 2 ，求，求a2 2bab2 2的的值；值； 解：解：ab(3(32 2 ) )(3(32 2 ) )4 4 ， ab(3(32 2 )(3 )(32 2 ) )1111， a2 2bab2 2ab( (ab) )( (11)11)4 4 4444 . .5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 (3)(3)已知已知x ，y ，求，求 的值；的值； 解：解：x ( (

19、 1)1)2 23 32 2 ， y ( ( 1)1)2 23 32 2 ， xy6 6，xy4 4 ，xy1.1. 原式原式 . .2 21 12 21 1 2 21 11 1 2 22 21 12 21 1 2 2 2 2 2 21 12 21 1 2 2 2 2 2 2 xy xy xy 2 22 2xy 6 6 4 4 2 2 6 62 22 21 1 2424 2 23434 12121717 2 2 (4)(2011(4)(2011内江内江) )已知已知|6|63 3m| |( (n5)5)2 23 3m6 6 ， 则则mn_._. 解析：由解析：由|6|63 3m| |( (n5

20、)5)2 23 3m6 6 ， 得得|6|63 3m| |( (n5)5)2 2 3 3m6 6， |6|63 3m| |( (n5)5)2 2| |n| | 3 3m6 6， m3 30 0且且n5 50 0， m3 3，n5 5，mn3 35 52.2.2 2 m3 3 n2 2 m3 3 n2 2 m3 3 答题规范答题规范2 2注意二次根式运算中隐含条件注意二次根式运算中隐含条件考题再现已知：考题再现已知：a ，求，求 的值的值学生作答解：原式学生作答解：原式 a1 1 a1 1 . . 当当a 时，时， 原式原式 1 1(2(2 ) )1 12 2 . . a1 1 a1 1 a1

21、1 a1 1 2 2a a1 1 a1 1a a1 1 1 1a 1 12 2 3 3 1 12 2 3 3 3 3 3 3 规范解答规范解答 解：解：a 1 1，a1 10.0. | |a1|1|1 1a. . 原式原式 a1 1 . . 当当a 时，时， 原式原式 1 1(2(2 ) )3.3.1 12 2 3 3 a2 22 2a1 1 a1 1 2 2 a1 1 a1 1 a1 1 1 1aa a1 1 1 1a 1 12 2 3 3 1 12 2 3 3 3 3 老师忠告老师忠告 (1)(1)题目中的隐含条件为题目中的隐含条件为a 1 1，所以，所以 | |a1|1|1 1a，而不是

22、，而不是a1 1； (2)(2)注意挖掘题目中的隐含条件，是解决数学问题的关键之注意挖掘题目中的隐含条件，是解决数学问题的关键之一，上题中的隐含条件一，上题中的隐含条件a | |a1|1| 1 1a是进行二次根式化简的依据，同学们应注重分析能力是进行二次根式化简的依据，同学们应注重分析能力 的培养，提高解题的正确性的培养，提高解题的正确性. . 1 12 2 3 3 a2 22 2a1 1 a1 1 2 2 a2 22 2a1 1 a1 1 2 2 思想方法思想方法 感悟提高感悟提高方法技巧方法技巧1.1.二次根式相加减，必须先化成最简二次根式，才能有效地合二次根式相加减，必须先化成最简二次根式，才能有效地合并同类二次根式；二次根式乘除，不必化简为最简二次根式，并同类二次根式；二次根式乘除，不必化简为最简二次根式，因为有时在乘除中可直接约分为最简二次根式或有理式，即