一元二次方程根与系数的关系

1、 音乐能激发或抚慰情怀，绘画使人赏心悦目，诗歌能动人心弦，哲学使人获得智慧，科学可改善物质生活，但数学能给予以上的一切。 克莱因.屯字中学：张金平屯字中学：张金平时间：时间：2009年年9月月21日日一元二次方程的一般形式是什么？它的求根公式又是什么？一元二次方程的一般形式是什么？它的求根公式又是什么？一般形式一般形式：求根公式：求根公式：) 04(2422acbaacbbxax+bx+c=0(a0) 从因式分解法可知，方程（从因式分解法可知，方程（x-x1)(x-x2)=0的两根为的两根为x1和和x2，将方程，将方程化为化为x2+px+q=0的形式，你能看出的形式，你能看出x1，x2与与p，

2、q之间的关系吗？之间的关系吗？化为一般形式为化为一般形式为:X2-(x1+x2)x+x1x2=0二次项系数是二次项系数是:一次项系数一次项系数:p=常数项常数项:q=-（x1+x2)1x1x2上述方程的两根的和、积分别与系数有如下关系：X1+x2=X1x2=-pq验证：（验证：（1）x2-3x+2=0; (2) x2+x=0.探究下表的奥秘，并完成填空：探究下表的奥秘，并完成填空：一元二次方程 两个根 两根的和 两根的积3x2+x-2=0X1= ;x2=X1+x2=X1x2=2x2+5x+2=0X1= ;x2=X1+x2=X1x2=4x2+13x+3=0 X1= ;x2=X1+x2=X1x2=

3、32-1313221-225141-3413431.猜想结论：若一元二次方程猜想结论：若一元二次方程ax2+bx+c=0(a0）的两根分别）的两根分别为为x1,x2,则则x1+x2= ; x1x2= abac2.如何证明你的猜想？如何证明你的猜想？观察实验是针对观察实验是针对特例的，推导证特例的，推导证明才是针对一般明才是针对一般对象的！对象的！证证明明： 对于一元二次方程对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a0）,根据求根公式可知，方程的两根为根据求根公式可知，方程的两根为aacbbx2421aacbbx2422,2224242221ababaacbbaacbbxxacaacbbaacbb

4、aacbbxx22222214)4()(2424因此，方程的两根因此，方程的两根x1,x2和系数和系数a,b,c有如下关系：有如下关系：,21abxx.21acxx 这表明任何一元二次方程的根与系数的关系为：这表明任何一元二次方程的根与系数的关系为：两根两根的和等于一次项系数二次项系数的比的相反数，两根的积的和等于一次项系数二次项系数的比的相反数，两根的积等于常数项与二次项系数的比。等于常数项与二次项系数的比。这个结论也叫着这个结论也叫着“韦达定理韦达定理”。例例4.根据一元二次方程的根与系数的关系，根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两根求下列方程两根x1,x2的和与积的和与积 x2-6x-15=0; 3x2+7x-9=0; 5x-1=4x2.解：解： x1+x2= -(-6)=6, x1x2= -15.,3721xx. 33921xx方程化为4x2-5x+1=0,454521xx4121xx1.不解方程，求下列方程两根的和与积：不解方程，求下列方程两根的和与积：(1) x2-3x=15;(2) 5x2-1=4x2+x;解：（1）x2-3x-15=0；x1+x2=3;x1x2= -15（2）x2-x-1=0 ;x1+x2=1;x1x2= -12.口答教科书口答教科书P42习题习题22.2第第3、4题，