第二章_连续时间系统的时域分析2014年2月27日稿

1、第二章连续时间系统的时域分析目录2.1连续时间系统的数学模型一、连续时间系统数学模型的建立二、连续时间系统的数学模型一般形式三、起始状态r (k ) (0- )和初始条件r (k ) (0+ )系统微分方程的解一、时域经典法二、全响应r(t )的三种分解方式零输入响应和零状态响应一、零输入响应rzi (t )的定义及其求法二、零状态响应rzs (t ) 的定义及其求法三、常系数线性微分方程描述的系统的线性扩展冲激响应和阶跃响应一、冲激响应h(t )的定义二、冲激响应h(t )的求法三、阶跃响应 g(t )的定义及其求法四、冲激响应h(t )与阶跃响应 g(t )的关系2.22.32.4五、零状

2、态响应r (t ) = e(t )* h(t ) = e' (t )* g(t )zs2.5卷积一、卷积的定义二、利用卷积求零状态响应三、卷积的图形解释四、卷积的性质五、几个常用信号之间的卷积六、卷积的计算方法1第二章连续时间系统的时域分析2.1 连续时间系统的数学模型一、连续时间系统数学模型的建立原则上，具体问题的数学模型，由具体物理定律列写。在电学系统中，由电网络结构的约束特性：基尔霍夫第一定律（KCL）和基尔霍夫第二定律（KVL），以及元件的约束特性来建立描述连续时间系统（线性电路）的数学模型。电网络结构的约束特性，即各支路电流、电压的关系：KCL： å± i

3、(t ) = 0nKVL： å± u(t ) = 0n元件约束特性：电阻： uR (t ) = RiR (t )电容： i (t ) = C duC (t ) 或u (t ) = 1i (t )dttòCCCdtC-¥电感： u (t ) = L diL (t ) 或i (t ) =1Lu (t )dttòLLLdt-¥建立连续时间系统数学模型，不是本课程主要讨论的问题。二、连续时间系统的数学模型一般形式d nd n-1dC0 dtn r (t ) + C1 dtn-1 r (t ) +L + Cn-1 dt r (t ) + Cnr

4、 (t )dm-1dmdE0 dtm e (t ) + E1 dtm-1 e (t ) +L + Em-1 dt e (t ) + Eme (t )=或d n-1d ndt nd( ) +( ) + L + a1r tdt( ) + a0r t( )r tan-1 dt n-1 r td m-1d md( ) + bm-1e tdt m-1( ) +L + b1e t dt( ) + b0e t( )= bme tdt m结论：描述n 阶线性时不变连续时间系统的数学模型是一个n 阶线性常系数微分方程。2三、起始状态r(k) (0 ) 和初始条件r(k) (0 )-+在系统分析中，把响应区间确定

5、为激励信号e(t ) 加入之后系统状态变化区间。一般激励都是从t = 0 时刻加入，这样系统的响应区间定为0+ £ t < ¥ （也可表述为0 < t < ¥ ）。0-0+tO1、起始状态r(k) (0 )-系统在激励信号e (t ) 加入之前瞬间t = 0- 的一组状态称为系统的起始状态（简称0- 状态），它包含了为计算未来响应的全部“过去”信息。éùd n-1d(k )()()() = r 0,r 0,L,r(0r 0-ê- ú-n-1dtdtëû注意：对于一个具体的电网络，系统的0

6、- 状态就是系统中储能元件的储能情况决定的状态。2、初始条件r(k) (0 )+系统在t = 0+ 时刻的一组状态称为系统的初始条件，简称0+ 状态或“导出的起始状态”。éd n-1ùd(k )()()() = r 0,r 0,L,r(0r 0+ê+ ú+n-1dtdtëû注意：（1）对于一个具体的电网络，系统的0- 状态就是系统中储能元件的储能情况。一般情况下换路期间电容两端的电压和流过电感中的电流发生突变。这就是在电路分析中的换路定则： uC (0- ) = uC (0+ ) ， iL (0- ) = iL (0+ )。（2）当有

7、冲激电流强迫作用于电容或有冲激电压强迫作用于电感，0- 到0+状态就会发生跳变。（3）当系统已经用微分方程表示时，系统从0- 状态到0+ 状态有没有跳变取3决于微分方程右端自由项是否包含d (t )及其各阶导数项。如果包含有d (t )及其各阶导数，说明响应的0- 到0+ 状态发生了跳变，即r(0+ ) ¹ r(0- ) 或r (0+ ) ¹ r (0- )等''等。（4）初始条件r (k ) (0 )与起始状态r (k ) (0)(k )之差，称为跳变量，记为r(0 ) 。+-zs+跳变量由原方程根据冲激函数匹配法求得。后面将证明这个跳变量r(k) (0

8、) 也就zs+是零状态响应的初始条件。3、冲激函数匹配法求系统响应跳变量的原理及方法冲激函数匹配法的基本原理有三条：（1） 对于一个描述连续时间系统的微分方程，由于它在整个时间范围(- ¥,+¥)内都成立，它在任一特定时刻当然也成立。在引入d 函数以前，函数在不连续点（跳变点）的导数不存在。这样，一个微分方程就不能在整个时间范围内成立。d 函数的引入解决了函数在跳变点处导数存在的问题，从而使得一个微分方程在整个时间范围内成立了。（2） 由于定义了d (t ) = d u(t ) ， d ' (t ) = d d (t )，Ldd这表明函数在跳变点处的导数要出现冲激函

9、数项。因此，如果由于激励信号的加入，在微分方程右端出现了冲激函数项ad (t ) ，bd ' (t )等，则方程左端也应有对应的冲激函数项。匹配就是使方程左端产生这样一些对应相等的冲激函数，而这些函数的产生，意味着存在0- 状态到0+ 状态的跳变量。函数只匹配d (t )及其各阶导数项，使方程两端这些函数项对应相等。（3）匹配从方程左端r (k ) (t )的最高阶项开始，使方程右端d 函数导数的最高阶次项得到匹配。下面举例说明冲激函数匹配法求跳变量的原理及方法。d 3d 2d( ) +( ) + 5r t dt( ) + 2r t( ) = d ( )d ( )t + 3'&

10、#39;例 2.1.1 设某系统方程为r tdt 34dt 2r tt ，求跳变量r (0 )， r (0 )， r (0 )。'''zs+zs+zs+d 3dt 3r(t ) = ad (t )+ bd (t )+ cd (t )+ dDu(t )'''解：设4d 2dt 2( ) = ad ( )bd ( )+( )t +Dr t'tcu tddtr(t ) = ad (t )+ bDu(t )r(t ) = aDu(t )其中Du(t ) 表示0- 到0+ 相对代入原方程得ad '' (t )+ bd ' (

11、t )+ cd (t )+ dDu(t )+ 4ad ' (t )+ 4bd (t )+ 4cDu(t )+ 5ad (t )+ 5bDu(t )+ 2aDu(t ) = d '' (t )+ 3d (t )比较等式两端d (t )及其各阶导数项的系数，得ìa = 1跳变函数ïb + 4a = 0ïíïc + 4b + 5a = 3ïîd + 4c + 5b + 2a = 0联立求解得ìa = 1ïb = -4ïíïc = 14ïî

12、d = -38d 3( ) = d ( )d ( )d ( )-( )''t - 4't + 14D故r tdt 3t38u td 2( ) = d ( )d ( )+( )t - 4t14D'r tdt 2u tddtr(t ) = d (t )- 4Du(t )r(t ) = Du(t )所以r (0 ) = r ''' (0 ) - r ''' (0 ) = -38'''zs+-(0 ) = r '' (0 ) - r '' (0 ) = 14'

13、'rzs+-5(0 ) = r ' (0 ) - r ' (0 ) = -4r 'zs+-rzs (0+ ) = r(0+ ) - r(0- ) = 1d例 2.1.2 设某系统方程为r(t ) + 3r(t ) = 3d ' (t )，已知r(0 )，求r(0 )。-+dt解：dr (t ) + 3r (t )= 3d ¢(t )dt3d ¢(t )3d ¢(t )® 3d (t )´ 3- 9d (t )9d (t )- 9Du(t )所以r(0+ ) - r(0- ) = -9故 r(0+ ) =

14、-9 + r(0- )d事实上，方程右端含d ' (t )项，它一定含在方程左端最高阶导数r(t )中，dtd因此，设r(t ) = ad ' (t ) + bd (t ) + cDu(t )dt则 r(t ) = ad (t ) + bDu(t )代入原方程得ad ' (t ) + bd (t ) + cDu(t ) + 3ad (t ) + 3bDu(t ) = 3d ' (t )比较等式两端d (t )、d ' (t )项的系数，得ìa = 3ïíb + 3a = 0ïc + 3b = 0î即

15、36;a = 3ïíb = -9ïc = 27î6所以 r(t ) = 3d (t ) - 9Du(t ) 故r(0+ ) - r(0- ) = -9即r(0+ ) = -9 + r(0- )2.2 系统微分方程的解含有起始状态的线性时不变系统如图 2.1 所示。x(0- )e(t )r(t )图 2.1含起始状态系统方框图系统微分方程的解，称为系统的全响应r (t ) 。求解系统微分方程，称为求系统响应。r(t ) = H e(t )+ H x(0- )求响应有三种方法：时域经典法、零输入和零状态法、变换域法。一、时域经典法全解 = 齐次解 + 特解，

16、由初始条件确定出齐次解中的待定系数。用经典法求全响应的步骤：1、由原微分方程写出特征方程+ aa+L + a a + aa nn-1= 0 ，求出特征n-110根a1 ，a 2 ，L，a n ，称为自然频率或固有频率。2、根据特征根的不同形式，写出所对应的齐次解rh (t )的形式。（1）若其特征根均为各不相同的单根，则设齐次解为：nr (t ) =A eåa tihii=1（2）若其特征方程有一个k 重根，例如，a1 为k 重根，a1 = a 2 = L = a k ，其余n - k 个根为单根。则设齐次解为：kr (t ) = ånål tk -i a te+

17、A eA tj1hiji=1j =k +13、求特解rp (t )7LTI系统特解的函数形式与激励函数形式有关，几种典型激励函数对应的特解形式见表 2-1。表 2-1 与几种典型激励函数对应的特解注：（1）表中 B 、 D 是待定系数。（2）若由几种激励函数组合，则特解也为其相应的组合。4、写出全解r(t ) = rh (t ) + rp (t )5、由初始条件确定待定系数。设激励信号在 t = 0 时刻加入，微分方程求解的区间是 0 < t < ¥ （或者dr(0+ )d 2r(0+ )()、0+ £ t < ¥ ）。对于 n 阶微分方程，利用

18、n 个初始条件：r 0+、，dtdt 2d n-1r(0+ )L，即可确定全部待定系数。dt n-1二、全响应r (t ) 的三种分解方式全响应可按以下三种方式分解。1、全响应r (t ) 零输入响应rzi (t ) 零状态响应rzs (t )注意：在求解系统的完全响应r (t ) 时，要用到有关的三个量是： 起始状态r (k ) (0- )：确定零输入响应中的待定系数；8激励函数e(t )响应函数r(t )的特解E （常数）Bt pB t p + B t p-1 +L + B t + B12pp+1e atBeatcos(wt )B1 cos(wt ) + B2 sin(wt )sin(wt

19、 )t peat cos(wt )(B t p +L + B t + B)eat cos(wt ) +1pp+1(D t p +L + D t + D)eat sin(wt )1pp+1t peat sin(wt )跳变量r(0 )：确定零状态响应中的待定系数；(k )zs+初始条件r (k ) (0+ )：确定全响应（齐次解）中的待定系数；这三个量之间的关系是： r(0 ) = r (k ) (0 ) - r (k ) (0 )。(k )zs+-根据完全响应、零状态响应、零输入响应的定义和微分方程解的存在与唯一性定理，以上三种响应的定解问题分别归结为：完全响应r (t ) 的定解条件是：&#

20、236;原方程ír (k ) (0)î初始条件+零状态响应rzs (t ) 的定解条件是：ì原方程ír(0 )（即：跳变量r(0 )）(k )(k )î零状态响应的初始条件zs+zs+由此可见，零状态响应的函数形式与完全响应的函数形式相同。零输入响应rzi (t ) 的定解条件是：ì原方程的齐次方程í起始状态r(0 )(k )î-2、全响应r (t ) 自由响应rh (t ) 强迫响应rp (t )微分方程的齐次解就是自由响应，微分方程的特解就是强迫响应。3、全响应r (t ) 瞬态响应稳态响应系统响应中随着时间增

21、长而趋于零的部分称为瞬态响应分量，随着时间增长而趋于稳定的部分称为稳态响应分量。2.3 零输入响应和零状态响应一、零输入响应rzi (t ) 的定义及其求法1、定义没有外加激励信号的作用，只有起始状态（起始时刻系统储能）所产生的响应，称为零输入响应。以rzi (t )表示。如图 2.2 所示。9x(0- )¹ 0r (t )( ) = 0e tzi图 2.2零输入响应rzi (t ) = H x(0- )零输入响应rzi (t ) 满足的微分方程为：d ndt nd n-1d( )+( )+( )+( ) =tL +rzitan-1 dt n-1 rzia1 dt rzita0 rz

22、it02、零输入响应rzi (t ) 的求解步骤（1）写出特征方程+ aa+L + a a + aa nn-1= 0 ，n-110求出特征根a1 ，a 2 ，L，a n（2）根据特征根的不同形式，写出所对应的齐次解形式。若其特征根均为单根，则设零输入响应为nr (t ) = å Aea ktzizikk =1若其特征方程中有一个m 阶重根a 时，则设零输入响应为r (t ) = (At m-1 )eat +其它相应的齐次解+ A t +L+ Azim-1zizi 0zi1（3）由r (k ) (0- )确定n 个待定常数 A。zik二、零状态响应rzs (t ) 的定义及其求法1、定

23、义不考虑起始时刻系统储能的作用（起始状态等于零），由系统的外加激励信号所产生的响应，称为零状态响应。以rzs (t ) 表示。如图 2.3 所示。x(0- )= 0r (t )( ) ¹ 0e tzs图 2.3零状态响应rzs (t ) = H e(t )零状态响应rzs (t ) 满足的微分方程为：10LTI系统LTI系统d n-1d ndt nd( ) +( ) +( ) +( )tL +rzstan-1 dt n-1 rzsa1 dt rzsta0 rzstd m-1d md( ) + bm-1e tdt m-1( ) +L + b1e t dt( ) + b0e t( )=

24、bme tdt m2、零状态响应rzs (t ) 的求解步骤零状态响应rzs (t ) 的求解有两种方法。方法一：直接求解微分方程（经典法）。步骤：（1）求出通解；（2）由跳变量 r(0 ) = r (k ) (0 ) - r (k ) (0 )确定n 个待定常数。(k )zs+-方法二：卷积法步骤：（1）先求冲激响应h(t )；（2）再利用rzs (t ) = h(t )* e(t )求零状态响应。3、零状态响应的初始条件r(k) (0 ) 就是系统的初始条件r (k ) (0 )与起始状态zs+r (k ) (0- )之差，即系统响应r (k ) (t )由0 到0 状态跳变量。-+亦即r

25、(k) (0 ) 、r(k) (0 ) 、r(k) (0 ) 之间的关系为： r(0 ) = r (k ) (0 ) - r (k ) (0 )。(k )-+zs+zs+-证明： r (t ) = rzi (t ) + rzs (t )()( )()( )()( )rt = rt + rt ， k = 0 ，1，2，L， n -1kkkzizs显然，上式对t = 0- ， t = 0+ 也成立，即r(k ) (0r(k ) (0)(k )()(k )()= r0+ r0-zi-zs-(k )()(k )(= r0+ r0+zizs对于零状态响应，在t = 0- 时刻激励尚未接入，故应有()()

26、 = 0kr0-zs对于零输入响应，没有激励作用，系统前后的状态发生改变，故应有r(0 ) =r(0 ) = r (k ) (0 )(k )(k )zi+zi-()() = r(k) (0 )()() = r(k) (0 ) - r(k) (0 )k- r0k故 r0+-zszi11亦即，零状态响应的初始条件就是系统的初始条件 r (k ) (0+ ) 与起始状态r (k ) (0- )之差，即系统响应r (k ) (t )由0 到0 状态跳变量。-+dr (t ) dt+ 3r (t ) = 3e (t ) ， 激励 e (t ) = u (t ) ，起始状态例 2.3.1 已知系统方程为)

27、 = 3 ，求自由响应、强迫响应、零输入响应、零状态响应和完全响应。r (0-2解：（1）特征方程为a + 3 = 0 ，特征根为a = -3齐次解为 Ae-3t ，特解为 1设完全响应为r (t ) = Ae-3t +1激励e (t ) = u (t ) 代入系统方程后，右端没有d 函数项，因此，方程左端也不会有d 函数。这表明响应在起始点连续，没有跳变，即r (0 ) = r (0 ) = 3+-2代入完全响应r (t ) = Ae-3t +1，得r (0 ) = A +1 = 3 ，解得 A = 1+22r (t ) = 1 e-3t +1， t > 0所以2其中，自由响应 1 e

28、-3t ，强迫响应12（2）求零输入响应dr (t ) + 3r (t ) = 0zizidtr (0 ) = r(0 ) = 3zi+-2e-3t ，代入r (0 ) = 3 ，得 A= 32(t ) = A 设零输入响应为 r-zizizi2(t ) = 3 e-3t于是零输入响应rzi2（3）求零状态响应dr (t ) + 3r (t ) = 3u(t )zszsdtrzs (0+ ) = 0设零状态响应r(t ) = Ae-3t +1zszs代入rzs (0+ ) = 0 得， rzs (0+ ) = Azs +1 = 0 ，即 Azs= -1(t ) = -e-3t +1于是零状态响

29、应rzs12将以上结果写作完全响应r (t ) = r (t ) + r (t ) = 3 e-3t - e-3t +1 = 1 e-3t+ 1， t > 0zizs22例 2.3.2 描述某 LTI 系统的微分方程为d 2dt 2dd( ) + 3r t dt( ) + 2r t( ) = 2e t dt( ) + 6e t( )r t已知r(0- ) = 2 ， r ' (0- ) = 0 ， e(t ) = u(t ) ，求该系统的全响应，并指出其自由响应、强迫响应、零输入响应、零状态响应各分量。解：将e(t ) = u(t )代入原方程有d 2dt 2d( ) + 3r

30、t dt( ) + 2r t( ) = 2d ( ) +( )r tt6u t（1）方法一：利用初始条件r ' (0+ )、r(0+ )，求完全响应，再由输入为零的条件求零输入响应，而零状态响应等于完全响应减去零输入响应。（1）完全响应方程（1）的特征方程为 a 2 + 3a + 2 = 0特征根为 a1 = -1，a 2 = -2A e-t + A e-2t可设方程（1）的齐次解为12因为方程（1）在t > 0 时，可写为d 2dt 2d( ) + 3r t dt( ) + 2r t( ) = 6r t显然，方程（1）的特解可设为常数 B ，把 B 代入上式，求得B = 3所以

31、方程（1）的完全响应为齐次解+特解：r(t ) = A e-t + A e-2t+ 312根据方程（1）左边有d (t )项，初始条件不等于起始状态（ r (k ) (0+ ) ¹ r (k ) (0- )），下面用冲激函数匹配法由起始状态r (k ) (0- )求初始条件r (k ) (0+ )。因为方程（1）右端d 函数求导的最高阶次是零次，所以设d 2dt 2( ) = ad ( ) +( )Dr ttbu t13ddtr(t ) = aDu(t )r(t ) = 0代入方程（1）得ad (t ) + bDu(t ) + 3aDu(t ) + 2atDu(t ) = 2d (t

32、 ) + 6u(t )比较等式两端d (t )项的系数，得a = 2所以dr(t ) = 2Du(t )dtr(t ) = 0故 rzs (0+ ) = r(0+ ) - r(0- ) = 0 ，即r(0+ ) = r(0- ) = 2r ' (0+ ) = r ' (0- ) + 2 = 2(0+ ) = r ' (0 ) - r ' (0 ) = 2 ，即r '+-zs代入完全响应确定系数，得= 0ìA1íA= -1î 2所以系统的完全响应为r(t ) = -e-2t + 3 ， t ³ 0+因为特解为 3，所

33、以强迫响应是 3，自由响应是- e-2t 。（2）零输入响应零输入响应满足的微分方程为d 2dt 2d( ) +t3rzi ( ) +dtt2rzi ( ) =rzit0定解条件为：rzi (0+ ) = rzi (0- ) = r(0- ) = 2r (0 ) =r (0 ) = r ' (0 ) = 0''zi+zi-设系统的零输入响应为r (t ) = Ae-te-2t+ Azizi1zi 2把定解条件代入上式求解得：14ìAzi1= 4= -2íAî zi 2所以，系统的零输入响应为r (t ) = 4e-t - 2e-2t ， t

34、 ³ 0+zi（3）零状态响应零状态响应=完全响应零输入响应，即r (t ) = -4e-t+ e-2t+ 3 ， t ³ 0+zs方法二：用方法一求零输入响应的方法求零输入响应，利用跳变量rzs (0+ )，(0 )来求零状态响应，零状态响应加上零输入响应等于完全响应。r 'zs+（1）零状态响应零状态响应满足的微分方程为d 2dt 2d( ) +t3rzs ( ) +dtt2rzs ( ) =d ( ) +( )rzst2t6u t因为微分方程的右端含有d (t )，所以系统从0- 状态到0+ 状态有跳变量。求跳变量的方法、步骤和结果与（1）相同，所以求零状态响

35、应的定解条件为：rzs (0+ ) = r(0+ ) - r(0- ) = 0 ，(0 ) = r ' (0 ) - r ' (0 ) = 2r 'zs+-零状态响应的函数形式与完全响应的函数形式相同，所以可设零状态响应为： r (t ) = Ae-t+ Ae-2t+ 3 ， t ³ 0+zszs1zs 2由零状态响应的定解条件，确定上式系数得= -4ìAzs1íA= 1î zs 2r (t ) = -4e-t+ e-2t+ 3 ， t ³ 0+故zs（2）零输入响应与方法一完全相同，求得零输入响应为：r (t ) =

36、4e-t - 2e-2t ， t ³ 0+zi（3）完全响应15r(t ) = rzs (t ) + rzi (t )= -4e-t+ e-2t+ 3 + 4e-t- 2e-2t = -e-2t+ 3 ，t ³ 0+三、常系数线性微分方程描述的系统的线性扩展（1） 响应的可分解性：系统响应可以分解为零输入响应和零状态响应。（2） 零状态线性：当起始状态为零时，系统的零状态响应rzs (t ) 对于外加激励信号呈线性，称为零状态线性。（3） 零输入线性：当外加激励为零时，系统的零输入响应rzi (t ) 对于各起始状态呈线性关系，称为零输入线性。2.4 冲激响应和阶跃响应一、

37、冲激响应h (t ) 的定义冲激信号d (t ) 的激励下产生的零状态响应，称为冲激响定义：系统在应。以h(t )表示。如图 2.4 所示。x(0- )= 0d (t )h(t )图 2.4冲激响应h(t ) = H d (t )冲激响应h (t ) 满足的微分方程为：d n-1d ndt nd( ) +( ) + L + a1h tdt( ) + a0h t( )h tan-1 dt n-1 h td m-1d md= bmd ( ) +d ( ) +d ( ) +tb0d ( )tL +tbm-1 dt m-1b1 dttdt m由于冲激函数仅在t = 0 处作用，而在t > 0 区

38、间函数为零。也就是说，激励信号d (t ) 的作用是在t = 0 的瞬间给系统输入了若干能量，储存在系统中，而在t > 0 （或者t ³ 0+ ）系统的激励为零，只有冲激引入的那些储能在起作用，因而系统的冲激响应由上述储能唯一地确定。因此，系统的冲激响应与该系统的零输16LTI系统入响应（即相应的齐次解）具有相同的函数形式。二、冲激响应h (t ) 的求法待求h (t ) 应保证左、右两端冲激函数及其各阶导数相平衡，h (t ) 的形式将与m 和n 的相对大小有着密切关系。当n > m 时，h (t ) 中不含d (t )及其各阶导数；当n = m 时，h (t ) 中应

39、包含d (t )； 当n < m 时， h (t ) 中应包含d (t )及其各阶导数。1、n > m方法一：比较系数（等式两端奇异函数项相平衡）法求h (t )步骤：（1）先求特征根，直接写出冲激响应的函数形式；（2）再用冲激函数平衡法确定系数 Ak 。例 2.4.1 设描述系统的微分方程为d 2dt 2dd( ) + 4r t dt( ) + 3r t( ) =e t dt( ) + e t( )，试求其冲激响应。r t解：冲激响应h (t ) 满足的微分方程为d 2dt 2dd( ) + 4h t dt( ) + 3h t( ) =d ( ) + d ( )h tttdt特征

40、方程为 a 2 + 4a + 3 = 0特征根 a1 = -1，a 2 = -3t ) = (A e+ A e)于是有 h(u(t )-t-3t12对h (t ) 逐次求导得t ) = (A e+ A e)t ) + ()h (d (u(t )'-t-3t- A e- 3A e-t-3t1212t ) + (- A e- 3A e)= (A + A )d (u(t )-t-3t1212t ) + (- A e- 3A e)t ) + (A e+ 9 A e)h (t ) = (A + A )d (d (u(t )-t-3t-t-3t'''121212代入原方程得

41、t ) + (- A e- 3A e)t ) + (A e+ 9 A e)(A + A )d (d (u(t ) +(A + A )d (t )-t-3t-t-3t'41212121217+ 4(- A e- 3A e)(A e+ A e)u(t ) + 3u(t ) = d (t ) + d (t )-t-3t-t-3t'1212合并得 (A + A )d (t ) + (3A + A )d (t ) = d ' (t ) + d (t )'1212令左右两端d ' (t )的系数以及d (t )的系数对应相等，得ìA1 + A2= 1

42、37;î3A1 + A2 = 1联立解得 A1 = 0 ， A2 = 1所以冲激响应为 h(t ) = e-3tu(t )方法二：利用系统的线性时不变特性求h (t )对于h (t ) 满足的微分方程d n-1d ndt nd( ) +( ) + L + a1h tdt( ) + a0h t( )h tan-1 dt n-1 h td m-1d md= bmd ( ) +d ( ) +d ( ) +tb0d ( )tL +tbm-1 dt m-1b1 dttdt m先求如下方程的冲激响应d ndt nd n-1dh0 ( ) +( ) +tL + a1 dt h0 ( ) +ta0

43、h0 ( ) = d ( )tan-1 dt n-1 h0tt为保证上式两边对应项的系数平衡，则上式左边应有冲激函数项，且冲激函d nh0 ( )t数项只能出现在第一项dt n之中。这是因为，如果在其后各项中存在有冲激函数项，则上式左方将出现有d (t )的导数项，等式将无法平衡。这样，在上式左边第一项中有冲激函数项，第二项中有阶跃函数项，在其后各项中有相应t 的正幂函数项。1注：L ， t 2u(t )， tu(t )， u(t )， d (t )， d ' (t )， d '' (t ) ，L ；从左到右，每一2个都是其后一个的，每一个都是其前一个的导数。对上式两边

44、取0- 到0+ 的定，则有h(t )(t )(t )dt =d (t )000+ h0ò(n )ò(n-1)òò+dt + a+dt +L + a+hdtn-100000000-考虑到实际系统总是符合因果律的，在冲激激励未加前有响应。因此在18t = 0- 时刻，冲激响应及其各阶导数的值应为零，即有h(0 ) =(0 ) = L = h' (0 ) = h (0 ) = 0(n-1)(n-2)h-0-00另外，上式左边的除第一项因被积函数中包含有冲激函数，其结果在t = 0 处不连续外，其它各项所得的结果在t = 0 处都是连续的，即这些项所得的

45、函数在时间0- 及0+ 时的取值相同，有(0 ) =(0 ) = 0 ，(n-2)(n-2)hh+-00L Lh (0 ) =h (0 ) = 0 ，(1)(1)+-00h0 (0+ ) = h0 (0- ) = 0所以 h(0 ) -h(0 ) = 1(n-1)(n-1)+-00冲激信号引起的在t = 0+ 时的n 个初始条件为：故(0 ) =(0 ) = L = h (0 ) = 0(n-2)(n-3)hh+0+00h(0 ) = 1(n-1)+0有了上述的初始条件，就可以用求零输入响应的方法来求解冲激响应h0 (t )， 再利用系统的时不变特性，求原方程表示的系统的冲激响应h(t )。归

46、纳起来，求解步骤为：（1）先求如下方程的冲激响应h0 (t )d n-1d ndt ndh0 ( ) +( ) +tL + a1 dt h0 ( ) +ta0h0 ( ) = d ( )tan-1 dt n-1 h0tt其中n 个待定系数由以下初始条件确定：(0 ) =(0 ) = L = h (0 ) = 0(n-2)(n-3)ìhh+0+00íh(0 ) = 1(n-1)î 0+（2）再利用系统的时不变特性，求原方程表示的系统的冲激响应h(t )。此方法比比较系数（等式两端奇异函数项相平衡）法简单，对于高阶系统更有优越性。19d 2dd( ) + 4r t d

47、t( ) + 3r t( ) =e t dt( ) + 2e t( )的冲激响应。r t例 2.4.2 求系统dt 2解：此系统冲激响应h (t ) 满足的微分方程为d 2dt 2dd( ) + 4h t dt( ) + 3h t( ) =d ( ) +d ( )h tt2tdt先求d 2dt 2dh0 ( ) +t4h0 ( ) +dtt3h0 ( ) = d ( )tt初始条件为：ìh0 (0+ ) = 0íh (0 ) = 1'î 0+t ) = (A e+ A e)设 h (u(t )-t-3t012把初始条件代入上式解得ìA= 12=

48、-ï1í12ïA2î从而 h (t ) = æ 1 e-t -eö1u(t )-3tç 2÷0è2ø则由系统的线性时不变特性得h(t ) =h (t ) + 2h (t )'00t ) + (e- e-3t )u(t )æ1232öæ 112öeu(t )d (= -t+-3t+-t-3t-tç÷ç 2÷eeeèøèø= 1 (e-t + e-3t )u(t )2这样理

49、解： 若d (t )(t )则2d (t )2h0 (t )20LTI系统LTI系统h0h (t )d ' (t )'0故d ' (t )+ 2d (t )h(t ) =h (t )+ 2h (t )'00方法三：冲激函数匹配法先求冲激响应的初始条件再求h (t )步骤：（1）写出冲激响应满足的微分方程；（2） 求出微分方程的齐次解；（3） 由冲激函数匹配法求出冲激响应的初始条件h(k ) (0+ )；（4） 由h(k ) (0+ )确定齐次解中的系数。例 2.4.3 用冲激函数匹配法重解例 2.4.1设描述系统的微分方程为d 2dt 2dd( ) + 4r t

50、 dt( ) + 3r t( ) =e t dt( ) + e t( )，试求其冲激响应。r t解：冲激响应h (t ) 满足的微分方程为d 2dt 2dd( ) + 4h t dt( ) + 3h t( ) =d ( ) + d ( )h tttdt特征方程为 a 2 + 4a + 3 = 0特征根 a1 = -1，a 2 = -3于是设微分方程的齐次解为：h(t ) = A e+ A e-3t ， t ³ 0-t+12下面用冲激函数匹配法求初始条件，设d 2dt 2d dt( ) = ad ( )bd ( ) +( )'t +Dh ttcu th(t ) = ad (t ) + bDu(t )h(t ) = aDu(t )将上述三个等式代入冲激响应h (t ) 满足的微分方程得21LTI系统LTI系统ad ' (t ) + bd (t ) + cDu(t ) + 4ad (t ) + 4bDu(t ) + 3aDu(t ) = d ' (t ) + d (t )比较等式两端d ' (t )及d (t )的系数得ìa = 1íîb + 4a =