理论力学第三章

1、Theoretical Mechanics Theoretical Mechanics 返回总目录制作与设计制作与设计 山东大学山东大学 工程力学系工程力学系 第三章第三章 点的复合运动点的复合运动(Composite motion of a particle) Theoretical Mechanics 第三章第三章 点的合成运动点的合成运动 3.1 3.1 绝对运动、相对运动和牵连运动绝对运动、相对运动和牵连运动（Absolute motion, Relative motion and Transport motionAbsolute motion, Relative motion and

2、 Transport motion） 返回首页Theoretical Mechanics3.1 绝对运动、相对运动和牵连运动绝对运动、相对运动和牵连运动 问题的提出：问题的提出：1. 求相对运动求相对运动2. 求合成运动求合成运动 运动的相对性运动的相对性 合成运动：合成运动：相对于某一参考体的运动可由相对于其他参考体相对于某一参考体的运动可由相对于其他参考体的几个运动组合而成的运动。的几个运动组合而成的运动。 沿直线轨道滚动的圆轮，轮沿直线轨道滚动的圆轮，轮缘上缘上A点的运动，对于地面上点的运动，对于地面上的观察者，是旋轮线轨迹，对的观察者，是旋轮线轨迹，对站在轮心上的观察者是圆。站在轮心上

3、的观察者是圆。A点的运动可看成随轮心的平动与绕轮心转动的合成。点的运动可看成随轮心的平动与绕轮心转动的合成。 返回首页Theoretical Mechanics 两套参考坐标系：两套参考坐标系：动坐标系：动坐标系：固定在相对于地球运动的参考体上的固定在相对于地球运动的参考体上的 坐标系；以坐标系；以Oxyz 表示表示。静坐标系：固结在地球上的坐标系，以静坐标系：固结在地球上的坐标系，以Oxyz表示。表示。 一个动点：一个动点：不考虑质量而运动的几何点。不考虑质量而运动的几何点。 返回首页3.1 绝对运动、相对运动和牵连运动绝对运动、相对运动和牵连运动静坐标系静坐标系动坐标系动坐标系动点动点 T

4、heoretical Mechanics 返回首页3.1 绝对运动、相对运动和牵连运动绝对运动、相对运动和牵连运动Theoretical Mechanics静坐标系静坐标系动坐标系动坐标系动点动点 返回首页3.1 绝对运动、相对运动和牵连运动绝对运动、相对运动和牵连运动Theoretical Mechanics 返回首页3.1 绝对运动、相对运动和牵连运动绝对运动、相对运动和牵连运动 Theoretical Mechanics 第三章第三章 点的合成运动点的合成运动 返回首页 3.2 3.2 点的速度合成定理点的速度合成定理(Composition Theory of Velocities)(

5、Composition Theory of Velocities)Theoretical Mechanics3.2 点的速度合成定理点的速度合成定理3.2.1 绝对速度、相对速度和牵连速度绝对速度、相对速度和牵连速度 3.2.2 速度合成定理速度合成定理 返回首页Theoretical Mechanics3.2 点的速度合成定理点的速度合成定理3.2.1 绝对速度、相对速度和牵连速度绝对速度、相对速度和牵连速度 绝对速度绝对速度va：动点相对于静坐标系运动的速度相对速度相对速度vr：动点相对于动坐标系运动的速度牵连速度牵连速度ve：某瞬时，与动点相重合的动坐标 系上的点（牵连点）相对于静坐 标

6、系运动的速度。 返回首页Theoretical Mechanics 牵连点：牵连点：在任意瞬时，与动点相重合的动坐标系上的点。 动坐标系是一个包含与之固连的刚体在内的运动动坐标系是一个包含与之固连的刚体在内的运动空间，除动坐标系空间，除动坐标系作平移外作平移外，动坐标系上各点的运，动坐标系上各点的运动状态是动状态是不相同不相同的。在任意瞬时，只有牵连点的运的。在任意瞬时，只有牵连点的运动能够给动点以动能够给动点以直接的影响直接的影响。为此，定义某瞬时，。为此，定义某瞬时，与动点相重合的动坐标系上的点（牵连点）相对于与动点相重合的动坐标系上的点（牵连点）相对于静坐标系运动的速度称为动点的静坐标系

7、运动的速度称为动点的牵连速度牵连速度 。讨讨 论论3.2 点的速度合成定理点的速度合成定理3.2.1 绝对速度、相对速度和牵连速度绝对速度、相对速度和牵连速度 返回首页Theoretical Mechanics11eOMv22eOMv3.2 点的速度合成定理点的速度合成定理3.2.1 绝对速度、相对速度和牵连速度绝对速度、相对速度和牵连速度 返回首页 例如，直管例如，直管OB以匀角速度以匀角速度 绕定轴绕定轴O转动，小球转动，小球M以速度以速度u在直管在直管OB中作相对的匀速直线运动，如图示。中作相对的匀速直线运动，如图示。将动坐标系固将动坐标系固结在结在OB管上，管上，以小球以小球M为动点。

8、为动点。随着动点随着动点M的运动，牵连点的运动，牵连点在动坐标系中的位置在相应改变。在动坐标系中的位置在相应改变。设小球在设小球在t1、t2瞬时分别到瞬时分别到达达M1、M2位置，位置，则动点的牵连速度分别为则动点的牵连速度分别为 Theoretical Mechanics 动点与牵连点动点与牵连点 动点和牵连点是一对相伴点，在运动的同一瞬时，动点和牵连点是一对相伴点，在运动的同一瞬时，它们是重合在一起的。它们是重合在一起的。 动点是与动系有相对运动的点动点是与动系有相对运动的点 。 牵连点是动系上的几何点牵连点是动系上的几何点 。 在运动的不同瞬时，动点与动坐标系上不同的点重在运动的不同瞬时

9、，动点与动坐标系上不同的点重合，而这些点在不同瞬时的运动状态往往不同合，而这些点在不同瞬时的运动状态往往不同 。3.2 点的速度合成定理点的速度合成定理3.2.1 绝对速度、相对速度和牵连速度绝对速度、相对速度和牵连速度 返回首页Theoretical Mechanics3.2 点的速度合成定理点的速度合成定理3.2.2 速度合成定理速度合成定理 动点在一个任意运动的刚体动点在一个任意运动的刚体K上沿弧上沿弧AB相对于刚体相对于刚体K运动。运动。 动坐标系固结在刚体K上，静坐标系固结在地面上。 瞬时t，动点位于M处 t后，动点运动到 处 1M绝对运动轨迹 1MMM1是瞬时t的牵连点， 是此牵连

10、点的轨迹。1MM1111000limlimlimtttMMMMM Mttt 1111MMMMMM 返回首页Theoretical Mechanics速速度度合合成成定定理理 矢量方程中包含绝对速度、牵连速度和相对速度的大小、矢量方程中包含绝对速度、牵连速度和相对速度的大小、方向六个量，已知其中四个量可求出其余两个量。方向六个量，已知其中四个量可求出其余两个量。tMMtMMtMMttt1101010limlimlimtMMt10alimvtMMt10elimvtMMt110rlimvreavvv 动点的绝对速度动点的绝对速度等于它的牵连速度与等于它的牵连速度与相对速度的矢量和。相对速度的矢量和。

11、 3.2 点的速度合成定理点的速度合成定理3.2.2 速度合成定理速度合成定理 返回首页Theoretical Mechanics3.2 点的速度合成定理点的速度合成定理例例 题题 返回首页解:由于顶杆AB沿垂直方向作平动,因此只需求顶杆端点A的速度。 由于端点A对凸轮有相对运动,因此选取顶杆的端点A为动点,动系 固结在凸轮上,定系Oxy固连在机架上。于是3种运动分别为:例例 凸轮机构中的凸轮外形为半圆形,顶杆AB沿垂直槽滑动,设凸轮以匀速度v沿水平面向左移动,当在如图所示位置， 时,求顶杆B端的速度30BvvvvvvTheoretical Mechanics3.2 点的速度合成定理点的速度合

12、成定理例例 题题 返回首页绝对运动绝对运动: :直线运动。直线运动。相对运动相对运动: :沿凸轮轮廓的圆沿凸轮轮廓的圆 周运动。周运动。 牵连运动牵连运动: :凸轮的平动。凸轮的平动。 3种速度分析如下表:方向铅直水平向左沿凸轮在A点的切线大小未知未知vvvvTheoretical Mechanics3.2 点的速度合成定理点的速度合成定理例例 题题 返回首页由合成定理有式中三个矢量具有六个要素,已知四个,可作速度平行四边形,如图所示,则求得其方向铅直向上。aecot cot303AvvvvvvvvvTheoretical Mechanics例 急回机构中，曲柄OA的一端与滑块A用铰链连接。当

13、曲柄OA以匀角速度 绕定轴O转动时，滑块在摇杆上滑动，并带动摇杆绕固定轴O1来回摆动。设曲柄长OA=r，两轴间距离 ，求曲柄在水平位置瞬时，摇杆O1B绕O1轴的角速度1及滑块A相对摇杆O1B的相对速度。 lOO 13.2 点的速度合成定理点的速度合成定理例例 题题 返回首页Theoretical Mechanics解：该机构在运动过程中，滑块解：该机构在运动过程中，滑块A相相对于摇杆对于摇杆O1B的相对运动轨迹为已知。的相对运动轨迹为已知。 动点：滑块动点：滑块 A动系：与摇杆动系：与摇杆O1B固连固连绝对运动：圆周运动绝对运动：圆周运动牵连运动：摇杆绕牵连运动：摇杆绕O1轴的转动轴的转动 相

14、对运动：滑块沿滑槽的直线运动相对运动：滑块沿滑槽的直线运动vavrveA A将速度合成定理的矢量方程分别向将速度合成定理的矢量方程分别向 轴上投影轴上投影 yx,3.2 点的速度合成定理点的速度合成定理例例 题题 返回首页vavrveTheoretical Mechanicsaearsin0,cos0vvvv rvrllAOOOrlrAOOAa2211221,cos,sin22r222e,rlrlvrlrv12211erlAOv又因为 摇杆此瞬时的角速度为2221rlr其转向为逆时针3.2 点的速度合成定理点的速度合成定理例例 题题 返回首页Theoretical Mechanicsv1例 火

15、车车厢以速度v1沿直线轨道行驶。雨滴M铅垂落下，其速度为v2。求雨滴相对于车厢的速度。 vavrve绝对运动：雨滴相对地面铅垂落下绝对运动：雨滴相对地面铅垂落下相对运动相对运动 ：雨滴相对于车厢的运动：雨滴相对于车厢的运动牵连运动：车厢的运动（平动）牵连运动：车厢的运动（平动）解：解：动点动点:雨滴雨滴M，动系：动系：Ox y 与与车厢固结，车厢固结，静系：静系：Oxy3.2 点的速度合成定理点的速度合成定理例例 题题 返回首页Theoretical Mechanics绝对速度为va= v2 v1vavrve22212a2ervvvvvvr的方向可由vr与铅垂线的夹角决定 21tanvv 雨滴

16、在车厢壁板擦过的痕迹与铅垂线的夹角为雨滴在车厢壁板擦过的痕迹与铅垂线的夹角为 ，车厢的，车厢的速度愈大，速度愈大， 角愈大。角愈大。 3.2 点的速度合成定理点的速度合成定理例例 题题车厢作移动，雨滴车厢作移动，雨滴M的牵连点的速度为的牵连点的速度为v1， ve = v1 返回首页Theoretical Mechanics3.2 点的速度合成定理点的速度合成定理例例 题题 返回首页例例 如图(a)所示矿砂从传送A带落到另一个传送带B上。站在地面上观察矿砂下落的速度为 方向与铅直线成 角。已知传送带B水平传动速度 ，求矿砂相对于传送带B的速度。解：以矿砂M为动点，动参考系固定在传送带B上。矿砂相

17、对地面的速度 为绝对速度；vv30 牵连速度应为动参考系上与动点相重合点的速度。可设想动参考系为无限大，由于它作平动，各点速度都等于 。于是动点M的牵连速度等于。Theoretical Mechanics3.2 点的速度合成定理点的速度合成定理例例 题题 返回首页 由速度合成定理知，三种速度形成平行四边形，绝对速度必须是对角线，因此作出的速度平行四边形，如图(b)所示。根据几何关系求得vvv与间的夹角为avrvsinsin60ervv由正弦定理 Theoretical Mechanics 第三章第三章 点的合成运动点的合成运动 返回首页 3.3 牵连运动为平动时牵连运动为平动时 点的加速度合成

18、定理点的加速度合成定理Theoretical Mechanics3.3 牵连运动为平动时点的加速度合成定理牵连运动为平动时点的加速度合成定理绝对加速度aa：动点相对于静坐标系运动的加速度相对加速度ar：动点相对于动坐标系运动的加速度设：动点M在动坐标系中的坐标为xyz 牵连运动为平移，单位矢量牵连运动为平移，单位矢量i 、j 、k 大小、方向不变大小、方向不变 kjir zyxkjivtztytxddddddrkjia222222rddddddtztytx 返回首页Theoretical Mechanics牵连加速度牵连加速度ae ：指某瞬时动坐标系上与动点相重合之点（牵连点）相对于静坐标系运

19、动的加速度 动坐标系作平移时，动点的牵连速度和牵连加速度等于动坐标系原点O的速度和加速度，即 OOaavvee,3.3 牵连运动为平动时点的加速度合成定理牵连运动为平动时点的加速度合成定理 返回首页Theoretical Mechanics 设动点在动坐标系Oxyz上沿相对轨迹曲线AB运动,而动坐标相对静坐标系Oxyz作平行移动 当牵连运动为平移时当牵连运动为平移时，动点的绝对加速度等于牵连加速动点的绝对加速度等于牵连加速度与相对加速度的矢量和度与相对加速度的矢量和。这是牵连运动为平移时，点的加。这是牵连运动为平移时，点的加速度合成定理。速度合成定理。reavvvkjivvtztytxOddd

20、dddakjivva222222addddddddddtztytxttOaOOt avddreaaaa3.3 牵连运动为平动时点的加速度合成定理牵连运动为平动时点的加速度合成定理 返回首页Theoretical Mechanics3.3 牵连运动为平动时点的加速度合成定理牵连运动为平动时点的加速度合成定理例例 题题 返回首页例例 如图(a)所示的曲柄滑道机构中,曲柄长OA=10cm,绕O轴转动。当时,其角速度，角加速度,求导杆BC的加速度和滑块A在滑道中的相对加速度。方向如图(b)所示。解:取滑块A为动点,动参考系固连于导杆上,定参考系固连于地面。这样,动点A的绝对运动是圆周运动,绝对加速度分

21、为切向加速度和法向加速度其大小为taanaat2a10cm/saOAn22a10cm/saOATheoretical Mechanics3.3 牵连运动为平动时点的加速度合成定理牵连运动为平动时点的加速度合成定理例例 题题 相对运动为沿滑道的往复直线运动,牵连运动为导杆的直线平动。由加速度合成定理,有aaaa选相互垂直的投影轴，将上式各矢量分别投影在上得Theoretical Mechanics3.3 牵连运动为平动时点的加速度合成定理牵连运动为平动时点的加速度合成定理例例 题题 返回首页解得解得两者为正值两者为正值, ,说明假设方向是正确的说明假设方向是正确的。2r10cos3010sin3

22、03.66cm/sa 2e10sin3010cos3013.66cm/sa 即为导杆在此瞬时的平动加速度。即为导杆在此瞬时的平动加速度。eaTheoretical Mechanics3.3 牵连运动为平动时点的加速度合成定理牵连运动为平动时点的加速度合成定理例例 题题 动点：动点：小环小环M解：解：静系：静系：固连在地面上固连在地面上 动系：动系：固连在连杆固连在连杆BC上上 返回首页例例 平行四连杆机构的上连杆BC与一固定铅直杆EF相接触，在两者接触处套上一小环M，当BC杆运动时，小环M同时在BC、EF杆上滑动。曲柄AB=CD=r，连杆BC=AD=l，若曲柄转至图示角位置时的角速度为，角加速

23、度为 ，试求小环M的加速度。 Theoretical Mechanicsneaearaaa 绝对运动沿EF的直线运动，aa方向沿EF。 动点动点M将加速度合成定理的矢量方程向y轴投影 0cossineeaaaanraennraABe2ee,aa与AB平行 牵连运动是连杆牵连运动是连杆BC的平移的平移 相对运动沿BC的直线运动，ar方向沿BC。3.3 牵连运动为平动时点的加速度合成定理牵连运动为平动时点的加速度合成定理例例 题题 返回首页2acossinarr方向如图方向如图 所以Theoretical Mechanics例例 题题 返回首页例例 如图（a）所示，凸轮在水平面上向右作减速运动。设

24、凸轮半径为R,图示瞬时的速度和加速度分别为v和a，。求杆AB在图示位置时的加速度。解：以杆AB上的点A为动点，动系固连于凸轮上，则点A的绝对轨迹为直线，相对轨迹为凸轮轮廓曲线，由于牵连运动为平动，点的加速度合成定理为3.3 牵连运动为平动时点的加速度合成定理牵连运动为平动时点的加速度合成定理vaaaaavaTheoretical Mechanics例例 题题 点A的牵连加速度为凸轮上与动点相重合的那一点的加速度，即3.3 牵连运动为平动时点的加速度合成定理牵连运动为平动时点的加速度合成定理eaa点A的相对轨迹为曲线，于是相对加速度分为两个分量：切线分量 ，法向分量 的方向如图所示，大小为tra

25、nra的方向如图所示，大小为vvvTheoretical Mechanics则有aaaavan例例 题题 3.3 牵连运动为平动时点的加速度合成定理牵连运动为平动时点的加速度合成定理加速度合成定理可写成如下形式将上式投影到法线上，得解得Theoretical Mechanics例例 题题 返回首页当时， ，说明假设的的指向与真实指向相同。 3.3 牵连运动为平动时点的加速度合成定理牵连运动为平动时点的加速度合成定理 Theoretical Mechanics 第三章第三章 点的合成运动点的合成运动 3.4 牵连运动为转动时牵连运动为转动时 点的加速度合成定理点的加速度合成定理 返回首页Theo

26、retical Mechanics3.4 牵连运动为转动时，点的加速度合成定理牵连运动为转动时，点的加速度合成定理 动点动点M沿动坐标系沿动坐标系Oxyz中中的相对轨迹曲线的相对轨迹曲线AB运动运动,而动坐而动坐标以角速度矢标以角速度矢 和角加速度矢和角加速度矢 绕静坐标系绕静坐标系Oz轴转动。轴转动。 动系作定轴转动时，由转动刚体内各点的速度和加速度 eevreeee()arr 速度合成定理为速度合成定理为reavvv 返回首页eaTheoretical Mechanicsreavvveraddddttvva3.4 牵连运动为转动时，点的加速度合成定理牵连运动为转动时，点的加速度合成定理 返

27、回首页eeeeeeaeeeerddddddddtttt vrrr +r +vr +vv 222r222ddddddddddddddddddddxyzxyzttttttttttvijki +j +kraer v 泊松公式泊松公式aerr2aaavTheoretical MechanicsCreaaaaarC2va 当牵连运动为转动时，由于转动的牵连运动与相当牵连运动为转动时，由于转动的牵连运动与相对运动相互影响的结果而产生一种附加的加速度，称对运动相互影响的结果而产生一种附加的加速度，称为科里奥利加速度，简称科氏加速度。为科里奥利加速度，简称科氏加速度。 动点的绝对加速度 当牵连运动为转动时，动

28、点的绝对加速度等于牵连加速度、相对加速度与科氏加速度的矢量和 。结论结论3.4 牵连运动为转动时，点的加速度合成定理牵连运动为转动时，点的加速度合成定理 返回首页Theoretical Mechanics3.4 牵连运动为转动时，点的加速度合成定理牵连运动为转动时，点的加速度合成定理方向垂直于方向垂直于 与与vr所决定的平面，所决定的平面，它的指向按右手定则决定。它的指向按右手定则决定。将vr顺着 的转向转过90，即得aC的方向 科氏加速度的大小为科氏加速度的大小为 sin2rCva若vr ，则有 0Ca若vr ，则有rC2 va : 与与vr间的夹角间的夹角sinrrvv rC2 va 返回

29、首页Theoretical Mechanics3.4 牵连运动为转动时，点的加速度合成定理牵连运动为转动时，点的加速度合成定理例例 如图所示的刨床的急回机构中，曲柄如图所示的刨床的急回机构中，曲柄OA的端点的端点A与与滑块用铰链连接。当曲柄滑块用铰链连接。当曲柄OA以匀角速度以匀角速度 绕固定轴绕固定轴O转动时，滑块在摇杆转动时，滑块在摇杆O1B上滑动，并带动摇杆上滑动，并带动摇杆O1B 绕固绕固定轴定轴O1 摆动，设曲柄长摆动，设曲柄长OAr，两轴间距离，两轴间距离O1Ol，求，求遥杆遥杆O1B在图所示位置时的角加速度。在图所示位置时的角加速度。解：加速度合成定理为解：加速度合成定理为 现在

30、分别分析上式中现在分别分析上式中的各项：的各项：aaaaaTheoretical Mechanics3.4 牵连运动为转动时，点的加速度合成定理牵连运动为转动时，点的加速度合成定理 返回首页方向如图所示。已求得（例3.2中）故有：摇杆摆动，其上与点A重合的点的切向加速度垂直于 ，假设方向如图所示；法向加速度大小为n2e11aO AaaaaaTheoretical Mechanics3.4 牵连运动为转动时，点的加速度合成定理牵连运动为转动时，点的加速度合成定理 返回首页：因相对轨迹为直线，故 沿 ，大小未知。AO1ra：由知已求得于是有方向如图所示为了求得，应将加速度合成定理向轴投影，即解得a

31、aaaaTheoretical Mechanics3.4 牵连运动为转动时，点的加速度合成定理牵连运动为转动时，点的加速度合成定理 返回首页式中，故为负值。负号表示真实方向与图中假设的方向相反。摇杆的角加速度式中，负号表示与图示方向相反，的真实转向应为逆时针转向。aaaaaTheoretical Mechanics3.4 牵连运动为转动时，点的加速度合成定理牵连运动为转动时，点的加速度合成定理例例 题题 例例 图中，偏心圆凸轮的偏心距图中，偏心圆凸轮的偏心距 ，半，半径径 ，设凸轮以匀角速度，设凸轮以匀角速度O绕轴绕轴O转动，试求转动，试求OC与与CA垂直的瞬时，杆垂直的瞬时，杆AB的的加加速

32、度。速度。 eOC er3 返回首页Theoretical MechanicsA为动点，动坐标系固结在凸轮上 绝对运动：沿AB方向的直线运动 相对运动：以C为圆心的圆周运动牵连运动：动坐标系以O为定轴转动 nraraaa方向已知，沿AB Aaaa垂直于垂直于AC方向方向 331622rrOnerva22e2OOneOAa0ea动坐标系为转动动坐标系为转动 rC2vaO238OeCanea3.4 牵连运动为转动时，点的加速度合成定理牵连运动为转动时，点的加速度合成定理例例 题题 返回首页Theoretical Mechanics根据加速度合成定理将矢量方程向Ox轴投影 aA为负值，说明aA的方向与图假设的方向相反。在此瞬时，aA的实际方向铅垂向下。 nraraaaCaneaCreeaaaaaann2222aCrea92383331632coscosOOOOnneeeea