第4章平面任意力系

1、 第第4 4章章 平面任意力系平面任意力系 作用在刚体上的力可向刚体上任意点平移，平移作用在刚体上的力可向刚体上任意点平移，平移后附加一力偶，附加力偶的力偶矩矢等于原力对平移后附加一力偶，附加力偶的力偶矩矢等于原力对平移点之力矩矢。点之力矩矢。第四章第四章 平面任意力系平面任意力系4-1 4-1 力的平移力的平移 力线平移定理力线平移定理一、平面任意力系向作用平面内一点简化一、平面任意力系向作用平面内一点简化4-2 4-2 平面任意力系向一点简化平面任意力系向一点简化平面汇交力系平面汇交力系 平面力偶系平面力偶系 1122nnFFFFFF ， ，1O12O2On()()()nMMFMMFMMF

2、 ，RFFF RxxFF RyyFF 2222RRR()()()()xyxyFFFFF RRcos()xFFiF ，RRcos()yFFjF ，1.1.平面汇交力系的合成平面汇交力系的合成 合力大小合力大小合力方向合力方向( (力系主矢力系主矢) )OO()MMMF2.2.平面力偶系的合成平面力偶系的合成 平面力系向作用面内任一点简化后，得到一力和一平面力系向作用面内任一点简化后，得到一力和一力偶，分别为原力系的力偶，分别为原力系的主矢主矢和和主矩主矩。主矢的作用线通过。主矢的作用线通过简化中心，其大小与方向决定于原力系各力的矢量和；简化中心，其大小与方向决定于原力系各力的矢量和；主矩作用于原

3、平面，大小等于原力系各力对简化中心之主矩作用于原平面，大小等于原力系各力对简化中心之矩的代数和。矩的代数和。( (力系对简化中心的主矩力系对简化中心的主矩) )3.3.平面任意力系向作用平面内一点简化应用平面任意力系向作用平面内一点简化应用 主动力系为平面力系，约束力为平面任意力系，主动力系为平面力系，约束力为平面任意力系，向固定端向固定端 A 简化为一力简化为一力FA（FAx 和和 FAy 表示）和一表示）和一力偶力偶 MA 。 固定端约束固定端约束二、平面任意力系简化的最后结果二、平面任意力系简化的最后结果1.1.力系简化为合力偶力系简化为合力偶 在力系主矢的情况下，力系的主矩与简化中心的

4、位在力系主矢的情况下，力系的主矩与简化中心的位置无关，等于力系合力偶的力偶矩。置无关，等于力系合力偶的力偶矩。 RO00FM OAMM 2.2.力系简化为合力力系简化为合力 3.3.力系平衡力系平衡 RO00FM RO00FM RRFF ORMdF 或或RO00FM 例：重力坝受水的压力如图。设水深为例：重力坝受水的压力如图。设水深为h ，水的密度为，水的密度为 ，试求水压力简化的结果。试求水压力简化的结果。 解解: : 坐标系如图所示，以坐标系如图所示，以O 点为简化中心将平面平行力点为简化中心将平面平行力系简化系简化 ddFgy y 2R01d2hxFgy ygh R0yF 力系的主矢力系

5、的主矢 力系对力系对O 点的主矩点的主矩 3O01d3hMygy ygh 力系进一步简化为一合力力系进一步简化为一合力 合力作用线距点的距离为合力作用线距点的距离为 2RRR12xFFFgh OR23MOOhF 2R12xFgh 力系的主矢力系的主矢 一、平面任意力系平衡方程的基本形式一、平面任意力系平衡方程的基本形式 平面力系平衡的充分与必要条件：力系的主矢平面力系平衡的充分与必要条件：力系的主矢和力系对任一点的主矩分别等于零。和力系对任一点的主矩分别等于零。 2222RRR()()()()0 xyxyFFFFF OO()0MMF 0 xF 0yF O()0MF 平面力系平衡的充分与必要条件

6、：各力在直角平面力系平衡的充分与必要条件：各力在直角坐标系中各坐标轴上投影的代数分别等于零，各力坐标系中各坐标轴上投影的代数分别等于零，各力对任一点之矩的代数和等于零。对任一点之矩的代数和等于零。 4-3 4-3 平面任意力系的平衡条件平面任意力系的平衡条件二、平面任意力系平衡方程的其他形式二、平面任意力系平衡方程的其他形式 1.1.一力二矩式平衡方程一力二矩式平衡方程0 xF (0)yF A()0MF B()0MF 2.2.三矩式平衡方程三矩式平衡方程A()0MF B()0MF C()0MF A、B 的连线不能与轴的连线不能与轴 x（或（或 y 轴）垂直轴）垂直A、B、C 三点不能共线三点不

7、能共线 0yF O()0MF A()0MF B()0MF 三、平面平行力系的平衡条件三、平面平行力系的平衡条件1.1.一力一矩式平衡方程：一力一矩式平衡方程：y 轴与力平行轴与力平行2.2.二矩式平衡方程：二矩式平衡方程：A、B 连线不能与各力平行连线不能与各力平行 例：悬臂式简易起重机简化为图示结构。例：悬臂式简易起重机简化为图示结构。AB 是吊车梁，是吊车梁，BC 是钢索，是钢索，A 端支承可简化为铰链支座。设已知电动葫芦和重物共端支承可简化为铰链支座。设已知电动葫芦和重物共重重P = 10 kN ，梁自重，梁自重W = 5 kN ，= 30o。试求钢索。试求钢索BC 和铰链和铰链A 的约

8、束力，及钢索受力的最大值。的约束力，及钢索受力的最大值。A()0:MF Bsin02lWP xFl B()0:MF A()02ylPlxWFl B2PFxWl A3()2xPWFxl A()2ylxWFPl Bmax225kNFPW 0:xF ABcos0 xFF 解：以吊车梁解：以吊车梁AB 为研究对象，受力图和坐标系如图所为研究对象，受力图和坐标系如图所示。电动葫芦距示。电动葫芦距 A 处距离为处距离为x ，建立平衡方程，建立平衡方程 解得：解得： 例：图示刚架，已知例：图示刚架，已知q=3kN/m，F= kN，M=10 kNm，不计刚架的自重。求固定端不计刚架的自重。求固定端A处的约束力

9、。处的约束力。 解：取刚架作研究对象，解：取刚架作研究对象，受力如图，建立图示坐受力如图，建立图示坐标系，列出平衡方程：标系，列出平衡方程：0,4cos45020,sin4504()0,cos454sin4534023xAxyAyAAqFFFFFFqMMMFF F代入数据，解上述方程，得：代入数据，解上述方程，得：0,6kN, 12kN mAxAyAFFM26 例：试求图示悬臂固定端例：试求图示悬臂固定端 A 处的约束力。其中处的约束力。其中q 为均布载荷为均布载荷集度，单位为集度，单位为kN/m ，设集中力，设集中力F = ql ，集中力偶矩，集中力偶矩M = ql 2。 解：以梁解：以梁A

10、B 为研究对象，受力图和坐标系如图所示。建立为研究对象，受力图和坐标系如图所示。建立平衡方程平衡方程 0:xF 0AxF 0:yF 20AyFqlFA()0:MF A220Mql lMFl A0 xF AyFql 2AMql 解得：解得： 例：边长为例：边长为a 的等边三角形平板的等边三角形平板 ABC 在铅垂平面内，用三在铅垂平面内，用三根沿边长方向的直杆铰接如图所示。根沿边长方向的直杆铰接如图所示。BC 边水平，三角形平板上边水平，三角形平板上作用一已知力偶，其力偶矩为作用一已知力偶，其力偶矩为M 。三角形平板重为。三角形平板重为P ， 杆不计杆不计自重。试求三杆对三角形平板的约束力。自重

11、。试求三杆对三角形平板的约束力。 解：以三角形平板解：以三角形平板ABC 为研究对象，受力图和坐标系如为研究对象，受力图和坐标系如图所示。建立平衡方程图所示。建立平衡方程 A()0:MF C302FaMB()0:MF A3022aFaPM C()0:MF B3022aFaPMA2 3333MPFaB2 3333MPFa C2 33MFa 解得：解得： 例：塔式起重机简图如图所示。已知机架重量例：塔式起重机简图如图所示。已知机架重量W ，作用线距，作用线距右轨右轨 B 的距离的距离 e ，载重，载重W1 离右轨离右轨 B 的最远距离的最远距离 l ，平衡物重为，平衡物重为W2 ，离左轨，离左轨

12、A 的距离的距离 a ，轨距，轨距 b 。要使起重机在空载和满载且。要使起重机在空载和满载且载重载重W1 在最远处时均不致翻倒，试确定平衡物重在最远处时均不致翻倒，试确定平衡物重W2 。 解：空载时起重机绕解：空载时起重机绕 A 点向点向左翻倒，此时左翻倒，此时FB = 0 。 所以空载时起重机不翻倒所以空载时起重机不翻倒的条件是的条件是FB 0。 A()0:MF B2()0FbWebWa 满载时起重机绕满载时起重机绕 B 点向右翻倒，此时点向右翻倒，此时FA = 0 。 所以满载时起重机不翻倒的条所以满载时起重机不翻倒的条件是件是FA 0。 2B()W ebW aFb 2()W ebWa 解

13、得：解得：B()0:MF A21()0FbWabW eWl 21A()W abWeW lFb 12WeW lWab 解得：解得： 刚体系平衡时，其中每一个刚体处于平衡刚体系平衡时，其中每一个刚体处于平衡 ，可选择，可选择每个刚体为研究对象列出平衡方程或选择刚体系或某部每个刚体为研究对象列出平衡方程或选择刚体系或某部分为研究对象将其刚化为一个刚体，列出平衡方程。分为研究对象将其刚化为一个刚体，列出平衡方程。4-4 4-4 刚体系的平衡刚体系的平衡 分析：分析： 以刚体系或某部分为研究对象列出的平衡方程，可以刚体系或某部分为研究对象列出的平衡方程，可通过刚体系中单个刚体的平衡方程线性变换得到，与所

14、通过刚体系中单个刚体的平衡方程线性变换得到，与所有单个刚体平衡方程不互相独立。只要建立的方程中有有单个刚体平衡方程不互相独立。只要建立的方程中有新的力出现，则与已建立的方程必独立。新的力出现，则与已建立的方程必独立。例：例：图示结构，轮重为图示结构，轮重为P，半径为半径为r，BDE为一直角折杆，为一直角折杆，A为为固定铰链，固定铰链，B、E为中间铰链，为中间铰链，D处为可动铰链，处为可动铰链，BC=CA=l/2，不计杆重和摩擦不计杆重和摩擦. .求求A、B、D处的约束力及轮作用在处的约束力及轮作用在ACB杆上杆上的压力。的压力。 解：解：先取整体为研究对象，受力如图先取整体为研究对象，受力如图

15、a所示，所受力系为一平面任所示，所受力系为一平面任意力系。意力系。 0)(FAM02rFlPDrPlFD20 xF0AxDFFrPlFAx20yF0 PFAyPFAy0,xF 0,DBxFFrPlFBx2C()0,MF0,2ByDlFFr PFByB()0,MF()0,2NCDlFPFrPFNC2再研究再研究BDE杆及轮，受力如图杆及轮，受力如图b所示，所受力系也为一平面任意力系所示，所受力系也为一平面任意力系 图图a所示结构，已知：所示结构，已知：DEAB ，；在杆在杆DE上作用一顺转的矩为上作用一顺转的矩为M的力偶，的力偶，D端铰于杆端铰于杆AC上，上，E端搁在光滑的端搁在光滑的BC杆上，

16、杆重不计。试求铰链杆上，杆重不计。试求铰链A、B处的约束力。处的约束力。90 ,ACB3 ,ACllBC4例：例：先研究先研究DE，其上的主动力仅有一个力偶，则其上的主动力仅有一个力偶，则D、E处的约束力必构处的约束力必构成力偶，以满足平面力偶系的平衡方程。由于成力偶，以满足平面力偶系的平衡方程。由于E端为光滑面类约束，端为光滑面类约束，FNE的方位应垂直于的方位应垂直于BC杆，从而杆，从而D处的约束力处的约束力FD的方位平行于的方位平行于AC。杆杆DE受力如图受力如图b所示所示 再研究杆再研究杆AC，受力如受力如图图c所示。所示。 0)(FCM30,AxFl0AxF所以所以A处约束力沿处约束

17、力沿AC方位方位 最后研究整个结构，受力如图最后研究整个结构，受力如图a示，由平面力偶系的平衡示，由平面力偶系的平衡条件可知，条件可知，A、B处的约束力构成力偶。处的约束力构成力偶。 0,M 04MlFAylMFFByAy4 例：图所示三角形平板例：图所示三角形平板 A 点为铰链支座，销钉点为铰链支座，销钉 C 固定在固定在杆杆DE 上，并与滑道光滑接触。不计各构件重量，试求铰链上，并与滑道光滑接触。不计各构件重量，试求铰链支座支座 A 和和 D 约束力。约束力。 解：以三角形平板解：以三角形平板 ABC 为研究对象，受力图和坐标系为研究对象，受力图和坐标系如图所示。建立平衡方程如图所示。建立

18、平衡方程 A()0:MF C0.2100 0.140F 0:xF AC100sin0 xFF 0:yF ACcos0yFF 由几何关系可得由几何关系可得 解得：解得： sin0.6 cos0.8 A58NxF A56NyF C70NF A58NxF A56NyF C70NF 以杆以杆 DE 为研究对象，受力图和坐标系如图所示。建立为研究对象，受力图和坐标系如图所示。建立平衡方程平衡方程 解得：解得： E()0:MF DC0.2sin0.080 xFF 0:yF DCcos0yFF D16.8NxF D56NyF 例：承重框架如图所示，例：承重框架如图所示，A、D、E 均为铰链，各杆件和均为铰链

19、，各杆件和滑轮的重量不计。试求滑轮的重量不计。试求A、D、E 点的约束力。点的约束力。 解：以整个刚体系统为研究对象，受解：以整个刚体系统为研究对象，受力图和坐标系如图所示。建立平衡方程力图和坐标系如图所示。建立平衡方程 A()0:MF E200 0.250.20 xF 0:xF AE0 xxFF 0:yF AE2000yyFF A250NxF E250NxF 解得：解得： 以杆以杆DE 为研究对象，受力图和坐标系为研究对象，受力图和坐标系如图所示。建立平衡方程如图所示。建立平衡方程 D()0:MF 0:xF 0:yF A250NxF E250NxF 解得：解得： EE0.20.30.150

20、xyFFF DE0 xxFFF DE0yyFFE266.7NyF D450NxF D266.7NyF A66.7NyF 例：结构如图所示。已知例：结构如图所示。已知AB = BC = 1m ，DK = KE ，F = 1732kN ，Q = 1000kN ，各杆重量不计，试求结构的外约束力。，各杆重量不计，试求结构的外约束力。 以杆以杆DE 为研究对象，受力图和坐标系为研究对象，受力图和坐标系如图所示。建立平衡方程如图所示。建立平衡方程 E()0:MF oDcos300FEDF EK 0:xF oEsin300 xFF 0:yF oEDcos300yFFFD1000kNF E866kNxF E

21、500kNyF 解得：解得： D1000kNF E866kNxF E500kNyF CD1000kNFF 以杆以杆AC 为研究对象，受力图和坐标系为研究对象，受力图和坐标系如图所示。建立平衡方程如图所示。建立平衡方程 解得：解得： A()0:MF 0:xF 0:yF AC0MW ABFAC A0 xF AC0yFWFA0 xF A2000kNyF A3000kN mM 例：图所示构架由杆例：图所示构架由杆AC 、CE 及及 BH 铰接而成。杆铰接而成。杆CE和和 E 端用滚子搁置在光滑面上，杆端用滚子搁置在光滑面上，杆BH 水平，在水平，在H 点作用一点作用一铅垂力铅垂力F1 = 1kN 。销

22、钉。销钉C 上作用一水平力上作用一水平力F2 = 600N 和一铅垂和一铅垂力力F3 = 600N ，不计各杆重量。试求，不计各杆重量。试求A、B、D处的约束力。处的约束力。 解：以整个刚体系统为研究对象，受解：以整个刚体系统为研究对象，受力图和坐标系如图所示。建立平衡方程力图和坐标系如图所示。建立平衡方程 A()0:MF 0:xF 0:yF 解得：解得： oE123sin4522.25210FFFF oA2Ecos450 xFFF oA3E1sin450yFFFF E2864NF A1425NxF A42NyF 以杆以杆BH 为研究对象，受力图和坐标系如图所示。建立平衡方程为研究对象，受力图

23、和坐标系如图所示。建立平衡方程 B()0:MF 0:xF D()0:MF D111.750yFF B110.750yFF BD0 xxFF B750NyF D1750NyF 解得：解得： A1425NxF A42NyF 以杆以杆AC 为研究对象，受力图和坐标系如图所示。建立平衡方程为研究对象，受力图和坐标系如图所示。建立平衡方程 BB750NyyFF C()0:MF AABB2110.50 xyxyFFFF 解得：解得： B2900NxF BB2900NxxFF DB2900NxxFF 1.1.静定问题静定问题 刚体系中有刚体系中有n1 个受平面任意力系作用的刚体，个受平面任意力系作用的刚体，n2 个受个受平面汇交力系或平面平行力系作用的刚体，平面汇交力系或平面平行力系作用的刚体，n3 个受平面力个受平面力偶系或二力作用的刚体