第七章 16固定收入证券和股票定价与灵敏度测量

1、l固定收入证券的概念是指在特定时间支付预定现金流的金融资产，也称为固定收入债券，包括政府、企业债券或共同基金债券等。l基于债券的固定现金流支付特征，可以将债券概念推广居民存款 ， 相当于银行向居民发行债券，即把存折可以理解为债券l1、基于到期收益率的固定收入证券的定价到期收益率是债券未来现金流的折现值等于债券实际价格时的回报率，也就是债券的内部收益率。内部收益率一般是和债券的息票率不相等，只有债券在到期日时支付本金，且当市场价格等于面值才相等。定价公式：其中，T为到期日内的支付现金流的次数；C1CT表示在到期日内不同时期支付的现金流；R为到期收益率，即内部收益率。此式有普遍意义，适用息票债券，

2、适用零息债券定价，还适用偿债基金计算。TTRCRCRCP)1 (.)1 ()1 (221R的确定：从市场当中找出与该债券具有相同期限相同性质的债券（通常使用平价收益债券），以它们的到期收益率作为定价基本标准。平价收益债券指的是息票率接近于收益率的债券。这种定价方法采用的是常数收益率，或者说对不同时期的现金流折现都采用一样的折现率，实际上是认为利率是变的，而实际中利率是在波动变化的。利率是具有期限结构的，这种定价还与利率期限结构相矛盾，因此，这种定价不是很准确。下面，我们来具体解释利率的期限结构。4l债券的到期收益率与到期时间之间的关系，称为利率的期限结构，具体就是表现为收益率曲线的形状l理论上

3、，任何形状都可以：上翘、下垂、平坦l实际中，一般是上翘的l对收益率曲线的形状解释主要如下有四种理论5l（1）、预期理论：该理论认为长期债券的平均年收益率应是期限内预期短期利率的几何平均。例如，期限为两年期的即期利率可以视为1年期即期利率和预期的下一年的1年期利率的几何平均。l按理性预期理论，预期的未来的短期即期利率等于收益率曲线隐含的远期利率。（即期利率就是现在时刻知道的利率，远期利率就是未来某个时间的利率）6年(n)n年期投资的即期利率 第n年的远期利率1234510.010.510.811.011.111.011.411.611.5(1+0.10)*(1+r第2)=(1+0.105)2(1

4、+0.105)2*(1+r第3)=(1+0.108)37l（2）、流动性偏好理论：长期债券流动性低，利率风险高，因此收益率应对风险进行补偿，所以要高于短期债券的收益率。l流动性偏好理论是预期理论的扩充，它表明长期利率是预期短期利率与流动性补偿之和。（银行利率）8l（3）、市场分割理论：该理论认为短期、中期和长期利率之间没有什么关系，不同的机构投资于不同期限的债券，并不转换期限。短期利率由短期债券市场的供求关系来决定，中期利率由中期债券市场的供求关系来决定。l（4）、基于随机过程的利率期限结构理论。将收益率看成服从某随机过程。9（1）基本原理：根据利率期限结构理论，将债券未来时刻产生的现金流分别

5、采用不同的、分别与相关市场利率相对应的折现因子进行折现，最后加总得出债券的市场价值(也称为债券的分解）。这种方法考虑了利率的期限结构因素和市场利率的变化情况，从而可以得出对债券价格更精确有效的估计。定价公式为：其中：T ,C同前。Rt表示各个时期的折现率，就是随时间和期限变化的即期利率TTTRCRCRCP)1 (.)1 ()1 (2221110A 传统方法：用平价收益率曲线表示，即用息票率等于或接近它的到期收益率的不同期限债券的收益率构造收益曲线。B 零息债券收益率方法：面值为PF，T时到期的，价格为P的零息债券收益率为RT,它就是目前T这么长时间的即期利率息票债券定价为：TTFRPP)1 (

6、 TTFTTTRPRCRCRCP)1 ()1 (.)1 ()1 (2221111C 利率期限结构的建模利用市场上现存的各种期限的未清偿附息债券的价格-收益特性估计即期利率曲线，称为利率期限结构的建模，包括逐步升级法和计量经济方法逐步升级法：例假设已知三个债券，其中两个分别为1年期和两年期、价格均为100的零息债券，收益率分别为4%和5%，所以即期利率也是4%和5%。第三个债券为3年期、息票率为5%的债券，其目前市场价为98.5。根据这三个债券的价格-收益信息，可用逐步升级的方法估计3年的即期利率x： 重复类似过程可得4年期及所有期望期限的即期利率%6 . 55 .98)1 (10505. 15

7、04. 1532xxP解得12重复类似过程可得4年期及所有期望期限的即期利率，但逐步升级方法只能估计出有限个期限的离散即期利率，实际中常常需要构造出连续的即期利率曲线，对此，人们引入了计量经济方法。计量经济方法：第一步：给出一个用于计算未来1元现值的贴现公式，（即折现函数），其一般形式为泰勒展开，建立三因子模型第二步，根据以上贴现方程计算样本债券的理论价格。例如，如果一个债券在tn(n=1,N)时刻分别支付cn的现金，根据这些现金流的现值估计出债券的ttRtD)1 ()(332211)(tatatatD13理论价格为按三因子模型展开可得下面形式线性方程如上例中债券1：债券2：债券3：这就得到了

8、关于参数a1 a2 a3的线性方程组。若有更多可知债券，得到更多方程，则解出最小二乘解。第三步，从D(t)解出Rt)(1nNnntDcP)()()()(3322110cfacfacfacfP)1 (104100321aaa)2221 (10510033221aaa)3331 (105)2221 (5)1 (55 .983322133221321aaaaaaaaattRtD)1 ()(14l（一）平均期限(average life)和久期(duration)l因为长期债券的价格比短期债券更易受到利率变动的影响，所以，债券到期前的时间长度可被视为衡量风险的合理尺度。如，尚有5年到期的债券比尚有2年

9、到期的债券面临的利率风险要大。l由于某些债券在一段时期内分期偿还本金，而不是在某个单独确定的到期日偿还，在划分债券风险类别时经常使用平均期限的概念，而不是距离到期日还有多长时间。l平均期限是收回资金的加权平均时间。计算方法是：将每一笔偿还的本金乘以得到它的时间长度，加总后除以本金总和。l缺陷：没有量化随利率变动发生的价格变动。nttnttCtCt11l1938年Frederick Macaulay提出了久期的概念。 Macaulay久期用数学方法估计债券价格对期收益变动的敏感性，按收到债券现金流的加权平均时间计算，利息和本金的支付作为权重。l我们知道，取常数收益率时，债券的定价是：lMacau

10、lay久期定义为：ntttrCP1)1(ntttntnttttttrCPrCtrCD111)1 (1)1 ()1 (nttwtD1l从上面的公式可以看出，久期实际上是一个加权平均的时间长度。l对于零息债券来说，对t=1,2,n-1，都有 Ct=0, 从而D=n，即债券的久期就是债券的到期期限。l对于持有期间有现金流发生的债券来说，其久期都短于到期期限。即：Dn l影响久期的因素分析：从公式可以看出，影响久期的因素主要有债券的：期限长短n,其它条件不变时，n越大，D越大息票率（影响Ct)越高，D越小到期收益率r,越大，D越小在其他因素不变的情况下，期限越长，或息票利率越低，或到期收益率越低，债券

11、的久期越长。ntttntnttttttrCPrCtrCD111)1 (1)1 ()1 ( 久期的重要性质可加性：一个债券组合的久期是组合内各个债券的久期的加权和，权重等于该种债券在组合中所占的比例。即： 若组合的价值为V=Vj，第j个债券的久期是Dj，则整个组合的久期为： D= jDj ，其中j=Vj/V。 21rDPtrCdrdPnttt1)1 (11下面，我们将用久期来表示债券对利率的灵敏度由于：ntttrCP1)1 (ntttntnttttttrCPrCtrCD111)1 (1)1 ()1 (l对上式再进行改写，得：l从上式可以看出，如果市场利率发生变化r ，则可以估算出价格的变化P。l

12、负号表示利率变化方向与债券价格变化的方向相反。lr很小时，忽略不计，D就是债券价格利率敏感性的一阶测量11d PDPd rr rdrDPdP1更精确一些，可用调整久期，其定义如下：drDPdPrDDmodmod1drdPP1l（P/P=-Dmod* r）说明当市场利率发生变化时，债券价格变化的百分率是调整久期与利率变化的乘积。例如，如果某债券的调整久期为5，利率1%的变动将引起证券价格5%的变动。也就是说，债券价格变化的百分率与久期和利率变化成比例。因此，久期，尤其是调整久期，是衡量债券对利率风险暴露的有效工具。久期相等的债券面临的利率风险是一样的，即利率变动给久期相同的债券带来相同的价格变化

13、率。债券的久期越大，该债券对利率越敏感。l久期提供了对债券价格利率敏感性的测量，在利率风险的管理中有十分重要的作用，但亦存在其局限性。体现在：l第一、久期计算中，对所有现金流采用了一个折现率，也就是表示利率期限结构一条水平线，即在某一时点，不同期限的债券的利率水平是相同的，与实际不大符合。l第二、利用久期管理利率风险时，考虑不同时点的收益率曲线的变化只是曲线的平移。l第三，采用久期的方法对债券价格利率风险的敏感性进行测量实际上只考虑了价格和收益率变化之间的线性关系。而市场实际情况表明这种关系经常是非线性的。实线：实际价格变化虚线：久期近似值到期收益率的变化%债券价格的百分比变化8%l从前页的图

14、我们可以看到，近似久期（虚线）总是低于债券的价值，当收益率下降时，它低估债券价格的增长程度，当收益率上升时，它高估债券价格的下跌程度。这是由于真实价格变化与收益变化关系曲线的曲率决定的。曲线的形状，如价格-收益率关系的形状是凸的l（二）凸性l久期只是刻画了债券（或其它资产）的价值对利率变化的敏感性的一阶测量，因此，只有在利率发生微小变化的情况下才是有效的。当利率发生较大变动时，就要考虑2阶敏感性的度量。这就是涉及到凸性的概念。l其中，为误差项102220(1)()()()()1()2()ntttrrCPrd P rrP rrP rrdrdP rrrdr 22m od1( )( )()21()2

15、PPrrPrrPDrCrP l上式右边第一项是基于久期的近似价格变化百分比，第二项即为凸性，即：l凸性l凸性与收益率变化平方( r)2的乘积表示由凸性造成的近似价格变化。221 d PCP drl我们再考虑等式：lP/P=-Dmod*r+1/2凸性*(r)2l其中，第二项是由于凸性引起的。由于凸性大于零，因此第二项总是大于0，说明当收益率变动时总是低估债券的新价值。把凸性考虑进来可以让我们对债券价格变化的估计更加精确。lP=PD+ PClP171书上例子31 凸性也具有可加性：一个债券组合的久期是组合内各个债券的凸性的加权和，权重等于该种债券在组合中所占的比例。即： 若组合的价值为V=Vj，第

16、j个债券的久期是Cj，则整个组合的久期为： C= jCj ，其中j=Vj/V。 32到期收益率的变化%债券价格变化的百分比ABrr1r2现金流说明T现金流金额折现率折现值久期1年的票息151.05 4.761905 0.0476192年的票息251.1025 4.535147 0.0907033年的票息351.157625 4.319188 0.1295764年的票息451.215506 4.1135120.164545年的票息551.276282 3.917631 0.195882本金51001.276282 78.35259 3.91762999.99997 4.545949说明：收益率5，面值100合计久期的计算D/(1+r)4.55/1.054.33调整久期34现金流说明T现金流金额折现率折现值t(t+1)折现值1年的票息151.05 4.7619059.5238095242年的票息251