第2(1)章轴向拉伸与压缩a

1、轴向拉压杆的概念轴向拉压杆的概念轴向拉压杆的内力轴向拉压杆的内力 轴向拉压杆的变形轴向拉压杆的变形胡克定律胡克定律材料在拉压时的力学性质材料在拉压时的力学性质强度条件、安全系数、许用应力强度条件、安全系数、许用应力拉压杆的超静定问题拉压杆的超静定问题轴向拉压杆的应力轴向拉压杆的应力拉（压）杆内的应变能拉（压）杆内的应变能应力集中的概念应力集中的概念比较比较分类法分类法第第2章轴向拉压章轴向拉压知识点知识点轴向拉压的概念轴向拉压的概念(工程和生活实例工程和生活实例图片介绍）图片介绍）轴向拉压的应力轴向拉压的应力（横截面和斜截面（横截面和斜截面应力公式）应力公式）轴向拉压的力学性轴向拉压的力学性质

2、质(视频讲解）、视频讲解）、应变能、应力集中应变能、应力集中概念概念内力、截面法的概念、内力、截面法的概念、轴力概念和求法、轴轴力概念和求法、轴力图的概念和画法力图的概念和画法轴向拉压的强度条件轴向拉压的强度条件及其解决的三问题及其解决的三问题轴向拉压的变形（轴向拉压的变形（胡克定律、变形计胡克定律、变形计算、泊松比概念）算、泊松比概念）拉压超静定问题的拉压超静定问题的概念及其解题方法概念及其解题方法比较分析法、几何比较分析法、几何分析法分析法轴向拉伸轴向拉伸 线方向伸长线方向伸长 的变形形式的变形形式FFFF 载荷的作用线与杆的轴线重合，使杆产生沿轴载荷的作用线与杆的轴线重合，使杆产生沿轴（

3、轴向压缩）（轴向压缩）（缩短）（缩短）木压杆木压杆 2. .2 轴向拉压杆的内力轴向拉压杆的内力一一. 内力的概念内力的概念材料力学中内力指的是：材料力学中内力指的是：物体受到物体受到外力外力作用而产生作用而产生变形变形，所引起的物体内部，所引起的物体内部各质点之间各质点之间相互作用力改变量相互作用力改变量的的合力（附近内力）合力（附近内力）。材料力学求杆截面内力的基本方法是：材料力学求杆截面内力的基本方法是：截面法，截面法，即：截开即：截开 代替代替 平衡平衡。二二. .横截面上的内力和轴力图横截面上的内力和轴力图由由 Fx = 0：得到得到FFmmIII0N FFFF NmmIFFNmmF

4、FN1、截面法截面法 轴力的符号规定：轴力的符号规定：作用线与杆的轴线重合的内力，单位：作用线与杆的轴线重合的内力，单位：N、kN。背离截面为背离截面为 + + ，指向截面为，指向截面为 - - ；即轴力为拉力为；即轴力为拉力为正，轴力为压力为负。正，轴力为压力为负。FFmmIIImmIFFN2、横截面上的内力（轴力）和内力图（轴力图）、横截面上的内力（轴力）和内力图（轴力图）mmFFN（1）轴向拉压的内力）轴向拉压的内力（2 2）轴力图的概念及其画法）轴力图的概念及其画法轴力图轴力图杆的杆的轴力沿轴线变化的图形。轴力沿轴线变化的图形。轴力图的画法：轴力图的画法： 水平杆轴力图的画法：水平杆轴

5、力图的画法：取纵横坐标轴，横轴与杆轴线平取纵横坐标轴，横轴与杆轴线平行，表示杆各截面的位置；纵轴与横轴垂直，表示杆各截行，表示杆各截面的位置；纵轴与横轴垂直，表示杆各截面轴力的大小；规定正轴力画在横轴上方，负轴力画在横面轴力的大小；规定正轴力画在横轴上方，负轴力画在横轴下方。轴下方。 竖直杆轴力图的画法：竖直杆轴力图的画法：取纵横坐标轴，纵轴与杆轴线平取纵横坐标轴，纵轴与杆轴线平行，表示杆各截面的位置；横轴表示杆各截面轴力大小；行，表示杆各截面的位置；横轴表示杆各截面轴力大小；正负轴力画在杆的那一侧由自己定。正负轴力画在杆的那一侧由自己定。内力图内力图杆的杆的内力沿轴线变化的图形内力沿轴线变化

6、的图形（轴力图、扭矩图、（轴力图、扭矩图、弯矩图、剪力图）弯矩图、剪力图）。注意：画内力图要标（图名、控制点注意：画内力图要标（图名、控制点数值、正负号、单位）数值、正负号、单位）例例 1 画出图画出图示直杆示直杆（多力杆多力杆）的的轴力图。轴力图。解解：F =18kN1F =4kN3F =8kN21- -1截面：截面：03211N FFFF求得：求得：1. .求轴力求轴力由由 Fx= 0：F 1F 3F 2FN1kN63211N FFFF11注意：用截面法求轴力前，先假定所求截面上的轴力注意：用截面法求轴力前，先假定所求截面上的轴力为拉力，其目的便于画出杆的正确轴力图。为拉力，其目的便于画出

7、杆的正确轴力图。F 3F 2FN2kN12322N FFFkN61N F2- -2截面：截面：0322N FFF求得：求得：由由 Fx = 0：F =18kN1F =4kN3F =8kN211解解：1- -1截面：截面：1. .求轴力求轴力22F 3FN3kN433N FF03N3N FF求得：求得：由由 Fx = 0：kN122N F3- -3截面：截面：F =18kN1F =4kN3F =8kN23311222- -2截面：截面：解解：1- -1截面：截面：1. .求轴力求轴力kN61N FkN43N FF =18kN1F =4kN3F =8kN21133223- -3截面：截面：2- -

8、2截面：截面：解解：1- -1截面：截面：1. .求轴力求轴力kN122N FkN61N F讨论：讨论： 1在求内力时，能否将外力进行平移在求内力时，能否将外力进行平移 ？注意：注意： 1在用截面法求内力时不能随意进行力的平移；在用截面法求内力时不能随意进行力的平移； 2用截面法一次只能求出一个截面上的内力。用截面法一次只能求出一个截面上的内力。 2能否一次求出两个截面上的内力能否一次求出两个截面上的内力 ？kN43N F 轴力图不仅能显示出各段的轴力大小，轴力图不仅能显示出各段的轴力大小，而且能显示而且能显示出各段的变形是拉伸还是压缩。出各段的变形是拉伸还是压缩。2. .作轴力图作轴力图FO

9、xN6kN4kN12kNF =18kN1F =4kN3F =8kN21133223- -3截面：截面：2- -2截面：截面：解解：1- -1截面：截面：1. .求轴力求轴力kN122N FkN61N F试作图试作图a所示杆的轴力图。所示杆的轴力图。练习练习1. 用截面法分别求各段杆的轴力。用截面法分别求各段杆的轴力。为求轴力方为求轴力方便，先求出便，先求出约束力约束力 FR=10 kN。在在AB段用段用1-1截面将杆截面将杆截开，以左端杆为分截开，以左端杆为分离体（图离体（图c），由），由S SFx=0 得得FN1=10 kN(拉力拉力)10kN练习练习解解:以图以图d为分离体，由为分离体，由

10、S SFx=0，得，得FN2=50 kN(拉力拉力)10kN40kN练习练习取截面取截面33右边为分离体（图右边为分离体（图e e），假设轴力为），假设轴力为拉力。拉力。同理，同理，FN4=20 kN ( (拉力拉力) )由由S SFx=0，得，得FN3= -5 kN （压力）。（压力）。 (e)25kN20kN练习练习由轴力图可见由轴力图可见kN502NmaxN, FF2. 以横坐标表示横截面位置，纵坐标表示轴力以横坐标表示横截面位置，纵坐标表示轴力的大小，由以上结果作轴力图如图所示。的大小，由以上结果作轴力图如图所示。练习练习例例2 2 杆受力如图，容重杆受力如图，容重 , ,横截面面积为

11、横截面面积为A,画出轴力图。画出轴力图。解解:(:(1 1）求轴力）求轴力F FN N（x x）x 0:0NAxPxFFxAxPxF )(N( (2 2）画轴力图）画轴力图xPPxFN（X） FNxP+ALP2.3 2.3 轴向拉压杆的应力轴向拉压杆的应力一一. . 研究应力的意义研究应力的意义 在求出截面上的内力后，并不能判断构件是否破坏。在求出截面上的内力后，并不能判断构件是否破坏。 构件的破坏与构件的破坏与单位面积上的内力单位面积上的内力有关有关FFAFF2A下面两根材料相同的杆件哪一根容易破坏？下面两根材料相同的杆件哪一根容易破坏？ 应力应力 单位面积（单位面积（1 1m2 2）上的内

12、力（即内力的集度）。）上的内力（即内力的集度）。MAFMpAFp 平平均均应应力力AdFdAFplim0A 一点的应力一点的应力压为负；压为负；拉为正,拉为正, 定：定：与截面垂直的应力，规与截面垂直的应力，规正应力正应力： .MPa10GPa1Pa,10GPa1,N/mm1MPa1Pa,10MPa1Pa,101kPaPa,11mN1392632 : :单位单位产生逆时针力矩为负。产生逆时针力矩为负。 生顺时针力矩为正,生顺时针力矩为正,产产 定：定：与截面相切的应力；规与截面相切的应力；规切（剪）应力切（剪）应力： 二、应力的概念二、应力的概念三、拉压杆横截面上的应力三、拉压杆横截面上的应力

13、1、几何分析、几何分析 变形现象：变形现象： 推知：推知： （1）横截面变形后仍为平面，且仍垂直于轴线横截面变形后仍为平面，且仍垂直于轴线 平面假设平面假设 （2）两横截面间的纵向线段伸长相同两横截面间的纵向线段伸长相同( (均匀变形），均匀变形），即横截面上各点的变形都相等。即横截面上各点的变形都相等。 两横向线相对平移两横向线相对平移adcbFFadcb （2）应力的方向与轴应力的方向与轴力相同。力相同。 （1）横截面上各点横截面上各点的的内力都相等，即横截面上内力都相等，即横截面上各点的正应力都相等，或：各点的正应力都相等，或：横截面上应力均匀分布。横截面上应力均匀分布。 FF N 结论

14、：结论：2. .物理分析物理分析adcbFFadcb3. 静力平衡静力平衡由由 积分得积分得AdFd NAA dF N正应力公式正应力公式正应力的符号规定：正应力的符号规定： 拉应力为拉应力为 + +，压应力为，压应力为 - -。 拉应力拉应力背离截面的应力背离截面的应力 压应力压应力指向截面的应力指向截面的应力AFN adcbFFadcbFF N 当等直杆受几个轴向外力作用时，由轴力图可求当等直杆受几个轴向外力作用时，由轴力图可求得其最大轴力得其最大轴力FN,max，代入上述公式，即得杆的最大，代入上述公式，即得杆的最大正应力：正应力：AFmaxN,max最大轴力所在的横截面称为最大轴力所在

15、的横截面称为危险截面危险截面，危险截面上的，危险截面上的正应力称为正应力称为最大工作应力（危险应力）最大工作应力（危险应力）。注意：注意： (1) 上述正应力计算公式来自于平截面假设；上述正应力计算公式来自于平截面假设；对于某些特定杆件对于某些特定杆件,例如锲形变截面杆，受拉伸例如锲形变截面杆，受拉伸(压缩压缩)时，平截面假设不成立，故原则上不宜用上式计算其时，平截面假设不成立，故原则上不宜用上式计算其横截面上的正应力；若截面沿轴线变化缓慢，正应力横截面上的正应力；若截面沿轴线变化缓慢，正应力公式可近似用。公式可近似用。 (2) 即使是等直杆，在外力作用点附近，横截面上即使是等直杆，在外力作用

16、点附近，横截面上的应力情况复杂，实际上也不能应用上述公式。的应力情况复杂，实际上也不能应用上述公式。 (3) 圣维南圣维南(Saint-Venant)原理：原理：“力作用于杆端力作用于杆端方式的不同，只会使与杆端距离不大于杆的横向尺方式的不同，只会使与杆端距离不大于杆的横向尺寸的范围内受到影响寸的范围内受到影响”。适用范围适用范围 （1）载荷的作用线必须与轴线重合）载荷的作用线必须与轴线重合 （2）不适应于集中力作用点附近的区域不适应于集中力作用点附近的区域 （圣文南原理）（圣文南原理）) )( () )( () )( (即：即：xAxFxN 作用于弹性体上某一局部区域内的外力系，可作用于弹性

17、体上某一局部区域内的外力系，可以用与它静力等效的力系来代替。经过代替，只对以用与它静力等效的力系来代替。经过代替，只对原力系作用区域附近有显著影响，但对较远处，其原力系作用区域附近有显著影响，但对较远处，其影响即可不计。影响即可不计。 由圣维南原理可知：由圣维南原理可知：下图中的下图中的(b)、(c)、(d)都可以用同一计算简图（都可以用同一计算简图（a）来代替，从而图形得）来代替，从而图形得到很大程度的简化。到很大程度的简化。圣维南原理或者这样说：圣维南原理或者这样说：圣维南原理运用圣维南原理运用例例3 3 悬臂吊车，斜杆悬臂吊车，斜杆ABAB为直径为直径d=20mm的钢杆，起吊的钢杆，起吊

18、重物重物Q=15KN，求，求AB的最大工作应力。的最大工作应力。CL2TU1QBC C1.9m0.8mA例例3 3 悬臂吊车，斜杆悬臂吊车，斜杆ABAB为直径为直径d=20mm的钢杆，起吊的钢杆，起吊重物重物Q=15KN，求，求AB的最大工作应力。的最大工作应力。（1 1）分析）分析AB受力、并求受力、并求其内力其内力: :当当Q移到移到A点时点时AB杆受力杆受力最大，取结点最大，取结点A研究研究解：解：CL2TU1QBC C1.9m0.8mAABFNACFN:0yF)kN(7 .38)N(107 .38388. 01015388. 09 . 18 . 08 . 033N22sinABF0si

19、nNQFABsin/NQFAB不计变形带来的结构尺寸变化，仍不计变形带来的结构尺寸变化，仍按未变形尺寸计算。按未变形尺寸计算。QABCAQBCBC1.9m0.8m(2)(2)求求ABAB杆的最大工作应力杆的最大工作应力MPa 123Pa101234/)1020(107 .386323NAFAB 试求图试求图a所示正方形所示正方形砖柱由于荷载引起的横砖柱由于荷载引起的横截面上的最大工作应力。截面上的最大工作应力。已知已知F = 50 kN。 例例 41. .作轴力图如图所示。分别求各段柱的作轴力图如图所示。分别求各段柱的工作应力。工作应力。段柱横截面上的正应力段柱横截面上的正应力 段柱横截面上的

20、正应力段柱横截面上的正应力 MPa87. 0Pa1087. 0 )m24. 0()m24. 0(N10506311N1 AF ( (压应力压应力) ) MPa1 . 1Pa101 . 1 m37. 0m37. 0N101506322N2 AF ( (压应力压应力) )例例 4 试求薄壁圆环在内压力作用下径向截面上的试求薄壁圆环在内压力作用下径向截面上的拉应力。已知：拉应力。已知：d = 200 mm，d d= 5 mm，p = 2 MPa。 例例 5 薄壁圆环薄壁圆环(d )在内压力作用下，径向截面在内压力作用下，径向截面上的拉应力可认为沿壁厚均匀分布，故在求出径上的拉应力可认为沿壁厚均匀分布

21、，故在求出径向截面上的法向力向截面上的法向力FN后，用式后，用式 FN/(b)求拉应力。求拉应力。 例例 5解解: :用径向截面将薄壁圆环截开，取其上半部分为分离用径向截面将薄壁圆环截开，取其上半部分为分离体，如图体，如图b所示。分布力的合力为所示。分布力的合力为pbddpbF )sind2(0RMPa 40Pa 1040 m) 102(5m) Pa)(0.2 102(2)2(163-6N d dd d pdpbdbAF由由S SFy=0，得，得22RNpbaFF 径向截面上的拉应力径向截面上的拉应力为为例例 5实验表明：实验表明： 有些构件是沿横截面破坏的有些构件是沿横截面破坏的 有些构件则

22、是沿斜截面破坏的有些构件则是沿斜截面破坏的四、拉压杆四、拉压杆斜截面上的应力斜截面上的应力低碳钢轴向拉伸低碳钢轴向拉伸铸铁轴向压缩铸铁轴向压缩1. .斜截面上的内力斜截面上的内力 斜截面上：斜截面上：FF NFFN 横截面上：横截面上：FFkkN N 即：即：NNFFFFkk mn横截面上：横截面上：斜截面上：斜截面上：全应力全应力AFAFNcosAAAFpN2. .斜截面上的应力斜截面上的应力FFkkN N p FFkk mA A cosAFNcos 正应力和切应力：正应力和切应力：cospcospsinp结论：结论： 和和 是是 的函数。的函数。2. .斜截面上的应力斜截面上的应力2sin

23、2 Fkkp nt FFkk mA ApFFkkN N 2cos1. .横截面横截面 = = 0 0 ，max0 2. .纵截面纵截面 = = 90 0 ，09090 3. .斜截面斜截面 = = 45 ， ,245 4. .斜截面斜截面 = = - -45 ， ,245 F 0 ,0 max452 min452 2cos 2sin2 几个特殊截面上的应力几个特殊截面上的应力思考思考：1. 写出图示拉杆其斜截面写出图示拉杆其斜截面k-k上的正应力上的正应力 和切应力和切应力 与横截面上正应力与横截面上正应力 0的关系。并示出它的关系。并示出它们在图示分离体的斜截面们在图示分离体的斜截面k-k上

24、的指向。上的指向。 2. 拉杆内不同方位截面上的正应力其最大值出拉杆内不同方位截面上的正应力其最大值出现在什么截面上？绝对值最大的切应力又出现在现在什么截面上？绝对值最大的切应力又出现在什么样的截面上？什么样的截面上？ FF45Fkk 3. 对于拉对于拉(压压)杆知道了其横截面上一点处正应力杆知道了其横截面上一点处正应力 0(其上的其上的切应力切应力 0= 0)，是否就可求出所有方位的截面上该点处的应，是否就可求出所有方位的截面上该点处的应力，从而确定该点处所有不同方位截面上应力的全部情况力，从而确定该点处所有不同方位截面上应力的全部情况该点处的该点处的应力状态应力状态(state of st

25、ress)？ 单元体：围绕某点所取的微小正方体，单元体是代表某一个点单元体：围绕某点所取的微小正方体，单元体是代表某一个点的。的。单元体的特点单元体的特点：（1）单元体每个面上各点的应力均匀分布；）单元体每个面上各点的应力均匀分布；（2）单元体上相互平行面上的应力相等。）单元体上相互平行面上的应力相等。PPAP/A A对于轴向拉压杆，一点处的应力状态由横截面上的正应力即可对于轴向拉压杆，一点处的应力状态由横截面上的正应力即可完全确定，这样的应力状态称为完全确定，这样的应力状态称为单轴（向）应力状态单轴（向）应力状态。2. .4 4 轴向拉压杆的变形、胡克定律轴向拉压杆的变形、胡克定律一、纵向变

26、形和横向变形一、纵向变形和横向变形二、胡克定律二、胡克定律三、纵向变形和横向变形关系三、纵向变形和横向变形关系四、公式的应用范围与注意事项四、公式的应用范围与注意事项一、纵向变形和横向变形一、纵向变形和横向变形 纵向线应变：纵向线应变：1. .纵向变形纵向变形lll 1ll 符号：伸长为符号：伸长为 +，缩短为，缩短为 l 纵向伸长：纵向伸长：Flll 1F 线应变无量纲线应变无量纲注意：上式所表达的是在长度注意：上式所表达的是在长度l 内的平均内的平均线应变，当沿杆长度均匀变形时，就等于线应变，当沿杆长度均匀变形时，就等于沿长度各点处的纵向线应变。当沿杆长度沿长度各点处的纵向线应变。当沿杆长

27、度为非均匀变形时（如杆在自重作用下的变为非均匀变形时（如杆在自重作用下的变形），上式并不代表沿长度各点处的纵向形），上式并不代表沿长度各点处的纵向线应变，为了研究一点处的线应变，可围线应变，为了研究一点处的线应变，可围绕该点取一个单元体：绕该点取一个单元体：x 截面处沿截面处沿x方向的纵向平均线应变为方向的纵向平均线应变为 xxd d 图示一般情况下在不同截面处杆的横截面上的图示一般情况下在不同截面处杆的横截面上的轴力不同，故不同截面的变形不同。轴力不同，故不同截面的变形不同。lxf沿杆长均匀分布沿杆长均匀分布的荷载集度为的荷载集度为 ffl轴力图轴力图)(xxffxxxd微段的分离体微段的分

28、离体线应变的正负规定：伸长时为正，缩短时为负。线应变的正负规定：伸长时为正，缩短时为负。 一般情况下，杆沿一般情况下，杆沿x方向的总变形方向的总变形 lxxl0d x截面处沿截面处沿x方向的纵向线应变为方向的纵向线应变为 xxxxxxddlim0d dd d lxf沿杆长均匀分布沿杆长均匀分布的荷载集度为的荷载集度为 ffl轴力图轴力图)(xxffxxxd微段的分离体微段的分离体 横向线应变：横向线应变： 横向缩短：横向缩短：横向变形与纵向变形反号横向变形与纵向变形反号bbb 1bb bbb 2b 212. .横向变形横向变形Flll 1F二、胡克定律二、胡克定律( (英国科学家英国科学家 H

29、ookeHooke，16761676年发现年发现) )1. . 第一种形式第一种形式实验表明：当载荷小于某一数值时实验表明：当载荷小于某一数值时引入比例常数引入比例常数E，因，因F=FN，有，有AFll EAlFlN Flll 1F E材料的弹性模量。材料的弹性模量。反映材料抵抗弹性变形的能力，反映材料抵抗弹性变形的能力，单位：单位：Pa EA杆的抗拉杆的抗拉( (压压) )刚度。刚度。表明杆抵抗纵向弹性变形的能力表明杆抵抗纵向弹性变形的能力2. .第二种形式第二种形式 将第一种形式改写成将第一种形式改写成即即llEAF N E 称为应力称为应力应变应变关系关系Flll 1FEAlFlN 三三

30、. .纵向变形和横向变形关系纵向变形和横向变形关系实验表明：当载荷小于某一数值时实验表明：当载荷小于某一数值时式中式中 泊松比泊松比，为，为无量纲量，无量纲量， ( (Poisson, 法国科学家法国科学家) )即即 为材料常数为材料常数 bbb 2b 21Flll 1F2 2）构件的工作应力）构件的工作应力p（线弹性范围内）；3 3）轴力）轴力FN、横截面面积、横截面面积A为常量为常量等直杆两端等直杆两端受轴向力；受轴向力；讨论讨论：1.1.轴力变化时轴力变化时1）l为为“+ +”时伸长，为时伸长，为“- -”时缩短，符号规定与时缩短，符号规定与轴力一致。拉为轴力一致。拉为“+ +”，压为，

31、压为“- -”，算变形，算变形l 时，时，公式中的轴力公式中的轴力FN要考虑正负号要考虑正负号 。BCABlllEAlFEAlFBCAB2N1N2.2.横截面变化时：横截面变化时：BCABlll四四. . 公式的应用范围与注意事项公式的应用范围与注意事项3P1PBC1l2l2PACAB阶梯状杆AElFlxxEAxFld)()(dNlxxEAxFld)()(N徐变截面杆：xdxdx)(xFN)(NxF锥角锥角较度小，如较度小，如 10lFF 例例6 图示杆，图示杆，1段为直径段为直径 d1=20mm的圆杆，的圆杆，2段为段为边长边长a=25mm的方杆，的方杆，3段为直径段为直径d3=12mm的圆

32、杆。的圆杆。已知已知2段杆内的应力段杆内的应力2=-30MPa，E=210GPa，求整个，求整个杆的伸长杆的伸长l解解: :KN75.182530222AF33N322N211N1AElFAElFAElFl4012. 02 . 0025. 04 . 0402. 02 . 010210187502229l缩缩短短）( mm272. 0123FFm2 . 0m2 . 0m4 . 0例7 求受拉锥度杆的总伸长量求受拉锥度杆的总伸长量FF2d1dLxdxx xFN xFN xA解解：徐变截面杆取徐变截面杆取dxdx微段研究微段研究： )1 (222122122LxddddxLdddxtgdxdLddt

33、g221故： FxFLxddddxdxAN2221222)1 (44由由xxEAxFld)()()d(N210224)(4)(4)(dEdFLdxxdEFlxdEdxFldL 图示杆系中，荷载图示杆系中，荷载 P = 100 kN。试求结点试求结点A的位的位移移 A。已知：。已知： = 30 ，l = 2 m，两杆直径均为，两杆直径均为d = 25 mm，材料的弹性模，材料的弹性模量为量为 E = 210 GPa。 例题例题 求拉（压）杆系节点位移的关键在于确定变形后节求拉（压）杆系节点位移的关键在于确定变形后节点的位置。本例中，解除铰链点的位置。本例中，解除铰链A 的约束，设的约束，设1，2

34、 杆的伸长量分别为杆的伸长量分别为 l1和和 l2， 分别以分别以B和和C为圆心，以为圆心，以l1 + l1 和和l2 + l2为半径画圆弧，为半径画圆弧， 两圆弧的交点两圆弧的交点A为变形后为变形后A点点 的精确位置。但在小变形时，的精确位置。但在小变形时， l1l1， l2l2，可近似用，可近似用A1B和和A2C的垂线代替圆弧，得到交点的垂线代替圆弧，得到交点A作为变形后作为变形后A点的点的位置。再根据位移图所示的几何关系求位置。再根据位移图所示的几何关系求A的位移。的位移。 l1 l2(b)例题例题由胡克定律得由胡克定律得 cos22N1N21EAPlEAlFEAlFll 其中其中 24

35、dA 解解: 1. 分别求分别求1，2两杆的轴力及伸长两杆的轴力及伸长 cos22N1NPFF 2N1NFF 0- coscos2N1N PFF 由结点由结点A 的平衡方程得的平衡方程得 例题例题2. 求求A点的位移点的位移 由图由图b可见可见因为因为 l1= l2，所以，所以 Ax=0 21cos2cosEAPllAAAy )(1.293mmm10293. 130cos)m1025(4)Pa10210(2)m2)(N10100(322393 Ay l1 l2(b)例题例题在小变形情况下，确定杆系变形后的位置时，在小变形情况下，确定杆系变形后的位置时，用杆端垂线代替圆弧线是本题的重点也是难点，

36、用杆端垂线代替圆弧线是本题的重点也是难点，一定要掌握。一定要掌握。2. 杆系节点杆系节点A的位移是因杆件变形所引起，但两的位移是因杆件变形所引起，但两者虽有联系但又有区别。变形是指杆件几何尺者虽有联系但又有区别。变形是指杆件几何尺寸的改变，是个标量；位移是指结点位置的移寸的改变，是个标量；位移是指结点位置的移动，是个矢量，它除了与杆件的变形有关以外，动，是个矢量，它除了与杆件的变形有关以外，还与各杆件所受约束有关。还与各杆件所受约束有关。 注意：注意：解:cos221PFFNNcos2121EAPlEAlFllNEAPll2cos1d解:0,21NNFPFlPlEAl120,1NF2NFP例例

37、9 9 求图示结构结点求图示结构结点A A的垂的垂直位移和水平位移。直位移和水平位移。AxddctgEAPlctglx1ydEAPlly1dBDC4m3mBCBC杆为圆钢，直径杆为圆钢，直径d=20mmd=20mm，BDBD杆为杆为8 8号槽钢。号槽钢。 =160MPa=160MPa，E=200GPaE=200GPa，P=60KNP=60KN，试求，试求B B点的位移。点的位移。解解：（1）分析构件受力：取B点研究P1NF2NFPkNPFkNPFNN7545454321（“-”表示2NF与图示方向相反，为压力）B例例10 10 简单托架如图，简单托架如图，BDC3mP1NF2NFP4m（2）分

38、析计算B点的位移：假想把B节点松开，BB1B2B222222111111BBAELFlBBAELFlNN受力后B点移到B其位移2121BBBBBB3B4Bsin231lBBctgBBBB3231232cosllBBBBBBBB33111l2lmBBAELFcmAmBBAELFNN349322222222362931111111083.11024.10102005107524.101015.2102041020031045查查型型钢钢表表得得mctgBBBBBB31223311109.3)cos(sinmBBBBBB321211045.4解：1）求轴力FN（x）0)(:0AxFxFFNxAxFx

39、FN)(2）求变形： 取微段dx研究dxxAFEEAdxxFdxN)(1)()(FNxF+ALFFFxxxdxFN（x）例例11 11 求考虑自重影响的等直杆变形。已知求考虑自重影响的等直杆变形。已知P P、杆、杆长长L L、A A、E E、容重、容重 。dxFN（x）+d FN（x）FN（x）ELEAFLdxxAFElL2)(120 求例题求例题2-4中所示薄壁圆环的直径改变量中所示薄壁圆环的直径改变量 d。已。已知知E=210GPa，d=200mm，d d=5mm，p=2MPa。例例 12解解: 1. 由例题由例题2-4已求出圆环径向截面上的正应力为已求出圆环径向截面上的正应力为MPa40

40、2pdbFN例例 122. 因为因为p ，所以在计算变形时可忽略内压力的，所以在计算变形时可忽略内压力的影响，则薄壁圆环沿圆环切向的线应变影响，则薄壁圆环沿圆环切向的线应变 （周向应（周向应变）与径向截面上的正应力变）与径向截面上的正应力 的关系符合单轴应的关系符合单轴应力状态下的胡克定律，即力状态下的胡克定律，即 496109 . 1Pa10210Pa1040- E 例例 12mm038. 0m108 . 3m2 . 0109 . 154- -ddd 圆环直径的改变量圆环直径的改变量( (增大增大) )为为ddddddd -)(3. 圆环的周向应变圆环的周向应变 与圆环直径的相对改变量与圆环

41、直径的相对改变量 d 有如下关系：有如下关系：例例 12 (2)横截面横截面B,C及端面及端面D的纵向位移与各段杆的纵向的纵向位移与各段杆的纵向总变形是什么关系？总变形是什么关系？思考：等直杆受力如图，已知杆的横截面面积思考：等直杆受力如图，已知杆的横截面面积A和和材料的弹性模量材料的弹性模量E。 (1)列出各段杆的纵向总变形列出各段杆的纵向总变形lAB，lBC，lCD以以及整个杆纵向变形的表达式。及整个杆纵向变形的表达式。 FFFN 图F+-+EAlFlEAlFllBCCDAB)3/( )3/( EAlFllllBCCDAB)3/( )3/( 0 )3/(EAlFllllllEAlFlCDB

42、CABDBCABCABB d dd dd d位移：位移：变形：变形：2-5 拉拉(压压)杆内的应变能杆内的应变能 应变能应变能(strain energy)弹性体受力而变弹性体受力而变形时所积蓄的能量。形时所积蓄的能量。 功能原理功能原理：积蓄在弹性体内的应变能：积蓄在弹性体内的应变能V 在数值上等于在数值上等于外力所作功外力所作功W： V = W。 应变能的单位为应变能的单位为 J（1J=1Nm）。）。 弹性体受力发生变形后会积蓄能量。弹性体受力发生变形后会积蓄能量。把伴随弹性体变形量增减而变化的能量称为变形能。把伴随弹性体变形量增减而变化的能量称为变形能。拉杆拉杆(压杆压杆)在线弹性范围内

43、的应变能在线弹性范围内的应变能 或或EAlFEAlFFlFV221212NNNN EAlFEAFlFlFV221212 外力外力F所作功：所作功： lFW21 WV 杆内应变能：杆内应变能：lFV 21亦可写作亦可写作 22)(22llEAEAlFV 2121 AllFVVvEv22 22 Ev 或或或或应变能密度应变能密度 v 单位体积内的应变能单位体积内的应变能。 应变能密度的单位为应变能密度的单位为 J/m3。fxxF )(NEAxxFV2d)(d2N llEAxxFVV02N2d)(dlxf沿杆长均匀分布沿杆长均匀分布的荷载集度为的荷载集度为 ffl轴力图轴力图)(xxffxxxd微段的分离体微段的分离体讨论：