第5节连续型随机变量的概率密度

1、上一页上一页下一页下一页概率论与数理统计（湘潭大学）概率论与数理统计（湘潭大学）目录目录结束结束返回返回2.5 2.5 连续随机变量的概率密度连续随机变量的概率密度第二章 随机变量及其分布1上一页上一页下一页下一页概率论与数理统计（湘潭大学）概率论与数理统计（湘潭大学）目录目录结束结束返回返回2.42.4 连续随机变量连续随机变量.(2)取这些值时对应的概率给出X;) 1 (的全部取值列出X:述离散随机变量那样，对于连续随机变量 X是试验的基事件0 xX ,本事件,但在实际的试验中.)2(的发生无法检验该事件是否真发生的概率极小；事件)1 (0 xX 规定：因此,. 0)(0 xXP无法像前面

2、描的分布时描述连续随机变量,X2上一页上一页下一页下一页概率论与数理统计（湘潭大学）概率论与数理统计（湘潭大学）目录目录结束结束返回返回 概率密度函数的定义概率密度函数的定义2.62.6 连续随机变量的概率密度连续随机变量的概率密度设 是连续型随机变量， 是实数， . X0 xxxxxXxPx)(lim0则称此极限为 在 处的概率密度概率密度. Xx: )(xf记作xxxXxPxfx)(lim)(0如果存在，上的平均概率分布密度在区间为随机变量称比值xxxXxxxXxP,)(3上一页上一页下一页下一页概率论与数理统计（湘潭大学）概率论与数理统计（湘潭大学）目录目录结束结束返回返回xxxXxPx

3、fx)(lim)() 1 (0 xxFxxFx)()(lim0.)()()()2(xdxxfxXPxF 概率密度函数与分布函数的关系概率密度函数与分布函数的关系);(xF2.62.6 连续随机变量的概率密度连续随机变量的概率密度4上一页上一页下一页下一页概率论与数理统计（湘潭大学）概率论与数理统计（湘潭大学）目录目录结束结束返回返回., 02,cos21)(其它；xxxf).(xFX的分布函数求解：2.62.6 连续随机变量的概率密度连续随机变量的概率密度,2时当 x; 0)()(xdxxfxF,22时当x xdxxfxF)()(;2sin1xxdxxfdxxf22)()( xxdx2cos2

4、15上一页上一页下一页下一页概率论与数理统计（湘潭大学）概率论与数理统计（湘潭大学）目录目录结束结束返回返回.2, 1;22,2sin1;2, 0)(xxxxxF xdxxfxF)()(. 1时，当2x xdxxfdxxfdxxf2222)()()( 于是2.62.6 连续随机变量的概率密度连续随机变量的概率密度6上一页上一页下一页下一页概率论与数理统计（湘潭大学）概率论与数理统计（湘潭大学）目录目录结束结束返回返回. 0)(xf即，密度函数的图形(分布曲线)位于 轴上方.xX. 1)(dxxfba 概率密度函数的性质概率密度函数的性质,内区间ba则. 1)(dxxf2.62.6 连续随机变量

5、的概率密度连续随机变量的概率密度7上一页上一页下一页下一页概率论与数理统计（湘潭大学）概率论与数理统计（湘潭大学）目录目录结束结束返回返回.)()(2121dxxfxXxPxx 用概率密度求概率用概率密度求概率则x)(xfO1x2x)(21xxxP2.62.6 连续随机变量的概率密度连续随机变量的概率密度8上一页上一页下一页下一页概率论与数理统计（湘潭大学）概率论与数理统计（湘潭大学）目录目录结束结束返回返回例例2设连续随机变量X的概率密度.,1)(2xxAxf求：常数A的值；随机变量X落在区间 1 ,0内的概率；随机变量X的分布函数.解：根据概率密度的性质，有, 112dxxA即. 112A

6、xdxA(1)(3)(2)(1)2.62.6 连续随机变量的概率密度连续随机变量的概率密度9上一页上一页下一页下一页概率论与数理统计（湘潭大学）概率论与数理统计（湘潭大学）目录目录结束结束返回返回由此得.1A随机变量X的概率密度为.,)1(1)(xxxf2于是,所求概率102)1() 10(xdxxP.25. 041(3)(2)随机变量X的分布函数xxdxxF)1()(2)2(arctan1x.arctan121x)Cauchy(分布柯西2.62.6 连续随机变量的概率密度连续随机变量的概率密度10上一页上一页下一页下一页概率论与数理统计（湘潭大学）概率论与数理统计（湘潭大学）目录目录结束结束

7、返回返回1,02( )05(1)2XAxxf xAX例3设随机变量 的概率密度为：其他3确定常数 ； （2）求X的分布函数； （3）求P(2201(1)( )1(1)12f xdxAxdxA解由，得，解得110( )0,xF x（2）当时，20102( )( )(1)4xxxF xf t dtAtdtxx 当时，2( )1xF x当时，上一页上一页下一页下一页概率论与数理统计（湘潭大学）概率论与数理统计（湘潭大学）目录目录结束结束返回返回252233220,01( ),0241,2351(3)()( )(1)2216xF xxxxxPXf x dxAxdx所以(1)4,0( ),011,111

8、,23()3xxXAexF xBxA exA BXP X例设连续型随机变量的分布函数为：求（：）的值； （ ） 的概率密度；（ ）12上一页上一页下一页下一页概率论与数理统计（湘潭大学）概率论与数理统计（湘潭大学）目录目录结束结束返回返回连续函数，所以是定义知，）由连续型随机变量的（解)(1xF0011lim()lim()lim()lim()xxxxFxFxFxFx0011lim( )lim( )lim( )lim( )1xxxxAF xF xBBF xF xA 即12AB解得13上一页上一页下一页下一页概率论与数理统计（湘潭大学）概率论与数理统计（湘潭大学）目录目录结束结束返回返回11(2)

9、0( );22xxxf xee当时 ，14101,( )0;2xf x当时(1)(1)111,( )1.22xxxf xee当时(1)1,02( )0,011,12xxexfxxex所以上一页上一页下一页下一页概率论与数理统计（湘潭大学）概率论与数理统计（湘潭大学）目录目录结束结束返回返回1111(3)()1()1( )3332P XP XF15上一页上一页下一页下一页概率论与数理统计（湘潭大学）概率论与数理统计（湘潭大学）目录目录结束结束返回返回2.62.6 连续随机变量的概率密度连续随机变量的概率密度小小 结结 1. 概率密度函数是描述连续型随机变量概率分布的最常用的工具. 2. 概率密度

10、函数的性质:非负性,规范性. 4. 利用密度函数计算概率的公式： 3. 概率密度与分布函数的关系.)()(dxxfbXaPba16上一页上一页下一页下一页概率论与数理统计（湘潭大学）概率论与数理统计（湘潭大学）目录目录结束结束返回返回2.6 2.6 连续随机变量的密度函数连续随机变量的密度函数),()( ),( xfxfxfX且的密度函数为设随机变量. )(, , )(有则对任意实数的分布函数是aXxF;)(1)()(0adxxfaFA;)(21)()(0adxxfaFB; )()()(aFaFC. 1)(2)()(aFaFD思考题思考题17上一页上一页下一页下一页概率论与数理统计（湘潭大学）

11、概率论与数理统计（湘潭大学）目录目录结束结束返回返回2.6 2.6 连续随机变量的密度函数连续随机变量的密度函数解：则由于),()( xfxf,)(1adxxf)(21(10adxxf. )(210adxxf. )(B从而选择又adxxfaF)()(adxxf)()()(100adxxfdxxf0)(dxxf0)(dxxf, 21)()0(0dxxfF于是18上一页上一页下一页下一页概率论与数理统计（湘潭大学）概率论与数理统计（湘潭大学）目录目录结束结束返回返回人有了知识，就会具备各种分析能力，明辨是非的能力。所以我们要勤恳读书，广泛阅读，古人说“书中自有黄金屋。”通过阅读科技书籍，我们能丰富知识，培养逻辑思维能力；通过阅读文学作品，我们能提高文学