第7章刚体力学习题课

1、第第7章章 刚体力学习题课刚体力学习题课 例2. .均匀细棒均匀细棒 oA 可绕通过其一端可绕通过其一端 o 而与棒垂而与棒垂直的水平固定光滑轴转动直的水平固定光滑轴转动, ,如图所示如图所示. .今使棒从今使棒从水平位置由静止开始自由下落水平位置由静止开始自由下落, ,在棒摆动到竖直在棒摆动到竖直位置的过程中位置的过程中, ,下列情况哪一种说法是正确的下列情况哪一种说法是正确的? ?（ ）(D) 角速度从大到小角速度从大到小, ,角角加速度从小到大加速度从小到大. . (C) 角速度从大到小角速度从大到小, ,角角加速度从大到小加速度从大到小. .(B) 角速度从小到大角速度从小到大, ,角

2、加速度从小到大角加速度从小到大. .(A) 角速度从小到大角速度从小到大, ,角加速度从大到小角加速度从大到小. . oAA A例例3：已经一半圆环半径为：已经一半圆环半径为R，质量为，质量为M，求，求它的质心位置。它的质心位置。解：建坐标系如图，取解：建坐标系如图，取dl,dldm Rddl dMRdRMdm sin,cosRyRx 0 cx 002sinsinRdRMdMRMydmycyxdmod例例4. 一长为一长为2l，质量为，质量为3m的细棒的两端粘有质量分的细棒的两端粘有质量分别为别为2m和和m的物体，此杆可绕中心的物体，此杆可绕中心O轴在铅直平面轴在铅直平面内转动。先使其在水平位

3、置，然后静止释放。求：内转动。先使其在水平位置，然后静止释放。求： （1）此刚体的转动惯量；（）此刚体的转动惯量；（2）水平位置时的杆的）水平位置时的杆的角加速度；（角加速度；（3）通过铅直位置时杆的角速度。）通过铅直位置时杆的角速度。 llm2mo222242)2)(3(121mlmlmllmI 解：（解：（1）（2） ImglmglM 2lg4 （3）机械能守恒）机械能守恒22120 Imglmgl lg2 例例5. 一圆盘可绕垂直于盘面且一圆盘可绕垂直于盘面且通过盘心的中心轴通过盘心的中心轴OO以角速度以角速度 沿顺时针方向沿顺时针方向转动转动.(1) (1) 在同一水平直线以相反在同一

4、水平直线以相反方向同时射入两颗质量相同方向同时射入两颗质量相同, ,速率相等的子弹速率相等的子弹, ,并留在盘中并留在盘中, ,盘的角速度如何变化盘的角速度如何变化? ?vvOO OOFF(2)(2)两大小相等两大小相等, ,方向相反但不在方向相反但不在同一直线上的力沿盘面同时作用同一直线上的力沿盘面同时作用在盘上在盘上, ,盘的角速度如何变化盘的角速度如何变化? ?盘的角速度增大盘的角速度增大,因为转盘受到同向的力矩因为转盘受到同向的力矩盘的角速度减小盘的角速度减小,因为因为角动量角动量L=I 不变不变,但转但转动惯量动惯量I加大了加大了.0 M与与 同方向，同方向，00 II 0II 0

5、6.一半径为一半径为R质量为质量为m的均质圆形平板在粗糙的均质圆形平板在粗糙的水平桌面上，绕通过圆心且垂直于平板的的水平桌面上，绕通过圆心且垂直于平板的oo轴转动，摩擦力对轴转动，摩擦力对oo轴的力矩为（轴的力矩为（ ）0.;21.;.;32.DmgRCmgRBmgRA A1m2mRM,1mgm11TRM,1T2T2T2m解：解：amTgm111 （1）amT22 （2 2） IRTT )(21（3 3）221MRI 例例7.7.质量为质量为 m1 和和m2 两个物体，两个物体，跨在定滑轮上跨在定滑轮上 m2 放在光滑的放在光滑的桌面上，滑轮半径为桌面上，滑轮半径为 R，质量质量为为 M，求：

6、求：m1 下落的加速度，下落的加速度，和绳子的张力和绳子的张力 T1、T2。 Ra （4 4）联立方程，求解得：联立方程，求解得：2/211Mmmgma2/)2/(21211MmmgMmmT2/21212MmmgmmT当当 M= =0 时：时：212121mmgmmTT1m2mRM,9例例8. 一个半径为一个半径为 R 的半球固定在地面上，在它的的半球固定在地面上，在它的顶部有一半径为顶部有一半径为 r 的球从静止只滚不滑地开始滚的球从静止只滚不滑地开始滚下，问：小球滚到何处恰好脱离大球面？下，问：小球滚到何处恰好脱离大球面？RrfNgm根据质心运动定律，有 解：当小球滚至任一角解：当小球滚至

7、任一角度度 时，其受力为时，其受力为Nfgm和和支支撑撑力力，摩摩擦擦力力重重力力 1cos2rRvmNmgc 10 以小球和大球为系统，外力以小球和大球为系统，外力 不做功机不做功机械能守恒，取地面为重力势能零点，则有械能守恒，取地面为重力势能零点，则有fN, 2211cos222ccmg Rrmg RrmvI由题意为纯滚动，所以由题意为纯滚动，所以开始脱离时有开始脱离时有联立（联立（1）、（）、（2）、（）、（3）、（）、（4）、（）、（5）解得：解得： 3 rvc 50 N 1710arccos,1710cos 即即252mrIc (4)例例9.如图所示，如图所示，A、B 两圆盘可分别绕

8、两圆盘可分别绕 ， 轴无摩轴无摩擦地转动。重物擦地转动。重物 C 系在绳上（绳不伸长），且与圆系在绳上（绳不伸长），且与圆盘边缘之间无相对滑动。已知盘边缘之间无相对滑动。已知 A、B 的半径分别为的半径分别为R1 ，R2 ，A 、B、C 的质量分别为的质量分别为 m1，m2 ，m，求：重物，求：重物 C 由静止下降由静止下降 h时的速度时的速度 v 。1O2O解一：应用机械能守解一：应用机械能守恒定律恒定律ABC2O1O11,Rm22,Rmmh0PE2222112212121 IImvmgh 不打滑：有不打滑：有2211RRv考虑到：考虑到：222221112121RmIRmI 得得mmmmg

9、hv22212222112212121 IImvmgh ABC2O1O11,Rm22,Rmmh 解二：应用牛顿第二定律和转动定律解二：应用牛顿第二定律和转动定律1T1T2T2TgmA： （1） 1111 IRT B： （2）222122 IRTRT C： （3）maTmg2不打滑，有不打滑，有 （4）2211 RRa 联立（联立（1）、（）、（2）、（）、（3）、（）、（4）解得：）解得：mmmmga2221mmmmghahv2222115xymgcaN) 1 (, 02LcmmaFmgN)2(231mLIoAFoLoA32解：建立图示坐标系，据题意，杆解：建立图示坐标系，据题意，杆受力及运动

10、情况如图所示。受力及运动情况如图所示。由质心运动定理：由质心运动定理： 由转动定理：由转动定理： 联立（联立（1），（），（2）得：）得：, 0 ixF TmgFiy 2)(1212)(2LamLLTmTmgacycy转动定理转动定理质心运动定理质心运动定理 mgFgacy4143例例11.11.如图所示如图所示, ,一长为一长为L L质量为质量为m m的匀质细棒的匀质细棒AB,AB,用用细线拴住其两端细线拴住其两端, ,水平悬于空中水平悬于空中, ,若将若将A A端悬线剪断端悬线剪断, ,试求剪断的瞬间杆的质心的加速度和试求剪断的瞬间杆的质心的加速度和B B端悬线对杆的端悬线对杆的拉力拉力.

11、 . 解得解得: :解解: :在剪断的瞬间在剪断的瞬间: : 例例12.如图如图,知知A: m,l,质量均匀质量均匀,开始时水平静止开始时水平静止mOABlmB:m , , A竖直时被碰竖直时被碰,然后然后滑行距离滑行距离S.求求 :碰后碰后A的质心可达高度的质心可达高度h.解解: :A由水平下摆至垂直由水平下摆至垂直, ,机械能守恒机械能守恒. .以地面为零势能点以地面为零势能点mglImgl212121 A与与B碰撞对碰撞对O点点角动量守恒角动量守恒.21mvlII B向右滑动向右滑动, ,根据根据动能定理动能定理：.mgSmv212 A向上摆动向上摆动机械能守恒机械能守恒mghIlmg

12、222121 可解得可解得: :2)61(2121lsllh 例例13如图所示，一质量为如图所示，一质量为m的匀质细杆的匀质细杆AB，A端靠在光滑的竖直墙壁上，端靠在光滑的竖直墙壁上，B端置于粗糙水端置于粗糙水平地面上而静止杆身与竖直方向成平地面上而静止杆身与竖直方向成 角，则角，则A端对墙壁的压力大小为端对墙壁的压力大小为 （ ） 。DmgCmgBmgA不不能能确确定定.,sin.,tan21.,cos41. A R B R B例例14.一质量为一质量为 m 的子弹丸，穿过如图所示的摆锤的子弹丸，穿过如图所示的摆锤 后，速率由后，速率由 v 减少到减少到 。若摆锤的质量为。若摆锤的质量为 M

13、，摆杆的质量也为摆杆的质量也为 M（均匀细杆），长度为（均匀细杆），长度为 l，如果，如果摆锤能在垂直平面内完成一个完全的圆摆锤能在垂直平面内完成一个完全的圆周运动，弹丸的速度的最小值应为多少？周运动，弹丸的速度的最小值应为多少？2vMMl,mv2v 解：解：取摆锤、地球和子弹为取摆锤、地球和子弹为系统，子弹穿过摆锤过程中，系系统，子弹穿过摆锤过程中，系统对转轴的角动量守恒：统对转轴的角动量守恒： 321111IIII 即即得摆锤开始转动的角速度为：得摆锤开始转动的角速度为：摆锤开始转动后机械能守恒，设摆锤在垂直位置为摆锤开始转动后机械能守恒，设摆锤在垂直位置为势能零点，有势能零点，有 222

14、2312MlMllvmllvmlMlmv83 232221232lMglMglMgII lg29 得：得：lgMlmv2983 则：则：glmMv24 即：即：例例15.设某机器上的飞轮的转动惯量为设某机器上的飞轮的转动惯量为 I，其在制动，其在制动力矩力矩 的作用下，角速度由的作用下，角速度由 减小到减小到 ，问此过程所需的时间和制动力矩所作，问此过程所需的时间和制动力矩所作的功各为多少？的功各为多少？常量KKM020M解：解：由转动定律：由转动定律：移项后两边积分：移项后两边积分： KdtdIM dtIKdt 0200 再由转动动能定理得：再由转动动能定理得：020208321221 II

15、IW 2lnKIt 得：得：解：杆解：杆 地球系统，地球系统， 只有重力作功，只有重力作功，E 守恒。守恒。例例16.16.已知：均匀直杆质量为已知：均匀直杆质量为m m，长为长为l l, ,初始时水平初始时水平静止，轴光滑，静止，轴光滑，AO=AO=l l/4/4，求杆下摆，求杆下摆角后，角速度角后，角速度为多少？为多少？初始：初始：E Ek1k1=0=0令令E Ep1=p1=0 0末态：末态：2221 IEk sin42lmgEp 0sin42120 lmgI则：则： (1)由平行轴定理由平行轴定理22220487)4(121mllmmlmdIIc (2)由由(1)(1) 、(2),(2)

16、,得：得：71sin62 g 弹性碰撞，动能守恒，弹性碰撞，动能守恒，解：解： 对棒和球系统，角动量守恒，对棒和球系统，角动量守恒，例例17.17.一根长为一根长为l l ，质量为质量为m m的均匀直棒静止在一光的均匀直棒静止在一光滑水平面上。它的中点有一竖直光滑固定轴，一个滑水平面上。它的中点有一竖直光滑固定轴，一个质量为质量为 的小球以水平速度的小球以水平速度 v v0 0垂直于棒冲击其一垂直于棒冲击其一端发生弹性碰撞。求端发生弹性碰撞。求: :碰撞后球的速度碰撞后球的速度 和棒的角和棒的角速度速度 。vm 例例18. .一轻绳跨过两个质量为一轻绳跨过两个质量为 m、半径为、半径为 r 的

17、均匀圆盘状定滑轮的均匀圆盘状定滑轮, ,绳的两端分别挂着质绳的两端分别挂着质量为量为 2m 和和 m 的重物的重物, ,如图所示如图所示, ,绳与滑轮绳与滑轮间无相对滑动间无相对滑动, ,滑轮轴光滑滑轮轴光滑, ,两个定滑轮的两个定滑轮的转动惯量均为转动惯量均为 mr2 2/ /2, , 将由两个定滑轮以及将由两个定滑轮以及质量为质量为 2m 和和 m 的重物组成的系统从静的重物组成的系统从静止释放止释放, ,求重物的加速度和两滑轮之间绳内求重物的加速度和两滑轮之间绳内的张力。的张力。mm2rm,rm,解：,4/ga得3Tmg2TT2T31Tmg2T1 ra mamgT3 rTTmr23221

18、)( rTTmr22121)( maTmg2218/mg11T2 例例19. .质量为质量为 m1、长为、长为 l 的均匀细杆的均匀细杆, ,静止平放在滑动摩擦系数为静止平放在滑动摩擦系数为 的水平的水平桌面上桌面上, ,它可绕过其端点它可绕过其端点 o 且与桌面垂且与桌面垂直的固定光滑轴转动直的固定光滑轴转动, ,另有一水平运动另有一水平运动的质量的质量 m2为的小滑块为的小滑块, ,从侧面垂直与从侧面垂直与杆的另一端杆的另一端 A 相碰撞相碰撞, ,设碰撞时间极短设碰撞时间极短, ,已知小滑块在碰撞前后的速度分别为已知小滑块在碰撞前后的速度分别为 v1 和和 v2 , ,方向如图所示方向如图所示, ,求碰撞后从细求碰撞后从细杆开始转动到停止转动过程所需时间杆开始转动到停止转动过程所需时间, ,（已知杆绕点（已知杆绕点 o 的转动惯量的转动惯量 I= ml2/ / 3 )olm1m21v2vA选逆时针方向为正，短，故系统动量守恒，极为系统，由于碰撞时间和解：选mm21)3/(212212lmlvmlvm则有：作