第二讲：直线的投影、两直线的相对位置(平行、相交、交叉)

1、2022-4-221第二章第二章点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影直线的投影直线的投影直角三角形法求线段实长及倾角直角三角形法求线段实长及倾角直线上的点直线上的点两直线的相对位置关系两直线的相对位置关系直线的投影直线的投影两点决定一条直线。两点决定一条直线。 分别将两点的同名（同面）投影分别将两点的同名（同面）投影用直线连接，就得到直线的投影。用直线连接，就得到直线的投影。Z ZX XO OY YH HY YW Waaa aa”a”bbb bb”b”直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。直线的投影仍为直线，特殊情况下为一点。abc(d)直线对投影面的倾角：直线对投影面的倾角：对水平投影面

2、的倾角对水平投影面的倾角对正立投影面的倾角对正立投影面的倾角对侧立投影面的倾角对侧立投影面的倾角直线在三投影面体系中分为：直线在三投影面体系中分为：各种位置直线的投影特性各种位置直线的投影特性 投影面平行线投影面平行线一般位置直线一般位置直线特殊位置直线特殊位置直线 水平线水平线 正平线正平线 侧平线侧平线投影面垂直线投影面垂直线 铅垂线铅垂线 正垂线正垂线 侧垂线侧垂线平行于某一投影面，且平行于某一投影面，且倾斜于另两个投影面倾斜于另两个投影面垂直于某一投影面垂直于某一投影面与三个投影面都倾斜与三个投影面都倾斜42022-4-22投影面平行线投影面平行线正平线（平行于面且正平线（平行于面且）

3、侧平线（平行于面且侧平线（平行于面且）水平线（平行于面水平线（平行于面且且）各种位置直线的投影特性各种位置直线的投影特性52022-4-22正平线正平线平行于平行于V V面，倾斜于面，倾斜于H H、W W面的直线。面的直线。a aa a b b a a b b b b X Xa a b b a a b b b ba aO OZ ZY YH HY YW WA AB B 正平线正平线的投影特性：的投影特性：1 1、正面投影反映直线段的实长。该投影与、正面投影反映直线段的实长。该投影与OXOX轴、轴、OZOZ轴轴的夹角，分别反映该直线与的夹角，分别反映该直线与H H、W W面的倾角。（面的倾角。（a

4、 a b b = =ABAB，反映反映 、 角的真实大小）；角的真实大小）；2 2、在、在H H面、面、W W面上的面上的投影，分别平行于投影，分别平行于OXOX轴、轴、OZOZ轴，且轴，且小于实长。小于实长。 （ab ab OX OX ; ; a a b b OZOZ）实长实长62022-4-22aaAbbBabVAaBbbabaV水平线水平线侧平线侧平线投影面平行线投影面平行线投影面投影面平行线平行线的投影特性：的投影特性：1 1、在其所平行的投影面上的投影，反映直线段的实长。、在其所平行的投影面上的投影，反映直线段的实长。该投影与投影轴的夹角，反映该直线与其它两投影面的该投影与投影轴的夹

5、角，反映该直线与其它两投影面的倾角；倾角；2 2、在其它两投影面上的、在其它两投影面上的投影，平行于相应的投影轴，投影，平行于相应的投影轴，且小于实长。且小于实长。X Xa a b b a a b b b ba aO Oz zY YH H Y YW W X XZ Z a a b b b b b b a aO OY YH HY YW W 72022-4-22投影面垂直线投影面垂直线正垂线（垂直于面）正垂线（垂直于面）侧垂线（垂直于面）侧垂线（垂直于面）铅垂线（垂直于面）铅垂线（垂直于面）各种位置直线的投影特性各种位置直线的投影特性82022-4-22b b a(b)a(b)a a a a b b

6、 Z Zb b X Xa a b b a(b)a(b)O OY YH HY YW Wa a 铅垂线铅垂线 垂直于水平投影面的直线垂直于水平投影面的直线A AB B铅垂线铅垂线的投影特性：的投影特性：1 1、水平投影积聚为一点（、水平投影积聚为一点（abab积聚成一点）积聚成一点） ；2 2、在其它两个投影面上的、在其它两个投影面上的投影反映实长，且分别垂直于投影反映实长，且分别垂直于OXOX轴、轴、OYOY轴。（轴。（a a b b = = a a b b = = ABAB；a a b bOXOX ；a a b b OYOYW W ）92022-4-22abBbabAaVababbaZOXYW

7、HYababABbaVababbaZOXYWHY正垂线正垂线侧垂线侧垂线投影面垂直线投影面垂直线垂直线垂直线的投影特性：的投影特性：1 1、在其所垂直的投影面上的投影，积聚为一点；、在其所垂直的投影面上的投影，积聚为一点；2 2、在其它两个投影面上的、在其它两个投影面上的投影，反映实长，且垂投影，反映实长，且垂直于相应的投影轴。直于相应的投影轴。投影特性：投影特性： 三个投影都是缩短了的倾三个投影都是缩短了的倾斜线段斜线段, 都不反映空间线段的都不反映空间线段的实长及与三个投影面的倾角。实长及与三个投影面的倾角。与三个投影面都倾斜的直线。与三个投影面都倾斜的直线。n一般位置直线（投影面倾斜线）

8、一般位置直线（投影面倾斜线）n思考：思考：从属于投影面及投影轴从属于投影面及投影轴的的直线的投影特性是什么？其投影直线的投影特性是什么？其投影如何作图？如何作图？各种位置直线的投影特性各种位置直线的投影特性abb a b a OXYHYWZ例例1:1:根据投影图，判断下列直线的空间位置。根据投影图，判断下列直线的空间位置。a ab b b ba a c c d d c cd d侧侧平平线线侧侧垂垂线线铅铅垂垂线线水水平平线线解题要点：解题要点：1 1、垂直线用垂直判断；、垂直线用垂直判断；2 2、平行线用平行判断。、平行线用平行判断。OXOXZc c c c d d d d a a b b a

9、 a b b OXOXZYHYWYHYW122022-4-22 例例2 2：已知：已知ABAB为水平线，补画为水平线，补画abab。bbaaa ab b解题思路：解题思路： 熟悉水平线的投熟悉水平线的投影特性，明确正面投影特性，明确正面投影平行于投影轴。影平行于投影轴。OX132022-4-22例例3:3:过点过点A A向向右上方作一正平线右上方作一正平线AB,AB,使使其实长为其实长为2525，与，与H H面的倾角面的倾角=30=30。2525bb3030b b”O OX XZ ZY YH HY YW Waaa aa”a”b b解题思路解题思路：熟悉正平熟悉正平线的投影特性，并从线的投影特性

10、，并从反映实长和反映实长和的投影的投影入手。入手。作图要点作图要点: :做正做正平线的正面投影；平线的正面投影；过点过点a a做正平线做正平线的水平投影和侧面投的水平投影和侧面投影。影。142022-4-22 | |z zA A-z-zB B | |ABAB | |z zA A-z-zB B| | ABABabab| |z zA A-z-zB B| | ABAB| |z zA A-z-zB B| |abab直角三角形法求直角三角形法求线段线段实长实长及线段与投影面的及线段与投影面的倾角倾角求直线求直线AB的实长及其对的实长及其对水平投影面的倾角水平投影面的倾角 角。角。152022-4-22

11、求直线的实长及对正面投影面的倾角求直线的实长及对正面投影面的倾角 角角| |y yA A-y-yB B| |a a b b ABAB | |y yA A-y-yB B| |ABAB | |y yA A-y-yB B| | a a X Xa ab b b bO162022-4-22 求直线的实长及对侧面投影面的倾角求直线的实长及对侧面投影面的倾角 角角A AB Bb bb b a a b b a aa a | |x xA A-x-xB B| | |x xA A-x-xB B| | 即：直角三角形的组成即：直角三角形的组成: :斜边实长斜边实长 直角边直角边1 1投影投影, ,直角边直角边2 2坐

12、标差坐标差, , 投影与实长的夹角倾角。投影与实长的夹角倾角。直角三角形法求线段直角三角形法求线段实长实长及线段与投影面的及线段与投影面的倾角倾角182022-4-22例例5 5：已知直线的一个投影已知直线的一个投影abab及实长，求直线的投影及实长，求直线的投影abab。X XO Oaabba aB B0 0解题思路及步骤解题思路及步骤1.1.根据直角三角形的组成，利根据直角三角形的组成，利用用abab及实长作直角三角形；及实长作直角三角形；2 .2 .求出求出Y Y坐标差；坐标差；3. 3. 利用利用Y Y坐标差求坐标差求abab投影。投影。b bABAB实长实长思考：若将已知条件实长换思

13、考：若将已知条件实长换成成 =30=30，则如何解题？，则如何解题？直线上的点直线上的点ABCVHbcc b a a从属性：从属性：若点在直线上，若点在直线上，则点的投影必在直线的同面则点的投影必在直线的同面投影上，且符合点的投影规投影上，且符合点的投影规律。反之，亦然。律。反之，亦然。定比性：定比性：若点在直线上，则点的投影分割线若点在直线上，则点的投影分割线段的同面投影之比与空间点分割线段之比相段的同面投影之比与空间点分割线段之比相等。反之，亦然。等。反之，亦然。 即即AC/CB=ac/cb= a c / c b = a c : c b ，利用这一特性，在不作侧面投利用这一特性，在不作侧面

14、投影的情况下，可以在侧平线上找点或判断已影的情况下，可以在侧平线上找点或判断已知点是否在侧平线上。知点是否在侧平线上。直线上点的投影特性直线上点的投影特性202022-4-22例例6 6：判断点：判断点C C是否在线段是否在线段ABAB上。上。点点C C不在直不在直线线ABAB上上点点C C在直在直线线ABAB上上a ab bc caab b c c c c a ab bc caabbOXOX212022-4-22例例7 7：判断点：判断点K K是否在线段是否在线段ABAB上。上。a a b b k k 因因k 不在不在a b 上，上，故点故点K不在不在AB上。上。方法二：应用定比定理方法二：

15、应用定比定理a ab bk ka a b b k k 方法一：作出第三投影方法一：作出第三投影 因因 ak/kb不等于不等于ak/kb，故点故点K不在不在AB上。上。OXYHYWZ222022-4-22c cc c 例例8 8 已知线段已知线段ABAB的投影图，试将的投影图，试将ABAB分成分成2 21 1两段，两段， 求分点求分点C C的投影的投影c c、c c 。O直线上的特殊点直线上的特殊点迹点迹点 迹点：直线与投影面的交点（正面迹点、迹点：直线与投影面的交点（正面迹点、水平迹点、侧面迹点）。水平迹点、侧面迹点）。作图要点作图要点：1 1、迹点既是投影面、迹点既是投影面上的点又是直线上的

16、上的点又是直线上的点，故必同时符合投点，故必同时符合投影面上点和直线上的影面上点和直线上的点的投影规律点的投影规律; ;2 2、求迹点时，先延、求迹点时，先延长投影到投影轴。长投影到投影轴。mmm mn nnnM M是水平迹点是水平迹点, ,N N是正面迹点。是正面迹点。aabba ab bOX空间两直线的相对位置关系分为四种：空间两直线的相对位置关系分为四种：平行、相交、交叉、垂直。平行、相交、交叉、垂直。 两直线平行两直线平行投影特性投影特性（判别方法）（判别方法）：aVHc bcdABCDb d a 两直线的相对位置两直线的相对位置 1若空间两直线相互若空间两直线相互平行，则其各同面投影

17、必平行，则其各同面投影必相互平行；反之，若两直相互平行；反之，若两直线的各同面投影相互平行，线的各同面投影相互平行，则此两直线在空间也一定则此两直线在空间也一定相互平行。相互平行。 2平行两线段之比等平行两线段之比等于其投影之比。于其投影之比。252022-4-22例例9 9：判断图中两条直线是否平行。：判断图中两条直线是否平行。 对于一般位置直线，只对于一般位置直线，只要有两个同面投影互相平行，要有两个同面投影互相平行，空间两直线就平行。空间两直线就平行。AB/CDAB/CDa ab bc cd dc c a a b b d d OXH HV VA AB BC CD DK Ka ab bc

18、cd dk ka a b b c c k k d d 两直线相交两直线相交 若空间两直线相交，若空间两直线相交，则其各同面投影必相交，且交则其各同面投影必相交，且交点的投影必符合空间一点的投影规律点的投影必符合空间一点的投影规律；反之，亦然。反之，亦然。两直线的相对位置两直线的相对位置交点是两直交点是两直线的线的共有点共有点投影特性投影特性（判别方法）判别方法）：a ab bc cd db b a a c c d d k kk k OX3.两直线交叉：两直线交叉：凡不满足平行和相交条件的直线为交叉两直线。凡不满足平行和相交条件的直线为交叉两直线。 两直线的相对位置两直线的相对位置1 (2 )3

19、(4 )投影特性投影特性（判别方法）判别方法） ： 同面投影可能相交，但同面投影可能相交，但 “交点交点”不符合空间一个不符合空间一个点的投影规律点的投影规律。也可能有。也可能有两对同面投影平行，但第两对同面投影平行，但第三对决不会平行。三对决不会平行。 “交点交点”是两直线上的一是两直线上的一 对对重影点的投影重影点的投影，用其可帮，用其可帮助判断两直线的空间位置。助判断两直线的空间位置。、是面的重影点，是面的重影点，、是是H面的重影点。面的重影点。为什么？为什么？两直线相交吗？两直线相交吗？d b a abcdc123 4 OX例例10：过直线：过直线CD外一点外一点A，作正平线，作正平线

20、AB与与CD相交。相交。aa c dcdbbc1b1XO292022-4-22 例例11 11 判断两直线的相对位置。判断两直线的相对位置。d d a a c c b b o oY YW WY YH Hz zn解法一：解法一：302022-4-221 1 1 1 d d c c 1 1 1 1 例例11 11 判断两直线的相对位置判断两直线的相对位置n解法二：解法二：例例12 12 判断图中两条直线的空间位置。判断图中两条直线的空间位置。 对于特殊位置直线，对于特殊位置直线，只有两个特殊投影互相平只有两个特殊投影互相平行，空间直线不一定平行，行，空间直线不一定平行，必须在直线所平行的投影必须在直线所平行的投影面内进行判断。面内进行判断。求出侧面投