第八章影响线

1、江苏大学理学院土木系江苏大学理学院土木系STRUCTURE MECHANICS第第8章章第第8 8章章 影响线及其应用影响线及其应用8.18.1影响线的概念影响线的概念一、移动荷载对结构的作用二、解决移动荷载作用的途径1、移动荷载对结构的动力作用:启动、刹车、机械振动等。 2、由于荷载位置变化，而引起的结构各处的反力、内力、位移等各量值的变化及产生最大量值时的荷载位置。 1、利用以前的方法解决移动荷载对结构的作用时，难度较大。例如吊车在吊车梁上移动时，RB、MC的求解。RABAP1lRBP2dC三、影响线的概念三、影响线的概念CBAP1=1 2、影响线是研究移动荷载作用问题的工具。、影响线是研

2、究移动荷载作用问题的工具。 根据叠加原理，首先研究一系列荷载中的一个，而且该荷载取为方根据叠加原理，首先研究一系列荷载中的一个，而且该荷载取为方向不变的单位荷载。向不变的单位荷载。当方向不变的单位荷载沿结构移动时，表示结构某指定处的某一量当方向不变的单位荷载沿结构移动时，表示结构某指定处的某一量值（反力、内力、挠度等）变化规律的图形，称为该量值的影响线。值（反力、内力、挠度等）变化规律的图形，称为该量值的影响线。例如：当在梁上移动时，例如：当在梁上移动时，、的变化规的变化规律就分别称为反力律就分别称为反力、弯矩、弯矩、 剪力剪力影响线。影响线。第第8章章一、静力法一、静力法8.2 8.2 用静

3、力法绘制静定结构影响线用静力法绘制静定结构影响线二、简支梁的影响线二、简支梁的影响线Bx/lCBAP1=1x(l-x)/ll1RA影响线影响线 0BM 0AM0 ）（xlPlRAlxlRA lxx001 AARR0 xPlRBlxRB lxx010 BBRR1R影响线影响线把荷载放在结构的任意位置，以把荷载放在结构的任意位置，以x表示该荷载至所选坐标原表示该荷载至所选坐标原点的距离，由静力平衡方程求出所研究的量值与点的距离，由静力平衡方程求出所研究的量值与x之间的关系（影响线之间的关系（影响线方程）。根据该关系作出影响线。方程）。根据该关系作出影响线。、反力影响线、反力影响线第第8章章2、弯矩

4、影响线、弯矩影响线 0CM 0cM0 bRMBCblxbRMBC lxx0labMMCc 00 aRMACalxlaRMAC lxx00 CCMlabMBACCRBQCQCMCMCRA（1）当）当P=1作用在作用在AC段时，段时，研究研究CB：（2）当）当P=1作用在作用在CB段时，段时，研究研究CB：弯矩响线也可根据反力影响线绘制。弯矩响线也可根据反力影响线绘制。第第8章章3、剪力影响线、剪力影响线 0Y 0Y0 BCRQlxRQBC axx0laQQCc 00 ACRQlxlRQAC lxax0 CCQlbQBACCRBQCQCMCMCRA（1）当）当P=1作用在作用在AC段时，段时，研究

5、研究CB：（2）当）当P=1作用在作用在CB段时，段时，研究研究CB：剪力影响线也可根据反力影响线绘制。剪力影响线也可根据反力影响线绘制。第第8章章三、影响线与量布图的关系三、影响线与量布图的关系CBAP=1l/2/2lEDMC影响线影响线yDyEyCCBAPl/2/2lEDM图图yEyCyD分析以上两种情况，竖标相同，物理意义不同。分析以上两种情况，竖标相同，物理意义不同。 1、影响线：表示当单位荷载沿结构移动时，结构某指定截面某一、影响线：表示当单位荷载沿结构移动时，结构某指定截面某一量值的变化情况。量值的变化情况。 2、量布图（内力图或位移图）：表示当荷载位置固定时，某量值、量布图（内力

6、图或位移图）：表示当荷载位置固定时，某量值在结构所有截面的分布情况。在结构所有截面的分布情况。第第8章章四、伸臂梁的影响线四、伸臂梁的影响线CBADx1xablcd 作作RA、RB、MC、QC影响线时，可影响线时，可取取A点为坐标原点，方法同简支梁；作点为坐标原点，方法同简支梁；作QD、MD影响线时，可取影响线时，可取D为坐标原点。为坐标原点。试绘制图示伸臂梁的反力影响线，及试绘制图示伸臂梁的反力影响线，及C和和D截面的弯矩、剪力影响线。截面的弯矩、剪力影响线。1d/l(l+d)/lad/ld/lclab/la/lb/l1RA影响线影响线RB影响线影响线MC影响线影响线QC影响线影响线MD影响

7、线影响线QD影响线影响线第第8章章 例试作图示外伸梁的反力例试作图示外伸梁的反力RA、RB、MC、QC、MD、QD、影响影响线以及支座线以及支座B截面的剪力影响线。截面的剪力影响线。 第第8章章11RA影响线影响线RB影响线影响线lxRlxlRBABCBCRQbRM当当P=1在在C截面以左截面以左当当P=1在在C截面以右截面以右ACACRQaRM0Q0MDD当当P=1在在D截面以左截面以左1QxMDD当当P=1在在D截面以右截面以右a1a/lab/lb/l1bMC影响线影响线QC影响线影响线DddCxBAP=1lab1MD影响线影响线QD影响线影响线111RB左左影响线影响线RB右右影响线影响

8、线l1CxBAP=1labl2一、基本原理一、基本原理8.3 8.3 用机动法作影响线用机动法作影响线二、优点二、优点P=1XXPABP=11RA影响线影响线 以以X代替代替A支座作用，结构仍能维持平支座作用，结构仍能维持平衡。使其发生虚位移，依虚位移原理：衡。使其发生虚位移，依虚位移原理： 结论：结论：为作某量值的影响线，只需将与该量值为作某量值的影响线，只需将与该量值相应的联系去掉，并以未知量相应的联系去掉，并以未知量X代替；而后令所得代替；而后令所得的机构沿的机构沿X的正方向发生单位位移，则由此所得的的正方向发生单位位移，则由此所得的虚位移图即为所求量值的影响线。虚位移图即为所求量值的影

9、响线。机动法是以虚位移原理为依据把作影响线的问题转化为机动法是以虚位移原理为依据把作影响线的问题转化为作位移图的几何问题。作位移图的几何问题。不需要计算就能绘出影响线的轮廓。不需要计算就能绘出影响线的轮廓。X X + P P=0X=P P/ X= P/ X令令 X=1， 则则X= P第第8章章三、举例三、举例 试作图示外伸梁试作图示外伸梁C截面的弯矩、剪力影响线。截面的弯矩、剪力影响线。ABP=1CbeadA + =1MC QCMC影响线影响线ab/lae/lbd/lQC影响线影响线11a/lb/le/ld/lCC1C2（1）令）令 + =1，则虚位移图即，则虚位移图即为所求之为所求之MC影响

10、线图。影响线图。由由 + =h/a+h/b=1求得求得 h=ab/l（2）令）令C1C+CC2=1，则虚位移图，则虚位移图即为所求之即为所求之QC影响线图。影响线图。由比例关系可求得由比例关系可求得 C1C=b/l ; C2=a/l第第8章章第第8章章1（e）QD影响线影响线d（c） MD影响线影响线dlABP=1l2l1D（a）外伸梁）外伸梁例用机动法作图示外伸梁上截面D的弯矩和剪力影响线。1（b）求）求MD虚位移图虚位移图MD（d）求）求QD虚位移图虚位移图QDQD例10用机动法作多跨静定梁MK、QK 、RB、MD、QE影响线一、桁架上的荷载可视为间接荷载（结点荷载）一、桁架上的荷载可视为

11、间接荷载（结点荷载）8.4 8.4 桁架的影响线桁架的影响线二、桁架影响线的绘制方法二、桁架影响线的绘制方法三、桁架影响线的绘制举例三、桁架影响线的绘制举例桁架上的荷载一般也是通过横梁和纵梁而作用于桁架的桁架上的荷载一般也是通过横梁和纵梁而作用于桁架的结点上，故可按结点上，故可按“间接荷载作用下的影响线间接荷载作用下的影响线”对待。对待。 1 1、将、将P P=1=1依次放在它移动过程中所经过的各结点上，分依次放在它移动过程中所经过的各结点上，分别求出各量值，即各结点处影响线竖标。别求出各量值，即各结点处影响线竖标。2 2、用直线将各结点竖标逐一相连，即得所求量值的影、用直线将各结点竖标逐一相

12、连，即得所求量值的影响线。响线。第第8章章例题；试绘制图示桁架例题；试绘制图示桁架NFG、NCD、NFD影响线。影响线。（一）（一）N NFGFG影响线：影响线： 1、作、作1-1截面，令截面，令P=1在截面左在截面左 侧移动，研究其右半部：侧移动，研究其右半部： 0DM021 rNdRFGB12FGBdNRr 2、作、作1-1截面，令截面，令P=1在截面右在截面右 侧移动，研究其左半部：侧移动，研究其左半部： 0DM021 rNdRFGA12FGAdNRr NFG影响线影响线第第8章章（二）（二）N NCDCD影响线：影响线： 1、作、作1-1截面，令截面，令P=1在截面左在截面左 侧移动，

13、研究其右半部：侧移动，研究其右半部： 0MF0hNd3R1CDBCDB13dNRh 2、作、作1-1截面，令截面，令P=1在截面右在截面右 侧移动，研究其左半部：侧移动，研究其左半部： 0MF0hNdR1CDACDA1dNRh第第8章章NCD影响线影响线（三）（三）NFD影响线：影响线： 1、作、作1-1截面，令截面，令P=1在截面左在截面左 侧移动，研究其右半部：侧移动，研究其右半部： 0MK0rNa)(lR2FDBB2FDRralN 2、作、作1-1截面，令截面，令P=1在截面右在截面右 侧移动，研究其左半部：侧移动，研究其左半部： 0MK0rNaR2FDAA2FDRraN第第8章章NFD

14、影响线影响线一、当荷载位置固定时，求某量值的大小一、当荷载位置固定时，求某量值的大小8.5 8.5 影响线的应用影响线的应用1 1、集中荷载位置固定时，求某量值的大小、集中荷载位置固定时，求某量值的大小 y1y2y3ab/lMC影响线影响线y1y2y3b/lQC影响线影响线a/l332211CyPyPyPMnn2211yPyPyPSn1iiiyPS332211CyPyPyPQ第第8章章ABbClaP1P2P3DEF2 2、分布荷载位置固定时，求某量值的大小、分布荷载位置固定时，求某量值的大小 y1y2y3ab/lMC影响线影响线y1y2y3b/lQC影响线影响线a/lABbClaq(x)DEq

15、xqEDydSEDCxyxqMd)(利用影响线求利用影响线求MC若若q q( (x x) )为均布荷载，则上式成为：为均布荷载，则上式成为：利用影响线求利用影响线求QCEDCxyxqd)(Q3 3、当集中荷载与均布荷载同时作用时，求某量值的大小、当集中荷载与均布荷载同时作用时，求某量值的大小 qyPSn1iii第第8章章2110.50.50.250.254 4、举例、举例 试利用影响线求试利用影响线求C C截面的弯矩和剪力。截面的弯矩和剪力。 15kn8kn/m2m2m4m2mABC依据公式：依据公式：qyPSn1iii2.25kN 0.2520.50.540.58 0.2515QCm39kN

16、2415 122124218115MC第第8章章 补充例题补充例题 试利用影响线计算图示多跨静定梁在所给荷载作用下的ME、QE值。 FEA60kN6mBCGH3mD3m3m3m60kN3m3m3m4.5m40kN40kN10kN/mm)(kN157.5)20.75(0.75401.5)921(1022.254.5360ME(kN)5)12161(40)31921(100.54.53600.54.5360QE2.25m1.5m0.75mM ME E影响线影响线0.51/30.51/6Q QE E影响线影响线第第8章章qyPSn1iii二、判别最不利荷载位置二、判别最不利荷载位置1 1、移动均布荷

17、载最不利位置的确定、移动均布荷载最不利位置的确定 当均布荷载布满对应影响线正号面积时，有当均布荷载布满对应影响线正号面积时，有S SMAXMAX。 当均布荷载布满对应影响线负号面积时，有当均布荷载布满对应影响线负号面积时，有S SMINMIN。CABMC影响线MCMAXMCMINCABQC影响线QCMINQCMAX第第8章章（）任意断续分布（）任意断续分布第第8章章（b b）一段长度为）一段长度为d 的移动均布荷载的移动均布荷载ab/lABbClaqddxdxy1y2 qMC )(12ddyyqxMC 均布荷载从当前的位置上右移一均布荷载从当前的位置上右移一 微段微段dx，MC的增量为：的增量

18、为：当当dMCdx时，时，MC有极值。所以有：有极值。所以有：y1y2dMCq(y2dxy1dx)结论：结论：一段长度为一段长度为d的移动均布荷载，当移动至两端点所对应的影响线的移动均布荷载，当移动至两端点所对应的影响线 竖标相等时，所对应的影响线面积最大，此时量值竖标相等时，所对应的影响线面积最大，此时量值S S有最大值。有最大值。 2、一组集中荷载作用下最不利位置的确定（影响线为三角形情况）、一组集中荷载作用下最不利位置的确定（影响线为三角形情况）（1）基本原理）基本原理（2）一般情况下临界荷载的判定（荷载、影响线如图示）一般情况下临界荷载的判定（荷载、影响线如图示）当荷载位于某一位置时当

19、荷载位于某一位置时 S1= p1y1+ p2y2+ + piyi + + pnyn当荷载向右移动当荷载向右移动 x时时 S2= p1(y1+ y1)+ p2(y2+ y2)+ + pi(yi+ yi)+ + pn(yn+ yn)S的增量的增量 S=S2-S1= p1 y1+ p2 y2+ + pi yi+ + pn yn =（p1+ p2+ + pi) Xh/a(pi+1+Pi+2+ + pn) X h/b P1P2Pi-1PnPn-1Piabhy1y2Yi-1yiYn-1yn 分析式分析式 S= piyi ，可知：当影响线顶点附近有较大和较密集的，可知：当影响线顶点附近有较大和较密集的荷载时

20、，有可能是最不利荷载位置。当荷载个数不多时，可以逐一荷载时，有可能是最不利荷载位置。当荷载个数不多时，可以逐一计算集中荷载位于影响线顶点时的计算集中荷载位于影响线顶点时的S值，并将计算结果加以比较，值，并将计算结果加以比较，对应对应S值最大的情况，即为最不利荷载位置。值最大的情况，即为最不利荷载位置。第第8章章 根据高等数学，当根据高等数学，当S为为x的二次或二次以上函数时，函数的极值的二次或二次以上函数时，函数的极值发生发生在在ds/dx=0处，现在处，现在S= piyi 为为x的一次函数，故极值发生在斜率的一次函数，故极值发生在斜率ds/dx变号变号的尖角处。这一极值条件可用的尖角处。这一极值条件可用 S是否改变符号来判断。是否改变符号来判断。 要使要使 S变号，必须有某一个荷载由影响线的一边过渡到另一边。即：变号，必须有某一个荷载由影响线的一边过渡到另一边。即：只有当某一集中荷载位于影响线顶点时，才有可能使只有当某一集中荷载位于影响线顶点时，才有可能使 S变号，使变号，使S取得取得极值。这是必要条件，但不是充分条件。极值。这是必要条件，但不是充分条件。 根据以上分析，由前式可知求极大值的条件为：根据以上分析，由前式可知求极