导数在高中的应用

1、浅谈导数在高中数学中的应用睢县高级中学数学组 王德龙摘要导数是联系高等数学与初等数学的纽带，高中阶段引进导数的学习有利于学生更好地理解函数的性质，掌握函数思想，搞清曲线的切线问题，学好其他学科并发展学生的思维能力因而在中学数学教学及解题过程中，可以利用导数思想解决诸如函数（解析式、值域、最（极）值、单调区间等）问题、切线问题、不等式问题、数列问题以及实际应用等问题关键词导数 新课程 应用导数在高中数学教材中处于一种特殊的地位，是联系高等数学与初等数学的纽带，是高中数学知识的一个重要交汇点.导数作为高中新教材的新增内容之一，它给高中数学增添了新的活力，特别是导数广泛的应用性，为解决函数、切线、不

2、等式、数列、实际等问题带来了新思路、新方法，为我们展现出了新的亮点，也使它成为新教材高考试题的热点和命题新的增长点这几年的高考命题趋势表明：导数的地位上升了，成为分析问题和解决问题的重要工具将导数与传统内容结合，不仅能加强能力的考查力度，而且也使试题具有更广泛的实践意义下面举例探讨导数的应用一、利用导数解决函数问题1.利用导数求函数的最（极）值求函数的最（极）值是高中数学的重点，也是难点，是高考经常要考查的内容之一，它涉及到了函数知识的很多方面，用导数解决这类问题可以使解题过程简化，步骤清晰，也容易掌握，从而进一步明确了函数的性态一般地，函数在闭区间上可导，则在上的最值求法：(1) 求函数在上

3、的极值点；(2) 计算在极值点和端点的函数值；(3) 比较在极值点和端点的函数值，最大的是最大值，最小的是最小值例1求函数的最大值、最小值。分析 先求出的极值点，然后比较极值点与区间端点的函数值，即可得该函数在区间上的最大值和最小值解由于.令，又，又.当时，有最小值，当时，有最大值2.利用导数求函数的单调区间函数的单调性是函数的一个重要性质，是研究函数时经常要注意的一个性质函数的单调性与函数的导数密切相关，运用导数知识来讨论函数单调性时，结合导数的几何意义，只需考虑的正负即可，当时，单调递增；当时，单调递减此方法简单快捷而且适用面广例2 求已知的单调增区间；解： 令，得， 当时，有在R上恒成立

4、；当时，有。 综上情况，当时，的单调增区间为；当时，的单调增区间为。3. 利用导数解决函数中恒成立问题例3 设函数.（1）求的单调区间；（2）若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.解 （1）由，解得或，为的增区间，由，得，为的减区间.（2）令，得，又恒成立，.二、利用导数解决切线问题此种题型分为点在曲线上和点在曲线外两种情况，的几何意义就是曲线在点处切线的斜率，过点的切线方程为，但应注意点在曲线上，否则易错例 4求曲线在原点处的切线方程分析 此类题型为点不在曲线上求切线方程，应先设出切点坐标，表示出切线方程，把已知点代入方程，求出切点坐标后，再求切线方程解显然点不在曲线上，由于，则设切点坐标

5、为，所以，则过点的切线方程为因为点在切线上，所以，即，所以，故切线方程为，即三、利用导数解决不等式问题纵观这几年的高考，凡涉及到不等式证明的问题，其综合性强、思维量大，因此历来是高考的难点利用导数证明不等式，就是利用不等式与函数之间的联系，直接或间接等价变形后，结合不等式的结构特征，构造相应的函数通过导数运算判断出函数的单调性，将不等式的证明转化为函数问题例5求证：分析：本题通过导数与函数单调性的关系，自然地将导数与不等式结合在一起，灵活考查了学生全面分析解决问题的能力.先构造函数；再对进行求导，得到；然后观察得到当时，即在时是增函数；最后可得当时，即.解：令则在上是增函数.当时，.即.四、利

6、用导数解决数列问题数列是高中数学中的一个重要部分，而数列求和是中学阶段数列部分的重要内容之一，有许多初等解决方法事实上数列可看作是自变量为正整数的特殊的函数，所以可以利用数列和函数的关系，再运用导数来解决数列求和的有关问题例6求和：(其中，)解 注意到是的导数，即，可先求数列的前和，然后等式两边同时对求导，有五、利用导数解决实际问题利用导数，不仅可以解决函数、切线、不等式、数列问题，而且还可以解决一些实际应用问题学习的最终目的，是要求学生具有运用导数知识解决实际问题的意识、思想方法以及能力近几年，高考越来越注重对实际问题的考查，比如最优化问题、最低成本问题等，而利用导数解决这些问题非常方便例7

7、某工业品在生产过程中，每日次品数是每日产量的函数，该厂售出一件正品可获利A元，但生产一件次品就损失元，为了获得最大利润，日产量应定为多少？点拨：先明确日产量、次品数、正品数，再建立利润的目标函数，进而确定日产量。解：在每天生产的件产品中，是正品数，是次品数，每日获利总数为 要使最大，则。令，得。由知，当时，每一件产品都是次品，公司就要赔钱，最佳日产量只能在时求得。 由得。或90（件）又由于，答：每日应生产89件产品才能获得最大利润。导数及其应用是微积分学的重要组成部分，是解决许多问题的有力工具，它全面体现了数学的价值：既给学生提供了一种新的方法，又给学生提供了一种重要的思想总之，导数不仅使学生全面认识了数学的价值，而且发展了学生的思维能力，也为今后进一步学好微积分打下基础因此，在高中阶段为