第6章点线面辅助投影

1、 直线与平面相交，其交点是直线与平面的共有点。直线与平面相交平面与平面相交 直线与平面相交要讨论的问题： 求直线与平面的交点。 判别两者之间的相互遮挡关系，即判别可 见性。 我们只讨论直线与平面中至少有一个处于特殊位置的情况。二、相交问题二、相交问题例：求直线MN与平面ABC的交点K并判别可见性。空间及投影分析 平面ABC是一铅垂面，其水平投影积聚成一条直线，该直线与mn的交点即为K点的水平投影。 求交点 判别可见性 由水平投影可知，KN段在平面前，故正面投影上kn为可见。还可通过重影点判别可见性。作图用线上取点法 平面为特殊位置abcmncnbamkk1(2)211(2)km(n)bmncb

2、aac 直线为特殊位置空间及投影分析 直线MN为铅垂线，其水平投影积聚成一个点，故交点K的水平投影也积聚在该点上。 求交点 判别可见性 点位于平面上，在前；点位于MN上，在后。故k2为不可见。k2 1作图用面上取点法 两平面相交 两平面相交其交线为直线，交线是两平面的共有线，同时交线上的点都是两平面的共有点。要讨论的问题： 求两平面的交线方法： 确定两平面的两个共有点。 确定一个共有点及交线的方向。 只讨论两平面中至少有一个处于特殊位置的情况。 判别两平面之间的相互遮挡关系，即： 判别可见性。可通过正面投影直观地进行判别。abcdefcfdbeam(n)空间及投影分析 平面ABC与DEF都为正

3、垂面，它们的交线为一条正垂线，两平面正面投影的交点即为交线的正面投影，交线的水平投影垂直于OX轴。 求交线 判别可见性作图 从正面投影上可看出，在交线左侧，平面ABC在上，其水平投影可见。nm能!如何判别？例：求两平面的交线 MN并判别可见性。能否不用重影点判别？abcdefcfdbeam(n)例：求两平面的交线 MN并判别可见性。空间及投影分析 求交线 判别可见性作图 从正面投影上可看出，在交线左侧，平面ABC在上，其水平投影可见。mn 平面ABC与DEF都为正垂面，它们的交线为一条正垂线，两平面正面投影的交点即为交线的正面投影，交线的水平投影垂直于OX轴。aa bd(e)ebdh(f)cf

4、ch1(2 )空间及投影分析 平面DEFH是一铅垂面，它的水平投影有积聚性，其与ac、bc的交点m 、n 即为两个共有点的水平投影，故mn即为交线MN的水平投影。 求交线 判别可见性 点在MC上，点在FH上，点在前，点在后，故mc 可见。作图21 mmnnabd(e)ebdh(f)cfchmnnm空间及投影分析 平面DEFH是一铅垂面，它的水平投影有积聚性，其与ac、bc的交点m 、n 即为两个共有点的水平投影，故mn即为交线MN的水平投影。 求交线 判别可见性 点在MC上，点在FH上，点在前，点在后，故mc 可见。作图cdefababcdef投影分析 N点的水平投影n位于def 的外面，说明

5、点N位于DEF所确定的平面内，但不位于DEF这个图形内。 所以ABC和DEF的交线应为MK。 nnmkmk互交cdefababcdef投影分析 N点的水平投影n位于def 的外面，说明点N位于DEF所确定的平面内，但不位于DEF这个图形内。 所以ABC和DEF的交线应为MK。互交mkkm五、一般位置直线与一般位置平面相交 以正垂面为辅助平面求线面交点 示意图以铅垂面为辅助平面求线面交点 示意图判别可见性 示意图ABCQ过MN作正垂面QMN以正垂面为辅助平面求线面交点 示意图12以正垂面为辅助平面求线面交点QV21kk步骤：1过EF作正垂平面Q。2求Q平面与ABC的交线。3求交线与EF的交点K。

6、示意图12以铅垂面为辅助平面求线面交点。PH1步骤：1过EF作铅垂平面P。2求P平面与ABC的交线。3求交线与EF的交点K。kk2 示意图CAB过MN作铅垂面PNMPEFK以铅垂面为辅助平面求线面交点 示意图fee直线EF与 ABC相交，判别可见性。利用重影点判别可见性1243（ ）kk34示意图( )21直线EF与平面 ABC相交，判别可见性示意图1 (2)(4)3利用重影点。判别可见性第第6 6章章 换面法换面法 6.1 6.1 换面法的基本概念换面法的基本概念6.2 6.2 点的换面点的换面 6.3 6.3 直线的换面直线的换面6.4 6.4 平面的换面平面的换面 6.5 6.5 应用举

7、例应用举例 本章学习目标本章学习目标应用换面法求解空间几何元素的度量和应用换面法求解空间几何元素的度量和位置问题位置问题 第第4 4章章 换面法换面法 本章学习内容本章学习内容换面法的基本概念换面法的基本概念 点的换面点的换面直线的换面直线的换面平面的换面平面的换面换面法的应用换面法的应用 当直线或平面对投影面处于当直线或平面对投影面处于一般位置一般位置时，在时，在投影图上不能直接反映它们的投影图上不能直接反映它们的实长、实形实长、实形。 当它们处于当它们处于特殊位置特殊位置时，在投影图上就可以直时，在投影图上就可以直接得到它们的接得到它们的实长、实形实长、实形。 实长实长实形实形6.1 6.

8、1 换面法的基本概念换面法的基本概念XOXOXOXOa abb 两点之间距离两点之间距离XOa abb c c三角形实形三角形实形XOa abb c cdd 直线与平面的直线与平面的交点交点XOa b c d abcd两平面夹角两平面夹角XO问题的提出：问题的提出：空间几何元素位于特殊位置时有利于解题空间几何元素位于特殊位置时有利于解题换面法的基本概念换面法的基本概念 如能将与投影面处于如能将与投影面处于一般位置一般位置的几何元素变为与投影的几何元素变为与投影面处于面处于特殊位置特殊位置，则一些问题的求解就会变得容易。，则一些问题的求解就会变得容易。 可选取新投影面可选取新投影面V1代替代替V

9、面面 实长实长 让空间几何元素的位置保持不动，用一个新的投影面让空间几何元素的位置保持不动，用一个新的投影面体系替换原来的投影面体系体系替换原来的投影面体系使空间几何元素对新使空间几何元素对新投影面体系处于有利投影面体系处于有利于解题的特殊位置的于解题的特殊位置的方法称为变换投影面方法称为变换投影面法，简称法，简称换面法换面法。 换面法的基本概念换面法的基本概念 如能将与投影面处于如能将与投影面处于一般位置一般位置的几何元素变为与投影的几何元素变为与投影面处于面处于特殊位置特殊位置，则一些问题的求解就会变得容易。，则一些问题的求解就会变得容易。 实长实长新投影面必须满足下列新投影面必须满足下列

10、两个条件两个条件：(1) 新投影面必须新投影面必须垂直垂直原来的原来的投影面体系中一个不变的投投影面体系中一个不变的投影面；影面； (2) 新投影面对空间几何元素新投影面对空间几何元素应处于应处于有利于解题有利于解题的位置。的位置。 V/H称为旧投影面体系，称为旧投影面体系，V1/H称为新投影面体系称为新投影面体系 在新投影面体系中，在新投影面体系中，V1面垂直于面垂直于H面，面，a1a垂直于垂直于X1轴轴 新投影到新轴的距离等于旧投影到旧轴的距离，新投影到新轴的距离等于旧投影到旧轴的距离，即即a1ax1=aax 一、点的一次变换一、点的一次变换1.变换变换V面面6.2 6.2 点的换面点的换

11、面一、点的一次变换一、点的一次变换2.变换变换H面面1. 作出新轴作出新轴X12. 过过b 作作bb1垂直于垂直于X1轴轴 3. 量取量取b1bx1=bbx，b1为所求为所求 二、点的两次变换二、点的两次变换(1) 通过一次变换求得通过一次变换求得a1 (2) 在适当的位置画出第二在适当的位置画出第二次换面的新轴次换面的新轴X2 (3) 过过a1作作a1a2垂直于垂直于X2轴轴,量取量取a2ax2=aax1,得得a2 实长实长直线对直线对H面面的倾角的倾角一、直线的一次变换一、直线的一次变换1.一般位置直线可以变为一般位置直线可以变为投投影面的平行线影面的平行线6.3 6.3 直线的换面直线的

12、换面一、直线的一次变换一、直线的一次变换2.投影面平行线可以变为新投影面平行线可以变为新投影面的垂直线投影面的垂直线正平线正平线 变换哪一个投影面？变换哪一个投影面？将将一般位置直线一般位置直线变为投影面的变为投影面的垂直线垂直线，需经过，需经过两次换面两次换面 二、一般位置直线的两次变换二、一般位置直线的两次变换1. 一般位置平面一般位置平面可以变为投影面的可以变为投影面的垂直面垂直面 一、平面的一次换面一、平面的一次换面作图要点：作图要点：新投影新投影轴垂直于平面内的轴垂直于平面内的正平线正平线。6.4 6.4 平面的换面平面的换面2. 投影面投影面垂直面垂直面可变为投影面可变为投影面平行

13、面平行面 一、平面的一次换面一、平面的一次换面铅垂面铅垂面变换变换V面面(1) 在适当的位置画出新轴在适当的位置画出新轴X1平行于平行于abc (2) 求出求出ABC各点的新投影并连线各点的新投影并连线 实形实形二、一般位置平面的两次换面二、一般位置平面的两次换面要将要将一般平面一般平面变为投影面的变为投影面的平行面平行面，需经过，需经过两次换面两次换面 (1) 第一次换面，作正平线第一次换面，作正平线AD，把把ABC 更换为投影面的垂直面更换为投影面的垂直面 (2) 第二次换面，新轴第二次换面，新轴X2平行于平行于a1b1c1，求各点的新投影求各点的新投影a2、b2、c2，连线，连线实形实形

14、解题步骤：解题步骤： 例题例题1 求点C到直线AB的距离6.5 6.5 应用举例应用举例c2作图c1b1a1X2H1V2H1X1Vkkk1b2 k2a2距离例题例题2已知点已知点M到直线到直线AB的距离为的距离为15和点和点M的水平的水平投影投影m，求点，求点M的正面投影。的正面投影。 (1) 直线直线AB经经一次换面一次换面变变成投影面平行线成投影面平行线a1b1 解题步骤：解题步骤：(2) 直线直线AB经经第二次换面第二次换面变成投影面垂直线变成投影面垂直线(a2)b2 (3) 根据已知条件求出根据已知条件求出m 211121 1222X2H2V1X1HV1a2b2d2c2b1a1d1c121b例题例题3 求两直线AB与CD的公垂线 。 k1X1H1Vb1a1c1 d1s1例题例题4 求点S到平面ABC的距离距离eN ddX1VH1k1e1例题例题5 已知E到平面ABC的距离为N，求E点的正面投影e。b1a1c1d1例题例题6求平面求平面ABC与平面与平面ABD夹角的实际大小。夹角的实际大小。 两三角形有一两三角形有一公共边公共边AB，只要把直线，只要把直线AB变换为投影面的变换为投影面的垂直线即可得夹角的实际大小垂直线即可得夹角的实际大小 两次换面两次换面，第一次变换使直线，第一次变换使直线AB为为投影面平行线，第二次变换使直线投影面平行线，第二次变换使直线AB为投影面