第三章电介质物理导论第三章1

1、第三章第三章 交变电场中电介质的损耗交变电场中电介质的损耗1.具有慢极化具有慢极化 的电介质在交变电场作用下所表现出的介质特性（极化与损耗）与电场频率有关的电介质在交变电场作用下所表现出的介质特性（极化与损耗）与电场频率有关复介电复介电常数常数*2.导出以松弛极化为典型例证的导出以松弛极化为典型例证的德拜松弛极化与损耗理论德拜松弛极化与损耗理论 与频率和温度的关系与频率和温度的关系3.考虑电场强度考虑电场强度E与电位移与电位移D、电流、电流I（或电流密度（或电流密度j）与电压）与电压U（或电场强度（或电场强度E)之间的相位关系之间的相位关系有功功率有功功率损耗损耗*4.考虑漏导损耗以后，给出了

2、它对松弛极化产生的附加影响考虑漏导损耗以后，给出了它对松弛极化产生的附加影响*5.有损耗电介质的等效电路的计算方法有损耗电介质的等效电路的计算方法交变电场作用下电介质的特性交变电场作用下电介质的特性复介电常数复介电常数*、 tgtg31复介电常数和复折射率复介电常数和复折射率 3.1.1 复介电常数复介电常数1.1.平行板真空电容器平行板真空电容器的静电容量：的静电容量： C C0 00 0S Sd d。加上角频率为加上角频率为2f2f的交流电压：的交流电压：则在电极上出现电荷则在电极上出现电荷Q QC C0 0V V，并且与外加电压同相位。，并且与外加电压同相位。 由此可见，由此可见，电路中

3、电流与外加电压差电路中电流与外加电压差90o90o相位相位，见图，见图3131。I电路电流为电荷电路电流为电荷Q Q对时间的导数：对时间的导数：EidViS1VdSiSIj000 2.2.对于对于理想绝缘的介质理想绝缘的介质，相对介电常数为，相对介电常数为r r显然此时的电容量具有新的值显然此时的电容量具有新的值C Cr rC C0 0，相应的电流变为：，相应的电流变为：此时，电流与电压仍然相差此时，电流与电压仍然相差90o90o相位。相位。E Ei ij jI IC CV Vi ie eC CV Vi id dt tQ Qd dI Ir r0 0r rt ti i0 0 E Ei ij j0

4、 0 3. 如果如果电介质是弱电导性的电介质是弱电导性的，存在一定的电导，那么，电容器就不再是理想的电容器，于是，存在一定的电导，那么，电容器就不再是理想的电容器，于是，电流对电压的相位就不会恰好相差电流对电压的相位就不会恰好相差90o90o。因为此时增加了一个与电压同相位的电导分量。因为此时增加了一个与电压同相位的电导分量GVGV，故总，故总的电流为两部分电流的和：的电流为两部分电流的和： I=iCV+GV=(iC+G)V此时电流与电压的关系电流与电压的关系如图32所示。介质电导引起介质电导引起由交变电场引起由交变电场引起SIj dVEdSG dSC0r E)i (jor 0j=E0r I=

5、iCV+GV=(iC+G)V 在交变电场中电介质的特性参数为在交变电场中电介质的特性参数为* *和和* *，它们都与电场频率有关，这一点与电介质处于恒定，它们都与电场频率有关，这一点与电介质处于恒定电场中的介电常数和稳态电导率有着本质上的差别。电场中的介电常数和稳态电导率有着本质上的差别。Ej* 由由定义复电导率定义复电导率Eij* 由由定义复介电常数定义复介电常数 ii*则则 为了便于考察在交变电场作用下电介质的性质，引入复介电常数为了便于考察在交变电场作用下电介质的性质，引入复介电常数* *，分成实部与虚部，且，分成实部与虚部，且引入两个实数引入两个实数和和于是于是* *可表示成可表示成

6、*= i （39）= = ； =/=/ 其中，第一项其中，第一项( (包含包含)和第二项和第二项( (包含包含)分别为复介电常数的实部和虚部。均与分别为复介电常数的实部和虚部。均与有关，有关， 与极化响应的快慢有关，与极化响应的快慢有关， =/=/。 i*复介电常数复介电常数r*= ri r （310） 从相位关系上分析式从相位关系上分析式(39)(39)或式或式(3l0)(3l0)可知，可知，或或r r对应于损耗项，对应于损耗项，或或r r对应于电容项。对应于电容项。*= i 复相对介电常数复相对介电常数r r* * (complex relative dielectric constant

7、) (complex relative dielectric constant) 再由图再由图3232看出，看出，1.1.与电压同相位的损耗电流分量与电压同相位的损耗电流分量(I(Il lGV)GV)，2.2.电容电流分量（电容电流分量（I Ic ci CVi CV）3.3.合成电流合成电流I II Ic c与与I I之间形成一个之间形成一个角角介质损耗角介质损耗角(dielectric loss angle).(dielectric loss angle).或表示为：电容项电容项损耗项损耗项电容电流电容电流损耗电流损耗电流 CGIItgclrrtg IIcI Il l:损耗因素损耗因素(di

8、electric loss factor)(dielectric loss factor)，r r:相对损耗因数相对损耗因数(relative dielectric loss factor)(relative dielectric loss factor)； :介电常介电常数数r r:相对介电常数，相对介电常数， 它们都依赖于频率，只有当它们都依赖于频率，只有当00，才是静态介电常数。才是静态介电常数。 由于由于j jii* *E E，当把式，当把式(39)(39)代入后，即得到下列表达式：代入后，即得到下列表达式：*= i （39） 式中，含式中，含的项与电场强度同相位，含的项与电场强度同相

9、位，含的项与电场强度的项与电场强度差差90o相位。相位。=/ （314）（320）)2xft(2iexpeEEx0 )2xft(2iexpeHHx0 3.1.2电磁波在介质中的传播及复折射率电磁波在介质中的传播及复折射率 为衰减常数为衰减常数 为相位常数为相位常数电磁波在介质中的传播方程电磁波在介质中的传播方程(1)(1)当当x x一定时，电磁场强度对时间一定时，电磁场强度对时间(t)(t)呈周期性变化呈周期性变化，其周期，其周期T为为(2)(2)波长：波长： 电磁波在介质中的传播具有如下一些特性：电磁波在介质中的传播具有如下一些特性：相位相差相位相差2的位置呈相同波形的位置呈相同波形位置相差

10、波长位置相差波长 ,n2x n2x（3 3）波速：波速：(4)(4)电磁场的绝对值以电磁场的绝对值以 的比例衰减的比例衰减。这里的。这里的 表示吸收。表示吸收。f2fTv 或：或：n)2xft( 时，相位相同，距离相差时，相位相同，距离相差x，传播时间要经过时间，传播时间要经过时间t2dxvffdt xe 在以在以* *和和* *表征的介质材料中的传播，具有一个复速度表征的介质材料中的传播，具有一个复速度 电磁波在以电磁波在以0 0和和0 0表征的表征的真空中的传播速度真空中的传播速度则为则为 C C(0 00 0) )1/2=31/2=3108108米米/ /秒。秒。 2/1*)(v 折射率

11、折射率(refractive index)(refractive index)：电磁波在真空中的传播速度：电磁波在真空中的传播速度v v0 0和在和在介质中传播速度介质中传播速度v v* *之比之比。复折射率：复折射率：ikn)(vvn2/100*0* 式中式中n与与k分别为复折射率的实部与虚部中的分别为复折射率的实部与虚部中的两个实数两个实数这个复数关系式（式这个复数关系式（式322）就是著名的）就是著名的麦克斯韦关系式麦克斯韦关系式。式（式（3-21）可简化为）可简化为iknirr rrtg 在没有损耗的电介质中，则有在没有损耗的电介质中，则有 或或即：即：相对介电常数等于折射率的平方相对

12、介电常数等于折射率的平方。在第一章中我们实际上在许多场合下已经引用了式（。在第一章中我们实际上在许多场合下已经引用了式（327327）所表示的关系（所表示的关系（p21p21、2626）。）。 rnrn2在交变电场中的电介质，由于复相对介电常数在交变电场中的电介质，由于复相对介电常数r r与频率有关，故折射率与频率有关，故折射率n n亦随频率变化，称亦随频率变化，称为。为。 “ “交流电场中电介质介电常数随频率变化的现象，交流电场中电介质介电常数随频率变化的现象，在介质理论中常称为或简称在介质理论中常称为或简称“弥散弥散”(dispersion)(dispersion)。这种现象。这种现象的本

13、质，就在于电极化的建立需要一个过程，换句话说，由于极的本质，就在于电极化的建立需要一个过程，换句话说，由于极化的惯性或滞后性，在不同频率电场中，极化可能来不及响应或化的惯性或滞后性，在不同频率电场中，极化可能来不及响应或完全来不及响应电场的变化。完全来不及响应电场的变化。色散现象色散现象弥散现象弥散现象32 介质损耗介质损耗 研究介质损耗问题，实质上就是研究能量转换问题。研究介质损耗问题，实质上就是研究能量转换问题。定义：定义：电介质在单位时间内每单位体积中，将电能转化为热能电介质在单位时间内每单位体积中，将电能转化为热能( (以发热形式以发热形式) )而消耗的能量。而消耗的能量。 1. 1.

14、 直流电场中，直流电场中， VEdSdEGUUIWvvRU22222单位时间内每单位体积所消耗的能量为单位时间内每单位体积所消耗的能量为 : : w wv vE2=jEE2=jE。 耗能耗能： 储能储能: :静介电常数为静介电常数为s s的电介质的电介质 在静电场中所储存的静电能密度：在静电场中所储存的静电能密度：VEdEdSCUWrr202202212121单位体积中的储能：单位体积中的储能： 由此可见，无论是储存的能量密度还是消耗的能量密度，由此可见，无论是储存的能量密度还是消耗的能量密度，其大小均与直流静电场的电介质特性参数有关，因此，不必其大小均与直流静电场的电介质特性参数有关，因此，

15、不必考虑与电场变化频率的关系。考虑与电场变化频率的关系。 与频率有关的介质特性参数与频率有关的介质特性参数复电导率与复介电常数。复电导率与复介电常数。 在交变电场中，各相关矢量在交变电场中，各相关矢量( (I I、j j、V V、E E) )可能出现相位差的关系，因此，在讨论交变场的可能出现相位差的关系，因此，在讨论交变场的介质损耗问题，必然应从研究电介质的动态行为入手。介质损耗问题，必然应从研究电介质的动态行为入手。2.2.交变电场中交变电场中ii*正弦交变电场正弦交变电场： 电容电流超前于电压的相角小于电容电流超前于电压的相角小于/2/2， 介质极化的滞后性介质极化的滞后性D D与与E E

16、在时间上有一个明显的相位差在时间上有一个明显的相位差 D DEE的关系式不再适用。的关系式不再适用。电容器的电容量也不能再用电容器的电容量也不能再用C Cr rC C0 0的简单公式。的简单公式。 设在平行平板介质电容器上，加上正弦交变电场：设在平行平板介质电容器上，加上正弦交变电场： EE0cost （328）这部分能量以这部分能量以w表示，那么：表示，那么：介质损耗的定义：电介质在单位时间内每单位体积所介质损耗的定义：电介质在单位时间内每单位体积所 损失的能量。损失的能量。wjEDDjt j: 单位时间单位面积通过的电量单位时间单位面积通过的电量 单位时间内面电荷密度的变化单位时间内面电荷

17、密度的变化tj而由高斯定律而由高斯定律sQSdDDD S Q 平行平板电容器平行平板电容器设设tieEE00()itDjiE et 012()()itDiE eiEEiEDD tg D1D2E D落后落后E角角DE)i (jor 积分积分对比对比D D0 0coscos与与E E具有相同相位；具有相同相位；D D0 0sinsin与与E E具有具有2 2的相位差，的相位差，当当E=E0COSttDj第一部分与电场第一部分与电场E E的相位差是的相位差是2 2，不会引起介质中的能量损耗，不会引起介质中的能量损耗电流密度此时分成了两部分：电流密度此时分成了两部分：第二部分与电场第二部分与电场E E

18、同相位，引起能量损耗；同相位，引起能量损耗；每秒钟介质单位体积中的能量损耗：每秒钟介质单位体积中的能量损耗： sincos，因此，常称，因此，常称sin或或cos为功率因数。其中，为功率因数。其中，为介质损耗角为介质损耗角，为功率因数为功率因数角角。 特殊地，若特殊地，若D与与E之间在时间上没有可观察的相位差，即之间在时间上没有可观察的相位差，即0，于是由式，于是由式(335)可见：可见： w0这一结果说明，极化强度与交变电场同相位，极化过程不存在滞后现象，亦就是极化完全来得这一结果说明，极化强度与交变电场同相位，极化过程不存在滞后现象，亦就是极化完全来得及跟随电场变化，此时不存在交流电场下的

19、由极化引起的损耗。及跟随电场变化，此时不存在交流电场下的由极化引起的损耗。IIcI Il l 若若D D与与E E之间的相位，相差之间的相位，相差角，角，D D与与E E的关系表达为的关系表达为现在引用复介电常数现在引用复介电常数*来表示来表示介质在正弦交变电场中的介质损耗；介质在正弦交变电场中的介质损耗；tjtDj*= i （39）(3-31)电场相差电场相差90o相位，为无功分量相位，为无功分量与电场同相位，损耗分量，或与电场同相位，损耗分量，或有功分量。有功分量。交流电场下介质每秒钟每单位体积内所耗散的能量；交流电场下介质每秒钟每单位体积内所耗散的能量； 在交流电场振幅一定的情形下，所消

20、耗的能量与在交流电场振幅一定的情形下，所消耗的能量与成正比，这也就是将成正比，这也就是将称为损耗因子的称为损耗因子的原因。原因。v介质损耗通常都是用介质损耗角的正切介质损耗通常都是用介质损耗角的正切(tangent(tangentof dielectric loss angle)tgof dielectric loss angle)tg来表示来表示v研究介质损耗的重点，集中于能表征电介质在交变电场中损耗特性的参数研究介质损耗的重点，集中于能表征电介质在交变电场中损耗特性的参数tgtg上。上。具有如下两个明显的优点：具有如下两个明显的优点： (1) tg(1) tg值可以和介电常数值可以和介电常

21、数同时直接测量得到。且一般只需要采用通用的电桥法和谐振法测同时直接测量得到。且一般只需要采用通用的电桥法和谐振法测量，量，(2) tg(2) tg值与测量试样大小与形状均无关，为电介质自身属性，并且在许多情形下，值与测量试样大小与形状均无关，为电介质自身属性，并且在许多情形下，tgtg值比值比值对介质特性的改变敏感得多。值对介质特性的改变敏感得多。1 电介质不是理想绝缘体，不可避免地存在电介质不是理想绝缘体，不可避免地存在漏电导漏电导，要产生，要产生漏导损耗漏导损耗，由这种损耗机构决定的，由这种损耗机构决定的tgtg值值 在在D D与与E E之间形成相位差而引起的介质损耗的机构主要有以下三种：

22、之间形成相位差而引起的介质损耗的机构主要有以下三种：随电场频率随电场频率f的增高，的增高，tg成倒数关系下降，成倒数关系下降，仅电导的存在不会使电介质出现高频下发热严重的问题。仅电导的存在不会使电介质出现高频下发热严重的问题。 2 电介质中发生的电介质中发生的慢极化慢极化(例如，与热运动密切有关的热离子极化及热转向极化等例如，与热运动密切有关的热离子极化及热转向极化等)：建立时间较长建立时间较长(约约104109秒秒)，当电场变化频率超过一定限度时，这些慢极化来不及建立而产，当电场变化频率超过一定限度时，这些慢极化来不及建立而产生极化滞后现象。生极化滞后现象。 介质的极化强度介质的极化强度P滞

23、后于电场强度滞后于电场强度E，此时将消耗一部分能量，形成介质损耗。，此时将消耗一部分能量，形成介质损耗。这部分由慢极化产生的介质损耗是电介质在交变电场中使用时产生的介质损耗的主要部分，且有着自这部分由慢极化产生的介质损耗是电介质在交变电场中使用时产生的介质损耗的主要部分，且有着自身的特殊规律。身的特殊规律。当电场频率增高时，电介质的当电场频率增高时，电介质的tg可能在一定频率下不减小反而增大，且可能出现最大值，这种反可能在一定频率下不减小反而增大，且可能出现最大值，这种反常现象常称为常现象常称为“反常分散反常分散”现象，见图现象，见图34。 为了便于全面比较，图中同时画出了为了便于全面比较，图

24、中同时画出了Pf()曲线。曲线。“反常分散反常分散”现象的出现，正是由于某些慢极化所致。现象的出现，正是由于某些慢极化所致。 这种效应产生在红外到紫外的光频范围内。这种效应产生在红外到紫外的光频范围内。光是一种电磁波，它在介质中传播的相速及介质的折射率光是一种电磁波，它在介质中传播的相速及介质的折射率n n均依赖于频率。均依赖于频率。n n随频率而变化的现象随频率而变化的现象色散现象，根据电磁场理论，可以证明色散的存在同时将伴随有能量色散现象，根据电磁场理论，可以证明色散的存在同时将伴随有能量的耗散。的耗散。 3原子、离子或电子的振动所产生的共振效应。原子、离子或电子的振动所产生的共振效应。3

25、3 弛豫现象弛豫现象电介质在恒定电场中，发生的几种极化都需要经历一定的时间电介质在恒定电场中，发生的几种极化都需要经历一定的时间. 快极化：快极化：如电子位移极化和离子位移极化需时极短如电子位移极化和离子位移极化需时极短( (1010151510101212秒秒) )。这对于电介质通常应。这对于电介质通常应用的频率用的频率无线电频率范围无线电频率范围(5(51012Hz1012Hz以下以下) )来讲，可以认为是瞬时完成的。来讲，可以认为是瞬时完成的。 慢极化：慢极化：例如热转向极化，要达到极化的稳定状态，一般需要经历例如热转向极化，要达到极化的稳定状态，一般需要经历10106 6秒甚至更长时间

26、。因秒甚至更长时间。因此这类极化在外施电场频率较高时，就有可能来不及跟随电场的变化，表现出极化的滞后性，这此这类极化在外施电场频率较高时，就有可能来不及跟随电场的变化，表现出极化的滞后性，这部分极化常称为部分极化常称为松弛极化松弛极化，其极化建立过程则是不可忽视的。，其极化建立过程则是不可忽视的。对电介质极化强度来说，一般可表示为对电介质极化强度来说，一般可表示为 式中，式中，P P位移极化强度位移极化强度；P Pr r松弛极化强度松弛极化强度。极化的建立过程或极化强度随时间的变。极化的建立过程或极化强度随时间的变化如图化如图3535所示。所示。加电场tppprmrmppp切线切线与与)1 (

27、trmrePP或简称或简称松弛时间松弛时间(relaxation time)，与温度有关。，与温度有关。移去电场移去电场当时间足够长时，当时间足够长时，Pr减小减小且实际上接近零且实际上接近零trmrePP松弛时间的含义松弛时间的含义: t时，极化强度时，极化强度P r降为原来极化强度的降为原来极化强度的1e所需要的时间。所需要的时间。在电介质处于恒定电场在电介质处于恒定电场(f0)(f0)情形下，即使最慢的情形下，即使最慢的极化也极化也不存在滞后现象不存在滞后现象，正是由于这种原因，在研究恒定电场中的电介质特性时，只需考察电，正是由于这种原因，在研究恒定电场中的电介质特性时，只需考察电介质的

28、介质的静态特性静态特性，而不必研究其动态特性，而不必研究其动态特性(dynamic property).(dynamic property).当电介质工作在交变电场中时，就需要研究其当电介质工作在交变电场中时，就需要研究其动态性质动态性质。建立动态方面的理论要比建立静态理论困难得多建立动态方面的理论要比建立静态理论困难得多, ,在研究电介质的动态特性时，在研究电介质的动态特性时，弛豫现象弛豫现象占据占据着重要的地位。着重要的地位。 电介质的动态特性电介质的动态特性 将一个脉冲电压加在电介质上，电压振幅为将一个脉冲电压加在电介质上，电压振幅为V V0 0，脉冲时间，脉冲时间间隔为间隔为t t1

29、1t tl ldtdt，见图，见图36(a)36(a)。一、弛豫过程一、弛豫过程首先考察线性电介质对可变电场的响应问题。首先考察线性电介质对可变电场的响应问题。然后从然后从定性定性与与定量定量两个方面，确立两个方面，确立复介电常数的频率特性复介电常数的频率特性。tt1,tt2,V=0;t1 t t2 V=V0充电电流：充电电流：t tt t1 1， i=0i=0 t=t t=t1 1, i=i, i=i 瞬时充电电流瞬时充电电流 t t1 1t tt t2 2，i=ii=ia a(t) (t) 强度逐渐减小，强度逐渐减小， 这种随时间逐渐减小的电流被称为这种随时间逐渐减小的电流被称为吸收电流吸

30、收电流(absorption current)(absorption current)。放电电流：放电电流： 在在t t2 2时刻切断电源，短路时刻切断电源，短路 t=tt=t2 2 i=i i=i瞬时放电电流瞬时放电电流 i i=- i=- i t tt t2 2 i=ii=ia a(t) (t) 强度逐渐减小，强度逐渐减小， 残余电流残余电流 i ia a(t)=- i(t)=- ia a(t) (t) 这一实验结果说明：由于电介质存在缓慢极化，使得极化这一实验结果说明：由于电介质存在缓慢极化，使得极化滞滞后后于电压的变化，并出现随时间降落的吸收电流或残余电流，我于电压的变化，并出现随时间

31、降落的吸收电流或残余电流，我们将这种现象称为们将这种现象称为介质弛豫现象介质弛豫现象。 图图36(c)36(c)所示为电流的积分值，亦就是相应的所示为电流的积分值，亦就是相应的电荷变化电荷变化情况：情况： t tt tl l， Q=0Q=0 t=t t=t1 1 Q=Q= Q Q， 瞬时充电电荷瞬时充电电荷 t t1 1t tt t2 2 Q=Q Q=Qa a(t)+Q(t)+Q Q Qa a(t)(t)是对应于吸收电流是对应于吸收电流i ia a的充的充 电电荷；电电荷； t=tt=t2 2 Q= Q Q= Q 与与i相对应的是相对应的是瞬时放电电荷瞬时放电电荷， t tt t2 2 Q=Q

32、Q=Qa a 由残余电流所缓慢放出的电荷。由残余电流所缓慢放出的电荷。 Qa 充电时：充电时： t=tt=t1 1 ，在脉冲间隔内，由在脉冲间隔内，由t t1 1到到t t2 2，t=tt=t2 2 ()asQQCV i=dQ/dt 由于弛豫现象的存在，电容量也不是一个恒定由于弛豫现象的存在，电容量也不是一个恒定的量，而是随着时间变化：的量，而是随着时间变化：电流的变化电流的变化电容的变化电容的变化电容量随时间而逐渐增加，电容量随时间而逐渐增加，定量表达式：定量表达式： 式中式中(t)(t)为为衰减函数衰减函数(decay function)(decay function)或或后效函数后效函数

33、(after effect function)(after effect function)，它与电容的形状和电压无关，而是由电介质的成分、结构以及温度等因素确定的函数，并且它与电容的形状和电压无关，而是由电介质的成分、结构以及温度等因素确定的函数，并且是是归一化归一化的，即的，即 CCCs1电荷的变化电荷的变化VCdt)t(VCdt)t(iQ1010aa VCV)CC(VCVCQQQs11a 如果加在线性电介质上的电压是随时间变化的，例如象图如果加在线性电介质上的电压是随时间变化的，例如象图3737所示那样，所示那样，V(t)V(t)在时刻在时刻t tl l、t t2 2、t t3 3、t

34、t4 4时分别加上时分别加上V(tV(t1 1) )、V(tV(t2 2) )、V(tV(t3 3) )、V(tV(t4 4) )。 可视为可视为一个个脉冲电压一个个脉冲电压(每个脉冲电压振幅不同，脉冲间每个脉冲电压振幅不同，脉冲间隔不同隔不同)的合成的合成。二、随时间变化的电压与电流及电介质中的二、随时间变化的电压与电流及电介质中的全电流全电流 可应用前面的结果，利用可应用前面的结果，利用叠加原理叠加原理，就能方，就能方便地求出便地求出总的吸收电流随时间的变化总的吸收电流随时间的变化； i1iiisa)tt ()t (V)CC() t (I吸收电流随时间变化的情况：吸收电流随时间变化的情况：

35、 如果如果V(t)V(t)是是连续变化连续变化的，的，在在无限小无限小的时间间隔的时间间隔dudu内，相继加上内，相继加上具有相同微小电压具有相同微小电压dV(u)dV(u)，用积分，用积分形式改写式形式改写式(351)(351)：du)ut (du)u(dV)CC() t (It0sa 将上式积分变量换为将上式积分变量换为x，且，且xt-u,或或u t-u,du=-dx，则上式变为，则上式变为dx)x(dt)xt (dV)CC() t (It0sa 电介质的全电流电介质的全电流：瞬时充电电流瞬时充电电流+吸收电流吸收电流+漏导电流漏导电流 由式由式(354)(354)可见，通过电介质的全电流

36、包括三部分，即：可见，通过电介质的全电流包括三部分，即：1.1.瞬时充电电流瞬时充电电流( (第一项第一项) )，它是随时间迅速变化的；，它是随时间迅速变化的；2.2.吸收电流吸收电流( (第二项第二项) )，它是随时间缓慢减小的，其衰减特性取决于衰减函数，它是随时间缓慢减小的，其衰减特性取决于衰减函数(x)(x)或或(t)(t)；3.3.漏导电流漏导电流( (第三项第三项) )，它是不随时间变化的恒量，只取决于介质的漏电导。这三部分电流的变，它是不随时间变化的恒量，只取决于介质的漏电导。这三部分电流的变化特性如图化特性如图3838所示。所示。+GV(t)34 KramersKrnig关系式关

37、系式(略略) 讨论了弛豫现象以后，便可利用上节得出的结果，讨论了弛豫现象以后，便可利用上节得出的结果，通过电流密度与电场强度之间的关系通过电流密度与电场强度之间的关系推导出复介电常数的频率特性推导出复介电常数的频率特性，即所谓，即所谓KramersKrnigKramersKrnig关系式。关系式。 电介质极化的频域响应电介质极化的频域响应将式将式(354)关于关于电流强度的表达式换为电流密度电流强度的表达式换为电流密度的表示式，的表示式，只需代入以下几种关系：只需代入以下几种关系： 频域响应比时域响应的测量更容易和精确频域响应比时域响应的测量更容易和精确频域响应就是以频率作参变量，极化响应是频

38、率的函数频域响应就是以频率作参变量，极化响应是频率的函数著名的著名的KK 关系关系克拉默斯克拉默斯-克勒尼希关系克勒尼希关系 +GV(t)下面研究交变电场的情况。下面研究交变电场的情况。 xdxsin)x()(Exdxcos)x()(Ei)t( j0s0s E (3-56) 方程方程(359)(359)和和(360)(360)表明：相对介电常数的实部表明：相对介电常数的实部r r和和虚部虚部r r都依赖于同一个衰减函数都依赖于同一个衰减函数(x)(x)，它可以写成傅里叶变换式：，它可以写成傅里叶变换式：这里引入这里引入是为了不要产生误解而认为是为了不要产生误解而认为sinsinx x成了成了c

39、osxcosx的的复合函数，因为要先单独对含复合函数，因为要先单独对含的函数积分，此处的函数积分，此处称为积称为积分虚变量，避免了与分虚变量，避免了与变量混淆。变量混淆。KramersKrnig关系式KramersKrnig色散公式 描述了描述了在交变电场下复介电常数随频率的变化情况在交变电场下复介电常数随频率的变化情况，积分式子是一个与，积分式子是一个与有关的量，有关的量， 变化对复介电常数产生影响，而这种影响是由交变电场下材料被极化（电容器被充电）时的吸变化对复介电常数产生影响，而这种影响是由交变电场下材料被极化（电容器被充电）时的吸收电流造成的收电流造成的 材料的极化不能完全跟上电场的变

40、化，导致复介电常数的频率相关性。材料的极化不能完全跟上电场的变化，导致复介电常数的频率相关性。 d)(2)(022rrr d)(2)(022rrr35德拜方程德拜方程 KramersKrnig KramersKrnig色散公式，虽然表明了复介电常数与频率的相关性，但由于式中包含了未确色散公式，虽然表明了复介电常数与频率的相关性，但由于式中包含了未确定的衰减函数定的衰减函数( (或称弛豫函数或称弛豫函数) (t) (t)，因此利用色散公式还不能具体计算并讨论复介电常数与因此利用色散公式还不能具体计算并讨论复介电常数与频率的关系频率的关系。 要解决这一问题，关键在于给出弛豫函数的具体表达式要解决这

41、一问题，关键在于给出弛豫函数的具体表达式德拜德拜(Debye) (Debye) 首先提出并建立首先提出并建立了复介电常数与频率的关系式了复介电常数与频率的关系式。对驰豫函数作简化对驰豫函数作简化 / te1) t (从吸收电流从吸收电流中推出中推出:0) t (i ,ta 又要求又要求因此提出的简化是合理的因此提出的简化是合理的合理性讨论合理性讨论=)1 (122 )1 (22 =)1(1)(C22 / te1) t ()1 ()( S22 0 xirrsrrdxe ) x ()()()(C)()(rrsrr )(S)()(rrsr 德拜方程是讨论介质极化弛豫特性的重要关系式，它为计算与讨论介

42、电常数（德拜方程是讨论介质极化弛豫特性的重要关系式，它为计算与讨论介电常数（r r）和）和损耗因子损耗因子( )( )以及介质损耗角正切以及介质损耗角正切(tg)(tg)的频率关系奠定了基础。的频率关系奠定了基础。r 德拜方程德拜方程(Debye equations) (Debye equations) i1)(rrsr*r22rrsrr11)()( 22rrsrrsrr)()()(tg 221)()( rrsr1.1.：松弛时间常数，是一个与时间无关但与温度有关的常数。：松弛时间常数，是一个与时间无关但与温度有关的常数。2.2.表示为：表示为：1n1n常数常数3.3.随温度随温度T的变化呈指

43、数规律变化。的变化呈指数规律变化。t t上升，上升，呈指数下降。呈指数下降。 因此，在讨论德拜方程的性质时，必须注意到因此，在讨论德拜方程的性质时，必须注意到r r与与r r的大小既与频率的大小既与频率有关，也与温度有关，也与温度T T有关，有关，前者可从方程式中直接看出，而后者则隐含在介电常数和松弛时间与温度有关的特性中前者可从方程式中直接看出，而后者则隐含在介电常数和松弛时间与温度有关的特性中. . 的含义的含义kTU （非常重要）（非常重要）本节将主要讨论：本节将主要讨论：（1 1）r r、r r与频率的关系。与频率的关系。 此时，假设此时，假设r r和和r r都是温度的已知函数，且设都

44、是温度的已知函数，且设也是已知的。也是已知的。（2 2）分别研究不同温度时，）分别研究不同温度时，r r、r r、tgtg与频率的关系。与频率的关系。（1） r rr时时，频频率率很很高高时时，相对介电常数可用光频下相对介电常数表示，相对介电常数可用光频下相对介电常数表示，这时慢极化对这时慢极化对 无贡献无贡献r rsr0 时，频率很低时，时，频率很低时，相对介电常数可用静态相对介电常数表示，相对介电常数可用静态相对介电常数表示，所有极化都能跟上电场变化所有极化都能跟上电场变化r r讨论讨论r r()()、r r()()以及以及tgtg与频率的关系与频率的关系系logrs r22rrsrr11

45、)()( （2） ，频率很高或很低时，损耗频率很高或很低时，损耗 因子都很小因子都很小在某个中间的时，达到峰值)(r 0)( r0)(0r ，)(r )(r 0)( r最大时，rm 11求极值：求极值：221)()( rrsr2rrsrm 时时， 1m2rrsr rrsrrstg221)()( rrsr0（3）tgtg0tg求极值0)tg( 22rrsrrsrr)()()(tg rrsrrsm2tg rrsm1rrs1mmm2 2 当温度为当温度为T2 2且且T2 2Tl l时，时，r r()()、r r()()以及以及tgtg与频率的关系与频率的关系 (1)(1)T2 2时（时（T2T1)，

46、r r 松弛时间松弛时间随温度的升高呈指数式减小，随温度的升高呈指数式减小， 同一频率同一频率下，下，r r值提高，但最大、最小值不变。值提高，但最大、最小值不变。r r曲线将向频率增高的方向移动。（要保持曲线将向频率增高的方向移动。（要保持r r不变，不变， )( )(某个频率下的某个频率下的r值有所提高）值有所提高） 系logrs 同理，如果温度变成同理，如果温度变成T3 3，且，且T3 3T2 2T1 1，根据同样的理由，根据同样的理由，T3 3时的时的r r曲线将落在更靠近高频的一侧。曲线将落在更靠近高频的一侧。22rrsrr11)()( (2)T2时，时，r和和tg与频率的关系曲线同

47、样地将移向高频与频率的关系曲线同样地将移向高频方向方向，相应地，出现在，相应地，出现在r、tg最大值对应的频率都分别移向高频方向，最大值对应的频率都分别移向高频方向， m、 但它们的最大值但它们的最大值(r、tg)却基本不变却基本不变(见图见图39a、39b)。若温度提高到。若温度提高到T3且且T 3T2T1，两组曲线均分别地向高频方向移动。两组曲线均分别地向高频方向移动。 图图39(b) r与频率与频率的关系的关系1m rrsm1m 图3(c) tg与频率与频率的关系的关系 rrsm136 电介质的弛豫机构与松弛时间电介质的弛豫机构与松弛时间（略）（略）3.6.1 极性液体的德拜模型极性液体

48、的德拜模型3.6.2 极性固体的德拜理论极性固体的德拜理论3.6.3 离子型固体介质的弛豫机构与松弛时间离子型固体介质的弛豫机构与松弛时间364 柯尔一柯尔圆弧率与松弛时间分布柯尔一柯尔圆弧率与松弛时间分布Cole-Cole圆弧率圆弧率22rrsrr11)()( 2rrs2r2rrsr)2()2( 22rrsr1)()( r光频光频频率为频率为02rrsrm 若以损耗若以损耗 作为纵轴，以相对介电常数作为纵轴，以相对介电常数 作为横轴，作为横轴， r r2rrs2r2rrsr)2()2( 以半径以半径2rrs 圆心圆心 2rrs （ ，0）rr 坐标轴坐标轴 2rrs rrs 圆弧上的每一点，

49、对应于由德拜方程计算出的某一频率下的圆弧上的每一点，对应于由德拜方程计算出的某一频率下的r r和和r r值。值。重要的前提假设条件，即认为电介质只具有一个松弛时间值。重要的前提假设条件，即认为电介质只具有一个松弛时间值。 通过实验方法，测出每一频率通过实验方法，测出每一频率(2f)2f)下的下的r r和和r r值，然后连成圆弧，值，然后连成圆弧，以此来校核德拜方程，一般地说，如果实验得出半圆，就与德拜方程相吻合。松弛以此来校核德拜方程，一般地说，如果实验得出半圆，就与德拜方程相吻合。松弛时间就只有时间就只有个。个。但事实上，实验结果常常但事实上，实验结果常常不是半圆而是一个圆弧不是半圆而是一个

50、圆弧，这说明德拜方程与实际有偏，这说明德拜方程与实际有偏离离多个松弛时间。多个松弛时间。图34几种材料的colecole图冰在冰在55时，几乎有时，几乎有理想理想的德拜特性的德拜特性其他材料明显其他材料明显偏离偏离在假设具有单一松弛时间条件下导出的德拜在假设具有单一松弛时间条件下导出的德拜方程方程 圆心远远落在圆心远远落在r r轴之下，轴之下，在在r r轴以上仅显示一条轴以上仅显示一条圆弧圆弧。r r轴轴与与圆弧和圆弧和r r轴的交点到轴的交点到圆心的连线圆心的连线间的夹角间的夹角表示表示和德拜特性偏离的程度和德拜特性偏离的程度这个角张得越大，则表示与德拜特性偏离越远这个角张得越大，则表示与德

51、拜特性偏离越远。 37 介质损耗与温度的关系介质损耗与温度的关系 德拜方程式的重要意义：德拜方程式的重要意义：v给出了介电性能参数与频率的关系给出了介电性能参数与频率的关系已讨论。已讨论。v给出了介电性能参数与温度的关系。给出了介电性能参数与温度的关系。 r r、r r和和tgtg与温度的关系与温度的关系这些参数与温度的关系主要是由松弛时间这些参数与温度的关系主要是由松弛时间与与温度有关来体现的。温度有关来体现的。 T T 时，曲线向高频方向移动。时，曲线向高频方向移动。 这是由于这是由于T T ，为保持，为保持不变，不变， 需需 将温度范围划分为将温度范围划分为低温区与高温区低温区与高温区，

52、讨论讨论r r、r r、 tgtg与温度的关系。与温度的关系。 ererrNN 001)1( 献献，则则介介电电常常数数为为若若极极化化仅仅由由位位移移极极化化贡贡0rsrdN 22rrsrr11)()( 1222221()BTrsrBrsrTrrAB eTtgAB eT 另可得22rrsrr11)()( 可得下式：可得下式：)eB1(TAT/B2212rr 代入代入低温区低温区 由式由式(3124)(3124)可知，可知，qr r与温度的关系主要决定于第二项中的分母与温度的关系主要决定于第二项中的分母q当温度变化时，当温度变化时，e2B/e2B/T对温度的依赖性要比对温度的依赖性要比T本身对

53、温度的依赖性强烈。本身对温度的依赖性强烈。q在低温区，在低温区，r r随温度的变化主要取决于分母中的随温度的变化主要取决于分母中的e2B/e2B/T， 即即当温度当温度T升高时，升高时，r r随之增大。随之增大。)eB1(TAT/B2212rr r T分母中的第一项和第二项可以略去分母中的第一项和第二项可以略去 TB1rTB2212rTB1eTBAeBTeBAtg 1222221()BTrsrBrsrTrrABeTtgAB eT 主要取决于主要取决于的变化的变化，TtgTBe TBe 随温度随温度T的升高，的升高， tg 值明显增大值明显增大 tg T2 2 高温区高温区 温度高时，松弛时间温

54、度高时，松弛时间明显减小明显减小( (见见3121)3121)，于是由式于是由式(3124)(3124)可知：可知：r r与温度的关系主要决定于与温度的关系主要决定于A/A/T，r r:T :T r r 即随温度即随温度T T的升高，差不多成反比地减小。的升高，差不多成反比地减小。 结论：结论： r在整个温区内的变化趋势在整个温区内的变化趋势在低温区，在低温区，r随温度随温度T的升高而增大的升高而增大；高温区高温区r随温度随温度T的升高成反比地减小。的升高成反比地减小。当当从低温过渡到高温时从低温过渡到高温时，r必经过一个极大值必经过一个极大值按照极化理论不难理解，按照极化理论不难理解，r的极

55、大值便是静态相对介电常数的极大值便是静态相对介电常数rsTArrs （3-123）其中其中rr差不多与温度无关，故差不多与温度无关，故rs与温度的关系主要由与温度的关系主要由A/A/T项决定，项决定， 画出在一定频率下整个温度范围内画出在一定频率下整个温度范围内r r与温度与温度T T的关系曲线，的关系曲线，见图见图318318。由图中可以看出，当频率变动，如频率增高时，极大值将向高温方向移动，反之亦然。由图中可以看出，当频率变动，如频率增高时，极大值将向高温方向移动，反之亦然。解释：解释：2 2 1 , 1 , r r不变，即保持不变，即保持不变，要求不变，要求 T T 对对tgtg的温度关

56、系来说，在高温区，在式的温度关系来说，在高温区，在式(3125)(3125)中的中的 项可能比项可能比 项小，如果将其略去，则该项小，如果将其略去，则该式可简化为式可简化为很明显，很明显，tgtg随温度的升高而减小。随温度的升高而减小。TTBrrTBrrsrrseBTAeBTAtg2212122)( 低温区低温区tgtg随温度升高而增大，随温度升高而增大，高温区高温区 tgtg随温度的升高而减小。随温度的升高而减小。 推知在具有弛豫性质的介质损耗角正切与温度的关系中将出现推知在具有弛豫性质的介质损耗角正切与温度的关系中将出现最大值最大值。 由由tgtg关系中，已求出在满足关系中，已求出在满足

57、的条件下，的条件下，tgtg具有极大值。具有极大值。 改写为改写为由此可见，当频率一定时，在符合由上式表示的松弛时间由此可见，当频率一定时，在符合由上式表示的松弛时间m m所所对应的温度下，对应的温度下，tgtg达到最大值。达到最大值。结论结论 rrsm1 rrsm1于是，在从低温到高温的整个温度范围内，于是，在从低温到高温的整个温度范围内，tgtg随温度变化的特性曲线如图随温度变化的特性曲线如图319319所示。所示。 若频率提高若频率提高(如由如由12)，tg达到最大值所对应达到最大值所对应的温度亦相应提高，即移向高温方向，的温度亦相应提高，即移向高温方向，解释：解释： m 要求要求Tm

58、，才能保持，才能保持tg不变。不变。 r r与温度的关系特性与与温度的关系特性与tgtg与温度的关系特性类似，与温度的关系特性类似，当温度一定时当温度一定时，当频率一定时当频率一定时，在满足，在满足m m1/1/条件所对应的温度下，条件所对应的温度下，r r具有最大值。将这一条件与式具有最大值。将这一条件与式(3(3128)128)相比较，相比较，显然可见，出现显然可见，出现r r最大值对应的温度将略最大值对应的温度将略 ？于出现于出现tgtg最大值所对应的温度。最大值所对应的温度。为了便于比较，为了便于比较，图图320320中同时画出了中同时画出了r r、r r与温度的关系曲线。与温度的关系

59、曲线。最最大大时时 1m rrsm1高高 m m 要求要求T Tm m 才能保持才能保持 不变。不变。r rT变化后，使变化后，使 达到最大值，达到最大值， r r应为应为r2rrs 38计及漏电导时的介质损耗计及漏电导时的介质损耗 在导出在导出KramersKrnigKramersKrnig关系式及德拜方程式时，暂不计及漏导电流及其所引关系式及德拜方程式时，暂不计及漏导电流及其所引起的损耗。起的损耗。 但是，对于任何一个实际电介质，当受到外电场作用时所发生的物理过程但是，对于任何一个实际电介质，当受到外电场作用时所发生的物理过程 由弛豫机构导致的电流密度由弛豫机构导致的电流密度+ + 由漏电

60、导机构导致的电流密度由漏电导机构导致的电流密度， 这样在综合了对电介质中电流密度各种贡献以后，实际电介质中的电流矢量这样在综合了对电介质中电流密度各种贡献以后，实际电介质中的电流矢量图将如图图将如图321321所示。所示。 由图可见，电介质中产生损耗的有功电流密度计有如下两个分量：由图可见，电介质中产生损耗的有功电流密度计有如下两个分量： jlp由弛豫过程产生的有功电流密度；由弛豫过程产生的有功电流密度； jlc由漏导引起的电流密度。由漏导引起的电流密度。 而不产生损耗的无功电流密度也有两个分量，而不产生损耗的无功电流密度也有两个分量，即：即：jcc由位移极化产生的纯电容电流；由位移极化产生的