【数学】112弧度制（人教A版必修4）2

1、 在初中几何里，我们学习过角的度量，在初中几何里，我们学习过角的度量，1度的角度的角是怎样定义的呢？是怎样定义的呢？ 周角的周角的 为为1度的角。度的角。 1360 这种用这种用1 角角作作单位单位来度量角的制度叫做来度量角的制度叫做角度制角度制 ，今天我们来学习另一种在数学和其，今天我们来学习另一种在数学和其他学科中常用的度量角的制度他学科中常用的度量角的制度弧度制弧度制。 1. 圆心角、弧长和半径之间的关系：圆心角、弧长和半径之间的关系： 角是由射线绕它的端点旋转而成的，在旋角是由射线绕它的端点旋转而成的，在旋转的过程中射线上的转的过程中射线上的点点必然形成一条必然形成一条圆弧圆弧， 不同

2、的点所形成的圆不同的点所形成的圆 弧的长度是不同的，弧的长度是不同的， 但都对应同一个圆心角。但都对应同一个圆心角。 ABA Brr=定值定值， 设设=n ， 弧长为弧长为l，半径，半径OA为为r，则则 ，可以看出，等式右端不含可以看出，等式右端不含半径，表示半径，表示弧长与半径的弧长与半径的比值比值跟半径无关，只与跟半径无关，只与的的大小有关。大小有关。 AB22,360360r llnnr结论：可以用圆的半径作单位去度量角。结论：可以用圆的半径作单位去度量角。2.定义定义：长度等于半径长的圆弧长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做所对的圆心角叫做1弧弧度的角度的角，弧度记作，弧度记作rad。

3、这种以弧度为单位来。这种以弧度为单位来度量角的制度叫做度量角的制度叫做弧度制弧度制。 注：今后在用弧度制表示角的时候，弧度二字注：今后在用弧度制表示角的时候，弧度二字或或rad可以可以略去不写略去不写。 3. 弧度制与角度制相比：弧度制与角度制相比：(1) 弧度制是以弧度制是以“弧度弧度”为为单位单位的度量角的的度量角的单位制，角度制是以单位制，角度制是以“度度”为单位来度量角为单位来度量角的单位制；的单位制；1弧度弧度1 ； （2）1弧度弧度是弧长等于半径长的圆弧所对的圆是弧长等于半径长的圆弧所对的圆心角的大小，而心角的大小，而1度是圆周度是圆周 的所对的圆心的所对的圆心角的大小；角的大小；

4、 1360（3）弧度制是十进制，它的表示是用一个实）弧度制是十进制，它的表示是用一个实数表示，而角度制是六十进制；数表示，而角度制是六十进制； （4）以弧度和度为单位的角，都是一个与）以弧度和度为单位的角，都是一个与半径无关的定值。半径无关的定值。 4.公式：公式： ， 表示的是在半径为表示的是在半径为r的圆中，弧长为的圆中，弧长为l的的弧所对的圆心角是弧所对的圆心角是rad。lr5. 弧度制与角度制的换算弧度制与角度制的换算 用角度制和弧度制度量角，零角既是用角度制和弧度制度量角，零角既是0 角，又是角，又是0 rad角，同一个非零角的度数和角，同一个非零角的度数和弧度数是不同的弧度数是不同

5、的. 平角、周角的弧度数：平角、周角的弧度数：平角平角= rad、周角、周角=2 rad. 正角的弧度数是正数，负角的弧度数是正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是负数，零角的弧度数是0.角角 的弧度数的绝对值的弧度数的绝对值: （l为弧长，为弧长，r为半径）为半径）rl 360 =2 rad ，180 = rad 1 =rad0.01745rad18018057.3057181 rad6. 用弧度制表示用弧度制表示弧长弧长及及扇形面积扇形面积公式：公式： 弧长弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数）等于弧所对的圆心角（的弧度数）的绝对值与半径的积的绝对值与半径的积. 弧长公式：弧长

6、公式： rl由公式：由公式：rl rl比公式比公式 简单简单.180rnl 扇形面积公式扇形面积公式 lRS21其中其中l是扇形弧长，是扇形弧长，R是圆的半径。是圆的半径。证明：设扇形所对的圆心角为证明：设扇形所对的圆心角为n(rad)，则，则2213602nSRR又又 R=l，所以，所以lRS21证明证明2：因为圆心角为：因为圆心角为1 rad的扇形面积是的扇形面积是22122RR而弧长为而弧长为l的扇形的圆心角的大小是的扇形的圆心角的大小是 rad.lR所以它的面积是所以它的面积是lRS21例例1. （1) 把把1123030化成弧度化成弧度(精确到精确到0.001)； （2）把）把112

7、30化成弧度（用化成弧度（用表示表示）。）。解：解： （1）11230=112.5，10.0175180 所以所以11230112.50.01751.969rad.(2) 11230=112.5 = .18058例例2. 把把 化成度。化成度。85858180()5288解：解：1rad= 180()例例3. 填写下表：填写下表：角度030456090120弧度角度角度270300315330360弧度02643223345632例例4. 扇形扇形AOB中，中， 所对的圆心角是所对的圆心角是60，半径是半径是50米，求米，求 的长的长l（精确到（精确到0

8、.1米）。米）。ABAB解：因为解：因为60= ,所以所以3l=r= 5052.5 .3答：答： 的长约为的长约为52.5米米.AB例例5. 在半径为在半径为R的圆中，的圆中，240 的中心角所对的的中心角所对的弧长为弧长为 ，面积为，面积为2R2的扇形的的扇形的中心角等于中心角等于 弧度。弧度。解：（解：（1）240= ，根据，根据l=R，得，得4343lR（2）根据）根据S= lR= R2，且，且S=2R2.2121所以所以 =4.例例6.与角与角1825的终边相同，且绝对值最小的终边相同，且绝对值最小的角的度数是，合弧度。的角的度数是，合弧度。 解：解：1825=536025， 所以与角所以与角1825的终边相同，且绝对值的终边相同，且绝对值最小的角是最小的角是25.合合536例例7. 已知一半径为已知一半径为R的扇形，它的周长等于的扇形，它的周长等于所在圆的周长，那么扇形的中心角是多少弧所在圆的周