1112学年高中数学1.3.3函数的最值与导数同步练习新人教A版选修22.doc

1、选修2-2 1.3.3 函数的最值与导数 一、选择题 1函数yf(x)在区间a，b上的最大值是M，最小值是m，若Mm，则f(x)() A等于0B大于0 C小于0 D以上都有可能 答案A 解析Mm，yf(x)是常数函数 f(x)0，故应选A. 2设f(x)x4x3x2在1,1上的最小值为() A0B2 C1 D. 答案A 解析yx3x2xx(x2x1) 令y0，解得x0. f(1)，f(0)0，f(1) f(x)在1,1上最小值为0.故应选A. 3函数yx3x2x1在区间2,1上的最小值为() A. B2 C1 D4 答案C 解析y3x22x1(3x1)(x1) 令y0解得x或x1 当x2时，y

2、1；当x1时，y2； 当x时，y；当x1时，y2. 所以函数的最小值为1，故应选C. 4函数f(x)x2x1在区间3,0上的最值为() A最大值为13，最小值为 B最大值为1，最小值为4 C最大值为13，最小值为1 D最大值为1，最小值为7 答案A 解析yx2x1，y2x1， 令y0，x，f(3)13，f，f(0)1. 5函数y在(0,1)上的最大值为() A. B1 C0 D不存在 答案A 解析y· 由y0得x，在上y>0，在上 y<0.x时y极大， 又x(0,1)，ymax. 6函数f(x)x44x (|x|<1)() A有最大值，无最小值 B有

3、最大值，也有最小值 C无最大值，有最小值 D既无最大值，也无最小值 答案D 解析f(x)4x344(x1)(x2x1) 令f(x)0，得x1.又x(1,1) 该方程无解， 故函数f(x)在(1,1)上既无极值也无最值故选D. 7函数y2x33x212x5在0,3上的最大值和最小值分别是() A5，15 B5,4 C4，15 D5，16 答案A 解析y6x26x126(x2)(x1)， 令y0，得x2或x1(舍) f(0)5，f(2)15，f(3)4， ymax5，ymin15，故选A. 8已知函数yx22x3在a,2上的最大值为，则a等于() A B. C D.或 答案C 解析y2x2，令y0

4、得x1. 当a1时，最大值为f(1)4，不合题意 当1<a<2时，f(x)在a,2上单调递减， 最大值为f(a)a22a3， 解得a或a(舍去) 9若函数f(x)x312x在区间(k1，k1)上不是单调函数，则实数k的取值范围是 () Ak3或1k1或k3 B3<k<1或1<k<3 C2<k<2 D不存在这样的实数 答案B 解析因为y3x212，由y>0得函数的增区间是(，2)和(2，)，由y<0，得函数的减区间是(2,2)，由于函数在(k1，k1)上不是单调函数

5、，所以有k1<2<k1或k1<2<k1，解得3<k<1或1<k<3，故选B. 10函数f(x)x3ax2在区间1，)上是增函数，则实数a的取值范围是() A3，) B3，) C(3，) D(，3) 答案B 解析f(x)x3ax2在1，)上是增函数，f(x)3x2a0在1，)上恒成立 即a3x2在1，)上恒成立 又在1，)上(3x2)max3 a3，故应选B. 二、填空题 11函数yx(1x)，0x1的最小值为_ 答案 由y>0得x>，由y<0得x&l

6、t;. 此函数在上为减函数，在上为增函数，最小值在x时取得，ymin. 12函数f(x)536x3x24x3在区间2，)上的最大值_，最小值为_ 答案不存在；28 解析f(x)366x12x2， 令f(x)0得x12，x2；当x>时，函数为增函数，当2x时，函数为减函数，所以无最大值，又因为f(2)57，f28，所以最小值为28. 13若函数f(x)(a>0)在1，)上的最大值为，则a的值为_ 答案1 解析f(x) 令f(x)0，解得x或x(舍去) 当x>时，f(x)<0；当0<x<时，f(x)>0； 当x时，f(x)，&

7、;lt;1，不合题意 f(x)maxf(1)，解得a1. 14f(x)x312x8在3,3上的最大值为M，最小值为m，则Mm_. 答案32 解析f(x)3x212 由f(x)>0得x>2或x<2， 由f(x)<0得2<x<2. f(x)在3，2上单调递增，在2,2上单调递减，在2,3上单调递增 又f(3)17，f(2)24，f(2)8， f(3)1， 最大值M24，最小值m8， Mm32. 三、解答题 15求下列函数的最值： (1)f(x)sin2xx； (2)f(x)x. 解析(1)f(x)2cos2x1. 令f(x)0，得

8、cos2x. 又x，2x， 2x±，x±. 函数f(x)在上的两个极值分别为 f，f. 又f(x)在区间端点的取值为 f，f. 比较以上函数值可得f(x)max，f(x)min. (2)函数f(x)有意义， 必须满足1x20，即1x1， 函数f(x)的定义域为1,1 f(x)1(1x2)·(1x2)1 . 令f(x)0，得x . f(x)在1,1上的极值为 f. 又f(x)在区间端点的函数值为f(1)1，f(1)1，比较以上函数值可得f(x)max，f(x)min1. 16设函数f(x)ln(2x3)x2.求f(x)在区间上的最大值和最小值 解析f(x)的定义域为

9、. f(x)2x . 当<x<1时，f(x)>0； 当1<x<时，f(x)<0； 当x>时，f(x)>0， 所以f(x)在上的最小值为 fln2. 又fflnlnln<0， 所以f(x)在区间上的最大值为 fln. 17(2022·安徽理，17)设a为实数，函数f(x)ex2x2a，xR. (1)求f(x)的单调区间及极值； (2)求证：当a>ln21且x>0时，ex>x22ax1. 分析p 本题考查导数的运算，利用导数研究函数的单调区间，求函数的极值和证明函数不等

10、式，考查运算能力、综合分析p 和解决问题的能力 解题思路是：(1)利用导数的符号判定函数的单调性，进而求出函数的极值(2)将不等式转化构造函数，再利用函数的单调性证明 解析(1)解：由f(x)ex2x2a，xR知f(x)ex2，xR. 令f(x)0，得xln2.于是当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表： x (，ln2) ln2 (ln2，) f(x) 0 f(x) 单调递减 2(1ln2a) 单调递增 故f(x)的单调递减区间是(，ln2)，单调递增区间是(ln2，)， f(x)在xln2处取得极小值，极小值为f(ln2)eln22ln22a2(1ln2a) (2)证明：设g(x)

11、exx22ax1，xR，于是g(x)ex2x2a，xR. 由(1)知当a>ln21时，g(x)最小值为g(ln2)2(1ln2a)>0. 于是对任意xR，都有g(x)>0，所以g(x)在R内单调递增 于是当a>ln21时，对任意x(0，)，都有g(x)>g(0) 而g(0)0，从而对任意x(0，)，g(x)>0. 即exx22ax1>0，故ex>x22ax1. 18已知函数f(x)，x0,1 (1)求f(x)的单调区间和值域； (2)设a1，函数g(x)x33a2x2a，x0,1若对于任意x10,1，总存在x00,1，使得g(x0)f(x1)成立，求a的取值范围 解析(1)对函数f(x)求导，得 f(x) 令f(x)0解得x或x. 当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表： x 0 (0，) (，1) 1 f(x) 0 f(x) 4 3 所以，当x(0，)时，f(x)是减函数； 当x时，f(x)是增函数 当x0,1时，f(x)的值域为4，3 (2)g(x)3(x2a2) 因为a1，当x(0,1)时，g(x)<