第二章 基本动态系统

1、第二章第二章 基本动态系统基本动态系统 本章介绍动态系统的本章介绍动态系统的机械系统元件、电气系统元件、机械系统元件、电气系统元件、电气电气 机械变换器、动态系统的液压元件、纯液压变换机械变换器、动态系统的液压元件、纯液压变换器、液压机械变换器。基本动态系统建模与分析，连续器、液压机械变换器。基本动态系统建模与分析，连续系统的数学模型形式（包括微分方程、传递函数、权函数、系统的数学模型形式（包括微分方程、传递函数、权函数、状态空间表达式）。状态空间表达式）。2.1 2.1 基本物理元件建模基本物理元件建模 对于动态系统的分析，总是首先建立一个模型的表对于动态系统的分析，总是首先建立一个模型的表

2、达式。这些模型则是由一些理想化的基本环节组成，这些达式。这些模型则是由一些理想化的基本环节组成，这些环节代表了实际系统本质的物理现象。无论机械系统、电环节代表了实际系统本质的物理现象。无论机械系统、电气系统或液压系统，都是由一些基本的这样的环节组成，气系统或液压系统，都是由一些基本的这样的环节组成，这些环节构成了系统，本课程将系统的基本的环节理想化这些环节构成了系统，本课程将系统的基本的环节理想化后，所获得的能够用数学方法表示的基本单元称作后，所获得的能够用数学方法表示的基本单元称作基本物基本物理元件理元件。 有时，在一个给定的实际系统中，对于某一部分或有时，在一个给定的实际系统中，对于某一部

3、分或基本环节，其中一个因素与其他因素相比是占主导地位的。基本环节，其中一个因素与其他因素相比是占主导地位的。而在有的场合，两种或三种因素同时出现，并且很难加以而在有的场合，两种或三种因素同时出现，并且很难加以区分。这个区分工作正是建模过程的一部分，利用这些基区分。这个区分工作正是建模过程的一部分，利用这些基本元件的组合，建立和实际系统足够接近的模型，这是对本元件的组合，建立和实际系统足够接近的模型，这是对于大型工程系统进行分析的关键。于大型工程系统进行分析的关键。一、机械系统基本元件一、机械系统基本元件 机械系统有三个最基本的机械元件：机械系统有三个最基本的机械元件：质量质量、弹簧弹簧和和阻尼

4、阻尼，这些元件代表了机械系统各组成部分的本质。根据，这些元件代表了机械系统各组成部分的本质。根据机械系统的运动方式（直线、旋转运动）机械系统的基本机械系统的运动方式（直线、旋转运动）机械系统的基本元件各有不同的物理特性。元件各有不同的物理特性。 基本方程基本方程（代数方程和微分方程）描述了各种物理系（代数方程和微分方程）描述了各种物理系统建模中的理想元件。基本方程描述了理想元件的运动作统建模中的理想元件。基本方程描述了理想元件的运动作用特性和能量特性。用特性和能量特性。1、作直线运动的机械系统元件、作直线运动的机械系统元件（1 1） 作直线运动的纯质量基本方程及其图示法作直线运动的纯质量基本方

5、程及其图示法m2vconstv 1F纯质量的符号及表示法纯质量的符号及表示法2210210212121)(1mvEvFdtmvdtdvmFKt 质量所储存的能量直接取决于通过质量的运动速度。质量所储存的能量直接取决于通过质量的运动速度。（2 2） 作直线运动的纯弹簧基本方程作直线运动的纯弹簧基本方程及其图示法及其图示法F2v1vK2x1x纯弹簧表示法纯弹簧表示法221200212121211kxFkEFdtvKFdtdFkvPt 弹簧所储存的能量直接取决于通过弹簧的力或变形。弹簧所储存的能量直接取决于通过弹簧的力或变形。（3 3） 直线运动的纯阻尼直线运动的纯阻尼基本方程及其图示法基本方程及其

6、图示法 纯阻尼的符号及表示法纯阻尼的符号及表示法21vCF CFCvP/ 2221 功功率率 物体的运动常常受到来自各方面的阻力作用，如液物体的运动常常受到来自各方面的阻力作用，如液体、空气的粘性阻尼，或物体相对运动表面的干摩擦。在体、空气的粘性阻尼，或物体相对运动表面的干摩擦。在机械系统中，由于粘性等原因产生的摩擦力正比于物体的机械系统中，由于粘性等原因产生的摩擦力正比于物体的相对速度，这种摩擦力叫做粘性或线性摩擦。相对速度，这种摩擦力叫做粘性或线性摩擦。阻尼阻尼所消耗的能量能取决于通过阻尼的力或运动速度。所消耗的能量能取决于通过阻尼的力或运动速度。2 2、作旋转运动的机械系统元件、作旋转运

7、动的机械系统元件纯转动质量表示法纯转动质量表示法2210210212121)(1 ITdtIdtdITKtT2 const1I 机械系统中相当一部分运动是围绕固定轴或无加速度机械系统中相当一部分运动是围绕固定轴或无加速度轴的旋转运动，这些作旋转运动机械元件是轴的旋转运动，这些作旋转运动机械元件是旋转质量或惯旋转质量或惯量量、扭簧或旋转弹簧扭簧或旋转弹簧以及以及扭转式旋转阻尼扭转式旋转阻尼。与直线运动相。与直线运动相比较，所不同的只是旋转运动绕轴转动，而直线运动是沿比较，所不同的只是旋转运动绕轴转动，而直线运动是沿轴向运动，同时作用的是力矩而不是力。轴向运动，同时作用的是力矩而不是力。 （1 1

8、）纯转动质量或惯量基本方程及其图示法）纯转动质量或惯量基本方程及其图示法（2 2） 作旋转运动的纯弹簧作旋转运动的纯弹簧基本方程及其图示法基本方程及其图示法（3 3） 纯旋转阻尼纯旋转阻尼基本方程及其图示法基本方程及其图示法纯扭转弹簧表示法纯扭转弹簧表示法纯扭转阻尼表示法纯扭转阻尼表示法21KTT221200212121211 KKTTdtKTdtdTKpt CTCPCTCT22212121 功功率率或或2 1 CTT例例 2.1 试验确定转动惯量试验确定转动惯量 实验过程：把一刚体安装在无摩擦的轴系中，该转实验过程：把一刚体安装在无摩擦的轴系中，该转轴就是要确定刚体转动惯量的转轴。接着，刚体

9、轴与弹轴就是要确定刚体转动惯量的转轴。接着，刚体轴与弹性系数（性系数（k）已知的扭转弹簧连接（如图）已知的扭转弹簧连接（如图2-8）。使弹簧）。使弹簧做微小的扭转后释放，由此产生的简谐运动的周期就可做微小的扭转后释放，由此产生的简谐运动的周期就可以测量。由于该系统的运动方程为以测量。由于该系统的运动方程为22.4 22 0 0 kTJJkTJkJkkJnn 转转动动惯惯量量为为振振动动周周期期为为固固有有频频率率为为或或Jk 图图2-8 实验确定转动惯量装置实验确定转动惯量装置二、纯电气系统元件二、纯电气系统元件 与机械系统一样，描述电气系统，通常用类似的一组与机械系统一样，描述电气系统，通常

10、用类似的一组理想元件来代表电气元件，但仍保持要求的准确性。这些理想元件来代表电气元件，但仍保持要求的准确性。这些元件是：元件是：电容电容（把能量存储在电场内把能量存储在电场内），），电感电感（把能量存把能量存储在磁场内储在磁场内），），电阻电阻（消耗能量消耗能量）。）。1 1、理想电容、理想电容基本方程及其图示法基本方程及其图示法2210210212121)(1VCEVidtcVdtdVCiet 理想电容理想电容表示法表示法i2V1VC理想电感理想电感表示法表示法2002121211iLEidtVLidtdiLVmt iL2V1V2 2、理想电感、理想电感基本方程及其图示法基本方程及其图示法理

11、想电阻理想电阻表示法表示法R1V2Vi222121211 iRVRPRViiRV 功功率率或或3 3、理想电阻、理想电阻基本方程及其图示法基本方程及其图示法2.2 2.2 理想系统元件的相似性及广义化理想系统元件的相似性及广义化dtdiLVdtdFKv 2121 1 理想电感理想电感理想弹簧理想弹簧 观测到不同系统类型之间的很多相似点（数学关系）观测到不同系统类型之间的很多相似点（数学关系）是惊人的，更有趣的是这些系统有着共同的行为模式和变是惊人的，更有趣的是这些系统有着共同的行为模式和变量。例如理想质量和理想电容的基本方程：量。例如理想质量和理想电容的基本方程： 我们将两个理想元件的这种关系

12、叫做我们将两个理想元件的这种关系叫做相似性相似性。对于相。对于相似的理想元件，只要将变量比较，就可以得出其相似性，似的理想元件，只要将变量比较，就可以得出其相似性，在分析变量时将基本变量分为在分析变量时将基本变量分为通过变量通过变量和和跨越变量跨越变量。dtdVCidtdvmF2121 理理想想电电容容理理想想质质量量一、通过变量和跨越变量一、通过变量和跨越变量 变量是用来度量系统随时间的变化的量。变量是用来度量系统随时间的变化的量。 1 1 通过变量通过变量 f ：在元件两端具有相同的数值。如力、：在元件两端具有相同的数值。如力、力矩、电流、包括以后介绍的流体流量、热通量，测量时力矩、电流、

13、包括以后介绍的流体流量、热通量，测量时必须截断装置。必须截断装置。 2 2 跨越变量跨越变量 e ：用元件两端差值或相互关系来表示。：用元件两端差值或相互关系来表示。如速度、电压、压差、温度等，测量时必须跨接在元件的如速度、电压、压差、温度等，测量时必须跨接在元件的两端进行。两端进行。 对于已经介绍的三种系统，功和能从一个元件通过连对于已经介绍的三种系统，功和能从一个元件通过连接点传递给另一元件，元件间以功率的形式传递能量，我接点传递给另一元件，元件间以功率的形式传递能量，我们发现，们发现，功率都是通过变量和跨越变量的乘积功率都是通过变量和跨越变量的乘积。 在讨论基本元件时，我们已经把理想元件

14、分成在讨论基本元件时，我们已经把理想元件分成储能元储能元件和耗能元件件和耗能元件两类。其中的质量、转动惯量和电容通过它两类。其中的质量、转动惯量和电容通过它的跨越变量存储能量，我们叫它为的跨越变量存储能量，我们叫它为A A 型储能元件型储能元件；弹簧及；弹簧及电感靠通过变量来储能，我们叫它为电感靠通过变量来储能，我们叫它为B B 型储能元件型储能元件；阻尼；阻尼及电阻消耗能量，我们叫它为及电阻消耗能量，我们叫它为D D 型元件型元件。 我们也讨论了能量变换器，它们的输入功率和输出功我们也讨论了能量变换器，它们的输入功率和输出功率相等。对于这种装置，输入的通过变量和跨越变量的乘率相等。对于这种装

15、置，输入的通过变量和跨越变量的乘积等于输出的通过变量和跨越变量的乘积。积等于输出的通过变量和跨越变量的乘积。二二 、功和能、功和能三、广义化的元件方程三、广义化的元件方程A A型储能元件型储能元件B B 型储能元件型储能元件D D 型元件型元件dtdeCf21 22121eCEa dtdfLe 221fLEb fRe ReP221 通过变量为通过变量为 f，跨越变量为跨越变量为 e。2.3 2.3 动态系统的流体元件动态系统的流体元件 在工程领域中，液压系统是指采用液体的流体系统，在工程领域中，液压系统是指采用液体的流体系统，流体系统的数学模型一般是非线性的。然而，如果假设非流体系统的数学模型

16、一般是非线性的。然而，如果假设非线性系统在正常工作点附近工作，那么该系统在工作点附线性系统在正常工作点附近工作，那么该系统在工作点附近可以认为是线性的，数学模型可以线性化。在许多工程近可以认为是线性的，数学模型可以线性化。在许多工程中包含流体系统。如电站和能量转换系统（水电、热电站、中包含流体系统。如电站和能量转换系统（水电、热电站、内燃机、喷气发动机等）以及控制系统（自动车床、化工内燃机、喷气发动机等）以及控制系统（自动车床、化工生产、自动装置、飞机、导弹及船舶等）。生产、自动装置、飞机、导弹及船舶等）。 在讨论中，将直接模拟电器和机械系统元件。流体在讨论中，将直接模拟电器和机械系统元件。流

17、体系统的元件通常由管道连接起来组成网络。液体的流量与系统的元件通常由管道连接起来组成网络。液体的流量与电流相似，压力（压强）与电流相似，工作介质为液体。电流相似，压力（压强）与电流相似，工作介质为液体。一、压力和流量一、压力和流量 1 1、压力压力 指的是两点压差，对管来说往往只谈一点指的是两点压差，对管来说往往只谈一点压力而没有明显地表示出参考点。实际情况参考点往往取压力而没有明显地表示出参考点。实际情况参考点往往取大气压等形式。大气压等形式。 压力压力( (在物理学中称为在物理学中称为压强压强) )定义为作用与单位面积定义为作用与单位面积上的正压力上的正压力, ,如下图所示，以如下图所示，

18、以 p 表示压力，有：表示压力，有：ndFA 总总面面积积AddAdFpn 则在垂直于管中心线的管截面上则在垂直于管中心线的管截面上的轴向力的轴向力Fn为整个面积上的积分。为整个面积上的积分。AAnnpdAdFF 假如压力在这个面积假如压力在这个面积A上处处相等，则：上处处相等，则：pAFnpAdxdxFdwn流体通过流体通过A的体积为：的体积为：AdxdV 因而：因而：dVdwp 可见，可见，压力压力p如同电势，它是移动单位体积流体所作如同电势，它是移动单位体积流体所作的功的功。在讨论流体受力时，其压力在讨论流体受力时，其压力p时有参考点的（通常定时有参考点的（通常定为环境大气压），所以为环

19、境大气压），所以压力是一个跨越变量压力是一个跨越变量。 p如果是变化的，则压力如果是变化的，则压力p可定义为该截面上的平均压可定义为该截面上的平均压强。当流体沿强。当流体沿Fn或或p方向通过面积方向通过面积A，并使流体移动一段，并使流体移动一段距离距离dx，则力则力Fn所作的功为：所作的功为： 、流量流量（Q）是单位时间通过给定面积的流体量是单位时间通过给定面积的流体量（ ）。对于管路，这个面积是指管道的垂直面积。）。对于管路，这个面积是指管道的垂直面积。 即：即：AvdtAdLdtdVQ 其中，其中，V指流体体积，指流体体积，L指管长，指管长，v指流体流动的指流体流动的平均速度。可见，流量平

20、均速度。可见，流量Q与电流与电流 i 相似。相似。通常我们假定流体是不可压缩的，管道是刚性的，则通常我们假定流体是不可压缩的，管道是刚性的，则对于一个管道，进入一端管截面的流量必等于流出另一端对于一个管道，进入一端管截面的流量必等于流出另一端管截面的流量。可见，管截面的流量。可见，流量是一个通过变量流量是一个通过变量，测量时必须，测量时必须断开管道才能直接得到。断开管道才能直接得到。其跨越变量：其跨越变量：其通过变量：其通过变量：Q1221ppp 液压元件表示法液压元件表示法QQ1p2psm /33 3、功率及能量、功率及能量的的乘乘积积。是是通通过过变变量量和和跨跨越越变变量量功功率率可可得

21、得出出功功率率和和压压力力：由由式式PQpdtdVpdtdwPdtdVQdvdwp 二、纯流体系统元件二、纯流体系统元件 这些元件是：这些元件是：液容液容、液感液感和和液阻液阻。 1 1、纯液容纯液容 是与电气系统的电容和机械系统的质量具有十分是与电气系统的电容和机械系统的质量具有十分相似的一种元件，它是以液势能的形式储存能量的一种元件，在实相似的一种元件，它是以液势能的形式储存能量的一种元件，在实际系统中这样的元件有很多，最有代表性的是际系统中这样的元件有很多，最有代表性的是“油箱油箱”。 “油箱油箱”，这里介绍的油箱最简单的例子是开式油箱，在垂直，这里介绍的油箱最简单的例子是开式油箱，在垂

22、直力场的作用下，由箱体底部通过油管供油。力场的作用下，由箱体底部通过油管供油。重重力力H1p2pA面面积积Q 当有流动时，液体被压入系当有流动时，液体被压入系统，则有：统，则有：dtAdHQ 如果不考虑液体阻尼及加速如果不考虑液体阻尼及加速度的影响，则液体底部压差正好度的影响，则液体底部压差正好支持液体重量，即：支持液体重量，即：gHAgHAp 面面积积重重量量21开式油箱开式油箱gACf 为为重重力力加加速速度度为为流流体体密密度度其其中中：则则有有：gdtdpgAdtAdHQ 21 2210210210212121 )(1 pCQdtpEEpQdtCpdtdpgAdtAdHQftpptf

23、能能量量叫叫做做液液势势能能的的由由于于压压力力存存储储于于液液容容中中或或：得得到到纯纯液液容容的的基基本本方方程程 纯液容表示法纯液容表示法Qconstp 12pfC定义油箱液容为定义油箱液容为2p1pQl 假如液体不可压缩，无摩擦。假如液体不可压缩，无摩擦。 在管路中，管道的任何截面上的流量是一样的。如果在管路中，管道的任何截面上的流量是一样的。如果管道粗细均匀，速度沿截面分布均匀，我们可以说所有流管道粗细均匀，速度沿截面分布均匀，我们可以说所有流体质点具有相同的速度和加速度。体质点具有相同的速度和加速度。dtdQJdtdQAlpAvdtAdldtdVQdtdvAlppAFFdtdv 2

24、112)( / 所所以以：由由：为为所所需需的的力力为为产产生生液液体体质质量量加加速速度度： 2 2、纯液感、纯液感 和电感有着相似特性的流体元件为液感，和电感有着相似特性的流体元件为液感，当有外力加速管道火通道中的流体时，便产生液感。当有外力加速管道火通道中的流体时，便产生液感。Q。取取决决于于通通过过变变量量能能量量做做液液动动能能存存储储在在纯纯液液容容中中能能量量叫叫或或则则液液感感的的基基本本方方程程为为：称称为为液液感感把把：QEJQJQdQdtQpEEQdtpJQdtdQJpAlJkQQttkktbaba 21 1 221002121 实际管道是存在摩擦力的，只有流体加速度很大

25、时，实际管道是存在摩擦力的，只有流体加速度很大时，液感才起主导作用，而对于大管径管道中液阻急剧降低时液感才起主导作用，而对于大管径管道中液阻急剧降低时液感起较大作用。液感起较大作用。液感表示法液感表示法QJ2p1p 3 3、纯液阻、纯液阻 在液压系统中有四种常见的液阻。在液压系统中有四种常见的液阻。 （1 1）不可压缩流体通过多孔芯）不可压缩流体通过多孔芯：如图所示。：如图所示。QQ2p1pfR 该情况与电阻的欧姆定律相该情况与电阻的欧姆定律相似，达西定律有似，达西定律有:QRpf 21 大大小小有有关关。尺尺寸寸，并并常常常常与与压压差差的的取取决决于于多多孔孔芯芯的的几几何何液液阻阻fR

26、（2 2）不可压缩流体通过长毛细管不可压缩流体通过长毛细管：如图所示。：如图所示。QQ2p1pfR 应用哈根应用哈根泊松定律有泊松定律有:为为液液体体的的绝绝对对粘粘度度其其中中： , 128 421 dlRQRpff （3 3）不可压缩流体通过长管）不可压缩流体通过长管 如果通过管道的流速很大，雷诺数如果通过管道的流速很大，雷诺数Re大于大于20002000，这时，层流毛，这时，层流毛细管方程细管方程 当雷诺数当雷诺数R Re e大于大于50005000时，流动为紊流，便有如下近似方程：时，流动为紊流，便有如下近似方程：不不再再通通用用。其其中中： ) 128 ( 421dlRQRpff 4

27、321 QQapt 式中式中at 为一常数，取决于变为紊流时的流量，管道尺寸、液体为一常数，取决于变为紊流时的流量，管道尺寸、液体的性质（的性质（、）及管道内壁的粗糙度。）及管道内壁的粗糙度。 （4）不可压缩流体通过节流孔不可压缩流体通过节流孔，如图所示。，如图所示。QQ2p1p0A）（锐锐孔孔为为 流流量量系系数数 式式中中：62.0 22020021：ddCACaQQap 2.4 2.4 变换器变换器一、机械变换器一、机械变换器 以上讨论了两种形式的机械系统元件，一种积聚能量，以上讨论了两种形式的机械系统元件，一种积聚能量，另一种消耗能量。而机械变换器作为第三种形式的机械系另一种消耗能量。

28、而机械变换器作为第三种形式的机械系统元件，既不储能，也不耗能，而是转换能量。统元件，既不储能，也不耗能，而是转换能量。 在机械系统中，许多机械装置可以近似地用理想变换在机械系统中，许多机械装置可以近似地用理想变换器表示。如带及链传动、凸轮系统、间歇运动装置及连杆器表示。如带及链传动、凸轮系统、间歇运动装置及连杆机构等。机构等。 使用这些装置的作用无非有以下几个方面：使用这些装置的作用无非有以下几个方面： 改变转速速比（增速或减速）改变转速速比（增速或减速）“传递运动传递运动”， 将均匀的运动变成不均匀的运动，将均匀的运动变成不均匀的运动， 改变力矩，改变力矩， 改变运动形式等。改变运动形式等。

29、 机械换能器很多，下面举例介绍齿轮齿条机构，假机械换能器很多，下面举例介绍齿轮齿条机构，假设齿轮齿条啮合准确，都是刚体，则：齿条移动距离应当设齿轮齿条啮合准确，都是刚体，则：齿条移动距离应当等于齿轮节园转过的弧长。即：等于齿轮节园转过的弧长。即：齿轮齿条传动齿轮齿条传动ara aTbFbvnrFTnrvdt rdtvabaaabaab1 传传动动比比二、二、电气变换器（电气变换器（纯变压器）纯变压器）)( 2143匝数比匝数比nNNVVab 一个理想变压器不存储也不消耗能量。输出电压和输一个理想变压器不存储也不消耗能量。输出电压和输入电压呈线性关系，如图所示变压器，满足电压比入电压呈线性关系，

30、如图所示变压器，满足电压比 如果铁心磁导率很大，无电容影响，无能耗，则输入如果铁心磁导率很大，无电容影响，无能耗，则输入和输出两端的功率相等，即：和输出两端的功率相等，即：则则：可见该元件与机械旋转变换器原理相近。可见该元件与机械旋转变换器原理相近。理想变压器理想变压器432V1bNaNbNaN1V4V3V04321ViVibanVViiab1/4321 2三、流体变换器三、流体变换器端活塞面积端活塞面积端活塞面积端活塞面积端压力端压力端压力端压力环境压力环境压力 421bAaAbpappba 端流体体积端流体体积端流量；端流量；端流体体积；端流体体积；端流量端流量 ; bVbQaVaQbba

31、a ; 端端流流体体体体积积；端端流流量量aVaQaa 纯流体变换器的净功率为零。假设活塞纯流体变换器的净功率为零。假设活塞a、b与腔壁间与腔壁间无漏损，并忽视其间的摩擦力，两活塞刚性连接，活塞间无漏损，并忽视其间的摩擦力，两活塞刚性连接，活塞间的的腔室是开式的。图中：腔室是开式的。图中：端流体体积。端流体体积。端流量；端流量； bVbQbb nAAppApApbaba / 21412141即即由由力力平平衡衡得得：nAAVVQQababab/1/ 由运动速度相等，得：由运动速度相等，得：四、换能器四、换能器 换能器是把一种形式的能量或功率转换为另一种形式换能器是把一种形式的能量或功率转换为另

32、一种形式的能量或功率的变换器。一个纯换能器完成这个功能时没的能量或功率的变换器。一个纯换能器完成这个功能时没有能量的损失或积聚。即不消耗能量、不储存能量。有能量的损失或积聚。即不消耗能量、不储存能量。 一些具有换能器特征的系统有：发电机、电动机、透一些具有换能器特征的系统有：发电机、电动机、透平机、液压泵、热电偶、压电材料等。平机、液压泵、热电偶、压电材料等。 对于复杂系统，机对于复杂系统，机电、机电、机液、液、电电机、液机、液机、机、热热电电等子系统间的能量转化均采用换能器进行能量或功等子系统间的能量转化均采用换能器进行能量或功率的转换。率的转换。 各子系统间的变量偶合也是通过换能器进行转换

33、。各子系统间的变量偶合也是通过换能器进行转换。 由于换能器种类繁多，以下简要介绍电气由于换能器种类繁多，以下简要介绍电气机械换能机械换能器的典型实例器的典型实例电动机。电动机。换能器实例换能器实例电动机电动机 电动机就是一种电气电动机就是一种电气机械变换器，如图所示，这个装置把机械变换器，如图所示，这个装置把电流转换成力矩，把电压转换成转速，也可以相反。电动机转子电流转换成力矩，把电压转换成转速，也可以相反。电动机转子由由N匝的线圈绕在铁心轴上，电动机定子由磁极组成，中间有一定匝的线圈绕在铁心轴上，电动机定子由磁极组成，中间有一定的气隙，产生一个磁感应强度为的气隙，产生一个磁感应强度为B的径向

34、磁场。的径向磁场。 由于电流和磁场的相互作用，产生一个力矩由于电流和磁场的相互作用，产生一个力矩Tb 其中：其中：B：磁感应强度；：磁感应强度； 2NL：导体在磁场中的总长度；：导体在磁场中的总长度； rc：线圈半径：线圈半径 令令 n称为变换比或电气称为变换比或电气机械耦合常数。由法拉第定律：机械耦合常数。由法拉第定律： 如果不考虑其功率损耗，则：如果不考虑其功率损耗，则：NSaacbiniNBLrT12 cNBLrn21 212121nVVNBLrc baTVi21电动机转子和定子电动机转子和定子2.5 2.5 基本动态系统分析基本动态系统分析一、两个理想元件的连接一、两个理想元件的连接

35、为了能够对复杂系统进行数学建模，本节介绍简单系为了能够对复杂系统进行数学建模，本节介绍简单系统分析法建模的基本知识及简单系统的动态特性分析。为统分析法建模的基本知识及简单系统的动态特性分析。为了掌握其分析建模规律，首先要正确分析系统的连接。这了掌握其分析建模规律，首先要正确分析系统的连接。这里讨论最简单的两个元件组成的动态系统，以引出一些基里讨论最简单的两个元件组成的动态系统，以引出一些基本概念和解决问题的思路。本概念和解决问题的思路。ciRiCRi21RCciRi123电阻和电容的并联和串联电阻和电容的并联和串联i 电阻和电容有两种接法：一种是共电压（并联），另电阻和电容有两种接法：一种是共

36、电压（并联），另一种是供电流（串联），如下图所示。一种是供电流（串联），如下图所示。mCmCF12213F 质量和阻尼的连接有如下图所示的并联（两个元件质量和阻尼的连接有如下图所示的并联（两个元件具有相同的速度）和串联（两个元件具有相同的力）。具有相同的速度）和串联（两个元件具有相同的力）。质量和阻尼的连接质量和阻尼的连接并联并联串联串联 在分析机械系统的连接时需要注意的是质量的一端在分析机械系统的连接时需要注意的是质量的一端参考点（地，或无加速度点），质量和地之间不存在实际参考点（地，或无加速度点），质量和地之间不存在实际连接，所以没有力从质量传递到地，实际的力传递是通过连接，所以没有力从质

37、量传递到地，实际的力传递是通过惯性力作用于地或其它参考系上。惯性力作用于地或其它参考系上。二、动态系统的主导关系二、动态系统的主导关系 系统分析时，利用简单的理想化系统元件，它们的方系统分析时，利用简单的理想化系统元件，它们的方程式已知的，当这些元件互相连接时，要满足两个重要的程式已知的，当这些元件互相连接时，要满足两个重要的条件，这两个条件叫做条件，这两个条件叫做相容性相容性和和连续性连续性。 因此，在系统分析时，要用到以下的几个条件：因此，在系统分析时，要用到以下的几个条件： （1）描述元件特性的元件方程）描述元件特性的元件方程； （2）跨越变量的相容性条件）跨越变量的相容性条件； （3）

38、通过变量的连续性条件）通过变量的连续性条件。 跨越变量的相容性跨越变量的相容性：要求多个元件串联时，在连接点：要求多个元件串联时，在连接点处的跨越变量相等，多个元件串联时的端点的跨越变量等处的跨越变量相等，多个元件串联时的端点的跨越变量等于每个元件两端的跨越变量的总和。在机械系统中，相容于每个元件两端的跨越变量的总和。在机械系统中，相容性的概念是限制运动的几何约束；在电路中，要求封闭回性的概念是限制运动的几何约束；在电路中，要求封闭回路各元件压降之和为零（基尔霍夫电压定律）。路各元件压降之和为零（基尔霍夫电压定律）。 通过变量的连续性通过变量的连续性：表示在一个多元件系统中，通过：表示在一个多

39、元件系统中，通过变量的守恒。例如在一个电路或一个机械网络中的电流或变量的守恒。例如在一个电路或一个机械网络中的电流或力是守恒的，相当于基尔霍夫电流定律。力是守恒的，相当于基尔霍夫电流定律。 对于一个系统，当系统已经剖析到理想元件程度并且对于一个系统，当系统已经剖析到理想元件程度并且网络结构确定时，在考虑到相容性和连续性要求时，利用网络结构确定时，在考虑到相容性和连续性要求时，利用元件的基本关系（基本方程）就可以建立动态系统的元件的基本关系（基本方程）就可以建立动态系统的微分微分方程方程。三、建立系统微分方程三、建立系统微分方程 对于如图所示的系统，系统输入为电流对于如图所示的系统，系统输入为电

40、流 i，输出为元，输出为元件电压。件电压。ciRiCRi21iRC并联电路并联电路RVidtdVCiiiiVVVVRRcCRCRC 12理理想想电电阻阻理理想想电电容容元元件件方方程程：连连续续性性相相容容性性： ：RVdtdVCi 于是系统方程为：于是系统方程为：1 1、运用动态系统的主导关系建立系统微分方程、运用动态系统的主导关系建立系统微分方程2 2、运用能量法获得系统方程运用能量法获得系统方程电容储能为：电容储能为： 功率为：功率为：电阻功率为：电阻功率为：系统输入功率为：系统输入功率为：又能量守恒定律：又能量守恒定律：得：得：即得：即得：221CVEC dtdVCVdtdEC RVd

41、tdER2 iVdtdEi dtdEdtdEdtdERCi RVdtdVCViV2 RVdtdVCi 3 3、多个元件的动态系统、多个元件的动态系统 由于系统元件越多，微分方程将越复杂，可能出现多阶微分方由于系统元件越多，微分方程将越复杂，可能出现多阶微分方程。程。 如果系统中只有一个储能元件，则系统仍然是一阶的。如下图如果系统中只有一个储能元件，则系统仍然是一阶的。如下图所示的系统，系统只有一个储能元件。列出方程：所示的系统，系统只有一个储能元件。列出方程：F1C2CKFvCFCKvdtdFKvCFCFFFFvvvckckcc 202221212111122012:阻阻尼尼弹弹簧簧阻阻尼尼元

42、元件件特特性性方方程程连连续续性性相相容容性性： 将以上各式联立可得输入将以上各式联立可得输入 F与输出与输出v 的输出方程为的输出方程为1 2 0 )()(1221KvdtdvCCKFdtdFCC 如果系统中出现两个不同类储能元件，则方程就是二如果系统中出现两个不同类储能元件，则方程就是二阶的，即最高阶导数为二阶。阶的，即最高阶导数为二阶。 如下图所示的电路，输入为如下图所示的电路，输入为e，输出为，输出为V，对该系统，对该系统可列出方程：可列出方程：eRLCdtdVCidtdiLVRViiiiVVecLRRCLRR :电电容容电电感感电电阻阻元元件件方方程程连连续续性性相相容容性性： 将以

43、上各式联立可得将以上各式联立可得dtdeRLVdtdVdtVdC12122 四、基本动态系统分析四、基本动态系统分析1 1、初始条件、初始条件 动态系统微分方程求解伴随着大量的积分运算，进动态系统微分方程求解伴随着大量的积分运算，进行积分运算必须确认初始条件。行积分运算必须确认初始条件。 这样，必须总结一下系统元件的初始条件情况，对突这样，必须总结一下系统元件的初始条件情况，对突然变化时的元件特性作一总结：然变化时的元件特性作一总结： （1 1） 惯性元件如质量、惯量、电容和液容等，其跨惯性元件如质量、惯量、电容和液容等，其跨越变量不可能产生突变，除非受到无穷大的通过变量作用。越变量不可能产生

44、突变，除非受到无穷大的通过变量作用。 （2 2）感性元件如弹簧、电感和液感等，其通过变量不）感性元件如弹簧、电感和液感等，其通过变量不可能产生突变，除非加上一个无穷大的跨越变量。可能产生突变，除非加上一个无穷大的跨越变量。 （3 3）耗能元件的通过变量和跨越变量能否产生突变不）耗能元件的通过变量和跨越变量能否产生突变不确定，需要考虑该元件在回路的相邻元件特性。确定，需要考虑该元件在回路的相邻元件特性。2 2、系统分析、系统分析（1 1）一阶线性系统阶越响应）一阶线性系统阶越响应（RC并联回路阶跃响应）并联回路阶跃响应）时时，（考考虑虑式式：00 VtiRVdtdVC）（，）（，电流源（阶跃函数

45、）电流源（阶跃函数）假设系统加上一个突变假设系统加上一个突变，简化为：简化为：0 0 0 0 T tVIRVIitViiRVRCTVVdtdVffffciRiCRi21i)-(1)-(1 )(ln )ln(ln )(ln 000Tt-Tt-fTt-ffffffVfVtfffeIReVVeVVVTt-VVVTtVVVTtVVTtTdtVVdVTdtVVdVVVdtdVT 式式：取取积积分分得得到到自自然然对对数数形形得得：右图为输出右图为输出V的时间响应。的时间响应。Vt分离，得：分离，得：在这种情况下，变量可在这种情况下，变量可 0（2 2） 二阶系统正弦激励响应二阶系统正弦激励响应tSinp

46、kxxCxm 0. 由常微分方程理论知道，方程的解由常微分方程理论知道，方程的解x由相应的齐次方由相应的齐次方程的通解程的通解xh和非齐次方程的任意特解和非齐次方程的任意特解xp两部分组成，即：两部分组成，即：)()()(txtxtxph 式中式中xh为有阻尼的自由振动，它的特点是振动频率为为有阻尼的自由振动，它的特点是振动频率为无阻尼固有频率，式中无阻尼固有频率，式中xp是一种持续的等幅振动，它是由是一种持续的等幅振动，它是由于简谐激振力的持续作用而产生的，称为稳态受迫振动。于简谐激振力的持续作用而产生的，称为稳态受迫振动。 弹簧、质量、阻尼单自由度系统，质量块上作用有简弹簧、质量、阻尼单自

47、由度系统，质量块上作用有简谐激振力谐激振力 P( t )=P0Sint ，质量为，质量为m，弹簧的弹性系数为，弹簧的弹性系数为K，粘性阻尼器的阻尼系数为，粘性阻尼器的阻尼系数为C，分析其动力学特性。，分析其动力学特性。 从力的平衡可以得到系统的运动微分方程为：从力的平衡可以得到系统的运动微分方程为： 其稳态振动的解为：其稳态振动的解为：相相对对阻阻尼尼系系数数频频率率比比式式中中： mK2C 12arctg )2()1(1 )(22220 nKPAtASinx 幅频特性可以通过振幅放大率幅频特性可以通过振幅放大率 和频率比和频率比 来来分析分析kPAAAstst/ /0 222)2()1(1

48、幅频响应曲线幅频响应曲线 相频响应曲线相频响应曲线 对于单自由度系统，激励频率越高，对于单自由度系统，激励频率越高，系统响应的振幅放大倍数越小。系统响应的振幅放大倍数越小。 控制系统调试中将系统工作频率区域控制系统调试中将系统工作频率区域尽快穿越系统固有频率，达到系统更稳定尽快穿越系统固有频率，达到系统更稳定的工作频率区域。的工作频率区域。=1=1时，无相位差；时，无相位差； 1 1时，振动位移与激励相位相反。时，振动位移与激励相位相反。222)2()1(1 n 0 1 .0 2 .0 0 3 .0 2 .0 4 .0 n 212arctg 2.6 2.6 连续系统的数学模型形式连续系统的数学

49、模型形式 连续系统广泛存在于航空、航天、动力、控制、化工连续系统广泛存在于航空、航天、动力、控制、化工等领域中。描述连续系统的连续时间数学模型主要有等领域中。描述连续系统的连续时间数学模型主要有微分微分方程方程、传递函数传递函数、权函数权函数、状态空间表达式等形式状态空间表达式等形式。 连续时间模型：连续时间模型： 假定一个系统的输入量假定一个系统的输入量u(t)、输出量、输出量y(t)及内部状态变量及内部状态变量x(t)都是时间都是时间 t 的连续函数，常用如下的连续函数，常用如下四种模型形式。四种模型形式。一、一、 微分方程微分方程（微微分分算算子子）式式中中：即即 )()( )()( )

50、()()()()()(1)2(1)1(0)1(1)(221110111dtdptucpcpctyapaptucdttudcdttudctyadttydadttydnnnnnnnnnnnnnnnn 二、传递函数二、传递函数拉普拉斯算子拉普拉斯算子式中，式中， sasascscscsUsYsGnnnnnn1112110)()()( 线性常微分方程系统的传递函数定义为：在线性常微分方程系统的传递函数定义为：在全部初始全部初始状态为零状态为零的假设下，输出量（响应函数）的拉普拉斯变换的假设下，输出量（响应函数）的拉普拉斯变换与输入量（驱动函数）的拉普拉斯变换之比。与输入量（驱动函数）的拉普拉斯变换之比

51、。 考虑上述微分方程描述的线性定常系统，在全部初始考虑上述微分方程描述的线性定常系统，在全部初始状态为零时，输出量与输入量的拉普拉斯变换之比，就是状态为零时，输出量与输入量的拉普拉斯变换之比，就是这个系统的传递函数：这个系统的传递函数： 利用传递函数的概念，可以用以利用传递函数的概念，可以用以s为变量的代数方程为变量的代数方程表示系统的动态特性。如果传递函数的分母中表示系统的动态特性。如果传递函数的分母中s的最高阶的最高阶次为次为n，则该系统为，则该系统为n阶系统。阶系统。例例2.2 2.2 机械系统传递函数机械系统传递函数 下面研究图下面研究图4-1所示的卫星姿态控制系统，该图仅表示了偏航所

52、示的卫星姿态控制系统，该图仅表示了偏航角角的控制（在实际系统中，存在围绕三个轴的控制）。小型喷气的控制（在实际系统中，存在围绕三个轴的控制）。小型喷气发动机施加反作用力，将卫星体转动到要求的姿态。两个斜对称配发动机施加反作用力，将卫星体转动到要求的姿态。两个斜对称配置的喷气发动机用置的喷气发动机用A和和B来表示，它们成对地工作。假设每一个喷来表示，它们成对地工作。假设每一个喷气发动机的推力为气发动机的推力为F/2，并且作用到系统上的力矩为，并且作用到系统上的力矩为T=Fl。喷气发。喷气发动机在一定的持续时间内产生作用，所以力矩可以写成动机在一定的持续时间内产生作用，所以力矩可以写成T(t)。在

53、质。在质量中心，围绕转动轴的转动惯量为量中心，围绕转动轴的转动惯量为J。 ll2F2FAABB质心质心卫星姿态控制原理图卫星姿态控制原理图 假设力矩假设力矩T( t )为输入量，卫星姿态角为输入量，卫星姿态角位移位移( t )为输出量，下面求系统的传递为输出量，下面求系统的传递函数。函数。 为了导出传递函数，执行下列步骤为了导出传递函数，执行下列步骤 1、写出系统微分方程。、写出系统微分方程。 2、假设全部初始条件为零，对微、假设全部初始条件为零，对微分方程进行拉普拉斯变换。分方程进行拉普拉斯变换。 3、求输出与输入量拉氏变换的比，、求输出与输入量拉氏变换的比，该比值就是传递函数。该比值就是传

54、递函数。 对该系统应用牛顿第二定律，注意到卫星周围不存在对该系统应用牛顿第二定律，注意到卫星周围不存在摩擦，有摩擦，有22dtdJT 对上述方程两端进行拉氏变换，并假设全部初始条件对上述方程两端进行拉氏变换，并假设全部初始条件为零，得：为零，得：)()(2sJssT 系统的传递函数为：系统的传递函数为：21)()()(JssTssG 例例2.3 液压伺服马达液压伺服马达 为了推导如图所示液压伺服马达的数学模型，我们为了推导如图所示液压伺服马达的数学模型，我们假设液压流体不可压缩，活塞的惯性力及其受载相对其假设液压流体不可压缩，活塞的惯性力及其受载相对其液压力可以忽略不计，导阀为无重叠阀，液压油

55、流量与液压力可以忽略不计，导阀为无重叠阀，液压油流量与导阀的位移成正比。导阀的位移成正比。 液压伺服马达工作如下：液压伺服马达工作如下：导阀右移导阀右移x作为输入，口作为输入，口1打打开，高压油进入活塞右侧。开，高压油进入活塞右侧。由于口由于口2与排泄口相连，活与排泄口相连，活塞左侧的液压油从排泄口流塞左侧的液压油从排泄口流回。流入液压缸的油处于高回。流入液压缸的油处于高压，流出液压缸到排泄口的压，流出液压缸到排泄口的油处于低压，活塞两侧所产油处于低压，活塞两侧所产生的压力差使得活塞向左移生的压力差使得活塞向左移动。动。液压伺服马达液压伺服马达2p1p2Q1Qxy0psp0p21tQyAdd1

56、 注意到流体流量注意到流体流量Q1 与时间与时间dt (s)的乘积等于活塞位移的乘积等于活塞位移dy的乘积，即的乘积，即给定流量给定流量Q1与导阀的位移与导阀的位移x成正比，比例常数为成正比，比例常数为K1，即，即xKQ11 得到得到xKtyA1dd 对上式做拉普拉斯变换，并设初始条件为对上式做拉普拉斯变换，并设初始条件为0，得，得 X(s)(1KsAsY 或或sKAsKsXsYsG 1)()()(式中式中K=K1/A。所以，上图的液压马达为积分控制器。所以，上图的液压马达为积分控制器。例例2.4 缓冲器缓冲器如右图所示缓冲器（又称减振器），推导位移如右图所示缓冲器（又称减振器），推导位移 y

57、 和位和位移移 x 之间的传递函数。之间的传递函数。缓冲器缓冲器 设活塞右侧和左侧设活塞右侧和左侧的油压分别为的油压分别为 P1 和和 P2 ，忽略惯性力，那么作用忽略惯性力，那么作用在活塞上的力必须和弹在活塞上的力必须和弹簧力平衡。所以有簧力平衡。所以有kyPPA )(21式中：式中：A活塞面积；活塞面积；k弹簧弹性系数。弹簧弹性系数。通过节流装置的流量为通过节流装置的流量为RPPQ21 式中：式中：R节流装置处的液阻。节流装置处的液阻。2p1pARQxyk 由于流量守恒，且在由于流量守恒，且在dt 时间内时间内 x 和和 y 位移为位移为dx 和和dy，有有)dd(dyxAtq 变化为变化

58、为221)dddd(RAkyRAPPAqtytx 或或2ddddRAkytytx 通过拉氏变换，得到通过拉氏变换，得到1 TsTsX(s)Y(s)定义时间常数定义时间常数kRAT2 三、脉冲响应函数三、脉冲响应函数 考虑当初始条件为零时，系统在单位脉冲输入量作用考虑当初始条件为零时，系统在单位脉冲输入量作用下的输出（响应）。因为单位脉冲函数的拉氏变换为下的输出（响应）。因为单位脉冲函数的拉氏变换为1，所以系统输出量的拉氏变换为：所以系统输出量的拉氏变换为：)()(sGsY 对上述方程给出的输出量进行拉氏反变换，可以得到对上述方程给出的输出量进行拉氏反变换，可以得到系统的脉冲响应。系统的脉冲响应。G(s)的拉氏反变换，即的拉氏反变换，即 )()(1tgsG L称为脉冲响应函数，函数称为脉冲响应函数，函数g(t)称为系统的称为系统的权函数权函数。 因此，脉冲响应函数因此，脉冲响应函数g(t)是当初始条件为零时，线性系统对单是当初始条件为零时，线性系统对单位脉冲输入的响应，该函数的拉氏变换就是传递函数。所以，线性位脉冲输入的响应，该函数的拉氏变换就是传递函数。所以，线性定常系统的传递函数和脉冲响应函数包含关于系统动态特性的相同定常系