第十五章 屈服准则

1、烟台烟台大学大学环境与环境与材料工程学院制作材料工程学院制作第十五章第十五章 屈服准则屈服准则烟台大学环境与材料工程学院制作普通高等教育“十一五”国家级规划教材材料成形基本原理材料成形基本原理塑性力学是建立在实验基础之上的。通过对实验塑性力学是建立在实验基础之上的。通过对实验结果的归纳总结，并提出合理的假设和简化模型，结果的归纳总结，并提出合理的假设和简化模型，从而可以建立塑性力学基本方程。屈服准则从而可以建立塑性力学基本方程。屈服准则（Yield Criterion）是塑性力学基本方程之一，）是塑性力学基本方程之一，它是判断材料从弹性状态进入塑性状态的判据。它是判断材料从弹性状态进入塑性状态

2、的判据。本章主要讨论金属材料最常用的两个屈服准则本章主要讨论金属材料最常用的两个屈服准则屈雷斯加屈服准则屈雷斯加屈服准则和和密塞斯屈服准则密塞斯屈服准则。 烟台大学环境与材料工程学院制作普通高等教育“十一五”国家级规划教材材料成形基本原理材料成形基本原理主要内容主要内容 第一节第一节 材料真实应力材料真实应力-应变曲线及材料模型应变曲线及材料模型 第二节第二节 理想塑性材料的屈服准则理想塑性材料的屈服准则 第三节第三节 屈服准则的几何表达屈服准则的几何表达 第四节第四节 两个屈服准则的统一表达式两个屈服准则的统一表达式 第五节第五节 应变硬化材料的屈服与加载表面应变硬化材料的屈服与加载表面 烟

3、台大学环境与材料工程学院制作普通高等教育“十一五”国家级规划教材材料成形基本原理材料成形基本原理一、拉伸图和条件应力一、拉伸图和条件应力-应变曲线应变曲线二、拉伸真实应力二、拉伸真实应力-应变曲线应变曲线三、拉伸真实应力三、拉伸真实应力-应变曲线的塑性失稳点特性应变曲线的塑性失稳点特性四、材料模型四、材料模型第一节第一节 材料真实应力材料真实应力-应变曲线及材料模型应变曲线及材料模型烟台大学环境与材料工程学院制作普通高等教育“十一五”国家级规划教材材料成形基本原理材料成形基本原理 材料真实应力材料真实应力-应变曲线是建立塑性理论的重要依据，通应变曲线是建立塑性理论的重要依据，通常采用单向拉伸或

4、单向压缩实验来确定这种曲线。常采用单向拉伸或单向压缩实验来确定这种曲线。一、拉伸图和条件应力-应变曲线 室温下在万能材料拉伸机上准静态拉伸室温下在万能材料拉伸机上准静态拉伸（ /S）标准试样，记录下来的拉伸力）标准试样，记录下来的拉伸力 与与试样标距的绝对伸长试样标距的绝对伸长 之间的关系曲线称为拉伸图。之间的关系曲线称为拉伸图。Pl 2 10-3烟台大学环境与材料工程学院制作普通高等教育“十一五”国家级规划教材材料成形基本原理材料成形基本原理烟台大学环境与材料工程学院制作普通高等教育“十一五”国家级规划教材材料成形基本原理材料成形基本原理0A0l0若试样的初始横截面面积为 ，标距长为 ，则条

5、件应力 （名义应力）和相对伸长 （条件应变） 为00AP0ll（15-1）0Pl 如果用 和 替代 和 ，曲线形状不发生变化，只是改变刻度大小，可以很方便地将拉伸图变化为条件应力-应变曲线。（1） 弹性变形阶段Oe （2） 均匀塑性变形阶段eb （3） 局部塑性变形阶段bk 烟台大学环境与材料工程学院制作普通高等教育“十一五”国家级规划教材材料成形基本原理材料成形基本原理二、拉伸真实应力二、拉伸真实应力-应变曲线应变曲线 由于试样的瞬时截面面积与原始截面面积有如下关系：由于试样的瞬时截面面积与原始截面面积有如下关系：APY 000)(lAllA)1 ()1 (00APY1. 真实应力真实应力

6、试样瞬时横截面试样瞬时横截面 A 上所作用的应力上所作用的应力 Y 称为真实应力，称为真实应力， 亦称为流亦称为流动应力。动应力。所以所以（15-2）（15-3） 烟台大学环境与材料工程学院制作普通高等教育“十一五”国家级规划教材材料成形基本原理材料成形基本原理2. 真实应变 设初始长度为 l0 的试样在变形过程中某时刻的长度为l， 定义真实变为 ： )1ln(ln0ll（15-4）3. 真实应力-应变曲线 在均匀变形阶段，根据式（15-3）和（15-4）将条件应力-应变曲线直接变换成真实应力-应变曲线，即Y-曲线，如图15-2所示。在b点以后，由于出现缩颈，不再是均匀变形，上述公式不再成立。

7、因此，b点以后的曲线只能近似作出。一般记录下断裂点k的试样横截面面积 ，按下式计算k点的真实应力-应变曲线。KAKKKAPY（15-5）KAA0ln=这样便可作出曲线的段 。 kb烟台大学环境与材料工程学院制作普通高等教育“十一五”国家级规划教材材料成形基本原理材料成形基本原理图15-2 拉伸实验曲线a) 条件应力-应变曲线 b) 真实应力-应变曲线烟台大学环境与材料工程学院制作普通高等教育“十一五”国家级规划教材材料成形基本原理材料成形基本原理 但由于出现缩颈后，试样的形状发生了明显的变化，缩颈部位应但由于出现缩颈后，试样的形状发生了明显的变化，缩颈部位应力状态已变为三向拉应力状态，实验表明

8、，缩颈断面上的径向应力和力状态已变为三向拉应力状态，实验表明，缩颈断面上的径向应力和轴向应力的分布如图轴向应力的分布如图15-3。 图15-3 缩颈处断面上的应力分布烟台大学环境与材料工程学院制作普通高等教育“十一五”国家级规划教材材料成形基本原理材料成形基本原理三、拉伸真实应力-应变曲线的塑性失稳点特性YAP 0)d(dddd00eAYYeAAYYAP0dd YYddYYb在在Y-曲线上，由于曲线上，由于AAll00lnln=所以A=A0 e - 在塑性失稳点（如图在塑性失稳点（如图15-1的的b点），当载荷点），当载荷P有极大值，即有极大值，即dp=0 ，且由于且由于 ，则有，则有因此在失

9、稳点因此在失稳点b处处化简得 烟台大学环境与材料工程学院制作普通高等教育“十一五”国家级规划教材材料成形基本原理材料成形基本原理 上式的意义如图上式的意义如图15-4，表示在曲线表示在曲线Y-Y-上，失稳点上，失稳点所作的切线的斜率为所作的切线的斜率为Y Yb b，该，该斜线与横坐标轴的交点到失斜线与横坐标轴的交点到失稳点横坐标的距离为稳点横坐标的距离为 = 1 = 1。 图15-4 曲线的失稳点特性烟台大学环境与材料工程学院制作普通高等教育“十一五”国家级规划教材材料成形基本原理材料成形基本原理 实验所得的真实应力实验所得的真实应力-应变曲线一般都不是简单的函数关系。在解决实际应变曲线一般都

10、不是简单的函数关系。在解决实际塑性成形问题时，为便于计算，常采用一些简化的材料模型，如图塑性成形问题时，为便于计算，常采用一些简化的材料模型，如图 四、材料模型 图15-5 真实应力-应变曲线的简化类型a) 指数硬化曲线 b) 刚塑性硬化曲线 c) 刚塑性硬化直线 d) 理想刚塑性水平直线 a) b)c)d)烟台大学环境与材料工程学院制作普通高等教育“十一五”国家级规划教材材料成形基本原理材料成形基本原理（一）指数硬化型大多数工程金属在室温下都有加工硬化，其真实应力-应变曲线近似于抛物线形状，如图15-5a，可用指数方程表达。 （15-8）Y=Bn式中，B是强度系数；n是硬化指数。B和n的值可

11、用失稳点的特性确定如下，对上式求导数，得1ddnnBY根据失稳点的特性 1ddnbbnBYY烟台大学环境与材料工程学院制作普通高等教育“十一五”国家级规划教材材料成形基本原理材料成形基本原理 硬化指数硬化指数 n 是表明材料加工硬化特性的一个重要参数，是表明材料加工硬化特性的一个重要参数，n 值越大，值越大，说明材料的应变强化能力越强。对金属材料，说明材料的应变强化能力越强。对金属材料，n 的范围是的范围是0n1。B B与与n n不仅与材料的化学成分有关，而且与其热处理状态有关，常用材不仅与材料的化学成分有关，而且与其热处理状态有关，常用材料的和可查相关手册。料的和可查相关手册。 又有又有比较

12、上述两式，可得Yb= Bbn（15-9）n = bbbbYB烟台大学环境与材料工程学院制作普通高等教育“十一五”国家级规划教材材料成形基本原理材料成形基本原理（二）有初始屈服应力的刚塑性硬化曲线型由于与塑性变形相比，弹性变形很小，可忽略，如图由于与塑性变形相比，弹性变形很小，可忽略，如图15-5b。所以，该形式为刚塑性硬化曲线型。所以，该形式为刚塑性硬化曲线型。s当有初始屈服应力当有初始屈服应力 时，其真实应力时，其真实应力-应变曲线可表达为应变曲线可表达为（15-10）1Bm式中，式中， 、 是与材料性能有关的参数。是与材料性能有关的参数。msBY1烟台大学环境与材料工程学院制作普通高等教育

13、“十一五”国家级规划教材材料成形基本原理材料成形基本原理（三）有初始屈服应力的刚塑性硬化直线型 为了简化计算，可用直线代替硬化曲线，如图为了简化计算，可用直线代替硬化曲线，如图15-5c，则为线性硬，则为线性硬化形式，其真实应力化形式，其真实应力-应变曲线表达式为应变曲线表达式为（15-11） 2B式中， 是强度系数。2BYs烟台大学环境与材料工程学院制作普通高等教育“十一五”国家级规划教材材料成形基本原理材料成形基本原理这是理想刚塑性材料模型。大多数金属在高温低速下的大变形及一些低熔点金属在室温下的大变形可采用无加工硬化模型假设。SY 如果要考虑弹性变形，则为理想弹塑性材料模型。高温低速下的

14、小塑性变形，可近似认为是这种情况。 （四）无加工硬化的水平直线型（四）无加工硬化的水平直线型 对于几乎不产生加工硬化的材料，此时n=0，其真实应力-应变曲线是一水平直线，如图15-5d，表达式为（15-12）烟台大学环境与材料工程学院制作普通高等教育“十一五”国家级规划教材材料成形基本原理材料成形基本原理第二节第二节 理想塑性材料的屈服准则理想塑性材料的屈服准则一、屈服准则的概念一、屈服准则的概念二、屈雷斯加（二、屈雷斯加（H. Tresca）屈服准则）屈服准则三、密塞斯（三、密塞斯（Von Mises）屈服准则）屈服准则烟台大学环境与材料工程学院制作普通高等教育“十一五”国家级规划教材材料成

15、形基本原理材料成形基本原理一、屈服准则的概念 屈服准则屈服准则是材料质点发生屈服而进入塑性状态的判据，也称为塑性条件。s 对于单向拉伸或压缩的质点，可以直接用屈服应力 来判断。在多向应力作用下，显然不能用一个应力分量来判断材料质点是否进入塑性状态，必须同时考虑所有应力分量。各应力分量之间符合一定关系时，质点才开始屈服，一般可表示为上式称为屈服函数，式中C是与材料性质有关而与应力状态无关的常数，可通过实验测得。 Cfij)(（15-13）烟台大学环境与材料工程学院制作普通高等教育“十一五”国家级规划教材材料成形基本原理材料成形基本原理对于各向同性材料，由于屈服准则与坐标变换无关，对于各向同性材料

16、，由于屈服准则与坐标变换无关，Cf)(133221，（15-14） 烟台大学环境与材料工程学院制作普通高等教育“十一五”国家级规划教材材料成形基本原理材料成形基本原理二、屈雷斯加（二、屈雷斯加（H. Tresca）屈服准则）屈服准则 1864年法国工程师H. Tresca提出材料的屈服与最大切应力有关， 即当材料质点中最大切应力达到某一定值时，该质点就发生屈服。或者说， 质点处于塑性状态时，其最大切应力是不变的定值，该定值取决于材料的性质，而与应力状态无关。 所以Tresca屈服准则又称为最大切应力不变条件。 321C231当 则烟台大学环境与材料工程学院制作普通高等教育“十一五”国家级规划教

17、材材料成形基本原理材料成形基本原理三、密塞斯（Von Mises）屈服准则1913年德国力学家Von Mises提出另一个屈服准则，表达如下: 即当等效应力 达到定值时，材料质点发生屈服。或者说，材料处于塑性状态时，其等效应力是不变的定值，该定值取决于材料的性质，而与应力状态无关。 （15-18） C21323222121常数C根据单向拉伸实验确定为 ，于是Mises屈服准则可写成 S22132322212S（15-19）烟台大学环境与材料工程学院制作普通高等教育“十一五”国家级规划教材材料成形基本原理材料成形基本原理sJ23E61 上式是满足式（15-14）的另一种形式，可以写成 ，将式（1

18、5-19）两边同乘以常数 ,（其中E为弹性模量，为 泊松比），因此只有应力偏张量第二不变量影响屈服。 汉基（H. Henkey）于1924年指出Mises屈服准则的物理意义是：当单位体积的弹性形变能达到某一常数时，质点就发生屈服。故Mises屈服准则又称为能量准则。22132322213161SEE则（15-20）上式左端表示变形体在三向应力作用下单位体积的弹性形变能。烟台大学环境与材料工程学院制作普通高等教育“十一五”国家级规划教材材料成形基本原理材料成形基本原理第三节第三节 屈服准则的几何表达屈服准则的几何表达一、主应力空间中的屈服表面一、主应力空间中的屈服表面二、平面应力状态的屈服轨迹二

19、、平面应力状态的屈服轨迹三、三、平面上的屈服轨迹平面上的屈服轨迹烟台大学环境与材料工程学院制作普通高等教育“十一五”国家级规划教材材料成形基本原理材料成形基本原理 图15-15 主应力空间一、主应力空间中的屈服表面一、主应力空间中的屈服表面 1、以主应力为坐标构成一个主应力空间，在主应力空间中，任一应力点 用矢量OP来表示。 321,P31nml3212、过坐标原点O引等倾线ON，其方向余弦 ，线上任一点的三个坐标分量均相等，即，表示球应力状态。 3、由P 点引一直线 PMON，则矢量 OP可分解为OM 和MP，这时，OM表示应力球张量部分，MP表示应力偏张量部分。 烟台大学环境与材料工程学院

20、制作普通高等教育“十一五”国家级规划教材材料成形基本原理材料成形基本原理 根据Mises屈服准则，当 时，材料就屈服，故P点屈服时有：SS32|MP|OM32132131nml22|OMOPMP2321232221313231213232221=3231213232221 图15-15 主应力空间烟台大学环境与材料工程学院制作普通高等教育“十一五”国家级规划教材材料成形基本原理材料成形基本原理 图15-16主应力空间中的屈服表面烟台大学环境与材料工程学院制作普通高等教育“十一五”国家级规划教材材料成形基本原理材料成形基本原理二、平面应力状态的屈服轨迹二、平面应力状态的屈服轨迹 上式是 坐标平面

21、上的一个椭圆，如图15-17。为了清楚起见，把坐标轴旋转45，则新老坐标的关系为2222121s2145cos45sin45sin45cos21221103将 代入Mises屈服准则的表达式：得22132322212S(15-21)烟台大学环境与材料工程学院制作普通高等教育“十一五”国家级规划教材材料成形基本原理材料成形基本原理得212211212121221121211322222221ss图15-17 两向应力状态的屈服轨迹烟台大学环境与材料工程学院制作普通高等教育“十一五”国家级规划教材材料成形基本原理材料成形基本原理 同样，将 代入Tresca屈服准则的表达式（15-17），可得平面应

22、力状态的Tresca屈服准则：03s|21s |2s |1（15-22） 任一平面应力状态都可用平面上一点P表示，并可用矢量 OP来表示。如P 点在屈服轨迹的里面，则材料的质点处于弹性状态，如P点在轨迹上，该质点处于塑性状态。对于理想塑性材料，P点不可能在轨迹的外面。 烟台大学环境与材料工程学院制作普通高等教育“十一五”国家级规划教材材料成形基本原理材料成形基本原理 由图由图15-17可知，两个屈服轨迹有六个交点，在六个可知，两个屈服轨迹有六个交点，在六个交点处两屈服准则是一致的。它们都表示两向主应力相等交点处两屈服准则是一致的。它们都表示两向主应力相等的应力状态，两准则差别最大的有六个点（的

23、应力状态，两准则差别最大的有六个点（B、D、F、H、J、L），两个屈服准则相差达到），两个屈服准则相差达到15.5。 烟台大学环境与材料工程学院制作普通高等教育“十一五”国家级规划教材材料成形基本原理材料成形基本原理图15-18 平面上的屈服轨迹在主应力空间中，通过坐标原点，并垂直于等倾线ON 的平面称为 平面。其方程为三、 平面上的屈服轨迹0321 平面与两个屈服表面都垂直，故屈服表面 在平面上的投影是半径为 的圆及其内接正六边形，这就是平面上的屈服轨迹，如图15-18。 S32在 平面上 ，说明 平面上任一点无应力球张量的影响，任一点的应力矢量均表示偏张量。 0m烟台大学环境与材料工程学院

24、制作普通高等教育“十一五”国家级规划教材材料成形基本原理材料成形基本原理第四节第四节 两个屈服准则的统一表达式两个屈服准则的统一表达式烟台大学环境与材料工程学院制作普通高等教育“十一五”国家级规划教材材料成形基本原理材料成形基本原理为评价2对屈服的影响，引入罗德（Lode）应力参数 2231312312132（15-23） 上式中的分子是三向应力莫尔圆中 到大圆圆心的距离，分母为大圆半径。当 在与 之 间变化时， 则在 之间变化。因此， 实际上表示了 在三向莫尔圆中的相对位置变化。 2213112由式（15-23）可以解出2231312烟台大学环境与材料工程学院制作普通高等教育“十一五”国家级

25、规划教材材料成形基本原理材料成形基本原理S23132 令 ，称为 中间主应力影响系数，或称应力修正系数。22322将代入Mises屈服准则式（15-19），整理后得则S31（15-24） 所以Mises屈服准则与Tresca屈服准则在形式上仅差一个应力修正系数。修正系数。烟台大学环境与材料工程学院制作普通高等教育“十一五”国家级规划教材材料成形基本原理材料成形基本原理下面讨论 的取值，两准则一致，这时的应力状态中有两向主应力相等；11当 时，0155. 1当时，两准则相差最大，此时为平面变形应力状态。此时为平面变形应力状态。 烟台大学环境与材料工程学院制作普通高等教育“十一五”国家级规划教材材

26、料成形基本原理材料成形基本原理SK2231K231sK5 . 0SK577. 05 . 0现设K为屈服时的最大切应力，则于是，两个屈服准则的统一表达式为对于Tresca屈服准则，对于Mises屈服准则烟台大学环境与材料工程学院制作普通高等教育“十一五”国家级规划教材材料成形基本原理材料成形基本原理 屈服准则起初都以假设形式提出的，是否符合实际，还需要通过实验来验证。 验证方法很多，复合拉、扭下的薄壁金属圆管的屈服实验是一较为简单的验证方法。也可用轴向拉力与内压力联合作用的屈服实验。 大量实验表明，Tresca屈服准则和Mises屈服准则都与实验值比较吻合，除了退火低碳钢外，一般金属材料的实验数

27、据点更接近于Mises屈服准则。 烟台大学环境与材料工程学院制作普通高等教育“十一五”国家级规划教材材料成形基本原理材料成形基本原理第五节第五节 应变硬化材料的屈服与加载表面应变硬化材料的屈服与加载表面 烟台大学环境与材料工程学院制作普通高等教育“十一五”国家级规划教材材料成形基本原理材料成形基本原理后续屈服表面（加载表面）的详细讨论涉及到一些相当复杂的问题，目前只能提出一些假设，其中最常见的是“各向同性硬化”假设，即“等向强化”模型，其要点如下： 以上所讨论的屈服准则只适用于各向同性的理想塑性材料。对于应变硬化材料，可以认为初始屈服仍然服从前述的准则，产生硬化后，屈服准则将发生变化，在变形过程的每一瞬时，都有一后续的瞬时屈服表面和屈服轨迹。1）材料应变硬化后仍然保持各向同性。）材料应变硬化后仍然保持各向同性。2）应变硬化后屈服轨迹的中心位置和形状保持不变。）应变硬化后屈服轨迹的中心位置和形状保持不变。烟台大学环境与材料工程学院制作普通高等教育“十一五”国家级规划教材材料成形基本原理