函数单调性与最值（1）

1、2022-4-22T()T()气温气温T T关于时间关于时间t的函数曲线图的函数曲线图4812162024to-2248610思考思考:气温发生了怎样的变化气温发生了怎样的变化？在哪段时间气温升高，在哪段气温降低？在哪段时间气温升高，在哪段气温降低？2022-4-22 观察观察1、观察这三个图象，你能说出图象的特征吗？、观察这三个图象，你能说出图象的特征吗？2、随随x的增大，的增大，y的值有什么变化？的值有什么变化？2022-4-22画出函数画出函数f(xf(x)=x)=x的图象，观察其变化规律：的图象，观察其变化规律： 1、从左至右图象上升还是下降从左至右图象上升还是下降 ? 2、在区间在区

2、间 _上，随着上，随着x的增大，的增大，f(x)的值随的值随着着 _ (-,+)增大增大上升上升2022-4-221、在区间在区间 _ 上，上，f(x)的值随着的值随着x的增大而的增大而 _2、 在区间在区间 _ 上，上，f(x)的值随的值随着着x的增大而的增大而 _ (-,00,+)增大增大减小减小画出函数画出函数f(xf(x)=x)=x2 2的图象，观察其变化规律：的图象，观察其变化规律： (-,0上当上当x增大增大时时f(x)随着随着减小减小xyoxOy1 11 12 24 4-1-1-2-2(1) ( )f xx1 12(2) ( )f xx当当x增大增大时时f(x)随着随着增大增大函

3、数在函数在R R上是上是增增函数，函数，对应的区间为增区对应的区间为增区间。间。函数在函数在(- -,0上是上是减减函数函数(0,+)上当上当x增大增大时时f(x)随着随着增大增大函数在函数在(0,+)上是上是增增函数函数1 1函数函数f(x)=x : :则则f(x1)= , , f(x2)= x12x22函数函数f(x)=x在在( (0,+) )上是上是增增函数函数.22x任意任意, ,都有都有12xx21x任意任意, ,都有都有12( )( )f xf x12xxx0 x1 1x2 2yf (x1)f (x2)在在(0,+)上上任取任取 x1、x2 , 如果对于定义域如果对于定义域I I内

4、某个区间内某个区间D上的上的任意两个自变量的值任意两个自变量的值 x1 1 、x2 2 ，当当 x1 1x2 2时，都有时，都有f( (x1 1) )f( (x2 2) )，那么，那么就说函数就说函数f( (x) )在区间在区间D上是上是增增函数函数. .定义定义一般地，设函数一般地，设函数 f( (x) )的定义域为的定义域为I I:如果对于定义域如果对于定义域I I内某个区间内某个区间D上的上的任意两个自变量的值任意两个自变量的值 x1 1 、x2 2 ，当当 x1 1x2 2时，都有时，都有f( (x1 1) )f( (x2 2) )，那么那么就说函数就说函数f( (x) )在区间在区间

5、D上是上是减减函数函数. .某个区间某个区间D某个区间某个区间D任意任意任意任意xoyy=f(x)x1x2f(x2)f(x1)xoyx1x2f(x1)f(x2)y=f(x)x1 1、x2 2的三大特征：的三大特征：属于同一区间属于同一区间任意性任意性 有大小有大小: 通常规定通常规定 x1 1x2 22022-4-22分别画出下列函数的图象，并根据它们的图象指出其单调区间。（1）y=2x+1 （2）y=(x-1)2-1（3）y= （4）y=2x1练习：2022-4-22yxoy(1)y=2x+1xo2)y=(x-1)2-112-1yOxxy1)3(增区间增区间为为(,) 增区间增区间为为1,)

6、减区间减区间为为(,1减区间减区间为为(,0),(0,)(4)y=2无单调性无单调性1(0)(,0) (0,)yxx能 不 能 说在 定 义 域上 是 单 调 减 函 数 ?Oyx不能不能在在(-(-, ,0)0)上是上是_函数函数在在(0(0, ,+)+)上是上是_函数函数减减减减问问: :能否说能否说 在在(- -,0 0)(0 0,+ +)上是上是减减函数函数?1yx1yx反比例函数反比例函数 ：1( )f xx- -2yOx- -11- -1121( )f xxyOx- -11- -11 取自变量取自变量1 1 1 1， 而而 f( (1) 1) f(1)(1)因为因为 x1、x2 不

7、具有任意性不具有任意性. 不不能说能说 在在(- -,0 0)(0 0,+ +)上是上是减减函数函数1yx解解:函数函数y=f(x)的单调区间有的单调区间有5,2）, ,2,1) ，1，3), 3，5.逗号逗号隔开隔开例例1 1. 如图是定义在闭区间如图是定义在闭区间 5 5, ,55上的函数上的函数 y = f(x)的图象的图象, 根据图象说出函数的单调区间根据图象说出函数的单调区间, 以及在每一以及在每一单调区间上单调区间上, 函数是增函数还是减函数？函数是增函数还是减函数？ 其中其中y=f(x)在区间在区间2，1)，3，5上是增函数；上是增函数；说明说明: :孤立的点没有单调性孤立的点没

8、有单调性, ,故区间端点处若有定义写开写闭均可故区间端点处若有定义写开写闭均可. .在区间在区间5，2），），1，3)上是减函数上是减函数. .( )yf x- -432154312- -1- -2- -1- -5- -3 - -2xyO2022-4-22三、证明三、证明函数单调性的方法步骤函数单调性的方法步骤 1 取值取值:对任意对任意x1，x2D，且，且x1x2；2 作差作差:f(x1)f(x2)；3 变形变形:（通常是通分或因式分解或配方等）；（通常是通分或因式分解或配方等）；4 定号定号:（即判断差（即判断差f(x1)f(x2)的正负）；的正负）；5 结论结论:（即指出函数（即指出函数

9、f(x)在给定的区间在给定的区间D上的单上的单调性）调性） 利用定义证明函数利用定义证明函数f(x)在给定的区间在给定的区间D上的单上的单调性的一般步骤：调性的一般步骤：2022-4-22例例.证明：函数证明：函数 在在 上是增函数上是增函数., 证明：对任意证明：对任意 且且 12,x x 12xx12xx12,x x ，且，且210 xx23)(xxf)23()23()()(1212xxxfxf则)(312xx )()(0)()(1212xfxfxfxf即所以函数所以函数 在区间上在区间上 是增函数是增函数. . , 23)( xxf思考：思考：如何证明一个函数是单调递增的呢？如何证明一个

10、函数是单调递增的呢？取值化简作差判号定论定论2022-4-22证明：对任意证明：对任意x1,x2 ，且，且x10,又由又由x10所以所以f(x1)- f(x2)0, 即即f(x1) f(x2)( () )0 0, , + + 因此因此 f(x)=1/x 在在(0，+)上是减上是减函数。函数。取值定号变形作差判断x13 3. .(定义法定义法)证明函数单调性的步骤证明函数单调性的步骤: :设值设值判断差符号判断差符号作差变形作差变形下结论下结论课堂小结课堂小结2 2. .图象法判断函数的图象法判断函数的单调性单调性：增增函数的图象从左到右函数的图象从左到右减减函数的图象函数的图象从左到右从左到右

11、1 1. . 增函数、减函数的定义增函数、减函数的定义；上升上升下降下降2022-4-22例例2 2 证明函数证明函数 ( (k为正常数为正常数) ) 在区间（在区间（0,+0,+）上是增函数）上是增函数. .( )kf xx结结分析：利用定义进行证明，思分析：利用定义进行证明，思考书写步骤考书写步骤 证明函数证明函数 在区间在区间(0(0, ,+)+)上是增函数上是增函数kyx证证: :设设 是是(0,+)(0,+)上任意两个值且上任意两个值且21,xx12 ,xx210 ,xx021xx12( )( ) 0 ,f xf x12( )( ).f xf x 即即 在区间在区间(0,+)(0,+)上是增函数上是增函数( )kf xx设值设值作差变形作差变形判断差符号判断差符号下结论下结论1212( )()kkf xf xxx2112xxkx x12 ,0 xx且且0k (0)k4.4.下结论下结论:由由定义