第七章6平面及其方程ppt课件

1、平面及其方程平面及其方程 平面和直线是最简单和最基本的空间图形。本平面和直线是最简单和最基本的空间图形。本节和下节我们将以向量作为工具讨论平面和直线节和下节我们将以向量作为工具讨论平面和直线的问题。介绍平面和直线的各种方程及线面关系、的问题。介绍平面和直线的各种方程及线面关系、线线关系。线线关系。 确定一个平面可以有多种不同的方式，但在解析确定一个平面可以有多种不同的方式，但在解析几何中最基本的条件是：平面过一定点且与定向量几何中最基本的条件是：平面过一定点且与定向量垂直。这主要是为了便于建立平面方程，同时我们垂直。这主要是为了便于建立平面方程，同时我们将会看到许多其它条件都可转化为此。将会看

2、到许多其它条件都可转化为此。先介绍平面的点法式方程先介绍平面的点法式方程xyzo0MM 如果一非零向量垂直如果一非零向量垂直于一平面，这向量就叫做于一平面，这向量就叫做该平面的法线向量该平面的法线向量法线向量的特征：法线向量的特征： 垂直于平面内的任一向量垂直于平面内的任一向量知知,CBAn ),(0000zyxM设平面上的任一点为设平面上的任一点为),(zyxMnMM 0必有必有00 nMM一、平面的点法式方程一、平面的点法式方程n,0000zzyyxxMM 0)()()(000 zzCyyBxxA平面的点法式方程平面的点法式方程其中法向量其中法向量,CBAn 已知点已知点).,(000zy

3、x若取平面的另一法向量若取平面的另一法向量m此时由于此时由于nm/ CBAnm , 平面方程为平面方程为0)()()(000 zzCyyBxxA 0)()()(000 zzCyyBxxA 平面上的点都满足上方程，不在平面上的平面上的点都满足上方程，不在平面上的点都不满足上方程，上方程称为平面的方程，点都不满足上方程，上方程称为平面的方程，平面称为方程的图形平面称为方程的图形例例 1 1 求求过过三三点点)4 , 1, 2( A、)2, 3 , 1( B和和)3 , 2 , 0(C的的平平面面方方程程. 解解6, 4, 3 AB1, 3, 2 AC取取ACABn ,1, 9,14 所求平面方程为

4、所求平面方程为, 0)4()1(9)2(14 zyx化简得化简得. 015914 zyx一般地一般地过不共线的三点过不共线的三点),(1111zyxM),(2222zyxM),(3333zyxM的平面的法向量的平面的法向量3121MMMMn 131313121212zzyyxxzzyyxxkji 平面方程为平面方程为0131313121212111 zzyyxxzzyyxxzzyyxx三点式方程三点式方程例例 2 2 求求过过点点)1 , 1 , 1(，且且垂垂直直于于平平面面7 zyx和和051223 zyx的的平平面面方方程程. ,1, 1, 11 n12, 2, 32 n取法向量取法向量

5、21nnn ,5,15,10 , 0)1(5)1(15)1(10 zyx化简得化简得. 0632 zyx所求平面方程为所求平面方程为解解由平面的点法式方程由平面的点法式方程0)()()(000 zzCyyBxxA0)(000 CzByAxCzByAxD 0 DCzByAx平面的一般方程平面的一般方程法向量法向量.,CBAn 二、平面的一般方程二、平面的一般方程平面一般方程的几种特殊情况：平面一般方程的几种特殊情况：, 0)1( D平面通过坐标原点；平面通过坐标原点；, 0)2( A , 0, 0DD平面通过平面通过 轴；轴；x平面平行于平面平行于 轴；轴；x, 0)3( BA平面平行于平面平行

6、于 坐标面；坐标面；xoy类似地可讨论类似地可讨论 情形情形.0, 0 CBCA0, 0 CB类似地可讨论类似地可讨论 情形情形.例例 3 3 设设平平面面过过原原点点及及点点)2, 3, 6( ，且且与与平平面面824 zyx垂垂直直，求求此此平平面面方方程程.设平面为设平面为, 0 DCzByAx由平面过原点知由平面过原点知, 0 D由由平平面面过过点点)2, 3, 6( 知知0236 CBA,2 , 1, 4 n024 CBA,32CBA . 0322 zyx所求平面方程为所求平面方程为解解例例 4 4 设设平平面面与与zyx,三三轴轴分分别别交交于于)0 , 0 ,(aP、)0 , 0

7、(bQ、), 0 , 0(cR（其其中中0 a，0 b，0 c） ，求求此此平平面面方方程程.设平面为设平面为, 0 DCzByAx将三点坐标代入得将三点坐标代入得 , 0, 0, 0DcCDbBDaA,aDA ,bDB .cDC 解解,aDA ,bDB ,cDC 将将代入所设方程得代入所设方程得1 czbyax平面的截距式方程平面的截距式方程x轴轴上上截截距距y轴轴上上截截距距z轴上截距轴上截距例例 5 5 求求平平行行于于平平面面0566 zyx而而与与三三个个坐坐标标面面所所围围成成的的四四面面体体体体积积为为一一个个单单位位的的平平面面方方程程. 设平面为设平面为, 1 czbyaxx

8、yzo, 1 V, 12131 abc由所求平面与已知平面平行得由所求平面与已知平面平行得,611161cba （向量平行的充要条件）（向量平行的充要条件）解解,61161cba 化简得化简得令令tcba 61161,61ta ,1tb ,61tc ttt61161611 代入体积式代入体积式,61 t, 1, 6, 1 cba. 666 zyx所求平面方程为所求平面方程为例例6求过点求过点)3 , 0 , 1(),2 , 1, 1(21 MM且平行于且平行于z 轴的平面方程轴的平面方程解一解一用点法式用点法式设所求平面的法向量为设所求平面的法向量为n那么那么knMMn ,21kjiMM 22

9、1100112 kjinji2 由点法式得，所求平面的方程为由点法式得，所求平面的方程为0)1(2)1( yx即即012 yx解二解二 用一般式用一般式因平面平行于因平面平行于 z 轴，故可设平面方程为轴，故可设平面方程为0 DByAx21,MM在平面上在平面上0 DBA0 DA解得解得DBDA2, 所求平面方程为所求平面方程为02 DDyDx即即012 yx由以上几例可见，求平面方程的基本思路和由以上几例可见，求平面方程的基本思路和基本步骤：两定基本步骤：两定定点，定向定点，定向定义定义（通常取锐角）（通常取锐角）1 1n2 2n 两平面法向量之间的夹角称为两平面的两平面法向量之间的夹角称为

10、两平面的夹角夹角. ., 0:11111 DzCyBxA, 0:22222 DzCyBxA,1111CBAn ,2222CBAn 三、两平面的夹角三、两平面的夹角按照两向量夹角余弦公式有按照两向量夹角余弦公式有222222212121212121|cosCBACBACCBBAA 两平面夹角余弦公式两平面夹角余弦公式两平面位置特征：两平面位置特征：21)1( ; 0212121 CCBBAA21)2( /.212121CCBBAA 例例7 7 研究以下各组里两平面的位置关系研究以下各组里两平面的位置关系：013, 012)1( zyzyx01224, 012)2( zyxzyx02224, 01

11、2)3( zyxzyx解解)1(2222231)1(2)1(|311201|cos 601cos 两平面相交，夹角两平面相交，夹角.601arccos )2(,1 , 1, 21 n2, 2, 42 n,212142 两平面平行两平面平行21)0 , 1 , 1()0 , 1 , 1( MM两平面平行但不重合两平面平行但不重合)3(,212142 21)0 , 1 , 1()0 , 1 , 1( MM两平面平行两平面平行两平面重合两平面重合.例例8一平面过点一平面过点)1, 3 , 0(),1 , 1, 1(21 MM且垂直于且垂直于平面平面01 zyx求其方程求其方程解解设所求平面的法向量为

12、设所求平面的法向量为 CBAn, 24 , 121 MM在所求平面上在所求平面上21MMn 024 CBA又所求平面与已知平面垂直又所求平面与已知平面垂直0 CBA解得解得BABC2,3 代入点法式方程并整理得代入点法式方程并整理得0332 zyx例例 9 9 设设),(0000zyxP是平面是平面ByAx 0 DCz 外一点，求外一点，求0P到平面的距离到平面的距离. ),(1111zyxP|Pr|01PPjdn 1PNn0P 00101PrnPPPPjn ,10101001zzyyxxPP 解解 2222222220,CBACCBABCBAAn00101PrnPPPPjn 222102221022210)()()(CBAzzCCBAyyBCBAxxA ,)(222111000CBACzByAxCzByAx 0111 DCzByAx)(1 P 01PrPPjn,222000CBADCzByAx .|222000CBADCzByAxd 点到平面距离公式点到平面距离公式平面的方程平面的方程（熟记平面的几种特殊位置的方程）（熟记平面的几种特殊位置的方程）两平面的