线性系统理论课件s3

1、第三章线性系统的时间域理论第3章 线性系统的能控性与能观测性能控性和能观测性是系统的两个基本结构特征。60年代初，卡尔曼（R.E.Kalman）提出和研究了能控性和能观测性这两个重要概念。3.1 能控性和能观测性的定义u 对能控性和能观测性的直观讨论第三章从物理的直观性来讨论能控性和能观测性。状态空间描述：输入和输出构成系统的外部变量，状态为系统的内部变量。能控性：状态是否可由输入影响。每一个状态变量的运动都可由输入来影响和控制，由任意的始点达到原点，则是能控，反之全能控的。能观测性：状态是否可由输出反映。所有状态变量的任意形式的运动均可由输出完全反映，则是能观测的，反之全能观测的。第三章例：

2、给定系统的状态空间描述为： x&1 = 4 x1 + 1 u0 x& 0- 5 x 2 2 2 - 6 x1y = 0x&1 x& 2 x = 4 x1+ u= - 5 x 2 + 2 u2 将其表为标量方程组的形式，有y = - 6 x 2x2可通过选择输入 u 而由始点达到原点，完表明：x1 和全能控。yyx2， x1 和输出只能反映无直接、间接关系，全能观测的。第三章例：电路中，两个+ xCR状态变量为两电容的端电压+ u(t)1+xx1 和x2 ，输入能够使x1 或RC2者 x2 转移到任意目标值，但x1 和x2分别转移不同的任意目标值。不能将，输入 u 取何种形式，不可能做到使，=x

3、 2 ( t 0 ) = 0x1 ( t 0 )如t x1 ( t ) =t 0,x 2 ( t )x1 ( t ) x 2 ( t )，全能控。第三章R1iLy +例：u (t ) = 0电路中，若，当xR11+u(t) = 0R2) =x( tx( t)xL10202且为任意值时，必定有i = 0t y ( t ) =t 0,0,，即状态不能由输出反映，全能观测。第三章u 能控性定义线性时变系统的状态方程x& = A (t ) x +S :t JB (t )u,n维状态向量，u 为 p 维输入向量， J 为其中：x 为n 时间定义区间，A 和 B分别为 n n和的连续函数的矩阵。p 的元为

4、t第三章S，如果对取定初始时刻，t 0定义 1：线性时变系统J的一个非零初始状态 x0 ，存在一个时刻t1 J , t1t 0，u ( t ) , t t 0 , t1 ，使状态由 x 0和一个无约束的容许控制转移到 t1，则称此 x0 是在 t 0 时刻为能控的。x ( t1 ) = 0时S定义 2：线性时变系统，如果状态空间中的所有非零状态t 0 ( t 0 J ) 时刻为能控的，则称系统 S 在时刻t 0 是都是在完全能控的。第三章S，取定初始时刻 t 0J ，如果状定义 3：线性时变系统态空间中存在一个或一些非零状态在时刻 t 0 是不能控的，则St 0 是称系统在时刻全能控的。解释：

5、使 t 0时刻的非零状态x 0在 J 上的一段有限时间转移到坐标原点，对其轨迹不加以限制和规定。无约束表示对输入幅值不加限制。容许控制表示输入的所有分量在 J 上平方可积。第三章t0取定时刻 t 0 ，对时变系统是完全必要的，定常系统与的选取无关。非零状态零状态，能控。零状态非零状态，能达。连续线性系统：ttF(t ,t )B(t )u(t )dtx(t ) = F(t ,t )x +1110010第三章非零状态(xc ) 零状态：ttF(t ,t )B(t )u(t )dt0 = F(t ,t )x +110c10ttF(t ,t )B(t )u(t )dt x = -F-1(t ,t )1

6、c1010零状态非零状态(xr )：tF(t ,t )B(t )u(t )dt = -F(t ,t )xx =1r110ct0由于F(t1 ,t0 )非奇异，(xc )与(xr )一一对应，能控性 能达性。第三章离散线性系统：k1-1x(k1 ) = F(k1 , 0)x0 + F(k1 ,i +1)H (i)u(i)，t1= k1Ti=0由于F(k1 , 0) 不一定非奇异，(xc ) 与(xr ) 不存在一一对应关系，能控性能达性；若系统矩阵非奇异，则两者等价。全能控系统，某些参数的很小的变动，可使其变为完全能控。第三章u 能观测性定义能观测性表征状态可由输出的完全反映性，应同时考虑系统的

7、状态方程和输出方程。x& = A(t ) x + B(t )u y = C (t ) x + D (t )uS :t Jx(t0 ) = x0,( t ) 和 D (t ) 分别为 n n ，的满足状态方程解的存在唯一其中： A ( t ) , B( t ) , Cn p , q n 和q p性条件的时变矩阵。第三章状态方程解的表达式为tx(t ) = F(t, t0 ) x0 + t F(t,t ) B(t )u (t )dt0输出响应的表达式为：ty(t) = C(t)F(t,t0 )x0 + C(t)Ft )B(t )u(t )dt + D(t)u( )t(t,t0研究能观测性问题，输出

8、 y 和输入 u 都为已知，只有内部变量，即初始状态 x 0 是未知的。第三章令：y (t) =Dty(t) - C(t) F(t,t )B(t )u(t )dt -D(t)u(t )t0y (t ) = C (t )F(t , t 0 ) x 0则研究 x0 的可由 y 的完全估计性。u = 0时由y 来估计 x0等价于研究的可能性。也即系统的零输入方程：S :x& = A(t ) x,x(t0 ) = x0 ,t0 , t J y = C (t) x的能观测性。第三章S定义 1：线性时变系统，如果对取定初始时刻，t 0J$ t1 ，J , t1的一个非零初始状态 x0，t 0有y(t) =

9、 0 ，t t 0, t1则称此 x 0 在时刻 t 0 是 不能观测的。S定义 2：线性时变系统，如果状态空间中的所有非零状态t 0 ( t 0 J )S都不是时刻的不能观测状态，则称系统在时刻 t 0 是完全能观测的。第三章S，取定初始时刻 t 0J ，如果状定义 3：线性时变系统态空间中存在一个或一些非零状态在时刻 t 0 是不能观测的，则St 0 是称系统在时刻全能观测的。比较：(1) 能控性：能控状态完全能控性，正向定义，能控子空间是线性子空间。(2) 能观性：不能观状态完全能观性，反向定义，不能观子空间X -，即对任意x- X - 满足ooo0 = y(t) = C(t)F(t,t

10、 )x- ，t t ,t X -是线性子空间。0o01o第三章而能观子空间X + ，即对任意x+ X +满足ooo0 y(t) = C(t)F(t,t )x+，$t t ,t 0o01X + 不是线性子空间，例如对于能观状态x- ，oox-也为能观状态，但x- 为不能观状态。oo3.2 线性连续时间系统的能控性判据u 线性定常系统的能控性判据x& = Ax + Bux(0 ) = x0 , t 0,为p状态方程其中：x 为维状态向量，unB 分维输入向量，A 和别为 n n和n p 常阵。第三章结论 1： 格拉姆矩阵判据 线性定常系统为完全能控的充分必要条件是，存在时刻t10 ，使如下定义的格

11、拉姆（Gram）矩阵t1 e- At BBT e- AT t dt0W 0,t =Dc为非奇异。1应用于理论分析中。第三章结论 2： 秩判据 线性定常系统为完全能控的充分必要条件是，Lrank B其中， n 为矩阵An -1B = nABA 的维数。L BB An -1QcAB称为系统的能控性判别阵。第三章结论 3： PBH秩判据 A( i = 1, 2 , Ll i, n ) ，均成立：的所有特征值rank li I - A, B = n, i = 1, 2,L , n或等价地表示为rank s I - A, B = n, s 复数域( s I - A)和 B 是左互质的。也即第三章A( s

12、 ) 和 B ( s ) 是左互质的，如果它们的最大左公因子为单于 s 的非零常数。模阵。其行列式是结论 4： PBH特征向量判据 线性定常系统为完全能控的充分必要条件是，A 不能有与B的所有列相正交的非零左特征向量。也即对 A 的任意一特征值 l i ，使同时满足a T的特征向量A = liaT,a T B = 0a 0 。第三章结论 5： 约当 规范形判据线性定常系统为完全能控的充分必要条件是：, L , l nl 1 , l 2当矩阵 A 的特征值角线规范形 l1为两两相异时，对l2&= x + Bu x中，Ol不包含元素全为零的行。n B第三章），L当矩阵 A 的特征值为 l 1 (s

13、），l 2(s 2 重1重+ s 2 + L + s l ) = n 时，约当规范形A% x% + B% u ）且 (s 1x&% = J1l l (s l 重其中， B%1 % J 2= B2 A%B%= O( n n )( n p )M B% Jll第三章 B% J i1i1%J i 2= Bi 2B%= JOMi (s i s i )i (s i p ) B%Jia i b%1ikia i l1 1lii %1O= b2 ikB%= Ji k ( rik rik )ik ( rik p )M %l briki 第三章( ri1 + ri 2 + L + ria i ) = s i而B%(

14、 kik= 1, 2,L ,a i )由的最后一行所组成的矩阵 b%ri1% bri 2i = 1, 2 , L, lM对均为行线性无关。 %bi ari第三章例1：已知线性定常系统的对角线规范形为： x&1 -70 x1 02 0-20 x& = 0 x + 40 u00 2 01 2&1 x3 x3B 不包含元素全为零的行，完全能控。第三章例2：给定线性定常系统的约当规范形为：-2001-20040014 0100-20x&% = x% + 07 u-203013013001第三章定出 b%r11 b%1014b% =r 21=b%01r12 r 22 br都是行线性无关的，完全能控。第三

15、章u 能控性指数完全能控的线性定常系统，A和分别是 n nB和n p的常值矩阵。L BA k - 1 B Q k=A 2 BA B定义：为 n kp 常阵，其中 kk =n为正整数。系统能控，当时， Q n 即为能控性矩阵 Qc ，且 rank Qc= n ，现在，依次rank Q m=将 k 由 1 增加，直到使n，那么，便称这个使的最小正整数 m 为系统的能控性指rank Qk= n 的k成立数。第三章m估计能控性指数的一个关系式n令：rankB = r 证： Qm 为n m p 阵，rankQm = n或等于它的行数，即m p n。p m n - r + 1则pQm 的列数必须大于要求

16、由能控性指数定义， AB, A2B, Am-1B 中每个矩阵至少含有一个列向量与Qm 中其左侧所有线性无关，否则若Ak B = aAk-1B + + a AB + a Bk -110 Ak+1B = aAk B + + a A2B + a ABk -110则r + m -1 n。的列向量线性第三章推论：对于单输入系统，也即 p = 1 时，系统的能控性指数为m = n。对线性定常系统，可导出简化的能控性的秩判据为：系统完全能控的充分必要条件是：LrankQn - r +1 = rank BAn- r B = nAB n ，则为矩阵 A 的最小多项式的次数，且必有nn令能控性指数 m的估计不等式

17、可进而表为：n m min( n , n - r + 1)p第三章A 的最小多项式 y (s)y ( A) = 0矩阵是使成立的次数最低的首系数为 1的多项式。n -1+ a n -1 A+ L + a 1 A + a 0 Iy ( A) =将Qm 表为= 0AnLAb,Ab,L,AbLLm-m-m-Q = b,b,111,bA b,A b,A bm12p12p12p中的 n 个线性无关的列，若某个列Q m且依次从左至右搜索不能表为其左方各列之线性组合，则为线性无关，否则便是线性相关。考虑到 B 的秩为 r关的列重新排列如下：n，故可将得到的个线性无第三章b , Ab ,L,L , A m2

18、-1b;Lm -1, Ab ; b, Ab1111222L ; br , Abr ,L , A rm且对能控系统显然有：-1br+ Lm 1+ m+m=n2rm而能控性指数满足关系式：m = max m1 ,m r ,L ,m 2 ,L ,m1 ,m r ,为系统m 2 ,( A, B)通常，称的能控性指数集。第三章m对系统的状态方程作线性非奇异变换，其能控性指数和能控性指数集 m1 ,m r , 保持不变。L ,m 2 ,u 线性时变系统的能控性判据线性时变系统，状态方程为x& = A(t ) x + B(t )ux(t0 ) = x0 , t, t0 J,为p其中：x 为维状态向量，un维

19、输入向量，A ( t ) 和B (t )分别为 n n 和唯一性条件。n p 的时变矩阵且满足解的存在第三章结论 1： 格拉姆矩阵判据 线性时变系统在时刻 t 0 为完全能控的充分必要条件是，t1 J , t1 t 0存在一个有限时刻，使如下定义的格拉姆矩阵t1F(t0t=, t ) B (t ) BT (t ) FT (tWt, t D, t )dtc0100为非奇异。第三章结论 2： 秩判据 ) 是n -A ( t )和B是(设阶连续可微的，则线性时变系统在时刻 t0 为完全能控的一个充分条件是，存在一个有t1 J , t1t 0限时刻使成立：rank MM n -1 (t1 ) = nL

20、0 (t1 )M 1 (t1 )第三章=M( t )B ( t )其中：0d( t ) =-+MA ( t ) M( t )M( t )100d t d( t ) =-+MA ( t ) M( t )M( t )211d tLLLd( t ) =-+MA ( t ) M( t )M( t )n - 1n - 2n - 2d t第三章例 ：考虑如下的线性时变系统： x&1 t x1 0 12t 0t0= 0.500 x + 1 u2&=x0 2 x& 0+ t x 1 t 2 3 3 J = 0, 2 ,判断系统的能控性。第三章通过计算，求出 0 1 =M( t )B( t )0 1 - 1-

21、2 tt d( t ) =-( t ) +=MA( t ) MM( t )100d t - t3t-2d(t ) = (t ) = - A (t ) M(t ) +4 t 2 - 2MM (t 2211dt + t ) 2 - 2 t - 1第三章因为-1-2t-t2 -t03t4t2 -2M (t) = 1M (t)M (t)1012(t2 +t)2 -2t -1t=1 的秩为t0. 5是完全能对3 ，所以系统在时刻0控的。第三章3.3 线性连续时间系统的能观测性判据u 线性定常系统的能观测性判据u =x&0时的状态方程和输出方程0 , t 0Ay = Cx维状态向量， y 为 q 维输出向

22、量，A其中：xn和 C 分为别为 n n和q n常阵。第三章结论 1： 格拉姆矩阵判据 线性定常系统为完全能观测的充分必要条件是，存在时刻t10，使如下定义的格拉姆（Gram）矩阵t1 eAT tCTCeAt dt0W 0,t =Do1为非奇异。第三 章结论 2： 秩判据 线性定常系统为完全能观测的充分必要条件是，C CAMrank = nn -1CA TLrank C T= nAT C TA 的维数。C T(或其中， n 为矩阵TL CTTTTQAC(Co称为系统的能观测性判别阵。第三章结论 3： PBH秩判据 A= 1, 2 , Ll i( i, n ) ，均成立：的所有特征值rank C

23、1, 2,L , n= n, i = l I - A i或等价地表示为Crank s I - A = n, s 复数域( s I - A)和C 是右互质的。也即第三章结论 4： PBH特征向量判据 线性定常系统为完全能观测的充分必要条件是， A 没有与A 的任意一特C 的所有行相正交的非零右特征向量。也即对征值 l i ，使同时满足Aa= lia 0 。Ca= 0,a的特征向量第三章结论 5： 约当 规范形判据线性定常系统为完全能观测的充分必要条件是：, Ll 1 , l 2, l n当矩阵 A 的特征值为两两相异时，对 l1角线规范形l2&= xx中，Oly = Cx C 不包含元素全为零的

24、列。n 第三章），L当矩阵 A 的特征值为 l 1 (s），l 2(s 2 重1重+ L + s l ) = n 时，约当规范形）且 (s 1+ s 2A% x% C% x%J 2l l (s l 重x&%=y = J1其中，%= AO( n n )J= C%1 ,l C%( q n )C% ,2C%lL ,第三章 Ji 1Ji 2=JOi ( s i s)iJ= C%i1 , liiaiC%i ( qs i )C%,i 21C%ia iL,1 l1O= iJi k ( rik rik )l C%= C%,ik (qrik )1iki L,C%,2ikC%rik第三章( ri1 + ri 2

25、+ L + ria i ) = s i而C%( k = 1, 2,L ,a )iki由的第一列所组成的矩阵C%1i1 ,C%,1i 2C%1ia iL ,i = 1, 2 , L, l对均为列线性无关。第三章例 ：给定线性定常系统的约当规范形为：-21-2 0-2x&% = x%-233013第三章40000030005312000y = 01 x%00第三章定出 40 0300 C%111 ,C%,112%=C05 113 00 31 C%121 ,%=C10 122 2显然，它们都是列线性无关的，因此可知系统为完全能观测。第三章u 能观测性指数完全能观测的线性定常系统，其中和 q n 的常

26、值矩阵。nA 和C C AM定义：=Qkk - 1C A为 kq n 常阵，其中 k 为正整数。rank Qn= nQ 0并且，知，且第三章=kv，而使k 的最小正整数k由 1 增加，直到现在，依次将vrank Qv= n，则称这个使上式成立的为系统的能观测性指数。rankC = m若，则成立n v n - m + 1q为矩阵 A 的最小多项式的次数，那么上式可表为n如令nn n v min(n , n - m + 1)q第三章若把 Qv 表为C CMC1n 个Qv2并且依次从上至下搜索中的线性无关的行。考虑到 C 的秩为 m，所以将这线性无关的行重新排列后为：qAACC1n 个2MqMA=Q

27、vCAv - 1C1 Cv - 1AMA2 Cv - 1q第三章C通常，称 v1 ,vm ,1AL ,v2 ,C1M( A,C)为系统的能观测性指数集。v 1 - 1CA CC;1而且，显然有：2v 2+ Lv1+v m=An2MMv = max v1 ,vm ,; L ,v2 ,- 1和vvCA22v ,L ,v,v或者12mCCm对系统的作线性非奇异变换，它们都保持不变。AmM- 1vCAmm第三章v = n当 q = 1，系统单输出时，有可将判断能观测性的秩判据简化为：= m ，则系统为能观测的充分必要条件为：rankC若CCAM= rank = nrankQn-m+1-nmCA第三章u

28、 线性时变系统的能观测性判据线性时变系统x& = A(t ) x y = C (t ) xx(t0 ) = x0 , t, t0 J,n n其中：J 为时间定义区间，A ( t ) 和 C (t ) 分别为和n p的时变矩阵。第三章结论 1： 格拉姆矩阵判据 线性时变系统在时刻 t 0 为完全能观测的充分必要条件是，t1 J , t1t 0存在一个有限时刻，使如下定义的格拉姆矩阵t1FTt)C T (t )C (t ) F(t , t=Wt, t (t , t)dtD001000为非奇异，其中 F( , ) 为状态转移矩阵。第三章结论 2： 秩判据 ) 是n -A ( t )和 C是(设阶连续

29、可微的，则线性时变系统在时刻 t0 为完全能观测的一个充分条件是，存在一个有t1 J , t1t 0限时刻使成立：N 0 (t1 )N(t)rank = n11M N(t ) 1n -1第三章=N( t )C( t )其中：0Nt ) At )0LLLNdt ) At )n - 2第三章3.4 对偶性原理u 对偶系统S线性时变系统x& = A(t ) x + B(t )u y = C (t ) x分别为 n 1，p 1xy，输入 u 和输出其中：状态和 q 1的列向量。第三章定义如下构成的线性时变系统 S：dj& Tf T为系统 S= - AT (t )j T= BT (t )j T+ CT

30、(t )h T的对偶系统，其中协状态 j 、输入h和输出 f 分别为1 n 、1 q和1 p的行向量。第三章线性定常系统 Sx& = Ax + Buy = CxS相应的对偶系统dj& Tf T= - ATj T= BTj T+ CTh TS 和 Sd 之间有着如下的一些对应关系。第三章令 F ( t , t 0 )为系统S的状态转移矩阵， Fd (t,t0 ) 为其对偶系统的状态转移矩阵，则必成立：F d (t , t0 ) = F(t0 , t )T证：0 = d F(t,t )F-1(t,t )00dt dF(t,t ) F-1(t,t ) + F(t,t ) dF-1(t,t )=000

31、0dtdt= A(t)F(t,t ) F-1(t,t ) + F(t,t ) d F(t ,t)0000dt= A(t) + F(t,t0 )F (t0 ,t)第三章 F (t0 ,t) = -F(t0 ,t) A(t)，F(t0 ,t0 ) = I F T (t ,t) = - AT (t)FT (t ,t)，FT (t ,t ) = I0000系统 S 和对偶系统S的方块图是对偶的。dx +B(t)C(t)u+y+jT-fThTAT (t)A(t)第三章t系统 S 的运动是状态点在状态空间中由 t0 至的正时t0向转移，而对偶系统的运动是协状态在状态空间中由 t 至反时向转移。u 对偶性原

32、理系统 S 和其对偶系统S关系。d 在能控性和能观测性上具有对应u 结论S的完全能控等同于S d 的完全能观测。S的完全能观测等同于 S d的完全能控。第三章3.5线性离散时间系统的能控性和能观性能控性和能达性定义S : x(k +1) = G(k )x(k ) + H (k )u(k )，k Jk离散时间定义区间定义 1：对h Jk ，所有x(h) 0，存在l Jk ，l h，对应控制u(k )，使状态x(l) = 0，则称系统S在h时刻为完全能控。定义 2：对h Jk ， x(h) = 0，存在l Jk ，l h ，对应的控制u(k )，使状态x(l) 可为任意非零点，则称系统S在h时刻为

33、完全能达。第三章结论1：线性离散时间系统的能控性和能达性等价的充分必要条件是，其系统矩阵G(k )对所有k h,l -1为非奇异。结论2：线性定常离散时间系统的能控性和能达性等价的充分必要条件是，其系统矩阵G 为非奇异。结论3：如果线性离散时间系统是相应的连续时间系统的时间离散化模型，则其能控性和能达性必是等价的。(G(k ) = F(k +1, k )，k Jk )第三章能控性和能达性判据结论 1(时变 Gram 判据)：线性时变离散系统S在时刻h Jk完全能达的充分必要条件是，存在l Jk ，l h，使 Gram矩阵l-1W h,l =F(l, k +1)H (k )H(k )F (l,

34、k +1)TTck =h为非奇异。若G(k )对所有k h,l -1非奇异，则上述条件也是完全能控的充分必要条件，否则仅为充分条件。第三章结论 2(定常 Gram 判据)：线性定常离散系统S 完全能达的充分必要条件是，存在l Jk ，l 0，使 Gram 矩阵l -1W 0,l =kTTkG HH(G )ck =0为非奇异。若G 非奇异，则上述条件也是完全能控的充分必要条件，否则仅为充分条件。结论 3(定常秩判据)：线性定常离散系统S完全能达的充分必要条件是rank HGn-1H = nGH若G 非奇异，则上述条件也是完全能控的充分必要条件，否则仅为充分条件。第三章例：(自学)尽管不满足充分性

35、判别条件，但系统完全能控。推论(最小拍控制)：单输入线性定常离散系统S : x(k +1) = Gx(k ) + hu(k )，k = 0,1,G 非奇异，则当系统完全能控时，可构造如下控制u(0)u(1)-1 = - G-1hG-nhxG-2h0#u(n -1)使在n步内，将任意非零状态x(0) = x0转移到原点。第三章证：利用状态运动关系式0 = x(n) = Gn x(0) + Gn-1hu(0) + Ghu(n - 2) + hu(n -1)u(0)#h = Gn x(0) + Gn-1hGhu(n - 2) u(n -1) 能观性及其判据S : x(k +1) = G(k )x(k

36、 )，k Jky(k ) = C(k )x(k )第三章定义：对h Jk ，任意x(h) 0，存在l Jk ，l h，且可由h,l上的输出y(k ) 唯一地确定x(h)，则称系统S在h时刻为完全能观。判据(自学，对偶能达性)：时变 1，定常 2，(最小拍观测)离散化线性系统保持能控和能观性的条件S : x = Ax + Bu ，t 0y = CxST : x(k +1) = Gx(k ) + Bu(k )，k = 0,1, 2,y(k ) = Cx(k )Ttt B。其中G =e， H =ATAed0第三章结论：l1, l2 , lm 为A全部特征值，且当i j 时有li l j ， 则 ST

37、 保持能控 ( 能观 ) 的一个充分条件是， 对满足Reli - l j = 0，i, j = 1, 2, m 的特征值成立T 2lp，l = 1, 2,Im(li - l j )例：(自学)第三章3.6 能控规范形和能观测规范形：单输入单输出情形完全能控或完全能观测系统，构造一个非奇异变换阵，变换 成标准形式，称为能控规范形或能观测规范形。u 能控规范形完全能控的单输入单输出线性定常系统S :x& = Ax + bu y = cx其中，A 为 n n常阵，b 和 c常阵。分别为 n 1和 1 n第三章完全能控Lrank bAn-1b = nAb则特征多项式为+L+ a s + an-det(sI - A) =Da (s) = sn+ a1sn-110定义如下 n个常数bn-1= cbbn-2= cAb + an-1cbbLL= cLA n - 2b + acAn -3b + L + a cbn -112cAn -2b + L + a cb= cAn -1b + abn -101第三章构造如下的变换阵1an-1OOLP =e ,b e