复变函数的微积分

1、复变函数的微积分基本要求：基本要求： 1. 1. 理解解析函数的定义。理解解析函数的定义。 2 2掌握掌握C-RC-R条件与解析函数及调和函数的关系条件与解析函数及调和函数的关系 3. 3. 掌握科希定理和科希公式，理解其证明方法及掌握科希定理和科希公式，理解其证明方法及关键步骤。关键步骤。内容：内容： 复变函数的导数，科希一里曼方程，解析函数，复变函数的导数，科希一里曼方程，解析函数，共轭调和函数，平面标量场及多值函数；复变函数的共轭调和函数，平面标量场及多值函数；复变函数的积分，单积分，单, ,复通区域上的科希定理和科希公式。复通区域上的科希定理和科希公式。12导导 数数一、 导数的定义：

2、 设 为单值函数，即对于B上的每一个z值，有且只有一个w值与之相对应。如果对于B上的某点z, 极限存在，且与z0 的方式无关，则称函数 w =f(z) 在 z 点可导，此极限定义为函数 w=f(z) 在z点的导数（或微商）， 记为Bzzfw )(zzfzzfzwzz)()(limlim00)( )(zfdzzdf或3与实变函数导数的区别：实变函数：x0；复变函数：z0z0 方式图示xyo z02、z=iy1、z=x3、z=x+iy4二、求导公式二、求导公式,dddd)(dd,dd/1dd,)(dd,dddd)(dd,dddd)(dd222121212121212121zwwFwFzwzzwww

3、wwwwwzzwwwzwwwzzwzwwwz,1lndd,sincosdd,cossindd,eedd,dd1zzzzzzzzzznzzzzznn5 必须指出，复变函数和实变函数的导必须指出，复变函数和实变函数的导数定义，虽然形式上一样，实质上却有很数定义，虽然形式上一样，实质上却有很大的不同这是因为实变数大的不同这是因为实变数xx只能沿着实只能沿着实轴逼近零、复变数轴逼近零、复变数z z 却可以沿复数平面却可以沿复数平面上的任一曲线逼近零因此，与实变函数上的任一曲线逼近零因此，与实变函数的可导相比，复变函数可导的要求要严格的可导相比，复变函数可导的要求要严格得多得多6三、柯西-黎曼（Cauc

4、hy-Riemann）方程证明：1、实轴方向 , z=x2、虚轴方向 , z=iy xvixuxviux0lim0y0 xxyo z02、z=iy1、z=xyuiyvyiviuy0lim7yuiyvxvixu 3、f(z)可导， 与z0 的方式无关，因此从而： C-R方程是可导的必要条件。方程是可导的必要条件。dzdf /柯西柯西-黎曼（黎曼（Cauchy-Riemann）方程）方程yuxvyvxu ,8例:, 0 , 0 , 0 , 1yvxvyuxu不满足C-R条件, 00 , 0 , 1 , 0 yizwyizwhenxxzwxzwhen事实上, 0 , ,Revxuxzw9可导的充要条

5、件可导的充要条件：u(x,y) 和v(x,y) 的偏导数存在、连续，且满足C-R条件, 则复变函数 f(z)=u(x,y)+iv(x,y) 可导。yvxvyuxu , , ,满足满足C-R条件。条件。可见可见C-R条件不是复变函数可导的充分条件条件不是复变函数可导的充分条件沿实轴或虚轴， z, 2/or 00lim00zzzf10,1 ,1vuvu极坐标中的极坐标中的C-R方程：方程：极限极限 是与是与 的方式无关的有限值的方式无关的有限值若复变函数可导，则其实部和虚部通过若复变函数可导，则其实部和虚部通过C-R而联系起来而联系起来zfz0lim0z11 复变函数求导方法复变函数求导方法( (

6、如果存在）如果存在）: :一、 已知 f(z), 求导: 与实变函数求导类似。二、已知 u(x,y)+iv(x,y), 求导:(1.3.2) and (1.3.1) yuiyvxvixudzdw;1nnnzdzdwzw;cossinzdzdwzw1233222222323)()(3 2)(3 )-(3-6)3(3)(izzfziizixyyxiyxixydzdfxyxiyxyzf例：13解析函数解析函数一、 解析函数的解析函数的 定义：如果单值函数f(z) 在点 z0及其邻域内处处可导，则称 f(z) 在 z0 点解析。又若f(z)在区域B上每一点都解析（可导），则称 f(z)是区域B上的解析

7、函数 z0 点可导与 z0 点 解析的区别: 函数 f(z)=|z|2 (1.4例2)在 z=0 点可导，而在其他点均不可导，故 z=0 点不解析。 z0z0 邻邻域域14可导与解析的关系可导与解析的关系z0 点解析点解析z0 点可导点可导区域上可导区域上可导区域上解析区域上解析不一定！15二. 解析函数的性质：若函数 f(z)=u+iv 在区域 B 上解析，则 1、u(x, y)=C1 与 v(x, y)=C2 互相正交;将C-R方程两边对应相乘, 得 u(x, y)=C1 与与 v(x, y)=C2 互相正交互相正交;xvyuyvxu ;0yvyuxvxu0vu162、2u=0 和 2v=

8、0, 即 u 和 v 是调和函数;将前式对x求导,后式对y求导, 相加, 得同理可得 共轭调和函数xvyuyvxu ; 02222yuxu; 02222yvxv 复变函数的积分复变函数的积分复变函数的积分复变函数的积分复平面上的复平面上的路积分路积分 定义定义: 复平面分段光滑曲线L上的连续函数 f(z)，作和17A xyo Bz0znlz1zk-1zkknkkkkzzf11)(18存在且与存在且与 k的选取无关的选取无关, 则这个和的极限称则这个和的极限称为函数为函数f(z) 沿曲线沿曲线l从从A到到B的路积分，记为的路积分，记为nkkkkznlzzfdzzfk110|max )(lim)(

9、即1 1max|0lim()()knkkknkzfzz若若ldzzf)( 分量形式：f(z)=u(x,y)+iv(x,y), z=x+iy 参数形式：曲线l 的参数方程 x=x(t), y=y(t), 起始点A 和结束点 BtA, tB19lllvdxudyivdyudxdzzf)(BABAttlttdtdtdxvdtdyuidtdtdyvdtdxudzzf.)(20几个重要性质1。常数因子可以移到积分号之外2。函数和的积分等于各函数积分的和3。反转积分路径，积分值变号 lnlllndzzfdzzfdzzfdzzfzfzf)(.)()()(.)()(2121llzzfczzcfd)(d)(21

10、lldzzfdzzf)()(4。全路径上的积分等于各分段上的积分之和。全路径上的积分等于各分段上的积分之和 即：即： 如果如果 l=l1+l2+ln5。积分不等式积分不等式1：6。积分不等式积分不等式2： 其中其中 M 是是 |f(z)| 在在 l 上的最大值，上的最大值，L 是是 l 的全长。的全长。nlllldzzfdzzfdzzfdzzf)(.)()()(21llzzfzzfd)(d)(MLdzzfl)(22例例 计算积分计算积分解解,dRe ,dRe2121llzzIzzI ,2110101iidyxdxI21010102xdxidyI一般言一般言,复变函数的积分复变函数的积分不仅与起

11、点和终点有关不仅与起点和终点有关,同时还与路径有关同时还与路径有关.oxyl1l1l2l211+ii柯西（柯西（Cauchy）定理）定理 研究积分与路径之间的关系研究积分与路径之间的关系（一）单连通域情形（一）单连通域情形单连通域单连通域 在其中作任何简单闭合围线，围在其中作任何简单闭合围线，围线内的点都是属于该区域内的点线内的点都是属于该区域内的点单连通区域的单连通区域的Cauchy 定理定理 ：如果函数 f(z) 在闭单连通区域 中单值且解析， 则沿 中任何一个分段光滑的闭合曲线 c (也可以是 的边界l), 函数的积分为零。BB23B24cdzzf0)(oxylBco证明：由路径积分的定

12、义：cccudyvdxivdyudxdzzf)(因因 f(z)在在 上解析，因而上解析，因而 在在 上连续，上连续，Byvxvyuxu,B25对实部虚部分别应用格林公式对实部虚部分别应用格林公式 将回路积分化成面积分将回路积分化成面积分csyxyPxQyQxPddddscsyxyvxuiyxyuxvzzfddddd)(又又u、v 满足满足C-R条件条件 , ,xvyuyvxu故故cdzzf0)(26推广：推广：若f(z)在单连通域B上解析，在闭单连通域 上连续，则沿 上任一分段光滑闭合曲线C (也可以是 的边界)，有 （二）复连通域情形（二）复连通域情形如果区域内存在：如果区域内存在：（1）奇

13、点）奇点 ；（；（2）不连续线）不连续线 段段 ； （3）无）无定义区定义区 为了把这些奇异部分排除在外，需要作适当的为了把这些奇异部分排除在外，需要作适当的围道围道 l1、l2、 l3 把它们分隔开来，把它们分隔开来，形成形成带孔的区域-复连通区域复连通区域。BBBcdzzf0)(一般言，在区域内，只要有一个简单的闭合围线其内有不属于该区域的点，这样的区域便称为复连通域区域边界线的正向 当观察者沿着这个方向前进时，区域总是在观察者的左边。 27 xy l1l2l3l0Bo28复连通区域的复连通区域的Cauchy 定理定理：如果如果 f(z) 是闭复连通区域是闭复连通区域 中的单值解析中的单值

14、解析函数，则函数，则0d)(d)(1lnilizzfzzfBl 为外边界线，为外边界线， li为内边界为内边界线，积分沿边界线正向线，积分沿边界线正向证：证： 作割线连接内外边界线作割线连接内外边界线 290d)(d)(d)(d)(d)(d)(d)(21CDlCDABlABlzzfzzfzzfzzfzzfzzfzzf0d)(d)(d)(21lllzzfzzfzzflnilizzfzzf1d)(d)(30lnilizzfzzf1d)(d)(即31柯西定理总结：柯西定理总结：1。若若f f( (z z) )在单连通域在单连通域B B上解析，在闭单连通上解析，在闭单连通域域 上连续，则沿上连续，则沿

15、 上任一分段光滑闭合上任一分段光滑闭合曲线曲线C( (也可以是也可以是 的边界的边界) )的积分为零；的积分为零； 2。闭复连通区域上的单值解析函数沿所有闭复连通区域上的单值解析函数沿所有内外境界线正方向的积分为零；内外境界线正方向的积分为零；3。闭复连通区域上的单值解析函数沿外境。闭复连通区域上的单值解析函数沿外境界线逆时针方向的积分等于沿所有内境界线界线逆时针方向的积分等于沿所有内境界线逆时针方向积分之和；逆时针方向积分之和；BBB32由由Cauchy Cauchy 定理可推出：定理可推出： （与开头呼应！与开头呼应！） 在闭单连通区域或复连通区域中解析的函数在闭单连通区域或复连通区域中解

16、析的函数f f( (z z) )，其路积分值只依赖于起点和终点，而，其路积分值只依赖于起点和终点，而与积分路径无关与积分路径无关。证明：由图可知其中 表示C2 的反方向。由积分的基本性质可得：33210)(CCdzzf2C2121)()()(CCCCdzzfdzzfdzzfADBC2C134最后可得：最后可得：只要起点和终点固定不变，当积分路径只要起点和终点固定不变，当积分路径连续变形时（不跳过连续变形时（不跳过“孔孔”）时，函数）时，函数的路积分值不变的路积分值不变21)()(CCdzzfdzzf不定积分不定积分单连通区域中解析函数单连通区域中解析函数 f(z) 的积分值与路经无关，的积分值

17、与路经无关，令令z0固定，终点固定，终点z 为变点，有单值函数为变点，有单值函数ABl2l1zzdfzF0)()()()( zfzF且：且：F(z) 是是f(z) 的原函数的原函数21)()()(12zzdfzFzF还有还有证略证略36思考被积函数为解析函数和非解析函数的区别思考被积函数为解析函数和非解析函数的区别lndzzI)(例例2：计算积分：计算积分l CR（n 为整数）为整数）解：解：n 0 被积函数解析被积函数解析0)(lndzzn 1lnzzdze011)!1(2zznnedzdni)!1(2ni讨论如下积分的求解过程：461、计算：、计算：) ( 为整数其中 ndzzIban2、计算：计算：lzzzdze)1(2l为圆为圆21 iz;, 3,2, 1,0,nzdzelnzl为圆为圆1z3、计算：计算：例：计算积分例：计算积分解：（1）当 n-1 时， zn 的原函数是 z(n+1)/(n+1) 故（2）当 n=-1 时，z-1 的原函数是 ln(z), 故47) ( 为整数其中 ndzzIban) 1( ,1111na