大学物理学上册习题解答

1、大学物理学习题答案习题一答案习题一1.1简要回答下列问题：(1)位移和路程有何区别？在什么情况下二者的量值相等？在什么情况下二者的量值不相 等？(2)平均速度和平均速率有何区别？在什么情况下二者的量值相等？(3)瞬时速度和平均速度的关系和区别是什么？瞬时速率和平均速率的关系和区别又是什 么？(4)质点的位矢方向不变，它是否一定做直线运动？质点做直线运动，其位矢的方向是否一 定保持不变？精选范本d2r dt2而求得结果;又有人先计算速度和加速度的分量,再合成求得结果，即2dx2合 及dtd2x dt2,22d ydt2(6)设质点的运动方程为：x x t , y y t ,在计算质点的速度和加速

2、度时，有人先求出r, x2 y2 ,然后根据dr 力v 一 及dt那么，该质点的速度和位矢与时间的关系你认为两种方法哪一种正确？两者区别何在？ 如果一质点的加速度与时间的关系是线性的,是否也是线性的？(8) “物体做曲线运动时，速度方向一定在运动轨道的切线方向，法向分速度恒为零，因此 其法向加速度也一定为零.”这种说法正确吗？(9)任意平面曲线运动的加速度的方向总指向曲线凹进那一侧，为什么？(10)质点沿圆周运动，且速率随时间均匀增大，an、at、a三者的大小是否随时间改变?(11) 一个人在以恒定速度运动的火车上竖直向上抛出一石子，此石子能否落回他的手中? 如果石子抛出后，火车以恒定加速度前

3、进，结果又如何？1.2 一质点沿x轴运动，坐标与时间的变化关系为x 4t 2t2,式中x,t分别以m、s为单位，试计算：(1)在最初2s内的位移、平均速度和 2s末的瞬时速度；(2) 1s末到3s末的平均加速度；(3) 3s末的瞬时加速度。解:(1)最初2s内的位移为为:x x(2) x(0) 0 0 0(m/s)x 0取初2s内的平均速度为：vave 一 0(m/s)t 2dxt时刻的瞬时速度为：v(t) 4 4tdt2s末的瞬时速度为：v(2) 4 4 2 4m/s(2) 1s末到3s末的平均加速度为:aavev v(3) v(1)8 0t 224m/s2(3) 3s末的瞬时加速度为：a

4、dv包44(m/s2)。dt dt1.3质点作直线运动，初速度为零，初始加速度为a0,质点出发后，每经过 时间，加速度均匀增加bo求经过t时间后，质点的速度和位移。 解：由题意知，加速度和时间的关系为b .aa。一 t利用dv adt,并取积分得vdv0b, % 一ta°tr2再利用dx vdt,并取积分设t 0时x00得xdxx1.4 一质点从位矢为r(0)r4j的位置以初速度v(0)r4i开始运动,其加速度与时间的关一，r r J ,系为a (3t)i 2j .所有的长度以米计，时间以秒计.求：(1)经过多长时间质点到达 x轴；(2)到达x轴时的位置。r r t r3 0r r解

5、： v(t) v(0)°a(t)dt 4 |t2 i (2t) jrt r1 3 r2 rr(t) r(0)0v t dt 4t -t i 4 t j(1) 当4 t2 0,即t 2s时，到达x轴。(2) t 2s时到达x轴的位矢为：r(2) 12r即质点到达x轴时的位置为x 12m, y 0。1.5 一质点沿x轴运动，其加速度与坐标的关系为 a 2x,式中 为常数，设t 0时刻的质点坐标为xo、速度为Vo ,求质点的速度与坐标的关系。解：按题意由此有d2x dt2,22 d x dvdv dxdvx 2- V ,dt dtdx dtdx即vdv 2xdx,Vx x两边取积分vdv

6、xdx,v0xo得I v2 -2 v(21 2x2 2 2x22由此给出v 、A2 x2 , A2%x(221.6 一质点的运动万程为 r(t) i 4t j tk ,式中r , t分别以m、s为单位。试求: (1)质点的速度与加速度；(2)质点的轨迹方程。V一v dr v v dv 解：(1)速度和加速度分别为：1 江 (8t)j k, a 8jdtdt(2)令r(t) xi yj zk ,与所给条件比较可知所以轨迹方程为：x 1, y 4z2 021.1.7已知质点作直线运动，其速度为 v 3t t (ms ),求质点在0 4s时间内的路程。解：在求解本题中要注意：在 0 4s时间内，速度

7、有时大于零，有时小于零，因而运动出现往返。如果计算积分vdt,则求出的是位移而不是路程。求路程应当计算积分|v dt。00令 v 3t t2 0,解得 t 3s。由此可知：t 3s 时，v 0, v v； t 3s 时，v 0；而t 3s时，v 0, vv。因而质点在04s时间内的路程为1.8在离船的高度为船的速度和加速度。解：建立坐标系如题程，由图题两边求微分,船速为,dr按题意出v dtvdt02t2(v)dt33t33t0It2t23t3dt3t t2 dt3-1 ，、6-(m) °h的岸边，一人以恒定的速率 Vo收绳，求当船头与岸的水平距离为 x时,1.8图所示，船沿 X轴方

8、向作直线运动，欲求速度，应先建立运动方1.8 ,可得出则有c dx2x 一dtdx vdth2c dr2r dtr dr x dtVo （负号表示绳随时间t缩短），所以船速为.x2 h2 vox负号表明船速与X轴正向反向，船速与 得船的加速度为x有关,说明船作变速运动。将上式对时间求导，可dv dt2 2 h Vo3x负号表明船的加速度与 x轴正方向相反, 速运动。与船速方向相同，加速度与 x有关，说明船作变加1.9 一质点沿半径为10cm的圆周运动，其角坐标(以弧度rad计)可用下式表示2 4t3其中t的单位是秒(s)试问：(1)在t 2s时，它的法向加速度和切向加速度各是多少? (2)当等

9、于多少时其总加速度与半径成45o角？解：(1)利用 2 4t3, d /dt 12t2, d /dt 24t,得到法向加速度和切向加速度的表达式24.an r 144rt , at r 24rt在t 2s时，法向加速度和切向加速度为：an 144rt4 144 0.1 24 230.4(m s2),at24rt 24 0.1 2 4.8(m s2)(2)要使总加速度与半径成 45o角，必须有an at,即144rt4 24rt解得 t3 1/6,此时 2 4t32.67 rad1.10 甲乙两船，甲以10km/h的速度向东行驶，乙以15km/h的速度向南行驶。问坐在乙船 上的人看来，甲船的速度

10、如何？坐在甲船上的人看来乙船的速度又如何？解：以地球为参照系，设 i、j分别代表正东和正北方向，则甲乙两船速度分别为v1 10ikm/h, v215jkm/h根据伽利略变换，当以乙船为参照物时，甲船速度为v v1 v2 (10i 15j )km/hvJ102 152 18.1km/h, arctg 56.3110即在乙船上看，甲船速度为 18.1km/h,方向为东偏北56.31同理，在甲船上看，乙船速度为18.1km/h,方向为西偏南56.31。1.11 有一水平飞行的飞机，速率为Vo,在飞机上安置一门大炮，炮弹以水平速度v向前射击。略去空气阻力，(1)以地球为参照系，求炮弹的轨迹方程；(2)

11、以飞机为参照系，求炮弹的轨迹方程；(3)以炮弹为参照系，飞机的轨迹如何？2 解：(1)以地球为参照系时，炮弹的初速度为Vi v Vo,而x vt , y 0.5gt消去时间参数t,得到轨迹方程为：2ygx-r (若以竖直向下为y轴正方向，则负号去掉，下同)2(V Vo)2(2)以飞机为参照系时，炮弹的初速度为V ,同上可得轨迹方程为ygx22v2以炮弹为参照系，只需在（2）的求解过程中用x代替x, y代替y,可得 y2 gx 2v2 .1.12率为如题1.12图，一条船平行于平直的海岸线航行，离岸的距离为一艘速u v的海上警卫快艇从一港口出去拦截这条船。试证明：如果快艇在尽可能最迟的时刻出发，

12、那么快艇出发时这条船到海岸线的垂线与港口的距离为Dv2 u2 x -;快艇截住这条船所需的时间为tDv习题1.12图 -°22u v u证明：在如图所示的坐标系中,船与快艇的运动方程分别为x1vtx2x u cos tViy2usin t拦截条件为:所以x取最大值的条件为:X1yX2V2dx/dvtx u cos tusin tucosusin0 ,由此得到cos u/v ,相应地sin.1 (u / v)2。因此x的最大值为D . v2 u2x x取最大值时对应的出发时间最迟。快艇截住这条船所需的时间为Dvusinu、v2 u2习题二答案习题二2.1 简要回答下列问题：(1)有人说

13、：牛顿第一定律只是牛顿第二定律在合外力等于零情况下的一个特例，因而 它是多余的.你的看法如何？(2)物体的运动方向与合外力方向是否一定相同？(3)物体受到了几个力的作用，是否一定产生加速度？(4)物体运动的速率不变，所受合外力是否一定为零？(5)物体速度很大，所受到的合外力是否也很大？(6)为什么重力势能有正负，弹性势能只有正值，而引力势能只有负值？(7)合外力对物体所做的功等于物体动能的增量，而其中某一分力做的功，能否大于物 体动能的增量？(8)质点的动量和动能是否与惯性系的选取有关？功是否与惯性系有关？质点的动量定 理与动能定理是否与惯性系有关？请举例说明(9)判断下列说法是否正确，并说明

14、理由：(a)不受外力作用的系统，它的动量和机械能都守恒(b)内力都是保守力的系统，当它所受的合外力为零时，其机械能守恒(c)只有保守内力作用而没有外力作用的系统，它的动量和机械能都守恒.(10)在弹性碰撞中，有哪些量保持不变，在非弹性碰撞中，又有哪些量保持不变？(11)放焰火时，一朵五彩缤纷的焰火质心运动轨迹如何？为什么在空中焰火总是以球形 逐渐扩大？(忽略空气阻力)2.2 质量为m质点在流体中作直线运动，受与速度成正比的阻力F kv (k为常数)作用，t 0时质点的速度为Vo,证明：(1) t时刻的速度为vkt mvoe;(2)由0到t的时间内经过的距离为 x (mvo/k) 1 ekt&#

15、39;m；(3)停止运动前经过的距离为 mv0/k。证明： 由ma mdv F kv分离变量得 生dt ,积分得dtv mIn Vokt mv°ev dvV。vt kt/mmv0kt/m、2.3 x vdtv0edt (1 e )0k(3)质点停止运动时速度为零，即 t ，故有x2.3 质量为10 kg的物体沿x轴无摩擦地运动，设kt/mv0e 出mvokt 0时，物体的速度为零，物体在力F 3 4t (N)(t以s为单位)的作用下运动了 3s,求它的速度和加速度 解.根据质点动量定理，Fdt mv mv0,3 4t dt mv0023t 2t20m3 3 2 3210_12.7(m

16、s )根据牛顿第二定律，F ma3 4tt 3m3 4 3101.5 (m/s 2)2.4 一颗子弹由枪口射出时速率为v0 ms1 ,当子弹在枪筒内被加速时，它所受的合力为F (a bt)N (a,b为常数)，其中t以秒为单位:(1)假设子弹运行到枪口处合力刚好为零，试计算子弹走完枪筒全长所需时间;(2)求子弹所受的冲量；(3)求子弹的质量。解：(1)由题意，子弹到枪口时，有F (a bt) 0,得t abt1oaa2(2)子弹所受的冲量I (a bt)dt at bt2,将t a代入，得I 02b2b(3)由动量定理可求得子弹的质量V。2a2bv02.5 一质量为m的质点在xoy平面上运动，

17、其位置矢量为r a cos ti bsin tj ,求质点的动量及t 0到t /2时间内质点所受的合力的冲量和质点动量的改变量。解：质点的动量为r r r .,rp mv m& m asin ti bcos tj将t 0和t /2分别代入上式，得p1 m br , p2m ar动量的增量，亦即质点所受外力的冲量为r rm (ai bj)公e一1, vv一.，、口2.6 作用在质量为10kg的物体上的力为 F (10 2t)iN ,式中t的单位是s。(1)求4s后，这物体的动量和速度的变化，以及力给予物体的冲量；(2)为了使这力的冲量为200Ns,该力应在这物体上作用多久，试就一原来静止

18、的物体和 v一个具有初速度 6jm s 1的物体，回答这两个问题。解：(1)若物体原来静止，则rP1rVit r 4r0 Fdt 0 (10 2t)idtP.r “ r5.6i ms, I1 m56r kgr56ikg1r v 1,右物体原来具有初速度 v06 jm s ，则r r r r t rP0 mv0, P(t)mv00Fdtr r r r于正P2P(t) P0Pi同理,r r r rV2Vi , 12 I 1这说明，只要力函数不变，作用时间相同，则不管物体有无初动量，也不管初动量有多 大，那么物体获得的动量的增量(亦即冲量)就一定相同，这就是动量定理.(2)同上理，两种情况中的作用时

19、间相同，即t2I o(10 2t)dt 10t t250kg的人从船尾走到船头M船V船m人v人 0令 10t t2 200,解得 t 10s。2.7 一小船质量为100kg,船头到船尾共长 3.6m。现有一质量为 时，船头将移动多少距离？假定水的阻力不计。解：由动量守恒t0 V 船dt ，如图，船的长度所以tM船0京V船dt即船头相对岸边移动 S船1.2m2.8质量m 2kg的质点,从静止出发沿3s内该力作的功。LFxdxVxVx0所以12t2.9 一地下蓄水池，面积为3.6彳1001 -501.2mX轴作直线运动，受力L(12t)dx30(12tVx)dtt0 ax出3t2 dtFxdt m

20、3 336t3dt0水深度为5.0m ,问欲将这池水全部抽到地面，需作功多少h1r _ r F (12t)i (N)，试求开始12 ttdt2 036,4 t43t2729(J)1.5m，假定水的上表面低于地面的高度是hoY习题2.9图dy解：建坐标如习题2.9图，图中h0表示水面到地面的距离,h1表示水深。水的密度为103 kg / m3 ,对于坐标为y、厚度为dy的一层水，其质量dm sdy ,将此层水抽到地面需作功dAdmgysgydy将蓄水池中的水全部抽到地面需作功h0 hih0dAh0h)hlsgydy2 sg h)h 2h2103509.82sg A2hchi1.52 25.0 1

21、.54.23 106 (J)2.10 一炮弹质量为 m ,以速度vv飞行，其内部炸药使此炮弹分裂为两块，爆炸后由于炸药k倍，如两者仍沿原方向飞行， 试证使弹片增加的动能为T,且一块的质量为另一块质量的其速率分别为v j2kT/m , v j2T/km。证明：设一块的质量为 门，则另一块的质量为m2kmi 。利用mim2 m,有kmm1m2又设mH的速度为V1 , m2的速度为则有 41121 2 一 mv2m1Vlm2 V2mv 动量守恒联立、解得v1 kv2 (k1)v, v1(k 1)vkv2联立、解得2T /而(v2、2.v),于是有2T km将其代入式，有(k1)v k2Tkm2kT

22、"m又因为爆炸后，两弹片仍沿原方向飞行,当k 1时只能取 v1v2kT2T,v2 v Vl°m. km2.11 一质量为m的子弹射入置于光滑水平面上质量为M并与劲度系数为k的轻弹簧连着的木块后使弹簧最大压缩了L ,求子弹射入前的速度v0.习题2.10图解：子弹射入木块到相对静止的过程是一个完全非弹性碰撞,时间极短，木块获得了速度,尚未位移，因而弹簧尚未压缩 .此时木块和子弹有共同的速度 Vi ,由动量守恒,m M V1 mV0此后，弹簧开始压缩，直到最大压缩，由机械能守恒,2m M V1由两式消去Vi ,解出V0得Vo km M m ,2.12 质量m的物体从静止开始，在竖

23、直平面内沿着固定白四分之一圆周从A滑到B。在B处时，物体速度的大小为 Vb。已知圆的半径为 R,求物体从 A滑到B的过程中摩擦力所作的功：（1）用功的定义求；（2）用动能定理求；（3）用功能原理求。解方法一：当物体滑到与水平成任意习题2.11图角的位置时,mg cosmat物体在切线方向的牛顿方程为dVm一 dtmg cosdv m一 dt注意摩擦力r与位移dr反向,且 |dr |RdAf2° mgcos,因此摩擦力的功为vb | dr | , Rd m dVmgR2cos dVbm VdV00 dtmgR 1miV2方法二： 选m为研究对象，合外力的功为r r r rA mg f

24、N drr r -考虑到 N dr 0,因而AAfAf mgRr2mg cos |dr | Af mgR 0 cos d由于动能增量为Ek-mvB 0, 2因而按动能定理有Af mgR1mvB, Af2mgR一 mvBo2方法三：选物体、地球组成的系统为研究对象，以B点为重力势能零点。初始在A点时，Ep0 mgR、Ek0 012终了在 B 点时，Ep 0, Ek mvB212_由功能原理知：AfE E1 E0 -mv2 mgR经比较可知，用功能原理求最简捷。k ,物体m与桌面2.13 墙壁上固定一弹簧，弹簧另一端连接一个物体，弹簧的劲度系数为间的摩擦因素为 ，若以恒力F将物体自平衡点向右拉动，

25、试求到达最远时，系统的势能。fkf习题2.12图解：物体水平受力如图，其中fkmg。物体到达最远时，v 0。设此时物体的位移为x,由动能定理有F -kx-mg dxFx - - kx2 - mgx解出2 F mgx k系统的势能为Ep1kx2 222 F mgk2.14 一双原子分子的势能函数为126ro° roE p( r) Eo2 -r r式中r为二原子间的距离，试证明：ro为分子势能极小时的原子间距；分子势能的极小值为Eo ；当Ep(r) o时，原子间距离为 ?； p 6 2证明：(1)当 dEp(r) o、 drd2Ep(r)dr2o时，势能有极小值 Ep(r)min。由dE

26、p(r)dr:Eo dr126乜 21 rr12612Eo 与 3 or r126ro5rr所以r ro,即ro为分子势能取极值时的原子间距。另一方面,.212_6-Pp 12Eo 13果 73drr rro时,d2EP(r)dr213 712Eo 22ro ro72Eo2ro0 ,所以r ro时，EP(r)取最小值。126Eo当rro时，EP(r)m.E0五 2五roro126o,得到(3)令 EP(r)Eo 凡 2 包r r1266五 2五 o,k 2, r 2rrr6 22.15 质量为7.2 X 1o-23kg,速度为6.o X 1o7m/s的粒子A,与另一个质量为其一半而静止的粒子B

27、相碰，假定这碰撞是弹性碰撞，碰撞后粒子A的速率为5X1o7m/s,求：粒子B的速率及偏转角；粒子A的偏转角。解：两粒子的碰撞满足动量守恒写成分量式有碰撞是弹性碰撞，动能不变:利用mAVa习题2.14图mAvAmAv'AmAvA mAv'A cosmAV'A sin12-mAvA 27.2 10 23 kg ,mBV'BmBv'B cosmBv' b sin12 mAvJmBV。 2mBmA23.6 10 23kg ,vA 6.0 107m/s, v'A5.07,10 m/s,可解得v'B 4.69 107 m/s,54 4'

28、;,22 20'。2.16 平板中央开一小孔，质量为 m的小球用细线系住，细线穿过小孔后挂一质量为Mi的重物。小球作匀速圆周运动，当半径为r0时重物达到平衡。今在M 1的下方再挂一质量为 M 2的物体，如题2-15图。试问这时小球作匀速圆周运动的角速度和半径r为多少？习题2.15图解：在只挂重物 Mi时，小球作圆周运动的向心力为 Mig ,即Migmr0挂上M2后，则有(Mi M2)g2mr重力对圆心的力矩为零，故小球对圆心的角动量守恒.romvo联立、得0Migmr。Migmr。MiMM22/3M13/2MiM2q 8.75 1010 m 时的rvir2一v25.26 1012m2.

29、17 哈雷慧星绕太阳运动的轨道是一个椭圆。它离太阳最近距离为速率是5 5.46 104ms 1 ,它离太阳最远时的速率是 v2 9.08 102ms 1 ,这时它离太阳的距离2是多少？（太阳位于椭圆的一个焦点。）解：哈雷彗星绕太阳运动时受到太阳的引力一一即有心力的作用，所以角动量守恒；又由于哈雷彗星在近日点及远日点时的速度都与轨道半径垂直，故有r1mM r2mv21048.75 105.46 109.08 1022.18 查阅文献，对变质量力学问题进行分析和探讨，写成小论文。参考文献：1石照坤，变质量问题的教学之浅见，大学物理，1991年第10卷第10期。2任学藻、廖旭，变质量柔绳问题研究，大

30、学物理， 2006年第25卷第2期。2.19 通过查阅文献，形成对惯性系的进一步认识，写成小论文。参考文献：1高炳坤、李复，“惯性系”考，大学物理，2002年第21卷第4期。2高炳坤、李复，“惯性系”考 （续），大学物理，2002年第21卷第5期。习题三答案习题三3.1 简要回答下列问题：（1）地球由西向东自转，它的自转角速度矢量指向什么方向？作图说明.（2）刚体的转动惯量与那些因素有关？“一个确定的刚体有确定的转动惯量”这句话对吗？（3）平行于z轴的力对z轴的力矩一定为零，垂直于 z轴的力对z轴的力矩一定不为零.这 种说法正确吗？（4）如果刚体转动的角速度很大， 那么作用于其上的力是否一定很

31、大？作用于其上的力矩是 否一定很大？（5）两大小相同、质量相同的轮子，一个轮子的质量均匀分布，另一个轮子的质量主要集中 在轮子边缘，两轮绕通过轮心且垂直于轮面的轴转动。问：（a）如果作用在它们上面的外力矩相同，哪个轮子转动的角速度较大？（b）如果它们的角加速度相同，哪个轮子受到的力矩大？ （c）如果它们的角动量相等，哪个轮子转得快？（6）为什么质点系动能的改变不仅与外力有关，而且也与内力有关，而刚体绕定轴转动动能只与外力矩有关，而与内力矩无关？（7）下列物理量中，哪些与参考点的选择有关，哪些与参考点的选择无关：（a）位矢；（b）位移；（c）速度；（d）动量；（e）角动量；（f）力；（g）力矩.

32、（8）做匀速圆周运动的质点， 对于圆周上某一定点， 它的角动量是否守恒？对于通过圆心并 与圆平面垂直的轴上任一点， 它的角动量是否守恒？对于哪一个定点，它的角动量守恒？（9） 一人坐在角速度为0的转台上，手持一个旋转着的飞轮，其转轴垂直于地面，角速度为'。如果忽然使飞轮的转轴倒转，将发生什么情况？设转台和人的转动惯量为I ,飞轮的转动惯量为I '。3.2 质量为m长为l的均质杆，可以绕过 B端且与杆垂直的水平轴转动。开始时，用手支住A端，使杆与地面水平放置，问在突然撒手的瞬时，（1）绕B点的力矩和角加速度各是多少? （2）杆的质心加速度是多少？习题3.1图r解：（1）绕B点的力

33、矩M由重力产生，设杆的线密度为mgxdG0ml0 gxdm 0 gxdxm一，则绕B点的力矩为 l13 mgl杆绕B点的转动惯量为角加速度为(2)杆的质心加速度为m 2l 2I x dm x dxoo1ml2 3M7l_ 23g2l34g3.3 如图所示，两物体 1和2的质量分别为 与m2 ,滑轮的转动惯量为I ,半径为r。如物体2与桌面间的摩擦系数为，求系统的加速度 a及绳中的张力T1与T2(设绳子与滑轮间无相对滑动 )；如物体2与桌面间为光滑接触，求系统的加速度a及绳中的张力Ti与丁2。m2mi习题3.2图解：先做受力分析，物体 1受到重力m1g和绳的张力T1,对于滑轮，受到张力 丁和丁2

34、,对于物体2,在水平方向上受到摩擦力m2g和张力丁2,分别列出方程ng T1me T1m gT2m2gm2a T2m2T1T2 r M通过上面三个方程,可分别解出三个未知量m1m2a m1m2 r2gr2 I1T1m1-2m2r g在的解答中，取0即得2a-mga2m1m2 r I3.4电动机带动一个转动惯量为m1m1I=50kg2m2 rig Im2m1r2gIg-2.m1m2 r Im2r2gIg一 一 2m1m2 r I2mm2r g2 I °m1m2 r I m 2的系统作定轴转动。在0.5s内由静止开始最后求电动机对转动系统施加的rad / s2达到120r/min的转速。

35、假定在这一过程中转速是均匀增加的, 力矩。解：由于转速是均匀增加的，所以角加速度120r / min 2 rad / r o- 8t 0.5s 60s/ min从而力矩为_32M I 50 81.257 10 kgm s3.5 一飞轮直径为0.30m,质量为5.00kg ,边缘绕有绳子，现用恒力拉绳子的一端，使其由静止均匀的加速，经 0.50s转速达到10r/s 。假定飞轮可看作实心圆柱体，求：飞轮的角加速度及在这段时间内转过的转数；拉力及拉力所作的功；从拉动后t=10s时飞轮的角速度及轮边缘上一点的速度和加速度。解：飞轮的角加速度为10r / s 2 rad /r0.5s125.7rad/s

36、2转过的圈数为飞轮的转动惯量为1 10r / s212mr ,0.5s2.5r所以,拉力的大小为1 mr20.35 - 125.7 47.1(N)拉力做功为W FS F47.12.5 3.14 0.3 111(J)从拉动后t=10s时，轮角速度为轮边缘上一点的速度为轮边缘上一点的加速度为3.6飞轮的质量为60kg,直径为125.71031.257 10 (rad/s)r 1.257 103 0.15 188(m/s)r 125.7 0.15 18.8(m/s2)。0.50m,制动力F。假定闸瓦与飞轮之间的摩擦系数 寸如图所示。转速为1000r/min ,现要求在5s内使其制动，求=0.4 ,飞

37、轮的质量全部分布在轮的外周上。尺习题3.6图解：设在飞轮接触点上所需要的压力为F,则摩擦力为 F ,摩擦力的力矩为制动过程中，摩擦力的力矩不变，而角动量由dmv 变化到0,所以由 Mdt2d dLLo有解得fm_d 785.4N 。由杆的平衡条件得2 tF吗1.25314.2N 。3.7弹簧、定滑轮和物体的连接如图3.7所示，弹簧的劲度系数为2.0N m1 ;定滑轮的转动惯量是0.5kg m,半径为0.30m,问当6.0kg质量的物体落下 0.40m时，它的速率为多大？ 假设开始时物体静止而弹簧无伸长。精选范本习题3.7图解：当物体落下0.40m时，物体减少的势能转化为弹簧的势能、物体的动能和

38、滑轮的动能, 即mgh 1kh2 1mv2 ",22 2r将 m 6kg , g 9.8kgm/s2, h 0.4m, I 0.5kgm2, r 0.3m代入，得v 2.01m/s3.8 在自由旋转的水平圆盘上，站一质量为 m的人。圆盘的半径为 R,转动惯量为J ,角 速度为。如果这人由盘边走到盘心，求角速度的变化及此系统动能的变化。解：系统的角动量在整个过程中保持不变。人在盘边时，角动量为L I J mR2人走到盘心时角动量为L I J2因此mRJ2 21 J mR 22 J人在盘边和在盘心时，系统动能分别为12-21 . 21 .W1 m R J , W2 J222系统动能增加2

39、4W W2Wi2m 2R2 万 23.9 在半彳仝为R,质量为m的静止水平圆盘上，站一质量为m的人。圆盘可无摩擦地绕通过圆盘中心的竖直轴转动。当这人开始沿着与圆盘同心，半径为R2R2 R1的圆周匀速地 走动时，设他相对于圆盘的速度为v,问圆盘将以多大的角速度旋转？解：整个体系的角动量保持为零，设人匀速地走动时圆盘的角速度为，则L L人 L盘 m vR2 R2 2mR20解得2R2-2 vR2 2R；3.10 如题3.10图示，转台绕中心竖直轴以角速度0作匀速转动。转台对该轴的转动惯量J =5X 10-5 kg m2。现有砂粒以1g/s的速度落到转台，并粘在台面形成一半径 r =0.1m的圆。试

40、求砂粒落到转台，使转台角速度变为；0所花的时间。习题3.10图解：要使转台角速度变为 2由于砂粒落下时不能改变体系角动量，所以必须要使体系的转动惯量加倍才行，即m沙粒r2J。将J 5 10 5kg m2和r 0.1m代入得3 .m沙粒5 10 kg所以10 3 kg1g/s5s3.11 一脉冲星质量为1.5 X103°kg,半径为20km。自旋转速为2.1 r/s，并且以1.0X10-15r/s的变化率减慢。问它的转动动能以多大的变化率减小？如果这一变化率保持不变，这个脉冲星经过多长时间就会停止自旋？设脉冲星可看作匀质球体。 2 c解：脉冲星的转动惯量为I -mr25转动动能为W 1

41、1 2 1m 2r225转动动能的变化率为dW ：2mr2 工dt 5 dt1.99 1025J/s20.4 1.5 102 1042.1 21.0 102dtt,得停止自旋所需要的时间为2.1r/sZ Z1521.0 10 r/s2_152.1 1015s3.12两滑冰运动员，质量分别为M=60kg, M=70kg,它们的速率V=7m/s, VB=6m/s,在相距1.5m的两平行线上相向而行，当两者最接近时，便拉起手来，开始绕质心作圆周运动并保持两者间的距离为 1.5m。求该瞬时：系统的总角动量；系统的角速度；两人拉手前、后的总动能。这一过程中能量是否守恒，为什么?解：设两滑冰运动员拉手后，

42、两人相距为s ,两人与质心距离分别为和rB ,则MbMa一s , MbbMaMa Mb两人拉手前系统总角动量为LLaLb M aVaaM bVbbAM BMa MbVa Vb s2 .630kgm /s设两人拉手后系统的角速度为,由于两人拉手后系统角动量不变所以,两人拉手前总动能为:22L M aa M bbL22M aaM bbVA VBB 8.67rad /s s12W12MAVA1 一 ',2,M BVB2 2730J 2拉手后，由于整个体系的动量保持为零，所以体系动能为12 212 2W2-M ArA-M BrB221 m am b-Va Vb 22730JB所以体系动能保持守

43、恒。可以算出，当且仅当M aVa M bVb时，体系能量守恒，否则能2M aV aM bVb量会减小，且WW1W23.13 一长l =0.40m的均匀木棒，质量 M=1.00kg,可绕水平轴 O在竖直平面内转动，开始时 棒自然地竖直悬垂。现有质量m=8g的子弹以v=200m/s的速率从A点与。点的距离为尚| ,如图。求：棒开始运动时的角速度；棒的最大偏转角。解：系统绕杆的悬挂点的角动量为41习题3.13图L 3mv1 0.48kgm2s 1 1c 9 c子弹射入后，整个系统的转动惯量为I 1 Ml2 ml2316所以L 8.88rad/sI子弹射入后，且杆仍然垂直时，系统的动能为20.054k

44、gm当杆转至最大偏转角W动 41 2 2.13J时，系统动能为零，势能的增加量为W 2 Mgl 1 cos 4 mgl 1 cos精选范本由机械能守恒，W动W势得 94.243.14 通过查阅文献，探讨计算刚体转动惯量的简化方法，写成小论文。参考文献：周海英、陈浩、张晓伟，巧算一类刚体的转动惯量，大学物理，2005年第24卷第2期。3.15 通过上网搜寻，查找对称陀螺规则进动在生活、生产中的应用事例，并进行分类。习题四参考解答4.1 惯性系K相对惯性系K以速度u运动。当它们的坐标原点。与O重合时,中一质点作匀速率圆周运动，轨道方程为u运动。试证：在，惯性系 K中的观测者观测到该质点作椭圆运动，

45、椭圆的中心以速度提示：在，惯性系 K中的观测者观测到该质点的轨道方程为证明：根据洛仑兹坐标变换关系代入原方程中，得到(x ut)212化简得(x ut)2a2(12)(x ut)2a2(12)2y_2aut2y y, z z所以，在K系中质点做椭圆运动，椭圆中心以速度u运动。4.2 一观测者测得运动着的米尺长0.5m,问此米尺以多大的速度接近观测者?解：由相对论长度缩短关系L L0 .1/ 2v/ c得到 v c. 1 L/L0 23.0 108.11/2 22,6 108m/s4.3 如题图4.3所示，在K系的OXY平面内放置一固有长度为0的细杆，该细卞f与xO题图4.3轴的夹角为。设K系相

46、对于K系沿x轴正向以速率u运动，试求在 K系中测得的细杆的长度和细杆与x轴的夹角解：细杆在K系中的两个坐标上的投影分别为细杆在K系中的两个坐标上的投影分别为x 1 u / c 2 x 10 . 1 u / c 2 cosy ylo sin在K系中细杆的长度为1. x2y210 1 u/c 2 cos2 sin210 1 ucos /c与X轴正向夹角为arctan y arctan g 2 /2x. 1 u / c4.4 一飞船以9 103ms 1的速率相对于地面假设地面惯性系匀速飞行。若飞船上的钟走了 5s的时间，用地面上的钟测量是经过了多少时间？解：根据相对论中时间延长关系T T0 ,1 (

47、v/c)25代入数据，可得 T 5.000000002s1 (9 103 /(3 108)24.5 已知介子束的速度为0.73c( c为真空中的光速，其固有平均寿命为 2.5 10 8s,在实验室中看来，介子在一个平均寿命期内飞过多大距离？解：根据相对论中时间延长关系T T01 (v/c)2代入数据，可得T25_2°_ 3.658 10 8s,1 0.732因此 S vT 0.73 3 108 3.658 10 8 8.01m4.6 惯性系K相对另一惯性系 K沿x轴作匀速直线运动，在惯性系K中观测到两个事件同时发生x轴上，且其间距是1m,在K系观测到这两个事件的空间间距是2m,求K系

48、中测得的这两个事件的时间间隔。， 2 一t x v/c (2)解：由相对论的同时性的两个等价关系. 2t u x v/c (1)联立两式得到x1 xu x x u x1 (v/c)2 x代入(2)式中得到t x v/c2x 1 ( x/ x)2/c 21 (1/2)2 /(3 108) 5.77 10 9s4.7 论证以下结论：在某个惯性系中有两个事件同时发生在不同的地点，在有相对运动的其 他惯性系中，这两个事件一定不同时发生。证明：令在某个惯性系中两事件满足t 0, x 0则在有相对运动的另一个惯性系中（相对运动速度为v）,两事件的时间间隔是22t u( t x v/c ) u x v/c/

49、2x v/c,1 (v/c)2由于 x 0, v 0且vc所以 t 0,即两事件一定不同时发生。4.8 试证明：（1）如果两个事件在某惯性系中是同一地点发生的，则对一切惯性系来说这两 个事件的时间间隔，只有在此惯性系中最短；（2）如果两个事件在某惯性系中是同时发生的，则对一切惯性系来说这两个事件的空间间隔，只有在此惯性系中最短。证明（1）设两事件在某惯性系中于同一地点发生，即x 0,时间间隔为 t,则在另一个相对运动速度为v的惯性系中，两事件的时间间隔为, 2、tt u（ t x v/c ） u t t21 （v/c）2所以，在原惯性系中时间间隔最短。证明（2）设两事件在某惯性系中于同时发生，即t 0,时间间隔为 x,则在另一个相对运动速度为v的惯性系中，两事件的时间间隔为xx u（ x v t） u x x21