第二章 误差理论与数据处理

1、第二章 误差理论与数据处理 2.1 测量误差的基本概念 在实际测量中，由于测量设备不准确，测量手段不完善，测量程序不规范，环境影响，测量操作不熟练，工作疏忽及科学水平的限制等因素，都会导致测量结果与被测量真值不同。测量仪器仪表的测得值与被测量真值之间的差异，称为测量误差。 不同性质的测量，允许测量误差的大小是不同的，但随着科学技术的发展，对减小测量误差的要求越来越高。在某些情况下误差超过一定限度的测量结果不仅没有意义而且还会给工作造成影响甚至危害。 例如，洲际导弹。 控制测量误差的大小是衡量测试技术水平的重要标志，也是衡量科学技术水平的重要标志。 研究误差理论的目的，就是要研究误差产生的原因，

2、认识误差的规律、性质，改进测量条件和方法，尽量减小误差，以求获得尽可能接近真值的测量结果；确保科学研究与生产实践的质量；正确与经济地组织实验及促进理论的发展。 在科学实验和工程实践中，任何测量结果都含有误差。测量中存在误差是绝对的，而测量误差的大小则是相对的。由于测量误差存在的必然性和普遍性，因此，人们只能根据需要和可能，将它控制到尽量低的程度，而不能完全消除它。2.1.1 测量误差的几个名词术语1、真值 真值是一个物理量在一定条件下所呈现的客观大小或真实数值，即被测量的真实值。真值是客观存在的，但是不可测量的。 在实际的计算和测量工作中，经常使用“约定真值”和“相对真值”。 约定真值是按照国

3、际公认的单位定义，利用科学技术发展的最高水平所复现的单位基准。在不引起误解时，也可将术语“真值”理解为“约定真值”。约定真值常常是以法律形式规定或指定的。如国际计量局保存的铂铱合金圆柱体国际千克原器。 相对真值也叫实际值，是在满足规定准确度时用来代替真值使用的值。国家通过一系列的各级实物计量标准构成值传递网，把国家基准所体现的计量单位逐级比较传递到日常工作仪器或量具上去。在每一级的比较中，都以上一级标准所体现的值当作准确无误的值，通常称为实际值，也叫作相对真值。2、标称值 标称值是计量或测量器具上标注的量值。如标准砝码上标出的1 kg。由于制造上不完备、测量不准确及环境条件的变化，标称值并不一

4、定等于它的实际值，因此，在给出量具标称值的同时，通常应给出它的误差范围和准确度等级。 例如某电阻标称值为l k，误差1，即意味着该电阻的实际值在990到l 010之间。3、示值 示值是由测量仪器(设备)给出或提供的被测量量值，也称测量值，它包括数值和单位。一般地说，示值与测量仪表的读数有区别，读数是仪器刻度盘上直接读到的数字。例如以100分度表示50 mA的电流表当指针指在刻度盘上的50处时读数是50，而值是25 mA。为便于核查测量结果，在记录测量数据时一般应记录仪表量程、读数和示值，对于数字显示仪表，通常示值和读数是统一的。4、准确度 准确度是测量结果中系统误差和随机误差的综合，表示测量结

5、果和真值的一致程度。准确度涉及真值，由于真值的“不可知性”，因而它只是一个定性概念，而不能用于定量表达。5、重复性 重复性是指在相同条件下，对同一被测量进行多次连续测量所得结果之间的一致性。所谓相同条件就是重复条件，是指：相同的测量程序、相同的测量条件、相同的观测人员、相同的测量设备、相同的地点。6、误差公理 在实际测量中，测量结果总是偏离被测量的真值，产生测量误差。测量误差的存在是不可避免的，也就是说“一切测量都具有误差误差自始至终存在于所有科学试验的过程之中”，这就是误差公理。误差公理已为实践所证实，并被一切从事科学实验的人们所公认。2.1.2 测量误差的主要来源测量误差的来源是多方面的，

6、概括起来主要有如下几个方面：1 1、装置误差 设计、制造或质量和精度等级上的局限性带来的仪器自身本质性的问题。 (1) 标准器误差。 例如，现作为基准器用的1 标准电阻仍有士0.510-6范围的基本误差。 (2) 仪器、仪表误差。仪器仪表本身及其附件所引入的误差称为仪器仪表误差。 例如，仪器仪表本身的电气或机械性能不完善，零点偏移；刻度不准确以及非线性；仪器仪表内部的标准量，例如标准电池、标准电阻等性能不稳定等；以及示波器的探极线等都会含有误差，均属于仪器仪表误差。(3) 装备、附件误差。为测量创造必要条件或为使测量方便地进行而使用的装备、附件所引起的误差。 例如电源波形失真程度、三相电源的不

7、对称程度、连接导线、转换开关、活动触点的使用等都会引起误差。 （4）安置误差。测试设备和电路的安装、布置或调整不完善，达不到理想条件而产生的误差。2、方法误差和理论误差 由测量方法不完善，所依据的理论不严密等所引起的误差，称为方法误差。 理论误差是用近似的公式或近似值计算测量结果而引起的误差。例如，经验公式及公式中各系数确定的近似性；测量结果中未计及的一些测量过程中实际起作用的因素(如绝缘漏电)等所引起的误差。例如用普通万用表测量高内阻回路的电压，由于万用表的输入电阻较低引起的误差。要减小该项误差必须选择合适的测量方法。3、人身误差 由观测者分辨能力、视觉疲劳、缺乏责任心和固有习惯等因素所引起

8、的误差，称为人身误差。例如，生理上的最小分辨力；对准标志读数时习惯地偏向某一方向等所造成的误差；读错刻度；操作不当；计算错误等。 提高操作技巧和改进测量方法、加强责任心，有可能削弱甚至消除人身误差。4、环境误差 环境误差是在测量时的环境因素与要求的标准条件不一致而引起的误差。如温度、湿度、气压、电源电压、频率、震动、加速度、电磁场、无线电射线、风效应、阳光照射、透明度及空气含尘量等所引起的误差。 在测量工作中，对于误差的来源必须认真分析，采取相应措施，以减小误差对测量结果的影响。2.1.3测量误差的表示方法1、绝对误差 绝对误差(绝对真误差)是被测量的测得值与真值之差，可以表示为 A = Ax

9、 A0 (2 - 1) 被测量的测得值有较广的范围，包括被测量的实测值，仪器的示值，量具或元件的标称值、预置值，计算的近似值，标准信号源的调定值或定值等。 由于被测量的真值的不可知性，难以通过测量获得。因此，只能用被测量的实际值或称约定真值代替被测量的真值。按规定要求，达到误差可以忽略不计就可以认为该值接近于真值，称之为实际值(或约定相对真值)，可用以代替真值。用比所用仪表的精度等级高一级或数级的仪表的指示值作为被测量的实际值。在测量次数足够多时，仪表的示值的算术平均值作为被测量的实际值。 绝对误差有大小,可正可负，且是一个有单位的物理量，其单位与测得值和实际值相同。它的大小和符号分别表示了测

10、量值偏离实际值的程度和方向，它不能表示测量结果的准确度。绝对误差和误差的绝对值不能混为一谈。 例如，人体体温在37左右，若测量绝对误差为士l 。这样的测量质量非常人所能容忍，而如果测量大体在1400左右炉窑的炉温，绝对误差能保持1，那这样的测量精度就相当令人满意了。因此，为了表明测量结果的准确程度，一种方法是将测得值与绝对误差一起列出，如上面的例子可写成37士l 和1400土1，另一种方法就是用相对误差来表示。 与绝对误差大小相等、符号相反的量称为修正值C，也叫补值，即 C = A0 Ax ( 2 - 2) 由式(2-2)可见，当测量得到示值后，加上修正值即可消除误差的影响而得到相对真值，即实

11、际值。某些较准确的测量仪器的修正值一般是通过上一级计量部门检定，常以表格、曲线、公式或数字的形式给出修正值给出。有些自动测量仪器还将修正值预先编成程序存储在仪器中，测量时对测量结果自动进行修正。 例如：由某电流表测得的电流示值为0.83 mA，查该电流表检定证书得知该电流表在0.8 mA及其附近的修正值都为一0.02 mA，那么被测电流的实际值为 A = 0.83 + (一002) = 0.8l mA2、相对误差 绝对误差的表示方法，一般不便于描述测量结果的准确程度，因此提出了相对误差的概念。相对误差的形式很多，常用的有以下几种： 1）真值相对误差0 真值相对误差为绝对误差A与真值A0的比值，

12、也称为实际值相对误差，通常用百分数来表示： 相对误差只有大小和符号而无单位。这里真值A0也用约定真值或相对真值代替。但在约定真值或相对真值无法知道时，往往用测量值代替。%10000AA2）示值相对误差(标值相对误差) 示值相对误差是绝对误差A与示值Ax的比值，即 (2 - 4) 应注意，因为示值中也有误差，所以这种表示方法不很严格，在误差比较小时，0和x相差不大，无须区分，但在误差比较大时，两者相差悬殊，不能混淆。%100 xAxA 例 电压表甲测量实际值为100V的电压时，实测值为101V；电压表乙测量实际值为1000V的电压时，实测值为998V。根据前面公式可知，甲表的绝对误差为甲 =10

13、1V-100V=1V；乙表的绝对误差为乙 =998V-1000V=-2V， 甲乙，如果认为甲表比乙表准确度高，显然是错误的。而应用相对误差来进行评定。 在例1-2中，甲、乙两电表的相对误差分别为：甲 = 1%； 乙= -0.2%。 显然，乙表较甲表的准确度高。 相对误差表明了误差对测量结果的相对的影响 工程上确定测量结果的误差或估计测量结果的准确度，大多采用相对误差。 利用绝对误差和相对误差的概念，可以把一个测量结果完整的表示为 测量结果AA 或 测量结果A(1) 也就是说，测量不仅要确定被测量的大小，还必须确定测量结果的误差，即确定测量结果的可靠程度。3）引用误差(满度相对误差) 一般仪器、

14、仪表是用来测量某一规定范围的被测量，而不是只测量某一固定大小的被测量。一般仪表标尺上各点的绝对误差相近似，而相对误差却随着被测量的减少而逐渐增大；而且有可能增至无限大，因而用相对真误差或示值相对误差不能客观正确地衡量仪器、仪表的准确程度。 仪表的准确度与仪表本身结构有关。为区分仪表的质量等级(该等级通常称准确度等级)，选取仪表上限即满刻度值做为参比基准，称为基准值。用绝对误差与基准值的比值来评价仪器、仪表的质量或测量时的准确度，称为基准误差或引用误差。引用误差是一种简化、实用的相对误差表示方法，常在多档和连续刻度的仪器、仪表中应用。引用误差定义为绝对误差与测量仪器、仪表量程之比，用百分数表示：

15、 (2 - 5)式中， Am测量仪表的量程。%100mAnA 在仪器、仪表的量程范围内，各示值的绝对误差有正有负，有大有小。所以，确定仪器、仪表准确度等级时，最大引用误差，即取该仪器、仪表量程内出现的最大绝对误差Amax，与仪器、仪表量程Am（满度值）的比值，称为最大引用误差nm，即%100maxmnmAA 最大引用误差的公式中的分子分母都由仪表本身性能所决定，所以最大引用误差可以用来评价仪表性能。注意：仪表的准确度是指仪表在规定的工作条件下，仪表可能产生的系统误差。国家标准(GB77676电测量指示仪表通用技术条件规定，电测仪表按准确度等级数a分为：0.1，0.2，0.5，1.0，1.5，2

16、.5，5.0等7级。 准确度等级及所对应的基本误差等于最大引用误差，仪表在标尺的全长范围内，其基本误差及最大引用误差都不会超过仪表准确度等级指数a的百分数，即 (2 - 7) %anm上式所表明的是其最大引用误差在a范围以内，不能误认为在量程内各示值的示值相对误差均在土a以内。依照上述规定，例如，量程为Am的a级仪器、仪表，当示值为Ax时，不难得出：电测量仪表在使用时所产生的最大可能绝对误差可由下式求 Amax = Ama (2 - 8)例1 某电压表a = 1.5，试算出它在0 V100 V量程中的最大绝对误差。 解：在0V100V量程内上限值Am = 100V，由式(2 - 8)，得到 一

17、般讲，测量仪器在同一量程不同示值处的绝对误差实际上未必处处相等但对使用者来讲，在没有修正值可资利用的情况下，只能按最坏情况处理.最大示值相对误差为另外，准确度等级a所表示的最大引用误差是在正常使用条件下得出的，如果测量时不能满足规定的工作条件，那么系统误差应包括以准确度等级a所表示的基本误差，再加上工作条件变化时的附加误差。 %aAAXmx例2 最大量限为30A，准确度等级为1.5级的安培表，在规定工作条件下测得某电流为10A，求测量时可能出现的最大相对误差。 解 例3 某10级电压表，量程为300V，当测量值分别为Ul=300V，U2=200V，U3=100V时，试求出测量值的(最大)绝对误

18、差和示值相对误差。 解：根据式(28)可得绝对误差： U1=U2=U3=3001.0=3V %5 . 4%1001030%5 . 1%0 . 3%100100/3%100/%5 . 1%100200/3%100/%0 . 1%100300/3%100/321332211UUUUUUUUU 由上例不难看出：测量仪表产生的示值测量误差x不仅与所选仪表等级指数a有关，而且与所选仪表的量程有关。在同一量程内，测得值越小，示值相对误差越大。我们应当注意到，测量中所用仪表的准确度并不是测量结果的准确度，只有在示值与满度值相同时，二者才相等，否则测得值的准确度数值将低于仪表的准确度等级。 所以，在选择仪表量

19、程时，测量值应尽可能接近仪表满度值，一般不小于满度值的23。这样，测量结果的相对误差将不会超过仪表准确度等级指数百分数的15倍。这一结论只适合于以标度尺上量限的百分数划分仪表准确度等级的一类仪表，如电流表、电压表、功率表；而对于测量电阻的普通型欧姆表是不适合的，因为欧姆表的准确度等级是以标度尺长度的百分数划分的。可以证明欧姆表的示值接近其中值电阻时，测量误差最小，准确度最高。 在实际测量操作时，一般应先在大量程下，测得被测量的大致数值，而后选择合适的量程再行测量，以尽可能减小相对误差。 例4 测量一个约80 V的电压，现有两块电压表：一块量程300 V，0.5级；另一块量程100 V，l.0级

20、，问选用哪一块为好?解 若使用300 V，0.5级表，按式(2 - 9)求出其示值相对误差为 若使用100 v，1.0级表，其示值相对误差为 可见由于仪表量程的原因，选用1.0级表测量的准确度可能比选用0.5级表为高，故选用100 V，1.0级表为好。 此例说明，选用仪表时不应只看仪表的准确度等级，而应根据被测量的大小综合考虑仪表的等级与量程，合理选用仪表。%88. 1%10080%5 . 0300 x%25.1%10080%0.1100 x4) 容许误差（仪器误差） 容许误差是指测量仪器在使用条件下可能产生的最大误差范围，它是衡量测量仪器的最重要的指标。测量仪器的准确度、稳定度等指标都可用容

21、许误差来表征。为了保证测量仪器示值的准确，仪器出厂前和使用期间必须由检验部门对其误差指标进行检验，凡各项误差指标在容许误差范围之内的，视为合格，否则就不合格，其测量结果只能供作参考。 仪器的容许误差的表示方法可以用绝对误差，也可用相对误差。容许误差可用工作误差、固有误差、影响误差、稳定性误差来描述。 工作误差 固有误差 影响误差 稳定性误差 1、某电路中的电流为10A，用甲电流表测量时的读数为9.8A，用乙电流表测量时其读数为10.4A。试求两次测量的绝对误差和相对误差。(zuoguo) 2 被测电压实际值为10 V左右，现有量程为100 V，05级；15 V，25级的电压表一块，问选用哪一块

22、为好?(09电气、10Z、09合做过）3、用0. 2级100mA电流表去校验2 .5级100mA电流表，前者示值80mA，后者示值77 .8mA。 求 (1)被校表的绝对误差、修正值和实际相对误差各为多少? (2)若认为上述误差是最大误差，被校表的精度应定为几级?（09合、 10Z、 09电气作过）4、一块0.1级的电流表量程为1 A，经检定最大绝对误差为08mA，问该表准确度是否合格? （09合、 10Z、 09电气作过）1、现有两个待测电压，其实际值分别为200V、20V，用万用表测量的示值分别为201V、21V，则两个被测电压的绝对误差和实际相对误差分别为？例1.4某被测电压为75V，用

23、0.5级、100V量程的电压表进行测量，则单次测量可能产生的最大绝对误差为？求被测电压的相对误差？ （09合、 10Z、 09电气作过）2、某待测电压的实际值约为25V，现用两个量程和准确度等级分别为100V、1.0级和50V、1.5级的电压表进行测量，则用两电压表进行测量的最大绝对误差和最大示值相对误差分别为？2.2 测量误差的分类2.2.1系统误差 系统误差是指在相同条件下，多次测量同一个量时，误差大小和符号均保持恒定，或按某种规律变化(例如有规律地逐渐增大或周期性增大和减小)的一种误差。1、产生系统误差的原因1）工具误差，是指仪器、仪表本身不准确。工具误差可分为基本误差和附加误差。基本误

24、差是指是指仪表在规定的工作条件下，例如在规定的温度、湿度、放置方式、外界电场和磁场干扰强度等条件下，由于技术水平和生产条件限制，仪器、仪表本身结构不完善总会产生误差引起的误差。标准条件一般是指仪器仪表在标定刻度时所保持的工作条件。例如，电源频率50Hz；环境温度(205)；相对湿度为(7015)等等。仪表的问题主要体现在仪表本身的材料、零部件、工艺等有缺陷；转动部分的摩擦、刻度不准、轴承与轴尖的间隙所造成可动部分的倾斜等。附加误差是指测量仪表使用时偏离规定的工作条件而造成的误差，例如温度过高、波形非正弦、电源电压过高、频率不稳、外界电磁场干扰等。 飞行器上所用的仪器、仪表，在一次测量过程中环境

25、条件也可能有较大变化，需要特别注意其附加误差的情况。2）方法误差，是指测量方法和理论不完善引起的误差。主要是测量中所采用的测量方法没充分考虑到各种因素对测量结果的影响如接线不合理、理论依据不严密等，或采用了近似公式引起的；3）使用不当，如仪表放置方向不正确、未经调零等。4）系统误差还和操作者的操作水平、反应速度和固有习惯有关系。 系统误差是客观存在的，但有一定规律，重现性，可以采取必要的措施，将其消除或减小。由于系统误差表示了测量结果偏离其真实值的程度，系统误差表征了测量结果的准确度，系统误差愈小，测量结果就愈准确。2、系统误差的分类按照系统误差变化的特征，可将系统误差分为两种类型。 1）已定

26、系统误差，这类误差是大量存在的。在测量中误差的大小和符号是固定不变的，在误差处理中是可被修正的。例如仪器的基本误差；仪表的零点偏高或偏低等均属已定系统误差。 2）未定系统误差，它是按照一定规律变化的系统误差，例如按线性、周期性或比较复杂的规律变化。在实际测量工作中方向往往是不确定的，在误差估计时可归结为测量不确定度。2.2.2 随机误差（偶然误差）在相同条件下多次测量同一量时，大小和符号均可能发生变化的误差称随机误差。其值时大时小，符号时正时负，没有确定的变化规律。 随机误差是测量实验中许多独立因素的微小变化的总和而引起的。例如仪器仪表内部某些零部件的热噪声、机械部件的间隙、摩擦、温度、湿度起

27、伏、空气扰动、大地微震、噪声干扰、电磁场干扰等等。这些互不相关的独立因素是人们不能控制的，它们中的某一项影响极其微小，但很多因素的综合影响就造成每一次测得值的无规律变化。另一方面观测者本身感官分辨本领的限制，也是偶然误差的一个来源。一般来说这种误差比较小，工程测量可以略而不计，只有精密测量才予以考虑。 随机误差无规律可循，产生原因也难以预计，也不可控制，无法用实验的方法加以消除。但从总体来讲，多次测量中随机误差服从统计规律。因此可以用统计方法，估计它的影响程度。 多个随机误差服从统计规律，数据越多，其规律性越明显。误差的分布规律有多种。最常见的是正态分布规律。对一个物理量进行多次等精度测量所得

28、到的一系列读数一般都服从正态分布律，其随机误差也服从正态分布律。 随机误差不能用实验的方法消除或减小，只能用概率统计的方法处理。根据统计学原理，在足够多次的重复测量中，正误差和负误差出现的可能性几乎相同，因此偶然误差的平均值几乎为零。工程上常采用对被测量进行多次重复测量取其算术平均值作为测量结果，以消除可能存在的偶然误差。 随机误差表征了测量结果的精密度，随机误差小，精密度高，反之，精密度低。 系统误差和偶然误差是两类性质完全不同的误差。系统误差反映在一定条件下误差出现的必然性；而偶然误差则反映在一定条件下误差出现的可能性。2.2.3粗大误差（疏忽误差） 在相同条件下，对同一被测量进行多次测量

29、，测量结果明显偏离被测量的真值的误差称为粗差。 粗差的产生主要有两个原因：一是由于操作者过于疲劳、粗心和疏忽或工作责任心不强引起的。如不正确地使用仪器，读错、记错、算错数据，或是使用有缺陷的量具或仪器造成的。另一个原因是由测量中的统计规律决定的。当测量次数较多时，总会有大的随机误差出现。因为含有粗差的读数明显地歪曲了测量结果，我们称其为坏值或异常值，在处理数据时应予剔除。对于第一类原因造成的坏值，可以随时发现、随时剔除。另一类坏值是由随机因素造成的，符合统计规律。 应当指出，上述三类误差的定义是科学而严谨的，是不能混淆的。但在测量实践中，对于测量误差的划分是人为的，是有条件的。三种误差之间是辩

30、证统一的关系，在不同的测量场合和不同的测量条件下，误差之间是可以相互转化的。例如一块电压表的误差会使得在测量某电源电压时产生系统误差，但若用多块不同的电压表测量此电源电压时，则各电压表误差的随机性使各测量值具有随机性。 要进行精密测量，必须消除系统误差，剔除粗大误差，采用多次重复测量取平均值来消除随机误差的影响从而得到测量结果的最可信赖值。2.2.4 相关的测量术语 下面介绍与误差性质相关的测量术语。测量的正确度、精密度、准确度是描述测量结果与被测量真值之间符合状况的三个术语。 1、正确度(correctness)：指测量结果与真值的偏离程度，表征在规定的测量条件下，测量中所有系统误差的综合。

31、 2、精密度(Precision)：指在一定的测量条件下多次重复测量中，测量读数重复一致的程度，表征随机误差的大小。 3、准确度(精确度) (Accuracy)：指测量结果与真值符合一致的程度，表征系统误差和随机误差的综合大小精度愈高，测量误差愈小。2.3 系统误差的消除 测量误差是不可能绝对消除的，但要尽可能减小误差对测量结果的影响，使其减小到允许的范围内。 消除测量误差，应根据误差的来源和性质，采取相应的措施和方法。一个测量结果中既存在系统误差，又存在偶然误差，一般情况下，在对精密度要求不高的工程测量中，主要考虑对系统误差的消除；而在科研、计量等对测量准确度和精密度要求较高的测量中，必须同

32、时考虑消除上述两种误差。 消除或减小系统误差是实现准确测量的条件之一。系统误差有确定的客观规律，其产生的规律经过仔细研究是可以掌握的，对于系统误差的处理要求实验者对整个测量过程要有一个全面仔细的分析，弄清楚可能产生系统误差的各种因素，然后在测量过程中予以消除。根据具体情况采取不同的措施，可从以下几方面着手： (1) 产生系统误差的来源多种多样，在进行测量之前，尽可能预计产生系统误差的来源，并在实施测量前采取措施消除或削弱其影响。 (2) 根据测量的准确度要求，采用一些行之有效的测量方法和测量仪表在规定的环境下测量，以消除或减小系统误差。 (3) 进行数据处理时，检验系统误差是否仍存在，对测量读

33、数进行合理修正。 (4) 估计出残存的系统误差值或范围，确定其对测量结果的影响。2.3.1误差修正在测量之前，求取某类系统误差的修正值，在测量的数据处理过程中手动或自动地将测量结果用修正值进行修正，从测量读数或结果中消除或减弱了该类系统误差。另外，确定温度、湿度等环境因素对测量的影响，并对测量结果进行修正，可以减小由环境条件改变带来的误差。利用修正的方法是消除或减弱系统误差的常用方法，在智能化仪表中得到了广泛应用。修正值的获得有以下三种途径： 1) 从有关资料中查取。如仪器仪表的修正值可从该表的检定证书中获取。 2) 通过理论推导求取。3) 通过实验求取。对影响测量读数的各种影响因素，如温度、

34、湿度、频率、电源电压等变化引起的系统误差，可通过实验做出相应的修正曲线或表格，供测量时使用。对不断变化的系统误差，如仪器的零点误差、增益误差等可采取现测现修的方法解决，在带有微处理器的数字化仪表中常采用三步测量实时校准。由于修正值本身还有误差，故这种方法只适用于工程测量。2.3.2消除或削弱误差源 在开始测量前尽量发现并消除系统误差来源或防止测量受这些来源的影响，是消除或减弱系统误差的最基本和最积极的方法。产生系统误差的来源多种多样，因此要消除系统误差只能根据不同的测量目的，对测量仪器从根源上加以消除。主要考虑以下一些方面： 选择合理的测量方法，设计正确的测量步骤以消除方法误差和理论误差；测量

35、原理与方法要尽力做到正确、严格，不产生方法误差或使所产生的方法误差小于允许范围。注意环境对测量的影响，如温度、振动、交流电源电压、电磁干扰等，可采取一些辅助措施减少环境条件变化所产生的有害影响，如散热、减振、屏蔽等，必要时采用恒温、恒湿、恒压箱及屏蔽室等。 提高测量人员的素质与责任心，克服主观原因所造成的误差。为避免读数或记录出错，可改善测量条件(选用智能化、数字化仪器仪表等)以消除人员误差。 选择准确度等级高的仪器设备以消除仪器的基本误差；测量中所使用的仪器应按规定期限进行定期检定和校准并注意仪器的正确使用条件和方法，使用前正确调零、预热以消除仪器设备的附加误差；对仪器的放置位置、工作状态、

36、所用电源情况、接地、附件和导线的使用及连接都应符合规定并正确合理。 2.3.3 消除或减弱系统误差的几种典型测量方法 1、替代法（置换法）替代法是比较测量法的一种，先对被测量进行测量，调节测量装置处于某一状态，测量条件不变，然后用与被测量相同的同类已知标准量代替被测量重新测量，并恢复到测量被测量时的状态。这样，被测量就等于标准量的大小。采用这种测量方法，被测量与已知标准量通过测量仪表或仪器进行比较，因此测量仪表或仪器的系统误差不带给测量结果，它只起辨别两者有无差异的作用，因此测量仪表或仪器需要有足够的灵敏度和稳定性。图3-1 表示用替代法测未知电阻Rx的原理图。测量时首先接入被测电阻Rx，调节

37、电桥臂使电桥平衡，得Rx = (R1R2)R 3，然后用一个可变标准电阻RN代替被测电阻，保持R1，R2，R3的阻值不变，调整RN使电桥保持原来的状态，图2-1 替代法测电阻 则Rx与RN的电阻值相等。只要电桥中检流计的灵敏度足够高，测量误差就主要取决于标准电阻RN的准确度，而与电桥各臂电阻R1，R2，R3的阻值及检流计的准确度无关。UR1R2R3RxRNPS 2、正负误差抵消法 这种方法是对同一被测量，通过实验进行两次测量，使恒定系统误差在测量结果中一次为正、一次为负，取两次读数的平均值作为测量结果，可以消除带有极性的系统误差。例如，为了消除地磁场对仪表(电流表）的影响，可以在一次测量之后，

38、将仪表调转180，重新再测一次，前后两次地磁场对仪表的影响方向相反，取其平均值，这种误差也就消除了。显然，对于大小恒定的系统误差经这样的处理即可被消除。 3、等时距对称消去法 等时距对称消去法可消除与时间成比例变化的系统误差。取某一时刻作为中心，则对称 于中心的各对系统误差的算术平均值彼此相等，配以相应的数据处理程序，以得到与该影响无关的测量结果，从而消除系统误差。4、差值法（微差法、虚零法） 将被测量与已知标准量进行比较，测出其差值，进而确定被测量的大小。例如，测量某标准电池的电动势Ex，可令它与另一作为标准的标准电池EN、进行比较，用直流电位差计测量其差值，如图2-2所示。若电位差计读数为

39、U， 则 Ex = EN + U （2 -10）用差值法和零值法可以用来消除或减少指示仪表造成 的系统误差，从式210不难看出，测量结果的准确度 由标准量具的准确度和测量差值的准确度决定，且差值愈小，测量差值仪表的误差对测量结果的影响愈小。当图2-2 用差值法测量标准电池的电动势 差值等于零时，测量结果的准确度与测量仪表的准确度无关，而仅和标准量具的准确度有关。差值法的特点是可以大大削弱测量仪表的基本误差对测量结果的影响，也就是说，在特定的条件下可用准确度较低的测量仪表获得准确度较高的测量结果， 5 5、补偿法 补偿法是替代法的一种特殊运用形式，在两次测量中，第一次令标准器的量值N与被测量x相

40、加，在N+x的作用下,测量仪器给出一个示值；然后去掉被测量x，改变标准器的量值为N，使仪器在N的作用下给出与第一次同样的示值，则 x = N N （2-11） 可见补偿法与替代法相似，测量值由标准器决定而与仪器的误差无关。此外若标准器含有恒定的系统误差，也会由于相减而被消除，标准器的其他系统误差也可抵消一部分。 在测量过程中由于产生系统误差的原因是很复杂的所以发现它或判断它的方法也很多这里仅介绍几种常用的方法： 1、实验对比法 2、剩余误差观察法3、马利科夫判据 4、阿卑一赫梅特判据2.4 2.4 测量误差的估计 由于偶然误差一般都比较小，所以只有进行精密测量或精密实验中才予以考虑，而在一般工

41、程测量时往往略而不计，只考虑测量中的系统误差。2.4.1直接测量方式的最大误差的估计 用指示仪表进行直接测量，可以根据仪表的准确度等级，估计可能产生的最大误差。指示仪表的准确度等级用最大引用误差表示，例如最大引用误差为1，则定该仪表的准确度等级为1级，若最大引用误差为m，则准确度等级为a，有 （2-12）%100%mmmAa在直接测量中，由仪表产生的最大绝对误差和相对误差为m= a%Am xmxAAa%2.4.2间接测量中误差的合成与估计在实际测量中，误差常来源于许多方面，测量结果的总误差是测量各环节误差因素共同作用的结果。由此看出，测量总误差通常总是与有关的若干分项误差有关。已知被测量与各参

42、数的函数关系及各个测量值的分项误差，求被测量的总误差称为误差合成。误差的合成在实际测量工作中常常被用到。1、测量误差的合成1）误差传递公式测量的传递关系可直接用于已知确定性误差的传递计算。按定义计算测量结果的误差。设某量y由m个分项x1，x2，xm合成，即 y = f (x1，x2，xm) (2-15)若各分项的实际值(真值)分别为x10，x20，xm0，各分项独立的绝对测量误差分别为x1 = x1一x10 x2 = x2一x20 xm = xm一xm0若y的实际值(真值)为y0，误差y = y y0，则由式(2-15)可得 y = y y0 = f (x1，x2，xm) 一f (x10，x2

43、0，xm0) = f (x10 +x1 ，x20 +x2，xm0 +xm) 一f (x10，x20，xm0) (2-16)此式是直接按定义计算误差传递的方法，适于单独分析某项误差因素对测量结果的影响，特别是对不能化为简单线性关系的问题更有意义。但这种方法没有给出简明的传递关系，实用上较繁琐，若用于分析多因素的影响，缺点更为突出，因而有一定的局限性。 绝对误差传递公式误差传递函数计算的线性化。设某量y由m个分项x1，x2，xm 合成，其函数关系为 y = f (x1，x2，xm) 若x1，x2，xm之间彼此独立无关且只含确定性误差分别为x1，x2，xm。它们的实际值(真值)分别为x10，x20，

44、xm0。由式(2-16)得函数y的误差为y= f (x1，x2，xm) 一f (x10，x20，xm0)若在y0= f (x10，x20，xm0)附近各阶偏导数存在，可把y按泰勒级数展开并略去展开式中二次以上的高阶无穷小高次项，以得到简明的误差关系式：mmmmmmmmxxfxxfxxfxxxfxxxfxxxfxxxfxxxfxxxfy)()()(),()()()(),(),(2211020100202210110201021将展开式代入y式中，得 mmxxfxxfxxfy)()()(2211或写成简单的形式：miiimmxxfxxfxxfxxfy12211上式是绝对误差的传递公式。ixf是误差

45、传递系数。 式中偏导数可用实际值(真值)xi0代人求得，也可用测得值xi代人求得。因xi与xi0差别甚小，相应的偏导数值十分接近。 上式表明，总误差y是各分项误差xi，与其传递系数的代数和，是线性化了的简单的误差传递关系。因为在作线性化处理时忽略了二次以上的高次项，所以严格说来，这是一个近似的关系式。但就一般情况而言，测量误差xi相对来看是很小的，被略去的高次项也可忽略不计，上式实用上已具有足够的精度，所以应用广泛。相对误差传递公式。式（2-18）两边分别除以y，则可得相对误差的传递公式imiiimiiyxxffyxxfyy111imiiiiiimiiyyxxfxxyxxf11)()(或 im

46、iiyxxf1ln上式是相对误差传递公式，它说明，对函数两边分别取自然对数，再求全微分，然后求和即可得到y的合成相对误差，计算比较方便。2）典型函数的合成误差和差函数的合成误差设y = x1 x2其绝对误差为 21xxy若各分项误差的符号不能预先确定时，按最坏的情况考虑，x均为正或均为负，则估计最大可能的相对误差为从最大误差出发，仍取绝对值相加，即)(21xxy2121xxxxyyy2121221122212112112121xxyxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx 数值较大的那个量的相对误差在合成的总误差中占主要比例。为了减小合成误差，首先要减小测量这个量时的局部相对误差。此外，合成相

47、对误差不会大于各局部相对误差中的最大者。当分项相对误差的符号为未知时，上两式仍需取绝对值相加。由上式可见，差函数时，当x1 和 x2比较接近时，其合成误差比较大，所以通过两个量之差求被测量这种方法应尽量少用。 积函数的合成误差设y=x1x2，对y求全微分得其绝对误差为：y=x2x1+ x1x2 （2-25）要求其相对误差，可对y取对数再求全微分，即 lny=lnxl+lnx2 式(2一26)说明，由积函数的合成相对误差等于各分项相对误差之和。当分别有“”号时，从最大误差出发，总误差应等于各分项误差之绝对值和。即212211xxyxxxx)(21xxym商函数的合成误差 已知 y=x1/x2 为

48、商函数。对y 求全微分可得其绝对误差为：对y取对数得，然后微分得的相对误差为：可见，商函数的合成相对误差是各分项相对误差之差。但由于往往前面有“号，从最大误差出发，仍取各分项误差的绝对值相加，即122221xxxxxy212211xxyxxxx)(21xxym 幂函数的合成误差设，k常数，可见y是幂函数。对y取对数，然后微分，得的合成误差式中，n、m和p为指数，可能为整数、分数、正数或负数。若为正数则求积，负数则求商。 由绝对误差传递公式或相对误差传递公式均可计算出总合的绝对误差与相对误差。实际计算时可根据具体情况选择。一般情况下，函数关系为和、差时，直接求偏微分计算较方便；对积、商、乘方、开

49、方等关系，取对数后变为和、差式计算较方便。321332211xxxypmnxxpxxmxxn2.4.3系统误差的合成 1、已定系统误差的合成对于已定系差由于误差的大小、符号和函数关系均为已知，故可直接用绝对误差传递公式或相对误差传递公式求得总误差。已定系统误差的综合实际是函数系统误差等于各变量局部系统误差的代数和。 2、各分项系统误差不能确定的情况，将在不确定度的合成中讨论。2.5 2.5 误差的分配误差的分配是误差合成的逆问题，即已知总误差及其与各测量值之间的函数关系，将总误差合理地分配给各分项测量值称为误差分配。而测量的分配主要在设计测量系统时和仪器设备的设计生产时用到，这对测量方案确定、

50、设计仪表或系统是至关重要的。2.5.1系统误差的分配 从原则上讲，误差分配的解有无穷多个，所以在实际测量工作中，只能在某些假设前提条件下进行分配，确定出其中近似的可操作的一个解。显然，这个解不是惟一的，即不同的假设、不同的出发点解是不相同的。 误差分配的步骤是，首先根据不同的假设对误差进行预分配，其次按照实际可能(现 有技术水平、工艺设备、实验环境、操作难易程度、经济效益等)对预分配方案进行调整，最后按照误差合成理论对分配方案进行校核。下面介绍一些误差预分配的常用方法。等准确度分配法即分配给各组成环节的误差相同： 1 =2 = =n = j由误差的传递公式(2-18)可知：上两式中的分子是待分

51、配的总误差，把它平均地分配给各个环节。这样分配不一定合理，可以再作适当调整。等准确度分配法常用于各分项性质相同、大小相近的情况。 iniijnnnyxfxfxfxfxfxfxf)()(1212211niiyixf1nymi2、等作用分配法等作用分配法，分配给各分项的误差值虽不一定相等，但使它们各自对测量结果影响度相同。按对总误差影响相同的原则分配按这种原则来分配，。1 ，2 ， n可以不同而它们对总误差的作用是相同的。根据误差传递公式(2-18)可得iinnxfxfxfxf2211 3、优势误差加权分配法 在函数y的各自变量或误差分量中，若有一项或多项误差占有优势，即对函数y的总误差或扩展不确

52、定度影响较大，或者受测试技术发展的限制，某些物理量的测试准确度还比较低，则在误差分配时应着重考虑这些优势误差项的影响，即加权分配。目的是把总误差的较大份额分配给优势误差项，而较小份额分配给其他误差项。iinnyxfnxfxfxf2211iyixfn/2.5.2 最佳测量条件的确定 最佳测量方案或条件是指在一定的条件下，测量准确度最高、测量误差最小的方案。绝对误差 xi = i + i欲使xi为最小，则必须使i 和 i均为最小。因此必须满足下列两式：要使系统误差i最小，要做到min1iniiyxf要使随机误差最小，要做到虽然从上两式可看出，只要各分项的误差最小，即可使总误差达到最小，但分项误差由

53、一定的客观条件所决定。所以选择最佳方案的方法一般只能按现有条件，根据各分项误差可能达到的最小数值，然后比较各种可能的方案，选择合成误差最小的作为最佳方案。 通常用下面两种方法来确定最佳测量方案。min)(212iniiyxf 1方案比较法 方案比较法就是根据给定的测量条件对各种测量方案的误差估计，通过比较以找出其中误差最小的测量方案，即为最佳测量方案。 在选择测量方案时，最好选用直接测量法，而少用间接测量方法，在不得已时，选择测量数目少，函数关系最简单的组合函数，因为分项误差数目愈少，合成误差也愈小。同时，还要考虑客观条件的限制，力争根据现有条件制定测量方方案，并且要兼顾经济、简便易行等因素。

54、 2极值法 在实际测量中，经常要考虑在什么样的测量条件下测量结果的误差最小，这就是极值法所要研究的问题。 测量工作者再进行一次测量之前，必须根据自己的经验，考虑下列问题： 为实现这次测量最适合的方法是什么？允许的测量误差是多少，采用什么方法及哪种测量仪器能满足测量误差的要求；使用的测量仪器对被测量是否有影响，影响有多大，测量仪器是否从被测量中吸收功率。被测量的特点是否对测量和仪器的工作有影响；本次测量是否受外界因素的影响。只有正确回答了上述问题，才能得到正确的测量结果。为了回答上述问题，除了测量工作者应具有足够的经验外，还必须对被测对象有所了解，对各种测量仪器的特点及性能要十分熟悉，对测量的周

55、围环境做出适当的安排。测量环境的温度、湿度、电磁场强度等对测量仪器和被测量也是有影响的，这也是测量工作者应当时刻注意的问题。3 3 电参数的测量电参数的测量，主要是电压、电流、功率、频率、阻抗与波形等参数的测量，这些电参数是一切电气设备与电气系统性能测试的主要内容。本章所要讨论的就是这些电参数的测量方法，并着重介绍如何根据测量的需要进行电量之间的变换。3.1 电阻的测量方法3.3.1测量电阻的传统方法 1、直读法 用直读式仪表进行测量，可从表上直接读出结果。在一个直流电路中，如果保持被测电阻两端电压不变，对不同的电阻值，就有不同的电流值相对应。若将一个磁电式电流表串接在电路中，不同的电阻值就对

56、应于测量机构的不同的偏转角，这样，就可以把电流表的标尺直接刻上电阻值，这就是直读式的欧姆表。为了避免电压变化影响读数，也可采用比率型的仪表，如兆欧表就是一种比率型的欧姆表。反过来若保持通过被测电阻的电流不变，将一个磁电式电压表并接在电阻两端，则被测电阻两端电压也能反映电阻值，形成所谓电压型的欧姆表。 这种测量方法简单、方便，在实际工程被广为应用。其误差的产生主要是由于电源电压的不稳定度和刻度不均匀。 直读式欧姆表适用于测量中值或高值电阻。测量时要注意选择合适量程，以便读数能在标尺中心附近，以减少测量的误差。2、电桥法 精确测量电路参数可以使用电桥。测量电阻的直流电桥分为单电桥和双电桥两种。单电

57、桥适用于测量中值电阻，测量范围为10106。双电桥则适用于测量低值电阻，测量范围为10-6 102。至于大电阻测量则可用超高阻电桥，超高阻电桥的测量范围可达1015。 这种方法的测量精度高，但操作十分繁琐，从接上被测电阻，调节桥臂，到检测平衡，其中每一个步骤都十分费时，特别是检测平衡过程。为防止检流计被烧毁，还必须不断调节检流计的灵敏度。 电桥的类型很多，其主要分类有两种：根据供电电源的不同，有交流电桥和直流电桥之分，直流电桥测量电阻；交流电桥测量电感和电容。根据电桥的输出状态不同，有平衡电桥和不平衡电桥之分，平衡电桥测量固定不变的阻抗；不平衡电桥用来测量连续变化的阻抗。3、伏安法测电阻 所谓

58、伏安法，就是用电压表、电流表测出电阻的端电压和电流，然后以欧姆定律计算电阻的一种测量方法。所测结果的准确度，除了决定于所用电压表和电流表的准确度外，还与测量仪表在电路中的接法有关。 对于电压表接前的电路，设电流表的读数Ix，被测电阻两端电压为Ux，电压表的读数为U，U包含Ux和UA两部分， 对于电压表接后的电路，设电压表的读数为Ux，电流表的读数为I，I包含了Ix和IV两部分， %100%100 xAXXXRRRRR%100%100%100 VxxxxVxVxxxxRRRRRRRRRRRR 可见电压表接前的电路，方法误差为正，表明测量结果比实际值大；同时RA/Rx值越大，其方法误差越大，所以这

59、种接法适用于RxRA，即测量大电阻的场合。电压表接后的电路，测量的方法误差为负，表明测量结果比实际值小；同时Rx比RV小得越多，误差越小，所以这种接法适合于RxRV，即测量小电阻的场合。 伏安法测电阻是一种间接测量法，它的主要优点是能让被测电阻在工作状态下进行测量。例如要求在通电工作的情况下测量白炽灯等非线性元件在通电工作时的电阻。它的缺点表现在测量的精度受到限制。使用伏安法测电阻的关键在于电路的设计要注意减小测量误差，施加的电流或电压的大小以不改变电阻的热状态为限，测量的持续时间应该是越短越好。以上介绍了测量电阻的各种传统方法，现在由于计算机技术的发展，使得测量电路参数的仪器迅速地向智能化、

60、自动化和数字直读的方向发展。例如过去用电桥测量电路参数，它的测量过程十分繁杂，现在这些工作完全都可以交给单片机完成，使得电桥整个测量过程能自动且迅速地进行，并将测量结果以数字显示出来，所以数字直读式的参数测试仪已经成为电路参数测量的主流。方法应用范围优点缺点直读法 用于一般工程测量电阻10-2106读书方便，操作简单误差大，某些类型表会受电源电压影响电桥法 用于实验室精密测量单电桥10106双电桥10-6102测量准确度高，测量范围广操作麻烦，设备费用高伏安法 用于一般工程测量电阻10-3106可在给定工作状态下测量，特别适合非线性参数测量结果尚需运算3.1.2 直流单电桥1、工作原理 直流单