2003考研数二真题

1、东方教育在线皿n!中xn项的系数是f (n)(0)n!2003年考研数学(二)真题评注、填空题(本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上)1(1)若Xr 0时，(1ax2)4 1与xsinx是等价无穷小，则 a=-4i【分析】根据等价无穷小量的定义，相当于已知a.注(1-ax2)4lim1，反过来求x >0xsin x意在计算过程中应尽可能地应用无穷小量的等价代换进行化简1 【详解】 当 x 0 时，(1ax2)41ax2， xs in x x2.41 1 2(12)4 ax1于是，根据题设有lim ( ax) lim 务一 二_-a = 1，故a=-4.t xs in

2、x t x4【评注】本题属常规题型，完全类似例题见数学复习指南P.38【例1.62】(2) 设函数y=f(x)由方程xy 2lnx二y4所确定，贝U曲线y=f(x)在点(1,1)处的切线方 程是x_y=0 .【分析】先求出在点(1,1)处的导数，然后利用点斜式写出切线方程即可【详解】 等式 xy + 21 n x = y4两边直接对x求导，得y xy Z =4y3y ,x将x=1,y=1代入上式，有y(1) =1.故过点(1,1)处的切线方程为y -1 =1 (x-1)，即 x-y = 0.【评注】本题属常规题型，综合考查了隐函数求导与求切线方程两个知识点，类似例题见数学复习指南P.55【例2

3、.13】和【例2.14】.xn(3) y=2的麦克劳林公式中x项的系数是(n) (0)，则麦克劳林公式【分析】本题相当于先求 y=f(x)在点x=0处的n阶导数值1东方教育在线#东方教育在线【详解】 因为 y'2xl n2 , /-2x(l n2)2，y(x)=2x(l n2)n，于是有y(n)(0(lr2)n，故麦克劳林公式中xn项的系数是y(n)(0)(ln 2)nn!n!2东方教育在线【评注】本题属常规题型，在一般教材中都可找到答案(4) 设曲线的极坐标方程为- ear(a 0)，则该曲线上相应于 二从o变到2二的段弧与极轴所围成的图形的面积为存7.【分析】利用极坐标下的面积计算

4、公式-，2)dd即可.2 h【详解】【评注过程比较复杂所求面积为12兀12S =2 ° "(旳01 2a0=e4a本题考查极坐标下平面图形的面积计算，也可化为参数方程求面积，但计算 .完全类似例题见数学复习指南=丄（宀）.0 4aP.200【例 7.38.(5) 设为3维列向量，是：的转置 T.若丄丄1-1-1-11 1-1，则13东方教育在线#东方教育在线.J.;=【分析本题的关键是矩阵:T的秩为1，必可分解为一列乘一行的形式，而行向#东方教育在线#东方教育在线1_111111-11-1=-11-11 】，知 a =-1_11 -1 11 -1J，列向量的元素则为各行与选

5、定行的倍数构成【详解由:川二曰.般可选第一行(或任一非零行)-1 11 11-1-3.#东方教育在线#东方教育在线'a/【评注一般地，若n阶矩阵A的秩为1，则必有32b2完全类似例题见数学复习指南P.389【例2.1113.0 一和考研数学大串讲P.162【例(6) 设三阶方阵 A,B满足A2B - A - B = E ,其中E为三阶单位矩阵，若#东方教育在线10A =02-201【0，则B1【分析】先化简分解出矩阵 B，再取行列式即可【详解】 由A2B A B =E知,(A2 - E)B = A E，即 (A E)( A 一 E)B 二 A E，易知矩阵A+E可逆，于是有(A _ E

6、)B =E.再两边取行列式，得A - E| B = 1，因为001010=2,所以-2004东方教育在线#东方教育在线【评注】 本题属基本题型，综合考查了矩阵运算与方阵的行列式，此类问题一般都应 先化简再计算完全类似例题见考研数学大串讲P.160【例11.二、选择题(本题共6小题，每小题4分，满分24分.每小题给出的四个选项中，只有 项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内)设an,bn,Cn均为非负数列，且叩：务"恥冷収八则必有(A) an ： bn对任意n成立.(B) bn : cn对任意n成立.#东方教育在线#东方教育在线(C) 极限lim anCn不存在.(D)极限l

7、im gs不存在.D nn【分析本题考查极限概念，极限值与数列前面有限项的大小无关，可立即排除(A),(B);而极限lim anCn是0 二型未定式，可能存在也可能不存在，举反例说明即可；极限lim gsnn属1二型，必为无穷大量，即不存在.21【详解用举反例法，取an二彳,bn =1 , cn =丄n(n =1,2/ )，则可立即排除n2(A) ,(B),(C)，因此正确选项为(D).【评注对于不便直接证明的问题，经常可考虑用反例， 通过排除法找到正确选项.完全类似方法见数学最后冲刺P.179.(2)设 an 二？ n 1 xn 4 J xn dx23(A)(1 e)21.3(C)(1e4)

8、21.(B)(D)3(1 e4)2 -1.3(1 e)? -1.#东方教育在线【分析】 先用换元法计算积分，再求极限【详解】因为ann百xnj11 - x3dx 盂 0n1 1 xnd(1 xn)= l(1xn)3n丄1 ( nn可见limn :nan = lim 1 (一 nn +13)n -13-(1 - e)2 -1.5东方教育在线【评注】 本题属常规题型，综合考查了定积分计算与求数列的极限两个知识点，但定 积分和数列极限的计算均是最基础的问题，一般教材中均可找到其计算方法Xyxx(3)已知y是微分方程y()的解，则(一)的表达式为In xxyyx【分析】将y代入微分方程，再令In x的

9、中间变量为u，求出:(u)的表达式，进(A)2y2x(B)2 y2x22(C)x(D)x2 .2 .yy#东方教育在线#东方教育在线而可计算出(-).yxyx【详解】将y代入微分方程y()，得In xxyIn x -1In2 xIn x:(Inx)，即1：(Inx)In x令Inx=u，有 (u)u2，故【评注】 本题巧妙地将微分方程的解与求函数关系结合起来，具有一定的综合性，但 问题本身并不复杂，只要仔细计算应该可以找到正确选项(4)设函数f(x)在(：，：)内连续，其导函数的图形如图所示，则 f(x)有(A) 一个极小值点和两个极大值点(B) 两个极小值点和一个极大值点(C) 两个极小值点

10、和两个极大值点(D) 三个极小值点和一个极大值点【分析】答案与极值点个数有关，而可能的极值点应是导数为零或导数不存在的点，共4个，是极大值点还是极小值可进一步由取极值的第一或第二充分条件判定【详解】 根据导函数的图形可知，一阶导数为零的点有3个，而x=0则是导数不存在的点三个一阶导数为零的点左右两侧导数符号不一致，必为极值点，且两个极小值点，一个极大值点；在 x=0左侧一阶导数为正，右侧一阶导数为负，可见x=0为极大值点，故f(x)共有两个极小值点和两个极大值点，应选 (C).【评注】 本题属新题型，类似考题2001年数学一、二中曾出现过，当时考查的是已.完全类似例题在文登学校经济类串讲知f(

11、x)的图象去推导f (x)的图象，本题是其逆问题班上介绍过(5)设I1Ji.4 ta n x .=4dx,* 二0 x二 Xn4dx,则0 ta nx(A)I1I21.(B)1 “ 1 1 I 2(C)I2I11.(D)112 I1【分析】直接计算I I2是困难的，可应用不等式tanx>x, x>0.【详解】tan x因为当 x>0时，有tanx>x，于是1，xJIdxtanxdxtan x，从而有可见有JtI1 I2且丨2 ：，可排除(A),(C),(D)，故应选(B).4【评注】本题没有必要去证明I1 ：1，因为用排除法，(A),(C),(D)均不正确，剩下的(B)

12、定为正确选项(6)设向量组1 : 忙工，/ r可由向量组II:：1,匕,:s线性表示，则(A)当r : s时，向量组II必线性相关.(B)当r - s时，向量组II必线性相关(C)当r : s时，向量组I必线性相关.(D)当r s时，向量组1必线性相关D 【分析】 本题为一般教材上均有的比较两组向量个数的定理：若向量组I :1,2,，r可由向量组II :-1, '2/' , ：s线性表示，则当r S时，向量组I必线性相关或其逆否命题：若向量组 I :12,，r可由向量组II : -1, '2/' /：s线性表示，且向量 7东方教育在线组I线性无关，则必有 r s

13、.可见正确选项为(D).本题也可通过举反例用排除法找到答案【详解】用排除法：如 = 卩则。“。"。$2，但P民W丿Q丿I1丿线性无关，排除(A)；1°丿则1,2可由：1线性表示，但'I线(1 性无关，排除(B) ； a 1 =，优1°丿关，排除(C).故正确选项为(D).P)，«1可由B 12线性表示，但«1线性无1【评注】本题将一已知定理改造成选择题,如果考生熟知此定理应该可直接找到答案,48东方教育在线若记不清楚，也可通过构造适当的反例找到正确选项。此定理见数学复习指南P.409定理11.三、(本题满分10 分)设函数f(x)二3l

14、n(1 ax )xarcsin x'6,eax x2 ax 1x ：0,x =0,x0,4#东方教育在线.x xsi n4【详解】f(0 -0) =lim f(x)=xT_limx x - arcs in x3 ax lim jx "x - arcs in x=limx fl -12 23ax . 3ax lim 1 x "d-x2 -1 1-x2c2. 3ax limX Q一 12x2-6a.f(0 0)巳叫 f(x)二処axex2 _ ax _1xxsin 一ax 2e 十 x ax-1 =4 lim厂xtxaeax +2x - a二 4 limx 0 2x=

15、2a24.问a为何值时，【分析】f(x)在x=0处连续；a为何值时，x=0是f(x)的可去间断点？ 分段函数在分段点 x=0连续，要求既是左连续又是右连续，即f (0 -0) = f (0) = f(0 0).4#东方教育在线令 f(0-0) = f(0 ' 0)，有-6a = 2a4，得 a - -1 或 a - - 2.当 a=-1 时，lim f (x) = 6 = f (0)，即 f(x)在 x=0 处连续.x 屮当a=-2时，lim f (x) = 12 = f (0)，因而x=0是f(x)的可去间断点.x 屮【评注】 本题为基本题型，考查了极限、连续与间断等多个知识点，其中

16、左右极限的计算有一定难度，在计算过程中应尽量利用无穷小量的等价代换进行简化完全类似例题见数学题型集粹与练习题集P.22【例1.38-39】,考研数学大串讲P.15【例23】，文登数学全真模拟试卷数学二 P.3第四题.四、(本题满分9分)2x=1+2t ,d2设函数y=y(x)由参数方程Xz9H2lnteU(t>1)所确定，求 yy = 1 dudx.1u.注意当【分析】 本题为参数方程求二阶导数，按参数方程求导的公式进行计算即可 x=9时，可相应地确定参数 t的取值.【详解】由鱼二dt1：；2ln te1 2l nt t2et1 2l nt，4t，dtdy2etdy dt1 2l nte

17、dxdx4t-2(1 2lnt)dt所以d2yddy(d；)1e-12 1dx2_ dtdx_2 (1 2lnt)2 t 4tdte4t2(1 2ln t)2当x=9时2，由 x = 1 + 2t 及 t>1 得t=2,故d2yeedx2xm4t2(1+2l nt)2t =216(1+21 n2)2【评注】完全类似例题见 数学复习指南P.53【例2.9】，考研数学大串讲P.15【例23】.五、(本题满分9分)arcta n xxe计算不定积分 3 dx.(1 +x2) 2【分析】被积函数含有根号.1 x2，典型地应作代换：x=tant,或被积函数含有反三【详解】设 x = ta n t，

18、贝U角函数 arctanx,同样可考虑作变换：arctanx=t，即 x=tant.arcta n xxe23(1 x2) 2dx 叮弘 sec2tdt =(1 tan 2t) 2et sin tdt.又 et sin tdt = - etd cost=-(d cost - et costdt)=cost et sin t - e sin tdt，1故et si n d tel s i n-co s) C.2arcta n x彳因此 xe 3 dx = 1earctanx(x)C(1+x2)，22J1 +x2 J1 + X2(x 二 1)earctanx2 1x2C.【评注】本题也可用分布积分

19、法:arcta n x xe(1 x2)'2dx =arcta n x-de1 x2arcta n x xearctan x e(1 x2)32dxarcta nxxe一 1x2dearcta n xarcta nx xearcta nxearctan x xe一 1 x2 1 x23(1 x ) 2dx11东方教育在线#东方教育在线移项整理得arcta nx, 八 arcta nxC.xe , (x -1)e (1x2)32dxU厂本题的关键是含有反三角函数，作代换 arctanx=t或tant=x,完全类似例题见数学复习指南P.86【例3.23】以及P.90习题12.六、(本题满分

20、12分)设函数y=y(x)在内具有二阶导数，且 y = 0, x = x(y)是y=y(x)的反函数.d2 xdx(1)试将x=x(y)所满足的微分方程2 (y sinx)( )3 = 0变换为y=y(x)满足的微dydy分方程；(2)求变换后的微分方程满足初始条件y(0) = 0, y (0) = ?的解.2【分析】将dx转化为dy比较简单,dydxdx11dx =丄二丄，关键是应注意:dy dyydxd2xdy2(dx)= d (dy dy dx1 dxy ) dyn 4IM=_y 1 _ y 7T厂研.然后再代入原方程化简即可 .dx 1【详解】(1)由反函数的求导公式知 dx = 1，

21、于是有 dy yd2xd?丿凸=d J)dy dy dx ydxdy2代入原微分方程得y - y = sin x.(2)方程(* )所对应的齐次方程 y-y二0的通解为设方程(* )的特解为y 二 Acosx Bsin x，代入方程(* )，求得A=0,B二-1，故y21 . sin x，2y =Yy* = C1ex C2e" -sin x.2从而y - y = sin x的通解是3由 y(0) = 0, y (0) ，得 C1,C22x亠 1.y = e -e si nx.2【评注】本题的核心是第一步方程变换,2.8】和P.59的【例2.22】.=-1.故所求初值问题的解为完全类似

22、例题见数学复习指南P.53的【例七、(本题满分12分)讨论曲线y =4l nx k与y=4x，ln4x的交点个数【分析】问题等价于讨论方程In4 x -41 n x 4x - k = 0有几个不同的实根.本题相当当0 : x :：: 1时，:(x) :：: 0，即(x)单调减少；当 x>1时，:(x)0，即卩(x)单调增加，故(1) =4 - k为函数 (x)的最小值.当k<4，即4-k>0时，(x) =0无实根，即两条曲线无交点；当k=4，即4-k=0时，(X)=0有唯一实根，即两条曲线只有一个交点；当k>4，即4-k<0时，由于lim(x) = lim In

23、x(ln 3 x - 4) 4x - k-:xj x )0Jim _(x)工!im In x(ln 3 x - 4) 4x - k：-:故(x) =0有两个实根，分别位于(0,1)与(1,:：)内，即两条曲线有两个交点.【评注】 讨论曲线与坐标轴的交点，在构造辅助函数时，应尽量将待分析的参数分离 开来，使得求导后不含参数，便于求驻点坐标完全类似例题见数学复习指南P.192的【例7.24】和数学题型集粹与练习题集P.89的【例6.18-19】以及文登数学全真模拟试卷数学二P.1第二大题第(2)小题.八、(本题满分12分)42 1设位于第一象限的曲线y=f(x)过点(，)，其上任一点 P(x,y)

24、处的法线与y轴的2 2交点为Q,且线段PQ被x轴平分.(1) 求曲线y=f(x)的方程；(2) 已知曲线y=sinx在0,二上的弧长为l，试用l表示曲线y=f(x)的弧长s.【分析】(1)先求出法线方程与交点坐标 Q,再由题设线段PQ被x轴平分，可转化为 微分方程，求解此微分方程即可得曲线 y=f(x)的方程.(2)将曲线y=f(x)化为参数方程，再 利用弧长公式s = f Jx,2 +y,2 dt进行计算即可.a【详解】(1)曲线y=f(x)在点P(x,y)处的法线方程为1丫-y (X-x),y其中(X,Y)为法线上任意一点的坐标.令X=0，则x=yy故Q点的坐标为(0,yx).由题设知Fy

25、1 “2(y yx)=0 ,即卩 2ydy xdx 二 0. y积分得2 2x 2y =C (C为任意常数).14东方教育在线#东方教育在线x2 = 1知C=1，故曲线y=f(x)的方程为X22x2 2y2 =1.曲线y=sinx在0 ,二上的弧长为花, H h+ cos2 xdx = 22(1 十 cos2 xdx.L0曲线y=f(x)的参数方程为x = c o s,y 丁 sin,Tt< 2#东方教育在线#东方教育在线21 .02'1 sin 珂出，it令t =u，贝U231 202 "cos2udu1 0 2s - - 1 cos u(-du)2 2l . 2 =

26、 2.2 盲1.【评注】 注意只在第一象限考虑曲线y=f(x)的弧长，所以积分限应从0到一，而不是2从0到2；完全类似例题见数学复习指南P.176的【例6.22】和数学题型集粹与练习题集P.174的【例12.18】以及P.172的【解题提示】，另外还有文登数学全真模拟试卷数学二-P.74的第七题.九、(本题满分10分)有一平底容器，其内侧壁是由曲线 x=(y)(y亠0)绕y轴旋转而成的旋转曲面(如图)，容器的底面圆的半径为2 m.根据设计要求，当以 3m3/min的速率向容器内注入液体时，2液面的面积将以 二m /min的速率均匀扩大(假设注入液体前，容器内无液体).(1) 根据t时刻液面的面

27、积，写出t与(y)之间的关系式；(2) 求曲线x =护(y)的方程(注：m表示长度单位米，min表示时间单位分.)【分析】液面的面积将以二m /min的速率均匀扩大，因此t时刻液面面积应为：二22 二t,而液面为圆，其面积可直接计算出来，由此可导出t与(y)之间的关系式；又液体的体积可根据旋转体的体积公式用定积分计算，已知t时刻的液体体积为3t，它们之间也可建立积分关系式，求导后转化为微分方程求解即可【详解】(1)设在t时刻，液面的高度为y，则由题设知此时液面的面积为二 2(y)=4 亠 t,从而 t = 2(y)-4.y 22(2)液面的高度为y时，液体的体积为 兀0 ® (u)d

28、u=3t = 3 (y)12.上式两边对y求导，得 ：2(y) =6 ：(y)(y)，即二(y)=6(y).解此微分方程，得(y) =Ce6，其中C为任意常数，由- (02 知 C=2,故所求曲线方程为兀x =2e61【评注】作为应用题，本题比较好地综合考查了定积分在几何上的应用与微分方程的求解。完全类似例题见文登数学全真模拟冲刺试卷数学一P.78的第四题(实际考题相当于本题的特殊情形)和数学最后冲刺 P.94的【例2】.十、(本题满分10分)设函数f(x)在闭区间a,b上连续，在开区间(a,b)内可导，且f (x) 0.若极限f (2x a)lim ''存在，证明：Jax -

29、 a(1) 在(a,b)内 f(x)>0;(2) 在(a,b)内存在点，使b2 一 a22；:f(x)dx f()(3) 在(a,b)内存在与 中相异的点，使222t bf ( )(b -a )a f(x)dx.-af (2x _ a)【分析】(1)由lim存在知，f(a)=0,利用单调性即可证明f(x)>0. (2)要证t x a的结论显含f(a),f(b)，应将要证的结论写为拉格朗日中值定理或柯西中值定理的形式进行证明.(3)注意利用(2)的结论证明即可.f (2x _ a)【详解】 因为lim存在，故lim f (2x - a) = f (a) = 0.又f (x)0 ,x

30、aXT于是f(x)在(a,b)内单调增加，故f (x) f (a) = 0, x (a,b).2F(x)= x , g(x)二xf(t)dt(aExb),则 g (x) = f(x) 0，故 F(x),g(x)满a足柯西中值定理的条件，于是在(a,b)内存在点'，使17东方教育在线#东方教育在线(x2)x q f(t)dt)F(b)_F(a)_b2 _a2g(b) - g(a) ff (t)dt - f f (t)dtaab2 -a2 _ 2©,gb f (x)dx f()因f( J二f( ')- f(0H f( J -f(a)，在a,上应用拉格朗日中值定理，知在(a

31、,)内存在一点 ，使f)= f ( )- a)，从而由的结论得b2 -a22fb f (x)dx f V1" -a)'a2巴 b 即有 f ( )(b2 -a2)f (x)dx.匕-a 'a【评注】 证明，关键是用(2)的结论：f 0)(b2 a2)= 2巴 ff(x)dx =-ab2 a22» f (x)dx f ( )( - a)a=f)二f ( )-a)(根据结论)二 f ( ) - f(a) = f ( )(-a),可见对f(x)在区间a上应用拉格朗日中值定理即可完全类似的例题见数学复习指南P.120【例4.41】 和考研数学大串讲 P.54【例18

32、-19 】.十一、(本题满分10分)若矩阵APAP =二01a相似于对角阵A，试确定常数6的值；并求可逆矩阵P使已知A相似于对角矩阵， 应先求出A的特征值, 无关特征向量的个数相同，转化为特征矩阵的秩，进而确定参数 题【详解】 矩阵A的特征多项式为【分析】再根据特征值的重数与线性a.至于求P,则是常识问-2-8-20九-2-a0入-62=C _6)( -2) -162=('-6) C 2)，故A的特征值为 2 = 6,，3 - -2.由于A相似于对角矩阵 上，故对应i二霍=6应有两个线性无关的特征向量，即3 _r(6E _A)=2，于是有r(6E A)=1.14-20 _2-101由6

33、E - A =-84aT00a000 -000 一知 a=0.于是对应于 2 =6的两个线性无关的特征向量可取为-2时,012|4-22E A= 84'0 0解方程组/i X2 = o,得对应于X3 = 0,01-21010T001-8 一-000_-11入3 = -2的特征向量J =-20 一0 1 1令P = 02-2，则P可逆，并有PAP =A.1 0 0 _【评注】 完全类似的例题见考研数学大串讲P.222【例18-19】和文登数学全真模拟试卷数学二 P.36第十二题（几乎完全一致）.十二、（本题满分8分）已知平面上三条不同直线的方程分别为11 : ax 2by 3c = 0，12 :bx 2cy 3a = 0，13：cx 2ay 3b = 0.试证这三条直线交于一点的充分必要条件为a b 0.【分析】 三条直线相交于一点，相当于对应线性方程组有唯一解，进而转化为系数矩 阵与增广矩阵的秩均为2.【详解】方法一：必要性设三条直线I1.l2.l3交于一点，则线性方程组ax 2by - -3c,bx 2cy 二-3a,