第2章比例与设计1

1、L/O/G/O数学与设计数学与设计广东工业大学华立学院广东工业大学华立学院主讲人：张文彬主讲人：张文彬章节内容章节内容 第一章 数学与设计概述 第二章第二章 比例与设计比例与设计 第三章 几何与设计 第四章 透视与设计 第五章 代数与设计 第六章 其他数学形式与设计第二章第二章 比例与设计比例与设计 第一节、比例简述 第二节、比例在设计中的应用 第三节、黄金分割与设计 第四节、 比例与设计2第一节第一节 比例简述比例简述 一、比例的概念 二、数列与斐波那契数列 三、比例在设计中的应用比例的概念比例的概念 比例： 数学中，是指两个数值之间的对比关系，反映的是事物结构的总体与部分之间的关系，是事物

2、总体中各个部分的数量占总体数量的比重。比例的概念比例的概念 在对两个数进行比较时，需要有一个用于比较的标准，这个标准称为基数。 基数的特点是能够被两个比例数值整除。比例的概念比例的概念 自然界中，比例的形式主要表现为事物的整体与部分之间，部分与部分之间以及事物与事物之间的比例关系。数列与斐波那契数列数列与斐波那契数列 一、数列的概念 二、斐波那契数列数列与斐波那契数列数列与斐波那契数列 一、数列的概念 数列是指相互之间具有一定的联系，并且按照某种顺序排列的数字集合。 常见的数列有等差数列和等比数列。数列数列（1）等差数列: A，A + d，A + 2d， ，A + (n-1)d。（式中d为公差

3、）等差数列，在坐标轴上，其形态是一条直线，倾斜的角度随数列的公差的大小变化。在造形上，其跳动的特点较为平缓。（2）等比数列: A，Aq，Aq2， ，Aq（n-1）。（式中q为公比）等比数列，在坐标轴上呈一条曲线，在造形上，其跳动幅度就比等差数列大得多。数列数列 （3）调和数列: 1，1/2，1/3，1/4，1/n 。 调和数列是分数，如果觉得使用不方便的话，可以作这样的处理：先把分数换算成小数，便是：1，0.5，0.33，0.25，0.2，0.17，0.14，0.13，0.11，0.1，。然后把这个顺序颠倒后，各数扩大10倍，得到一个数列：1，1.1，1.3，1.4，1.7，2，2.5，3.3

4、，5，10。这样一来，就比较便于使用了。数列数列 调和数列在坐标轴上的形态呈双曲线状。在造形上，若按整理成分数的数列形式，其跳动的幅度也较为平缓，若与公差为1的等差数列相比时，其幅度的跳动也较小些。斐波那契数列斐波那契数列 二、斐波那契数列 1、斐波那契数列介绍 2、斐波那契数列的应用斐波那契数列斐波那契数列 意大利的数学家列昂那多斐波那契在1202年研究兔子产崽问题时发现了此数列 设一对大兔子每月生一对小兔子，每对新生兔在出生一个月后又下崽，假若兔子都不死亡 问：一对兔子，一年能繁殖成多少对兔子？ （取自斐波那契的算盘书（1202年）斐波那契数列斐波那契数列1 1 月月 1 1 对对斐波那契

5、数列斐波那契数列1 1 月月 1 1 对对2 2 月月 1 1 对对斐波那契数列斐波那契数列1 1 月月 1 1 对对2 2 月月 1 1 对对3 3 月月 2 2 对对斐波那契数列斐波那契数列1 1 月月 1 1 对对2 2 月月 1 1 对对3 3 月月 2 2 对对4 4 月月 3 3 对对斐波那契数列斐波那契数列2 2 月月 1 1 对对3 3 月月 2 2 对对4 4 月月 3 3 对对5 5 月月 5 5 对对1 1 月月 1 1 对对斐波那契数列斐波那契数列201 1 月月 1 1 对对2 2 月月 1 1 对对3 3 月月 2 2 对对4 4 月月 3 3 对对5 5 月月 5

6、 5 对对6 6 月月 8 8 对对斐波那契数列斐波那契数列1 1 月月 1 1 对对2 2 月月 1 1 对对3 3 月月 2 2 对对4 4 月月 3 3 对对5 5 月月 5 5 对对6 6 月月 8 8 对对7 7 月月13 13 对对22题中本质上有两类兔子：一类是能生殖的兔子，简称为大兔子；新生的兔子不能生殖，简称为小兔子；小兔子一个月就长成大兔子求的是大兔子与小兔子的总和 列表考察兔子的逐月繁殖情况月 份 大兔对数 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144小兔对数 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89到十二月时有大兔子144对，小兔子89对

7、，共有兔子 144+89=233对斐波那契数列斐波那契数列23月 份 大兔对数 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144小兔对数 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 从上表看出： 每月小兔对数=上月大兔对数。 每月大兔对数等于上个月大兔对数与小兔对数之和综合两点，我们就有：每月大兔对数等于前两个月大兔对数之和 如果用 un 表示第 n 月的大兔对数，则有u un n = u = un-1n-1 + u + un-2n-2 , n 2 , n 2每月大兔对数 un 排成数列为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144， 此数列称为斐波

8、那契数列斐波那契数列斐波那契数列斐波那契数列24此数列有下述递推公式： u1 = 1， u2 = 1，un = un-1 + un-2 ，n 2 斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144， 上述数列中的每一个数称为斐波那契数用数学归纳法，可推得斐波那契数列的通项公式：,25125151nnun, 3, 2, 1n斐波那契数列斐波那契数列斐波那契数列与黄金比例斐波那契数列与黄金比例序号序号斐波那契数列值斐波那契数列值相邻数值的比例相邻数值的比例黄金比例黄金比例110.618211/1=1.000000321/2=0.500000432/3=0.666667553

9、/5=0.600000685/8=0.6250007138/13=0.61538582113/21=0.61904893421/34=0.617647105534/55=0.618182118955/89=0.6179781214489/144=0.61805613233144/233=0.61802614377233/377=0.61803726斐波那契数列前一项与后面一项的比的极限：618. 0215lim1nnnuu这个数正是有名的黄金分割数斐波那契数列斐波那契数列斐波那契数列斐波那契数列斐波那契数列的应用斐波那契数列的应用 斐波那契在算盘书中提出该数列后，到19世纪初之前的几百年里，都

10、没有人认真地研究过它。19世纪末和二十世纪，这一问题派生出很多广泛的应用，突然活跃起来。 斐波那契数列是从兔子问题中抽象出来的，如果它在其它方面没有应用，它就不会有强大的生命 发人深省的是，斐波那契数列确实在许多问题中出现斐波那契数列的应用斐波那契数列的应用 1 1、斐波那契数与植物花瓣、斐波那契数与植物花瓣 3百合和蝴蝶兰花 5蓝花耧斗菜、金凤花、飞燕草 8翠雀花 13金盏 21紫宛 34、55、89雏菊斐波那契数列的应用斐波那契数列的应用海棠（2）铁兰（3）斐波那契数列的应用斐波那契数列的应用洋紫荊（5）蝴蝶兰（5）黃蝉（5）斐波那契数列的应用斐波那契数列的应用雏雏菊（菊（1313）雏雏菊

11、（菊（1313）斐波那契数列的应用斐波那契数列的应用2 2、斐波那契螺旋线、斐波那契螺旋线葵花上的按照螺旋形状排列的小花。这些小花的排列和外侧花瓣的排列方式完全符合斐波纳契数列的要求，让人不得不惊叹自然的神奇造化。 回想向日葵，全部种子紧凑地排列于花盘之中，保证每个种子都按照适当的角度生长且大小基本一致，却又疏密得当。葵花籽的神奇螺旋排列斐波那契数列的应用斐波那契数列的应用 按照斐波纳契螺旋排列的洋甘菊 黄色的洋甘菊(实质也是菊科的一种)花头的小花排列布局也遵循斐波纳契螺旋要求。21个深蓝色螺旋和13个宝石绿螺旋。想起什么了？13和21也属于斐波纳契数列。有趣吧。斐波那契数列的应用斐波那契数列

12、的应用 紫色金光菊(又称紫锥花)紫锥花斐波那契数列的应用斐波那契数列的应用像牙齿一样洁白的白菊花花瓣美丽的桔黄色麦秆菊三、比例在设计中的应用三、比例在设计中的应用 （一）、单一比例形式的应用 （二）、混合比例形式的应用（一）、单一比例形式的应用（一）、单一比例形式的应用 单一比例形式的应用是指在设计中只采用某一类型的比例应用。分为简单应用和重复应用 1、简单应用 是指在设计过程中，针对某一特定区域进行一次性的比例应用。 通常用于某些平面类的设计构图中。如影像设计中的三分法。（一）、单一比例形式的应用（一）、单一比例形式的应用（一）、单一比例形式的应用（一）、单一比例形式的应用 2、重复应用 是

13、指在设计过程中，为进一步细化设计过程，利用同类型的比例关系进行多层次反复分化的应用形式。这种形式通常用于细化布局的设计。（一）、单一比例形式的应用（一）、单一比例形式的应用（二）、混合比例形式的应用（二）、混合比例形式的应用 是指在整个设计过程中，根据不同的设计需求，利用多种类型的比例关系来辅助设计。 例如，在人物绘画或人体雕塑设计时，常用整数比例关系来控制人体的整体形态，利用黄金分割比例来进一步细化人体各部分之间的关系。（二）、混合比例形式的应用（二）、混合比例形式的应用第二节第二节 比例在设计中的作用比例在设计中的作用 一、分割作用 二、评定作用 三、应用的基本原则一、分割作用一、分割作用

14、 1、线性分割作用 2、平面分割作用 3、立体分割作用线性分割作用线性分割作用 线性分割是指对事物进行线段式划分，使其形成具有一定比例关系的子部分的过程。 在设计中，为了准确描述和控制事物整体与部分之间或部分与部分之间的高低、长短等关系，常常利用比例关系对事物进行线性分割处理。线性分割作用线性分割作用 人体的比例是以头长为单位的。在我国人体长度通常为七到七个半头长。即头顶到脚跟的长度为七个半头长，在古代曾有“立七坐五盘三半”的说法。：人体二分之一处在耻骨联合上下。 ：下颏底至乳头连线=乳头连线至脐孔=一个头长 ：肩宽=两个头长 ：髋关节至膝关节=膝关节至脚跟 上臂的长度为头长的1.5倍 前臂+

15、手=两个头长线性分割作用线性分割作用线性分割作用线性分割作用线性分割作用线性分割作用平面分割作用平面分割作用 是指在设计过程中，对具有一个或多个面的事物进行一定区域的划分，并使整体与区域之间、区域与区域之间具有一定的比例关系。平面分割作用平面分割作用 在平面上进行有效的比例分割，可以突出设计事物的一些局部特征，从而使设计的事物更具美观性。 例如，在平面设计中，利用一定的比例关系，对事物进行一定区域划分，以突显创意。第十二届白金创意全国大学生平面设计大赛金奖热词立体分割作用立体分割作用 是指在设计过程中，对特定事物从三维空间角度出发，将其分割成多个具有一定比例关系的子个体。 它是线性分割和平面分割的综合，不但需要考虑整体与局部之间的关系，而且还需要对整体和局部中存在的各个面进行划分。立体分割作用立体分割作用二、评定作用二、评定作用 对于一个设计作品来说，利用单纯的主观意识去判定其好坏、美丑是远远不够的。需要运用一定的理性思维，运用一定的自然科学规律来审视设计事物所存在的美。 如，黄金分割比