专题05 数学阅读理解和开方探究相关问题(原卷版)

1、专题05 数学阅读理解和开方探究相关问题 【类型】一、阅读理解问题一、解答题1阅读材料，解答下面问题无限循环小数化分数：利用一元一次方程可以将任何一个无限循环小数化成分数形式下面以为例说明：设，由可得，由-，得解得：，所以，模仿：（1）将无限循环小数化成分数形式（2）_（直接写出答案）2阅读材料：数学课上，吴老师在求代数式的最小值时，利用完全平方公式，对式子作如下变形：，因为，所以，当时，因此有最小值1，即的最小值为1通过阅读，解下列问题(1)代数式的最小值为 ；(2)求代数式的最大或最小值，并指出它取得最大值或最小值时的值；(3)试比较代数式与的大小，并说明理由3阅读下列材料，然后解答问题:

2、在进行二次根式的化简与计算时我们有时会遇到如:，这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简:；以上将分母中的根号化去的过程，叫做分母有理化请参照以上方法化简:（1）（2）（3）4阅读下题的计算方法计算 解：原式= =上面这种解题方法叫做拆项法，按此方法计算：5阅读下面材料并解决有关问题：（一）由于，所以，即，并且当时，；对于两个非负实数a，b，由于，所以，即，所以，并且当时，；（二）分式和分数有着很多的相似点，如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质小学里，把分子比分母小的数叫做真分数，类似的，我们把分子的次数小于分母的次数的分式称为真分式，反之，称为假分式对于任何一个假分式都可以化成整式

3、与真分式的和的形式，如：；(1)比较大小： 2x（其中）， 2（其中），（填“”、“”或“”）；(2)在、这些分式中，属于假分式的是 （填序号）；(3)已知：，求代数式的值；(4)当x为何值时，有最小值？并求出最小值（写出解答过程）6阅读题在现今“互联网+”的时代，密码与我们的生活已经密切相连，密不可分，而诸如“123456”、生日等简单密码又容易被破解，因此利用简单方法产生一组容易记忆的密码就很有必要了有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆，其原理是：将一个多项式分解因式，如多项式x3x2因式分解的结果为x2（x1），当x5时，x225，x104，此时可以得到数字密码2504或0425；

4、如多项式x3+2x2x2因式分解的结果为（x1）（x+1）（x+2），当x10时，x109，x+111，x+212，此时可以得到数字密码091112(1)根据上述方法，当x12，y5时，求多项式x3xy2分解因式后可以形成哪些数字密码；（写出三个）(2)若一个直角三角形的周长12，斜边长为5，其中两条直角边分别为x，y，求出一个由多项式x3y+xy3分解因式后得到密码；（只需一个即可）(3)若多项式x2+（m3n）x6n因式分解后，利用本题的方法，当x25时可以得到一个密码2821，求m、n的值7【阅读材料】三千多年前，埃及人发明了一种书写分数的方法，这些分数的分子为1，它们被称为“单位分数”

5、，通过探究，小明发现有一些分数，可以很容易地拆分为两个不同的“单位分数”之和（或差）例如：，；，；(1)请观察小明发现的拆分方法，填空：；(2)请归纳以上拆分规律，计算下列各题：；(3)请运用以上拆分规律，直接写出下列算式的结果： ； 8阅读下列材料：一般地，没有公因式的多项式，当项数为四项或四项以上时，经常把这些项分成若干组，然后各组运用提取公因式法或公式法分别进行分解，之后各组之间再运用提取公因式法或公式法进行分解，这种因式分解的方法叫做分组分解法如：因式分解：（1）利用分组分解法分解因式：   ；    （2）因式分解：=_（直

6、接写出结果）9阅读下列材料，解决问题：在处理分数和分式问题时，有时由于分子比分母大，或者分子的次数高于分母的次数，在实际运算时往往难度比较大，这时我们可以考虑逆用分数（分式）的加减法，将假分数（分式）拆分成一个整数（或整式）与一个真分数和（或差）的形式，通过对简单式的分析来解决问题，我们称为分离整数法，此法在处理分式或整除问题时颇为有效，现举例说明将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式解：这样，分式就拆分成一个整式x2与一个分式的和的形式（1）将分式拆分成一个整式与一个分子为整数的分式的和的形式，则结果为 （2）已知整数x使分式的值为整数，则满足条件的整数x 10阅读下列材料材

7、料一：任意一个三位自然数m，若百位数字不大于4，则称m为“潜力数”材料二：在“潜力数”m的左边放一个奇数a，得到一个多位数；在“潜力数”m的右边放一个0，得到一个四位数，规定：例如：，（1）计算：_，_；（2）已知“潜力数”（其中，x、y是整数），若能被26整除，求m的值11阅读下列解题过程：已知，求的值解：由，知，所以，即的值为7的倒数，即       以上解法中先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出待求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面问题：（1）已知，求的值（2）已知，求的值（

8、3）已知，求的值12问题提出：如图1，由n×n×n（长×宽×高）个小立方块组成的正方体中，到底有多少个长方体（包括正方体）呢？问题探究：我们先从较为简单的情形入手（1）如图2，由2×1×1个小立方块组成的长方体中，长共有1+23条线段，宽和高分别只有1条线段，所以图中共有3×1×13个长方体（2）如图3，由2×2×1个小立方块组成的长方体中，长和宽分别有1+23条线段，高有1条线段，所以图中共有3×3×19个长方体（3）如图4，由2×2×2个小立方体组成的

9、正方体中，长、宽、高分别有1+23条线段，所以图中共有 个长方体（4）由2×3×6个小立方块组成的长方体中，长共有1+23条线段，宽共有 条线段，高共有 条线段，所以图中共有 个长方体问题解决（5）由n×n×n个小立方块组成的正方体中，长、宽、高各有 线段，所以图中共有 个长方体结论应用（6）如果由若干个小立方块组成的正方体中共有3375个长方体，那么组成这个正方体的小立方块的个数是多少？请通过计算说明你的结论13阅读下列材料：求函数的最大值解：将原函数转化成关于x的一元二次方程，得y（x2+x+0.25）3x2+2x整理，得当y3时，x为实数，y4且y

10、3；当y3时，即为，方程有解（x的值存在）；y4因此，y的最大值为4根据材料给你的启示，求函数的最小值14请认真阅读下面材料，并解答下列问题如果a（a0，a1）的b次幂等于N，即指数式abN，那么数b叫做以a为底N的对数，对数式记作：logaNb例如：因为指数式224，所以以2为底4的对数是2，对数式记作：log242；因为指数式4216，所以以4为底16的对数是2，对数式记作：log4162（1）填空：指数式6236对应的对数式是 ；对数式log3273对应的指数式是 （2）计算：log232+log562515阅读下列内容：设a，b，c是一个三角形的三条边的长，且a是最长边，我们可以利用a

11、，b，c三条边长度之间的关系来判断这个三角形的形状：若，则该三角形是直角三角形；若，则该三角形是钝角三角形；若，则该三角形是锐角三角形例如：若一个三角形的三边长分别是4，5，6，则最长边是6，故由可知该三角形是锐角三角形；请解答以下问题：（1）若一个三角形的三边长分别是7，8，9，则该三角形是_三角形；（2）若一个三角形的三边长分别是3，4，x，且这个三角形是直角三角形，则x的值_；（3）若一个三角形的三边长为，其中a是最长边，请判断这个三角形的形状，并写出你的判断过程【类型】二、开方探究问题一、单选题1“勾股图”有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣1955年希腊发行了以“勾股图”为背景的邮票

12、（如图1），欧几里得在几何原本中曾对该图做了深入研究如图2，在中，分别以的三条边为边向外作正方形，连结，分别与，相交于点，若，则的值为（       ） ABCD二、填空题2（1）如图，五角形的顶点分别为A、B、C、D、E，A+B+C+D+E=_（2）如图，A+DBE+C+D+E=_（3）如图，A+B+C+D+E=_（4）如图，123456_3如图，在菱形中，交的延长线于点E连结交于点F，交于点G于点H，连结有下列结论：；其中所有正确结论的序号为_4如图，在直角坐标系中，直线：与轴交于点，与轴交于点，分别以、为边作矩形，点、

13、在直线上，且，则的最小值是_5如图，点的坐标为，过点作轴于点，轴于点，点为线段上一点，若第一象限内存在点，使为等腰直角三角形，请直接写出符合条件的点坐标_6如图，在RtABC中，ACB90°，AC4，BC6，点D是边BC的中点，点E是边AB上的任意一点（点E不与点B重合），沿DE翻折DBE，使点B落在点F处，连接AF，则当线段AF的长取最小值时，sinFBD是_7一副直角三角尺按如图所示的方式叠放，现将含角的三角尺ABC固定不动，将含角的三角尺ADE绕顶点A按顺时针方向转动，（且）要使两块三角尺至少有一组边平行则_8如图，把边长为4的正方形纸片分成五块，其中点为正方形的中心，点，分别

14、为，的中点用这五块纸片拼成与此正方形不全等的四边形（要求这五块纸片不重叠无缝隙），则四边形的周长是_9定义：给定两个不等式组和，若不等式组的任意一个解，都是不等式组的一个解，则称不等式组为不等式组的“子集”例如：不等式组：是：的“子集”（1）若不等式组：，其中不等式组_是不等式组的“子集”（填或）；（2）若关于的不等式组是不等式组的“子集”，则的取值范围是_；（3）已知为互不相等的整数，其中，下列三个不等式组：，满足：是的“子集”且是的“子集”，则的值为_；（4）已知不等式组有解，且是不等式组的“子集”，请写出，满足的条件：_10如图，A，B，C为O上相邻的三个n等分点，点E在上，EF为O的直

15、径，将O沿EF折叠，使点A与A重合，点B与B重合，连接EB，EC，EA设EB=b，EC=c，EA=p现探究b，c，p三者的数量关系：发现当n=3时，p=b+c请继续探究b，c，p三者的数量关系：当n=4时，p=_；当n=12时，p=_（参考数据：，）三、解答题11定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做三角形的“中垂心”如图1，在ABC中，PA=PB，则点P叫做ABC的“中垂心”（1）根据定义，中垂心可能在三角形顶点处的三角形有_（举一个例子即可）；（2）应用：如图2；在ABC中，请画出“中垂心”P，使PA=PB=PC（保留作图痕迹，不写画法）（3）探究：如图3，已知ABC为直角三角形，C=

16、90°，ABC=60°，AC=，“中垂心”P在AC边上，求PA的长如图4，若PA=PB且“中垂心”P在ABC内部，总有AC+BC2AP，请说明理由12问题呈现：已知等边三角形边的中点为点，的两边分别交直线，于点，现要探究线段，与等边三角形的边长之间的数量关系（1）特例研究：如图1，当点，分别在线段，上，且，时，请直接写出线段，与的数量关系：_；（2）问题解决：如图2，当点落在射线上，点落在线段上时，（1）中的结论是否成立？若不成立，请通过证明探究出线段，与等边三角形的边长之间的数量关系；（3）拓展应用：如图3，当点落在射线上，点落在射线上时，若，请直接写出的长和此时的面积1

17、3如图，以点为旋转中心，将线段按顺时针方向旋转得到线段，连结（1）比较与的大小，并说明理由（2）当时，若，请你编制一个计算题（不标注新的字母），并解答【类型】三、实验操作问题一、解答题1综合与实践：教材八年级下册的数学活动折纸，引起了许多同学的兴趣在经历图形变换的过程中，进一步发展了同学们的空间观念，积累了数学活动经验实践发现：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展开；再一次折叠纸片，使点落在上的点处，并使折痕经过点，得到折痕，把纸片展开；连接（1）如图，直线_（填“是”或“不是”）线段的垂直平分线；请判断图中是什么特殊三角形？答：_；进一步计算出_；（2）如图，折叠矩形纸片，使点落在边上

18、的点处，并且折痕交边于点，交边于点，把纸片展开，连接交于点，连接求证：四边形是菱形；（3）如图，矩形纸片中，折叠纸片，使点落在边上的点处，并且折痕交边于点，交边于点，把纸片展平同学们小组讨论后，得出线段的长度有，请直接写出以上个数值中你认为正确的数值2操作与推理：我们知道，任何一个有理数都可以用数轴上一个点来表示，根据下列题意解决问题：（1）已知x=2，请画出数轴表示出x的点：（2）在数轴上，我们把表示数2的点定为基准点，记作点O，对于两个不同的点A和B，若点A、 B到点O的距离相等，则称点A与点B互为基准等距变换点例如图2，点A表示数-1，点B表示数5，它们与基准点O的距离都是3个单位长度，

19、我们称点A与点B互为基准等距变换点记已知点M表示数m，点N表示数n，点M与点N互为基准等距变换点I若m=3，则n= ；II用含m的代数式表示n= ；对点M进行如下操作：先把点M表示的数乘以23，再把所得数表示的点沿着数轴向右移动2个单位长度得到点N，若点M与点N互为基准等距变换点，求点M表示的数；点P在点Q的左边，点P与点Q之间的距离为8个单位长度，对Q点做如下操作： Q1为Q的基准等距变换点，将数轴沿原点对折后Q1的落点为Q2这样为一次变换： Q3为Q2的基准等距变换点，将数轴沿原点对折后Q3的落点为Q4这样为二次变换： Q5为Q4的基准等距变换点，依此顺序不断地重复变换，得到Q5，Q6，Q

20、7Qn，若P与Qn两点间的距离是4，直接写出n的值3综合与实践问题背景：综合与实践课上，同学们以两个全等的三角形纸片为操作对象，进行相一次相关问题的研究 下面是创新小组在操作过程中研究的问题， 如图一，ABCDEF， 其中ACB=90°，BC=2，A=30°操作与发现： （1）如图二，创新小组将两张三角形纸片按如图示的方式放置，四边形ACBF的形状是 ，CF= ；   （2）创新小组在图二的基础上，将DEF纸片沿AB方向平移至图三的位置，其中点E与AB的中点重合连接CE，BF四边形BCEF的形状是 ，CF= 操作与探究 ：（3）创新小组在图三的

21、基础上又进行了探究，将DEF纸片绕点E逆时针旋转至DE与BC平行的位置，如图四所示，连接AF， BF 经过观察和推理后发现四边形ACBF也是矩形，请你证明这个结论4数学实验室：制作4张全等的直角三角形纸片（如图1），把这4张纸片拼成以弦长c为边长的正方形构成“弦图”（如图2），古代数学家利用“弦图”验证了勾股定理探索研究：（1）小明将“弦图”中的2个三角形进行了运动变换，得到图3，请利用图3证明勾股定理；数学思考：（2）小芳认为用其它的方法改变“弦图”中某些三角形的位置，也可以证明勾股定理请你想一种方法支持她的观点（先在备用图中补全图形，再予以证明）5综合与实践问题情境数学活动课上，老师让同学

22、们以“三角形的旋转”为主题开展数学活动，和是两个全等的直角三角形纸片，其中，解决问题（1）如图，智慧小组将绕点顺时针旋转，发现当点恰好落在边上时，请你帮他们证明这个结论；（2）缜密小组在智慧小组的基础上继续探究，连接，当C绕点继续旋转到如图所示的位置时，他们提出，请你帮他们验证这一结论是否正确，并说明理由；探索发现（3）如图，勤奋小组在前两个小组的启发下，继续旋转，当三点共线时，求的长；（4）在图的基础上，写出一个边长比为的三角形（可添加字母）      6综合与实践问题情境综合与实践课上，老师让同学们以“折纸”为主题开展数学活动如图

23、1，有一张长为4，宽为3的矩形纸片（）操作发现（1）快乐小组先将图1中的矩形纸片沿直线折叠，使得点落在点处，得到图2，他们发现，请你证明这个结论；（2）创新小组将图2中的矩形纸片展开后继续折叠，使得点落在对角线上的点处，折痕为，得到图3，则折痕_；实践探究（3）前进小组在创新小组的操作基础上，将图3中的纸片展开，再将矩形纸片沿直线折叠，使得点落在对角线上的点处，然后将纸片展平如图4所示，折痕交于点，交于点，试判断的形状并证明你的结论             

24、0;             7综合与探究【实践操作】三角尺中的数学数学实践活动课上，“奋进”小组将一副直角三角尺的直角顶点叠放在一起，如图1，使直角顶点重合于点C【问题发现】（1）填空：如图1，若ACB145°，则ACE的度数是 ，DCB的度数 ，ECD的度数是 如图1，你发现ACE与DCB的大小有何关系？ACB与ECD的大小又有何关系？请直接写出你发现的结论【类比探究】（2）如图2，当ACD与BCE没有重合部分时，上述中你发现的结论是否还依然成立？请说明理由8综合与实践背景阅读   早在三千多年前，我国周朝数学家商高就提出：将一根直尺折成一个直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三、股四、弦五”它被记载于我国古代著名数学著作周髀算经中，为了方便，在本题中