2017北京市海淀区高二下学期期中数学(理)试卷

1、2017北京市海淀区高二下学期 期中数学（理）试卷2017海淀区高二（下）期中数学（理科）选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.1 . （4分）复数1-代i的虚部为（）A. 6 B. 1 C 仍 D.-近2. （4分）j Jxdx=（）4 0A. 0B. C 1D.223. （4分）若复数z% Z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，且Z1=1+i ,则Z1?Z2=（）A. - 2 B , 2 C. - 2iD. 2i4. （4分）若a, b, c均为正实数，则三个数a+, b+ , c+L这三个数中不小于2的数（）b c aA,可以不存在B .至少有1个C .至少有2个D .至多有2个5

2、. （4分）定义在R上的函数f （x）和g （x）,其各自导函数f' （x） f和g' （x）的图象如图所示，则函数F （x） =f （x） - g （x）极值点的情况是（）A.B.CD.8. (4分)为弘扬中国传统文化，某校在高中三个年级中抽取甲、乙、丙三名同学进行问卷调查.调 查结果显示这三名同学来自不同的年级，加入了不同的三个社团：“楹联社”、“书法社”、“汉 服社”，还满足如下条件：(1)甲同学没有加入“楹联社”；(2)乙同学没有加入“汉服社”；(3)加入“楹联社”的那名同学不在高二年级；(4)加入“汉服社”的那名同学在高一年级；(5)乙同学不在高三年级.试问：内同学所

3、在的社团是()A.楹联社B.书法社C.汉服社 D.条件不足无法判断二.填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.9. (4分)在复平面内，复数 与对应的点的坐标为 .110. (4分)设函数f (x), g (x)在区间(0, 5)内导数存在，且有以下数据：x1234f (x)2341f' (x)3421g (x)3142g'(x)2413则曲线f (x)在点(1, f (1)处的切线方程是 ;函数f (g (x)在x=2处的导数值是 第3页共11页12. (4分)如图, 二,v”填空：11. (4分)如图，f (x) =1+sinx ,则阴影部分面积是函数f (x)的图象

4、经过(0, 0), (4, 8), (8, 0), (12, 8)四个点，试用”>,第9页共11页(1) 一：一2(2) f ' (6)fC12)-f(83 一 4 f' (10).13. (4分)已知平面向量a= (x1, yO,l'= (>2y2),那么七?司=乂+丫1丫2；空间向量之二(x八 y1，Z1),b= (x2, y2. Z2),那么方？b=x1x2+y1y2+Z1Z2.由止匕隹广至U n维向量:a= (a1，a2,，an),b= (b1,b2,，bn),那么 a?b=14. (4分)函数f (x) =ex- alnx (其中aCR, e为自然

5、常数)？ aC R,使得直线 对？ a<0,函数fy=ex为函数f (x)的一条切线; (x)的导函数f' (x)无零点;对？ a<0,函数f 则上述结论正确的是(x)总存在零点；.(写出所有正确的结论的序号).解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15. (10 分)已知函数 f (x) =x3 - 3x2- 9x+2(I)求函数f (x)的单调区间;(H)求函数f (x)在区间-2, 2上的最小值.16. (10分)已知数列an满足 a二1, an+1+an=Vn+1 - h/n-1 , nCN*.(I )求 a2, a3, a4；(

6、n)猜想数列an的通项公式，并用数学归纳法证明.17. (12 分)已知函数 f (x) =x- (a+1) Inx -旦，其中 a R. £(I)求证：当a=1时，函数y=f (x)没有极值点；(H)求函数y=f (x)的单调增区间.18. (12 分)设 f (x) =etxT-tlnx , (t>0)(I )若t=1 ,证明x=1是函数f (x)的极小值点;(n)求证：f (x) > 0.参考答案与试题解析一.选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.1 【解答】复数1-Jji的虚部为-73.故选：D.2 .【解答】X !xdx=Lx故至少有 !=上J 02 口

7、 2故选：BZ1=1+i,3 【解答】二复数zi、Z2在复平面内的对应点关于虚轴对称, Z2= - 1+ . Zi?Z2= (1+i) (1-i) = - 2.故选：Aa+b+b+b+1c1c假设<6ab+, c+3这三个数都小于2+c+= (a+) + (+ (> 2+2+2=6,这与假设矛盾,个不小于故选：B5 .【解答】F' (x) =f' (x) - g' (x), 由图象得f ' (x)和g' (x)有3个交点， 从左到右分分别令为a, b, c,故 xC (-8, a)时，f' (x) <0, F (x)递减, xC

8、 (a, b)时，F' (x) >0, F (x)递增，xC (b, c)时，F' (x) <0, F (x)递减, xC (c, +oo)时，F (x) >0, F (x)递增, 故函数F (x)有一个极大值点，两个极小值点，故选：C.6 .【解答】由题意，f' (x)J，g' (x) =2ax,:函数f (x) =lnx与函数g (x) =ax2- a的图象在点(1,0)的切线相同,故选C.7 .【解答】y' =ex (2x-1) +2ex=ex (2x+1),令v =0得x=- 当 x< L时，y' <0,当

9、x>W 时，y' >0,+ 8)上单调递增,y=ex (2x - 1)在(-8, 一 -jk)上单调递减，在(-当x=0时，y=e° (0T) =-1,函数图象与y轴交于点(0, - 1);令 y=ex (2x - 1)=0 得 x-,. f (x)只有1个零点当 x<£时，y=ex(2x1) <0,当 x>时，y=ex (2xT) >0,综上，函数图象为A.故选A.3),可得乙加8 .【解答】假设乙在高一，则加入“汉服社”，与(2)矛盾，所以乙在高二，根据( 入“书法社”，根据(1)甲同学没有加入“楹联社”，可得丙同学所在的社团

10、是楹联社, 故选A.二.填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.9.【解答】复数4=(1一；" =-1 - i在复平面内对应的点的坐标(-1, - 1).1 I i故答案为：(-1, - 1) .10【解答】f' (1) =3, f (1) =2,曲线f (x)在点(1, f (1)处的切线方程是y=3x-1,f(g(x)'=f' (g(x)g'(x),x=2 时，f' (g(2)g'(2)=3X4=12,故答案为y=3x - 1； 1211.【解答】 由图象可得 S= j ； (1+sinx) dx=(x cosx) | = =

11、tt - costt - (0cos0) =2+冗，故答案为：+ +212 【解答】(1)由函数图象可知F; * *二3,_844二2,上是增函数,故答案为：.三.解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.【解答】(I) f' (x) =3x2 6x 9=3 (x+1) (x3),令 f' (x) =0,得 x=-1 或 x=3,当x变化时，f' (x), f (x)在区间R上的变化状态如下：x (-oo- - 1(T, 3)3(3,+oo)1)f' (x)+0-0+f (x)/ 极大 极小 /所以f (x)的单调递增区间是

12、(-8, 1), (3, +8)；单调递减区间是(-1,3);(H)因为 f ( 2) =0, f (2) =-20,再结合f (x)的单调性可知，函数f (x)在区间-2, 2上的最小值为-20.16.【解答】(I)由题意 a1=1, a2+a1二6, aa+a2=73 - 1, a4+a3=2 - 71解得：a2='"2. 1, a3= 7 3 - 2, a4=2 (H)猜想：对任意的 nCN*, an=Vn- Vn-l|,当n=1时，由a1=1=VI- Vl-1,猜想成立. 一 、 、 * - . 一假设当n=k (kCN)时，猜想成立，即ak=Jk-l则由 ak+1+

13、ak=五+1 - h/k-1,得 ak+1=Mk+l - Vk,即当n=k+1时，猜想成立,由、可知,对任意的nCN*,猜想成立，即数列a n的通项公式为an=Vri- J ml.17【解答】(I)证明：函数f (x)的定义域是(0, +8).当 a=1 时，f (x) =x2lnx一1，函数 f' ( x) =3?>0,所以函数f (x)在定义域(0, +oo)上单调递增，所以当a=1时，函数y=f (x)没有极值点；(H ) f ' ( x) =1 -包比+-= "T), x (0, +oo)x X2X2令 f' (x) =0,得 x=1, x2=a

14、,a0 0时，由f' (x) >0可得x>1,所以函数f (x)的增区间是(1, +8)；当 0<a< 1 时，由 f' (x) >0,可得 0<x<a,或 x>1,所以函数f (x)的增区间是(0, a), (1, +°0)；当a>1时，由f' (x) >0可得0Vx<1,或x>a,所以函数f (x)的增区间是(0, 1), (a, +00)；当a=1时，由(I )可知函数f (x)在定义域(0, +oo)上单调递增.综上所述，当a< 0时，函数y=f (x)的增区间是(1, +0

15、0)；当0<a<1时，所以函数f (x)的增区间是(0, a), (1, +8)；当a=1时，函数f (x)在定义域(0, +00)上单调递增；当a>1时，所以函数f (x)的增区间是(0, 1), (a, +8).18【解答】证明：(I)函数f (x)的定义域为(0, +8),(1分)若 t=1 ,则 f (x) =ex 1 - lnx , f" 3二 ex-1 (2 分)戈因为f ' (1) =0,(3分)且 0Vx<1 时，口= 1<L,即 f ' (x) <0,x>1 时，ex_1>e°=l>l,

16、即 f' (x) >0,所以f (x)在(1, +8)上单调递增；(5分)第13页共11页所以x=1是函数f (x)的极小值点;(6分)(H)函数f (x)的定义域为(0, +°°), t >0. f (k)二七小一二七)；(7分)令式力二£区川 工,则g" (x)=t et(x-1)+4r>0,故g (x)单调递增.(8分)又 g (1) =0,(9分)当x>1时，g (x) >0,因而f(x) >0, f (x)单增,即f (x)的单调递增区间为(1, +8)；当 0Vx<1 时，g(x)<0,

17、因而 f'(x)<0,f(x)单减,即f (x)的单调递减区间为(0, 1).(11分)所以 xC (0, +oo)时，f (x) >f (1) =110 成立.(12 分)A.只有三个极大值点，无极小值点B.有两个极大值点，一个极小值点C.有一个极大值点，两个极小值点D.无极大值点，只有三个极小值点6. （4分）函数f （x） =lnx与函数g （x） =ax2 * * * 6 7- a的图象在点（1, 0）的切线相同，则实数 a的值为（）A-1 B - C 旨 D 147. （4分）函数y=ex （2x-1）的大致图象是（(2) vf (x)在(4, 8)上是减函数，在(8, 12) f ' (6) <0, f ' (10) >0, f' (6) <f' (10).故答案为(1) >, (2) <.13.【解答】由题意可知；a?b=a1b1+a2b2+a3b3+abn.故答案为：a1b1+a2 b2+a3b3+anbn.14.【解答】对于，函数f (x) =ex - alnx的导数为f' ( x