1.2 晶格的周期性

1、固体物理学固体物理固体物理11.2 晶格的周期性晶格的周期性一、晶格与布拉伐格子一、晶格与布拉伐格子 1. 晶格：晶体中原子（或离子）排列的具体形式-周期性。 2. 2. 布拉伐格子布拉伐格子( (空间点阵）空间点阵）布拉伐格子：数学上的抽象，是点在空间中周期性的规则排列,也称空间点阵，或称晶格。固体物理学固体物理固体物理2布拉伐格子一共有14 种。scbccfcc立方晶系的布拉伐格子立方晶系的布拉伐格子基元：每一个格点所代表的物理实体。格点：空间点阵中周期排列的几何点。所有点在化学、物理和几何环境上完全相同。固体物理学固体物理固体物理3实际晶格实际晶格 = 布拉伐格子布拉伐格子 + 基元基元

2、 若格点上的基元只包含一个原子，那么晶格为简单晶格。 若格点上的基元包含两个或两个以上的原子（或离子），那么晶格为复式晶格。 晶格中所有原子在化学、物理和几何环境上都是完全等同的。 简单晶格必须由同种原子组成；反之，由同种原子组成的晶格却不一定是简单晶格。如金刚石和hcp晶格都是复式晶格。固体物理学固体物理固体物理4SC + 双原子基元双原子基元fcc + 双原子基元双原子基元复式晶格复式晶格由同种原子构成的金刚石晶格也是复式晶格。固体物理学固体物理固体物理5hcp、金刚石是复式晶格 复式晶格包含多个等价原子，不同等价原子的简单晶格相同。复式晶格是由等价原子的简单晶格嵌套而成。嵌套 ？固体物理

3、学固体物理固体物理6Rl0 a1a2二、基矢和原胞二、基矢和原胞-描述周期性描述周期性固体物理学固体物理固体物理7固体物理学固体物理固体物理82. 基矢：基矢：123123llllRaaa任一格矢任一格矢 ，1. 格矢格矢:lR如果所有如果所有l1、l2和和l3均为整数，则称这组坐标基均为整数，则称这组坐标基 、 和和 为基矢。为基矢。对于一个空间点阵，基矢的选择不是唯一的，可对于一个空间点阵，基矢的选择不是唯一的，可以有多种不同的选择方式。以有多种不同的选择方式。1a2a3a固体物理学固体物理固体物理9123av aaa原胞体积：原胞体积：3. 原胞原胞 空间点阵空间点阵最小的重复单元最小的

4、重复单元 每个空间点阵原胞中只含有每个空间点阵原胞中只含有一个格点一个格点 对于同一空间点阵，原胞有多种不同的取法对于同一空间点阵，原胞有多种不同的取法（ Wigner-SeitzWigner-Seitz原胞原胞），但），但原胞的体积均相等原胞的体积均相等 空间点阵原胞空间点阵原胞 晶格原胞晶格原胞 空间点阵原胞基元空间点阵原胞基元固体物理学固体物理固体物理10 Wigner-Seitz原胞（对称原胞）原胞（对称原胞）（3）作这几组格矢的中垂面，这些中垂面绕原点围成的最小区域称W-S原胞。（1）任选一格点为原点；（ 2）将原点与各级近邻的格点连线，得到几组格矢；二维W-S原胞体心立方W-S原胞

5、截角八面体面心立方W-S原胞正十二面体固体物理学固体物理固体物理优点：（1） Wigner-Seitz原胞本身保持了布拉伐格子的对称性；（2）该取法今后要用到。缺点：（1） Wigner-Seitz原胞的体积等计算不方便；（2）平移对称性反而不直观。11引入引入Wigner-Seitz原胞的原因原胞的原因固体物理学固体物理固体物理128a7a6a5a4a3a1a2a固体物理学原胞固体物理学原胞维格纳维格纳-塞茨单胞塞茨单胞固体物理学固体物理固体物理134.4.晶胞晶胞 除了周期性外，每种晶体还有自己特殊的对称性。为了同时反映晶格的对称性，往往会取最小重复单元的一倍或几倍的晶格单位作为原胞。结晶

6、学中常用这种方法选取原胞，故称为结晶学原胞，简称晶胞（也称为单胞）。例：二维三角晶格固体物理学固体物理固体物理14 晶胞的三个棱边矢量用 ， ， 表示，称为轴矢（或晶胞基矢），其长度a，b，c称为晶格常数。abc 下面对结晶学中属于立方晶系的布拉格原胞简立方、体心立方和面心立方的固体物理原胞进行分析。sc晶胞：晶胞：基矢基矢aaibajcak 体积体积3Va原胞：原胞：基矢基矢体积体积123aaiaajaak3Va三、简单晶格的原胞三、简单晶格的原胞固体物理学固体物理固体物理15bcc原子个数 2晶胞：晶胞：基矢基矢aaibajcak 体积体积3Va固体物理学固体物理固体物理16原胞：原胞：基

7、矢基矢体积体积123222()()()aaijkaaijkaaijk 31232aVaaa原子个数原子个数 1 由一个顶点向三个体心引基矢。固体物理学固体物理固体物理17bcc原胞示意图固体物理学固体物理固体物理18原子个数 4晶胞：晶胞：基矢基矢aaibajcak 体积体积3Vafcc固体物理学固体物理固体物理19原胞：原胞：基矢基矢体积体积123222()()()aaijaajkaaki31234aVaaa原子个数原子个数1 由一个顶点向三个面心引基矢。固体物理学固体物理固体物理20hcp12aa11633.ca两者之间的夹角为1200一个原胞中包含A层和B层原子各一个，共两个原子。复式格

8、子的原胞：即是相应简单复式格子的原胞：即是相应简单晶格的原胞，一个原胞中包含各晶格的原胞，一个原胞中包含各种等价原子各一个。种等价原子各一个。四、四、复式复式晶格的原胞晶格的原胞( (a)a) 六角密堆积六角密堆积结构结构固体物理学固体物理固体物理金刚石结构属面心立方，每个结晶学原胞包含4个格点。 金刚石结构是由两个面心立方子晶格沿体对角线位移1/4的长度套构而成,其布拉伐格子为面心立方。cc21( (b)b)金刚石结构金刚石结构固体物理学固体物理固体物理221434143412121212固体物理学固体物理固体物理23A类碳原子的共价键方向B类碳原子的共价键方向固体物理学固体物理固体物理c

9、cc c 金刚石结构每个固体物理学原胞包含1个格点,基元由两个碳原子组成,位于（000）和 处。 414141( (c)c)氯化钠结构氯化钠结构 氯化钠结构由两个面心立方子晶格沿体对角线位移1/2的长度套构而成。24固体物理学固体物理固体物理Cl-和Na+分别组成面心立方子晶格。其布拉伐晶格为面心立方。氯化钠结构属面心立方。 每个固体物理学原胞包含1个格点，每个结晶学原胞包含4个格点。 氯化钠的固体物理学原胞选取方法与面心立方简单格子的选取方法相同。基元由一个Cl-和一个Na+组成。(000) 212121Cl-的坐标为 ，Na+的坐标为 。 25固体物理学固体物理固体物理( (d)d)氯化铯结构氯化铯结构 Cl Cs 氯化铯结构是由两个简立方子晶格沿体对角线位移1/2的长度套构而成。 Cl-和Cs+分别组成简立方格子，其布拉伐晶格为简立方，氯化铯结构属简立方。 每个固体物理学原胞包含1个格点，每个结晶学原胞包含1个格点。基元由一个Cl-和一个Cs+组成。(000) 212121Cl-的坐