第一章 集合与逻辑用语

1、第一章集合与逻辑用语集合已经渗透到现代数学的各个领域,成为现代数学的基础,因此集合是进一步学习数学的重要基础知识。本章将介绍有关集合的一些基本概念常用符号、集合的表示法和简单运算 。第一节集合及其表示法一、集合的意义 在现实生活和数学中,我们往往把具有某种性质的对象放在一起,作为一个整体来研究。(1) 某校一年级的全体学生。(2) 所有不大于5 的自然数。(3) 所有的锐角三角形。上面例子中的“全体”、“所有”都是指具有某种特定性质的对象的总体。我们把具有某种特定性质的对象组成的总体叫做集合,简称集。集合中的各个对象叫做这个集合的元素。例如,上面例子中的(1)是由这个学校一年级全体学生组成的集

2、合,一年级的每一个学生都是这个集合的元素;(2)是由所有不大于5 的自然数的全体组成的集合,这个集合的元素就是0、1、2、3、4、5;(3)是由所有的锐角三角形组成的集合,任何一个锐角三角形都是这个集合的元素。对于一个给定的集合,集合中的元素是确定的。也就是说,任何一个对象或者是这个给定集合的元素,或者不是它的元素,不能模棱两可。例如,对于由所有的锐角三角形组成的集合,内角分别为50、60、70的三角形,是这个集合的元素;而内角分别为30、60、90的三角形,就不是这个集合的元素。对于一个给定的集合,集合中的元素没有顺序关系。下面再举几个集合的例子:(4) 方程x2-1=0的所有实数根组成一个

3、集合。因为这个方程只有两个实数根1与-1,所以这个集合有两个元素1 与-1。(5) 不等式3x+20 解的全体组成一个集合。因为不等式的解为x-,所以凡是大于-的实数都是这个集合的元素。显然,这个集合有无限多个元素。(6) 函数y=x2图像上所有的点P(x, y)组成一个集合。因为图像上的点的坐标x和y都满足y=x2,所以点P1(0,0), P2(1,1), P3(-1,1),等都是这个集合的元素。显然,这个集合有无限多个元素。习惯上,我们用大写的拉丁字母A,B,C,等表示集合,而用小写的拉丁字母a,b,c,等表示集合的元素。如果a 是集合A 的元素,就记为“aA ”,读作“a属于A ”;如果

4、a 不是集合A 的元素,就记为“a A”,读作“a 不属于A”。含有有限个元素的集合叫做有限集合;含有无限个元素的集合叫做无限集合。只含有一个元素的集合叫做单元素集。例如,方程x+1=0 的解集就是单元素集,元素为-1;又如方程x+1=1的解集也是单元素集,元素为0。不含有任何元素的集合叫做空集,记为。例如,方程x2+1=0在实数范围内的解集就是空集,又如,两个外离的圆,它们的公共点的集合是空集。由数组成的集合叫做数集。我们把一些常见的数的集合用特定的大写的拉丁字母表示:如果上述数集中的元素只限于正数,就在集合记号的右上角加上“+”号,如正有理数集记为Q+,同样Q-表示负有理数集,R+表示正实

5、数集等。N表示自然数集。二、 集合的表示法 集合一般有以下两种表示方法:列举法和描述法。1.列举法把集合中的元素一一列出来,并且写在大括号内,每个元素只写一次,不考虑元素的排列顺序,这样的集合表示方法叫做列举法。 例如:所有不大于5 的自然数的集合,可以表示为0,1,2,3,4,5、3,2,0,4,5,1或1,3,5,4,2,0等,但不能表示为1,2,1,4,0,5,3等。当集合的元素很多,不需要或不可能一一列举时,也可只写出几个元素,其他的用省略号表示。例如,小于100 的自然数可表示为0,1,2,3,99,正偶数可以表示为2,4,6,2n,。由列举法可以看出:集合中的元素不仅是确定的、互异

6、的,且与元素的排列顺序无关。在现实生活、生产中遇到的许多集合是不能用列举法表示出来的,如x+50的解集就不能用列举法表示出来。下面介绍集合的另一种表示方法。2.描述法在大括号内先写出这个集合的元素的一般形式,再划一条竖线,在竖线的右边写上个集合的特定性质,或在大括号内写出这个集合的元素所具有的特定性质,这样的集合表示方法叫做描述法。例如:(1) 所有自然数组成的集合可以表示为x|xN或自然数(2) 不等式3x+20所有解的集合可以表示为x|3x+20(3) 函数y=x2图像上所有的点P(x,y)组成的集合可以表示为(x, y)|y=x2在实数集内,用描述法表示集合时,可以省略“xR”,即x|x

7、4, xR可以写成x|x 4。列举法和描述法是集合的两种不同的表示法。实际运用时,究竟用哪种表示法,要看具体问题而定。有些集合两种方法都可以选用,例如,方程x2-1=0的所有实数根组成的集合,用描述法可表示为x|x2-1=0,xR,用列举法可表示为-1,1。例1 用符号“”或者“ ”填空:(1) 3 N; (2) 2- R+; (3) a a; (4) 0 ;(5) Q; (6) - Z+; (7) N。解 (1) 因为3 是自然数, 所以3N;(2) 因为2-0,所以2-R+;(3) 因为a是集合a的元素, 所以aa;(4) 因为是不含有任何元素的集合,0可以看作实数集的一个元素,所以0;(

8、5) 因为是无理数,所以 Q;(6) 因为-不是正整数,所以- Z+;(7) 因为不是自然数,所以 N。例2 用列举法表示下列集合:(1) x|x2-90, xZ; (2) x|x0及y0的所有的点集来表示,即。由图1-2 容易看出,这个点集包含第一象限内的所有的点(不包括x轴和y轴上的点)。例4 指出下列集合中哪个是空集,哪个是单元素集。(1) x|x+6=0;(2) x|x +6=0, xZ+。解 (1) x|x+6=0表示集合的元素是方程x+6=0 在实数范围内的解。因为x+6=0 在实数范围内只有一个解x=-6,所以集合x|x+6=0是单元素集-6。(2) x|x+6=0,xZ+表示集

9、合的元素是方程x+6=0在正整数范围内的解。因为x+6=0在正整数范围内无解,所以集合x|x+6=0,xZ+是空集。1.子集A=1,5,7B=1,3,5,7,9发现集合A 中的任何一个元素都是集合B的元素。对于两个集合之间的这种关系给出以下定义。定义对于两个集合A和B,若集合A的任何一个元素都是集合B 的元素,则集合A 叫做集合B 的子集。记作三、 子集、真子集、集合的相等AB或BA读作“A 包含于B ”或“B包含A”。例如,整数集Z中的每个元素属于有理数集Q,故有ZQ。同理QR。对于任一非空集合A,因为它的任何一个元素都是集合A的元素,所以AA,也就是说,任何一个集合都是它本身的子集。由于空

10、集是不含任何元素的集合,所以空集可以看成是任何集合B的子集,即B2.真子集如果集合A 是集合B 的子集,且集合B 中至少有一个元素不属于集合A,则称集合A是集合B的真子集,记为AB或BA读作“A真包含于B”或“B真包含A”。例如,1,5,7不但是1,3,5,7,9的子集,而且还是它的真子集,可记为1,5,71,3,5,7,9又如,对于自然数集N、整数集Z、有理数集Q、实数集R来说有NZQR 图1-3显然,空集是任何非空集合的真子集。集合A不是集合B的真子集,可记作A B。通常用圆(或其他封闭曲线围成的图形)直观地表示集合,用圆中的点表示该集合的元素(图1-3a),这样的图形称为文氏图。图1-3

11、b表示了A是B 的真子集,即AB 。例6 写出集合0,1,3所有的子集和真子集。解集合0,1,3所有的子集为,0,1,3,0,1,0,3,1,3,0,1,3共8个。除0,1,3外,其余都是真子集。例7 讨论集合x|x+2=0与x|x2+x-2=0的包含关系。解设A表示集合x|x+2=0,B表示集合x|x2+x-2=0。方程x+2=0的解为x=-2;方程x2+x-2=0的解为x1=1,x2=-2。则A =-2,B=1,-2。A是B 的真子集,即AB。3.集合的相等对于两个集合A和B,如果AB,同时BA,则称集合A和集合B相等,记为A=B,读作“A等于B”。显然,集合A和它本身相等,即A=A。例8

12、 设集合A=x|x2-16=0,B=4,-4,求证:A=B。 证明 方程x2-16=0的解为x1=4,x2=-4,即A=4,-4,而B=4,-4。由于两个集合的元素完全相同,所以集合A=B。 第二节集合的运算与命题的基本知识一、 交集先看下面的例子:设集合A=1,2,3,4,5,B=2,3,4,6,把属于A且属于B的所有元素组成一个集合C=2,3,4,对于这样的集合,给出下面的定义:定义 由集合A和集合B的所有公共元素所组成的集合叫做A与B的交集,读作“A交B”,即AB=x|xA,且xBAB可以用图1-4a、b、c、d所示的阴影部分来表示。图1-4从图1-4可知,集合A与集合B的交集共有四种情

13、况:(1) 当AB时,AB为图1-4a所示的阴影部分;(2) 当AB=时,AB如图1-4b所示;(3) 当BA时,AB=B,为图1-4c所示的阴影部分;(4) 当A=B时,AB=AA=A,为图1-4d所示的阴影部分。由交集的定义和图1-4可知,对于任何集合A、B有AB=BA,AA=A,A=, AAB, BAB。求集合的交集的运算叫做交运算。例1设A=x|-3x3,B=x|1x4,求AB。解 把集合A与集合B用同一数轴上的点集表示出来,见图1-5,集合A与集合B的公共部分,即AB=x|1x3。 图1-5例2设A为所有矩形的集合,B为所有菱形的集合,求AB。解A=矩形=四个角都是90的平行四边形,

14、B=菱形=四边相等的平行四边形,AB =四个角都是90,且四边相等的平行四边形=正方形例3 设A=x|x=2n,nN+,B=x|x=2n-1,nN,求AB。解集合A 表示所有的正偶数,集合B表示所有的奇数,因此集合A与集合B的交集是空集。即AB=。例4 设A=12的正约数,B=18的正约数,C=不大于5的正整数,求:(1) (AB)C;(2)A(BC)。解A=1,2,3,4,6,12,B=1,2,3,6,9,18, C =1,2,3,4,5。(1) (AB)C =1,2,3,61,2,3,4,5=1,2,3。(2) A(BC) =1,2,3,4,6,121,2,3=1,2,3。根据交集的定义和

15、例4,可以看出交运算满足交换律和结合律,即AB=BA,(AB)C =A(BC) 二、 并集先看下面的例子: 设集合A =1,2,3,4,5,B=3,2,4,6,把A和B两个集合的元素合并在一起(相同的元素只取一个),可以组成一个集合C=1,2,3,4,5,6。对于这样的集合,给出下面的定义: 定义设集合A和B是两个集合,由所有属于集合A 或者属于集合B的元素所组成的集合叫做A、B 的并集,记作AB (读作“A 并B ”),即AB=x|xA或xBAB可以用图1-6a、b、c、d所示的阴影部分表示。图1-6从图1-6可知,集合A与集合B的并集共有四种情况:(1) 当AB时,AB为图1-6a所示的阴

16、影部分。(2) 当AB=时,AB为图1-6b所示的阴影部分。(3) 当BA时,AB=A,如图1-6c所示的阴影部分。(4) 当A=B时,AB=AA=A,如图1-6d所示的阴影部分。当AB时,AB中的元素有三种类型: (1) aA,且a B。(2) aA,且aB。(3) a A,且aB。这就是说,当AB时,在AB中的任何一个元素必是上述三类中的一类。由并集的定义和图1-6可知,对于任何集合A,B,有AB=BA, AA=A,A=A,AAB, BAB。求集合的并集的运算叫做并运算。例5 已知A=x|(x-1)(x+2)=0,B=x|x2-4=0,求AB。解因为A=x|(x-1)(x+2)=0=1,-

17、2,B=x|x2-4=0=-2,2,所以AB=1,-2-2,2=-2,1,2。 例6设A =x|-3x3,B=x|1x4,求AB。解把集合A与集合B用同一数轴上的点集表示出来,见图1-7,可知AB=x|-3x4。 图1-7例7 已知自然数集合、有理数集合、实数集合分别为N、Q、R,求QN,QR。解 QN=Q,QR=R。例8 设A=0,1,2,3,9,B=2,4,6,8,10,C=1,2,3,4,求ABC。解 ABC=0,1,2,3,92,4,6,8,101,2,3,4=2,4,6,81,2,3,4 =1,2,3,4,6,8 三、 补集在研究集合与集合之间的关系时,这些集合往往是某个给定集合的子

18、集。这个给定的集合叫做全集,用符号I表示。也就是说,全集含有我们要研究的各个集合的全部元素。图1-8已知全集I,集合AI,由I中所有不属于A 的元素全体所组成的集合叫做集合A在集合I中的补集,记作IA(读作“A 补”),即IA=x|xI,x AIA可以用图1-8所示的阴影部分来表示。设全集I=R,有理数Q是R的子集。无理数是实数,但不是有理数,就是说无理数集是实数集内不属于有理数集的元素的全体。故对于全集R来说,无理数集是RQ。例9 设I=x|-4x+,A =x|-4x2;(2) 个位数是零的整数一定是偶数;(3) 互为补角的两个角不相等; (4) 绝对值相等的两个数一定相等。语句(1)是能够

19、判断它是正确的陈述句,它是命题。语句(2)是命题。因为个位数是零的整数,可以表示为10n的形式,其中n为整数。又因为10n=25n=2m(m为整数),所以语句(2)是真命题。语句(3)是假命题。若取A=90,B=90,A+B=180,即A和B互为补角,并且A=B。这就是说,互为补角的两个角可能相等。语句(3)是假命题。从语句(3)可以看出,要确定一个命题是假命题,只要举出一个满足命题条件而不满足命题结论的例子就可以了。这在数学中称为反例。语句(4)是假命题。若取a=7,b=-7,|a|=|b|,但ab,语句(4)是假命题。例12判断下面两个命题的真假,并说明理由。(1) 如果一元二次方程ax2

20、+bx+c=0(a0) 满足ac0 ,那么这个方程有实数根;(2)如果一元二次方程ax2 +bx+c=0(a0)有实数根,那么ac0。解 (1)这个命题是真命题。这是因为ax2+bx+c=0(a0),ac0。又b20,=b2-4ac0,所以方程有实数根。(2) 这个命题是假命题。举反例:方程2x2+9x+1=0,中=81-8=730,方程有实数根,而ac=21=20 。例(1)已经证明“如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)满足ac0,那么这个方程有实数根”是真命题。如果我们用表示“如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)满足acy ”这件事,表示“”这件事。如果取x=2,y=1,

21、那么这件事成立。但是由知道,这件事不成立,所以成立不能推出也成立。如果,并且,那么记作。推出关系满足传递性:如果,那么。五、 四种命题形式和等价命题 我们已经学过命题和逆命题。例如,平面几何中的命题:(1) 如果两条直线平行,那么内错角相等。它的条件是“两条直线平行”,它的结论是“内错角相等”。只要把命题的条件和结论互相交换,就得到它的逆命题:(2) 如果两个内错角相等,那么这两条直线平行。一般称(1)、(2)两个命题是互逆命题。如果把命题(1)的条件与结论分别改为它的否定形式:“两条直线不平行”与“内错角不相等”。于是得到一个新的命题: (3) 如果两条直线不平行,那么内错角不相等。像(1)

22、、(3)两个命题那样,一个命题的条件与结论分别是另一个命题的条件的否定与结论的否定。我们把这样的两个命题叫做互否命题。如果把其中一个叫做原命题,那么另一个就叫做它的否命题。 例13 试写出下面两个命题的否命题,并指出它们是否正确。命题甲: 如果一个数能被2整除,那么这个数是偶数。命题乙 :如果两个三角形全等,那么这两个三角形面积相等。解 命题甲的否命题是:如果一个数不能被2整除,那么这个数不是偶数。这个命题正确。命题乙的否命题是:如果两个三角形不全等,那么这两个三角形面积不相等。这个命题不正确。 从例13命题乙可以看出,一个命题正确,它的否命题不一定正确。下面我们来研究一个命题的逆命题的否命题

23、。命题(2)的否命题是:(4) 如果两个内错角不相等,那么这两条直线不平行。可以看出,命题(4)的条件与结论分别是命题(1)的结论与条件的否定。像(1)、(4)两个命题那样,一个命题的条件与结论分别是另一个命题的结论与条件的否定,我们称这样的两个命题是互为逆否命题。如果把其中一个叫做原命题,那么另一个就叫做它的逆否命题。例14试写出“矩形的对角线长相等”的逆命题、否命题、逆否命题,并指出它们是否正确。解先将命题改写成“如果, 那么”的形式,得原命题:如果四边形为矩形,那么它的对角线长相等;逆命题:如果四边形的对角线的长相等,那么这个四边形为矩形;否命题:如果四边形不是矩形,那么它的对角线长不相

24、等;逆否命题:如果四边形的对角线长不相等,那么四边形不是矩形。以上四个命题中,原命题和逆否命题都正确,逆命题和否命题都不正确。如果用和分别表示原命题的条件和结论,用和分别表示和的否定,那么四种命题的形式就是: 原命题:如果,那么; 逆命题:如果,那么; 否命题:如果,那么; 逆否命题:如果,那么。 现在来研究一个命题的真假与其他三种命题真假之间的关系。我们已经知道,“如果一元二次方程ax2 +bx+c=0(a0)满足ac0 ,那么这个方程有实数根”和它的逆命题都正确;而在例14中所举的原命题“矩形的对角线长相等”是正确的,而它的逆命题不正确。由此可知,原命题和它的逆命题不一定同时正确。 六、充

25、要条件下面我们介绍数学上常用的重要术语:充分条件、必要条件与充分必要条件。第三节不等式与区间一、 区间介于两个实数之间的所有实数的集合叫做区间。这两个实数叫做区间的端点。设a,b为任意两个实数,且ab,我们规定:(1) 满足不等式axb的实数x的集合x|axb称为开区间,记为(a,b);(2) 满足不等式axb的实数x的集合x|axb称为闭区间,记为a,b; (3) 满足不等式axb的实数x的集合x|axb称为左开区间,记为(a,b;(4) 满足不等式axb的实数x的集合x|axa;区间(-,b表示数集x|xb;区间(-,b)表示数集x|xb。 以上无限区间在数轴上的表示如图1-13所示。 图

26、 1-13实数集R可以用区间(-,+)表示。“ ”读作“无穷大”,“- ”读作“负无穷大” ,“+ ”读作“正无穷大”。它们不是数,仅是记号。例1 用区间表示下列数集:(1) x|3x10; (2) x|-2x7;(3) x|-5x0; (4) 。解 (1) x|3x10=3,10 ;(2) x|-2x7=(-2,7) ; (3)x|-5xb,bc,那么ac。分析: 要证明ac 只需要证明a-c0。证明因为aba-b0,即a-b为正数;又因为bcb-c0,即b-c为正数。显然两个正数的和仍为正数,所以a-b+b-c0得a-c0,所以ac。 性质1称为不等式的传递性。性质2 如果ab,那么对任何

27、实数c,有a+cb+c。 性质2是不等式的加法性质,它告诉我们不等式的两边同时加上(或同时减去)同一个实数,不等号的方向不变。利用它可以把不等式中某一项改变符号后,从不等号的一边移到另一边,即a+bcac-b。 性质3 如果ab,c0,那么acbc;如果ab,c0,那么acbc ,只要证明ac-bc0。 证明 因为aba-b0,又因为c0(a-b)c0ac-bc0acbc。同理可证,如果ab,c0,那么ac0(或0)讨论一元二次不等式的解,只要考虑一元二次不等式的二次项系数a0的情况。当a0时可在不等式两边同时乘以-1,使二次项系数化成正数。例如-x2+2x+30。 为得出一般的一元二次不等式

28、的解法,我们不妨先研究较为简单的一元二次不等式x2-2x-30 的解法。解法一化成一元一次不等式组来解。因为x2-2x-3=(x-3)(x+1) 由或 得解集为x|x3或x|x0的解集为(-,-1)(3,+)。解法二利用二次函数y=ax2+bx+c的图像求解。求不等式x2-2x-30的解,可以看作求二次函数y=x2-2x-3取正值的x的范围,也就是求二次函数的图像在x轴上方的x的范围。y=x2-2x-3的图像是一条开口向上的抛物线,如图1-14所示,抛物线与x轴两个交点的横坐标是x1=-1,x2=3,它们是一元二次方程x2-2x-3=0的两个根。 从图1-14可以看出,当x3 时,图像在x轴上

29、方,因此不等式的解为x3。即x2-2x-30的解集为(-,-1)(3,+)。类似地可以知道,不等式x2-2x-30的解为-1x3,即x2-2x-30 的解集为x|-1x0或ax2+bx+c0)的解法。1. 当=b2-4ac0时先求出相应的一元二次方程ax2+bx+c=0的两根x1,x2,不妨设x10(a0)的解集是(-,x1)(x2,+);不等式ax2+bx+c0)的解集是(x1,x2)。例4 解下列一元二次不等式:(1)3x2-5x-20; (2) -x2-2x+150。 图 1-15解 (1)因为二次项系数为3,大于零,相应的一元二次方程3x2-5x-2=0的两个根是x1=-,x2=2。

30、作二次函数y=3x2-5x-2的图像可得不等式3x2-5x-20的解集是(2,+)。(2)原不等式可化为x2+2x-150。因为二次项系数大于零,相应的一元二次方程x2+2x-15=0的两个根是x1=-5,x2=3。作二次函数y=x2+2x-15的图像,可得不等式-x2-2x+150的解集是-5,3。2.当=b2-4ac=0时一元二次方程ax2+bx+c=0有两个相同的实根,设x1=x2=x0,则抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于(x0,0)点,如图1-16。这时,不等式ax2+bx+c0(a0)的解集是(-,x0)(x0,+);不等式ax2+bx+c0)的解集是空集。1) 根据一元二次不等式的相应一元二次方程的根的判别式,确定该方程的解;2) 作出一元二次不等式的二次函数的图像;3) 由图像可得一元二次不等式的解集。例7 汽车在行驶中,由于惯性作用,刹车后要继续往前滑行一段距离后才停车,这段距离叫做刹车距离。实验表明,在某种路面上,某种型号汽车的刹车距离 s(单位:m)与汽车的速度x(单位:km/h)有如下的关系:s=0.055x+ 在一次交通事故中,测得刹车距离大于12.2m,求这辆汽车的速度大于多少千米