结构振动理论第二讲

1、17:10自由度：用来描述振动系统运动状态的最少位移(坐标)数目。自由振动：系统受初始扰动(初始位移与初始速度)后，仅靠弹性恢复力维持的振动。 若不计阻尼，系统的自由振动是等幅的简谐振动，它是振动的一种最基本的形态，简称谐振动。第二章 单自由度系统自由振动单自由度系统自由振动 若考虑阻尼时，振动系统的运动可能呈现两种形式，振动与非振动;只有阻尼低于临界阻尼时，系统才会发生自由振动;有阻尼自由振动的振幅是按指数规律衰减。单自由度系统自由振动17:10单自由度系统自由振动2.1 单自由度系统自由振动通解 x=Bsinpt+Dcospt0 kxxm 振动方程：（建立坐标系，受力分析，牛顿第二定律建立

2、平衡方程）二阶常系数线性齐次常微分方程假定初始条件：0)0(xx0)0(xxptxptpxxcossin00可得自由振动响应公式：记：kxmptDpptBpxsincos无阻尼单自由度系统x0kmxlo22nmkp)arctan()(002020 xpxpxxA)sin(ptAx02xpx 简谐振动的三要素：振幅、频率、相位(初相角)sin,cos00AxApx令17:10自由振动的特征方程自由振动的特征方程 单自由度无阻尼系统的自由振动微分方程为:0 kxxm 该方程的解结构为stXex , 代入上式有00)(0222kmsXekmskXemXesststst02kms这个以s为变量的 代数

3、方程称为原微分方程的特征方程。显然该特征方程的解为njmkjmks/n即为系统的固有圆频率，固有频率为2nnf单自由度系统自由振动17:10根据以上特征根，就可以得到原方程的2个特征解 及 tjne由此可以构造微分方程的通解为 tjtjnneXeXx21利用欧拉公式： jeeteetjtjtjtjt2sin,2cos同样可以得到如下结构的通解： tDcostBsinxnn同理利用初始条件可以得到用三角正弦函数表示的解： )arctan()(002020 xxxxAnn)sin(tAxn单自由度系统自由振动tjne式中X1 ,X2为任意常数,因x为实数,故X1, X2必为共轭复数tXXjtXXx

4、nnsin)(cos)(212117:10mkn称为固有振动圆频率 (单位：弧度/秒 rad/s)自由振动响应：)sin(tAxn)arctan()(002020 xxxxAnn 振幅 初相角谐振动重复一次所需的时间，称为固有周期 (单位：秒 s)kmTn22固有频率：单位时间内振动重复的次数 (单位：赫兹 Hz)Tmkfn1212单自由度系统自由振动17:10单自由度系统自由振动简谐振动的三要素：振幅、频率、相位固有频率：自由振动的频率仅决定于系统惯性与弹性，是系统的固有振动特性常力对振动方程的影响0)(kxxmxkFxmkF 静变形 当以质量的静平衡位置为原点时，可以不考虑常力和由其产生的

5、弹簧静变形的影响。常力对系统的固有振动特性没有影响。以静平衡位置为坐标原点FxkmXlo17:10单自由度系统自由振动2.2 能量法能量法无阻尼系统自由振动中任一时刻的机械能为常值,机械能守恒。常数EEEpk222121Ekxxm无阻尼系统的机械能无阻尼系统的机械能()0dEm xxkxxdtx m xkx 说明无阻尼系统的机械能在振动过程中不耗散，为一常数。tx(tx(t) )A A-A-A 0 T T 初位移初位移振动响应图示EEEpkmaxmax17:10由机械能守恒，有如下两个应用：由机械能守恒，有如下两个应用：0dtdEEEEpkmaxmax由1、求出运动方程：由2、求固有频率单自由

6、度系统自由振动0 kxxm )sin(ptAx假设则)cos(ptApx 22max21pmAEk2max21kAEp因此有2222121kApmAmkp2有常力作用的机械能：2211E()22mxkxFx()()0dEmxxkx xFxx mxkxdt得17:10单自由度系统自由振动例题: 下图所示的是用于测定低频振动振幅的传感器中的一个元件(无定向摆)。刚杆OA长为l铰支在O点, A端固定一小球，重为W。靠刚度系数为k的弹簧支撑在铅垂面内，弹簧离O点的距离是a。求摆在铅垂面内维持稳定的微幅振动的条件和它的固有频率。略去刚杆和弹簧的质量。 kOAWlaOAlaBB17:10解： 这是一个单自

7、由度系统，取摆振角来描述系统位移形态。小球的速度是l则它的动能是： 2)(21lgWT 小球下降的距离是221)cos1 (ll依小幅振动假设，弹簧伸长量是 a则系统的势能是 2221)(21WlakU总机械能是 UTE0dtdE有振动微分方程 :0)(22WlkalgW 于是系统的固有频率是 ) 1(2Wlkalgn12Wlka系统的固有频率才是实数，这就是稳定振动的条件。 单自由度系统自由振动kOAWlaOAlaBB17:102.3 2.3 单自由度系统的等效处理单自由度系统的等效处理(1)单自由度扭摆系统 假定盘和轴都为均质体，扭盘为刚性，求系统的自由扭摆振动的固有频率。a)刚度的等效处

8、理（按振动的变形模式进行等效） 设扭矩T作用在盘面，此时圆盘产生一角位移，根据材料力学可知 GITl式中G为剪切模量；I I为截面极惯性矩， 324dI 定义轴的扭转刚度为lGITkTd为轴的直径。单自由度系统自由振动b)惯性项的等效处理（按动能等效进行折算）刚性圆盘的转动惯量为J;单位长度轴的转动惯量为u,总J1=ul 取轴的静扭转变形模式作为假设振动模式，则轴上任意一个微元的动能为 ,轴的总动能为dxlxu2)(2121202)3(21321)(21Juldxlxul因此系统的总动能 22121)3(21TkJJJETTnJk17:10(2) 简支梁横向振动 假设系统的质量全部等效集中在梁

9、的中部,且假定为me,取梁的中部挠度为系统的位移 则 EIPl483为梁截面的抗弯刚度 EI定义简支梁等效刚度 348lEIPke则系统的自由振动方程为: 0eekm 振动固有频率为: eenmk 需要注意的是，me不是梁的总质量，它可以通过梁上各点位移关系和动能等效的原则获得。单自由度系统自由振动17:10单自由度系统自由振动例 铰接式直升机旋翼挥舞振动分析挥舞 铰RLcosdR)cos(2简化假设：1 旋翼简化成长L的刚性细杆，铰支于挥舞铰；2 转子转速为常数；3 重力对旋翼的作用可略去不计 以固连于转子的旋转坐标系为基准来考察旋翼相对运动，以挥舞角描述)sin)()cos(2dR)32(

10、)cos32(sin)cos(sin222202LRLLLRLLdRL0)32(3L222LRL LRp231 取微元做受力分析，微元离心力对铰链轴o的力矩为离心力矩总合为：均匀细杆绕o轴的转动惯量J=L3/3，由动量矩定理可得：挥舞共振的固有频率为：17:10 如果系统内有多个弹性元件，为简化振动分析，可用其总刚度(又称等效刚度)表示其弹性特征。 并联串联外力f的作用下，两个弹簧变形均为各自受的力为:11kf 22kf 合力关系 )(2121kkfff总等效刚度系数为 21kkfk串联弹簧的变形分别为1211kfuu2322kfuu总变形 212131kfkfuu等效刚度 212121)/1/1 (1kkkkkkfk 由此可见，弹性元件并联将提高总刚度，串联将降低总刚度。这与电学中电阻的并联、串联结论是相反的。阻尼器串联或并联后，总阻尼系数类似于总刚