流体动力学理论基础第四章

1、流体动力学的研究内容研究流体运动要素与引起运动的动力要素力之间的关系。根据动量守恒和能量守恒定律，建立流体运动的动力学方程第1节 理想和实际流体的运动微分方程（N-S方程）第2节 元流的伯努利方程第3节 实际流体总流的伯努利方程第4节 总流的动量方程及其应用第四章第1节 理想和实际流体的运动微分方程（N-S方程） 理想流体的运动方程CyzxObdydzdxa2dxxpp2dxxppp),(ZYXf ),(zyxaaaa 理想流体的运动方程nnxxnxfxxxfxfxf)(!)()()()(0002)2(dxxppxdxxxpppa泰勒级数泰勒级数一阶近似一阶近似2)2(dxxppxdxxxpp

2、pb理想流体的运动方程dydzdxxppdydzpPaa2x方向表面力方向表面力x方向质量力方向质量力xxFfdxdydzdydzdxxppdydzpPbb2理想流体的运动方程maF 牛顿第二定律牛顿第二定律对于流体微元来说，对于流体微元来说，x方向上：方向上：dxdydzaFPPxxba22xxp dxp dxpdydzpdydzfdxdydzadxdydzxx1xxpfax理想流体的运动方程同理，同理，y、z方向上：方向上：1yypfay1zzpfaz矢量形式矢量形式apf1静止流体静止流体01pf理想流体的运动方程欧拉加速度欧拉加速度duuauudtt欧拉运动方程的另一形式欧拉运动方程的

3、另一形式1duufpuudtt 理想流体的运动方程理想流体运动的偏微分方程组矢量形式理想流体运动的偏微分方程组矢量形式uutupfut10uuivjwkijkuvwxyzxyz 理想流体的运动方程理想流体运动的偏微分方程组理想流体运动的偏微分方程组0111xyzuvwtxyzpuuuufuvwxtxyzpvvvvfuvwytxyzpwwwwfuvwztxyz实际流体的运动方程第一下标第一下标与该力作用面相与该力作用面相垂直的坐标轴垂直的坐标轴第二下标第二下标与该力作用方向与该力作用方向相平行的坐标轴相平行的坐标轴dxdy yy yz yxdz xx xz xy zx zy zz xz xx x

4、y yy yz yx zy zx zzxyzA实际流体的特点：l 实际流体的受到表面力包括：压应力和粘性引起的切应力，该切应力由广义牛顿内摩擦定律确定：实际流体的运动方程xzzxyxyzyxxyzuxwywzvxvyu流体微团的角变形运动角变形速率：yuxvdtdyxxy21单位时间内流体微团的角度变化。同理zvywzyyz21xwzuxzzx21实际流体的特点：实际流体的运动方程l 实际流体任一点的压应力，由于粘性切应力的存在，各向大小不等，即xx yy zz。zzyyxxp31222xxyyzzupxvpywpz zwyvxu32流体动压强：实际流体的运动方程dxdy yy yz yxdz

5、 xx xz xy zx zy zz xz xx xy yy yz yx zy zx zzxyzA实际流体的运动方程x方向受力情况： 左右面压力 xx dydz xx dydz 上下面切力 zx dydx zx dydx 前后面切力 yx dxdz yx dxdz 质量力 fxdxdydzf fxf实际流体的运动方程dxxxxxxxxdzzzxzxzxdyyyxyxxydxdy yy yz yxdz xx xz xy zx zy zz xz xx xy yy yz yx zy zx zzxyz实际流体的运动方程()xxxxxxxfdxdydzdx dydzdydzxx方向受力平衡：dudxdy

6、dzdt)(dxdzdxdzdyyyxyxyx)(dydxdydxdzzzxzxzx实际流体的运动方程1yxxxzxxdufxyzdt1xyyyzyydvfxyzdt1yzxzzzzdwfxyzdt实际流体的运动方程考查x方向，代入应力表达式：12xuuvuwdufpxxyyxzzxdt 1xpuuuvuwdufxxxxyyxzzxdt 实际流体的运动方程2222221xpuuufxxyzzwyvxuxdudt1xpuuuvuwdufxxxxyyxzzxdt 实际流体的运动方程2222221xpuuudufxxyzdt2222221ypvvvdvfyxyzdt2222221zpwwwdwfzx

7、yzdt实际流体的运动方程21dufpudt 矢量形式矢量形式（Navier-Stokes方程）方程）拉普拉斯算子：拉普拉斯算子：2222222zyx实际流体的运动方程实际流体运动的偏微分方程组矢量形式实际流体运动的偏微分方程组矢量形式uutuupfut210实际流体的运动方程实际流体运动的偏微分方程组实际流体运动的偏微分方程组2222222222222222220111xxxuvwtxyzpuuuuuuufuvwxxyztxyzpvvvvvvvfuvwyxyztxyzpwwwwwwfuvzxyztxywwz实际流体的运动方程实际流体运动的偏微分方程组实际流体运动的偏微分方程组 连续性方程 运

8、动方程 本构方程 能量方程 状态方程0utdtudmfF fshTfp/,shT,求解理想流体运动的偏微分方程组理想流体运动的偏微分方程组0111xyzuvwtxyzpuuuufuvwxtxyzpvvvvfuvwytxyzpwwwwfuvwztxyz获得解析解需满足的条件：获得解析解需满足的条件： 理想流体 均质不可压缩流体 定常流 质量力是有势力 沿流线积分第2节 伯努利方程式及其应用理想流体运动的偏微分方程组理想流体运动的偏微分方程组0111xyzuvwtxyzpuuuufuvwxtxyzpvvvvfuvwytxyzpwwwwfuvwztxyz(1) 不可压缩理想流体的定常流动；不可压缩理

9、想流体的定常流动；(2) 沿同一微元流束（也就是沿流线）积分；沿同一微元流束（也就是沿流线）积分；(3) 质量力只有重力。质量力只有重力。即可求得理想流体微元流束的伯努利方程。即可求得理想流体微元流束的伯努利方程。一、理想流体恒定元流的伯努利方程一、理想流体恒定元流的伯努利方程 欧拉运动微分方程是一个一阶非线性偏微分方程组欧拉运动微分方程是一个一阶非线性偏微分方程组(迁移迁移加速度的三项中包含了未知数与其偏导数的乘积加速度的三项中包含了未知数与其偏导数的乘积)，因而至今，因而至今还无法在一般情况下积分，只能在一定条件下积分。欧拉运动还无法在一般情况下积分，只能在一定条件下积分。欧拉运动微分方程

10、组各式分别乘以微分方程组各式分别乘以dx，dy，dz(流场任意相邻两点间距流场任意相邻两点间距ds的坐标分量的坐标分量)，然后相加得：，然后相加得： 考虑条件考虑条件 1.恒定流：恒定流： ；dzdtdudydtdudxdtdudzzpdyypdxxpdzfdyfdxfzyxzyx)(1)(0tp2.均质不可压缩流体，即均质不可压缩流体，即=c；3.质量力只有重力，即质量力只有重力，即fx=fy=0，fz=-g；4.流线与迹线重合流线与迹线重合 dx = uxdt, dy = uydt, dz=uzdt；因此因此I II III式中各项为：式中各项为： dzdtdudydtdudxdtdudz

11、zpdyypdxxpdzfdyfdxfzyxzyx)(1)(gdzdzfdyfdxfzyxpddzzpdyypdxxp)(1dzdtdudydtdudxdtduzyx由以上得：由以上得：积分得：积分得：222222uduuudduuduuduudzdtdudydtdudxdtduzyxzzyyxxzyx（基准面）（基准面）P1/gV12/2gV22/2gYP2/gXz1z21222udpdgdzCgugpz22gugpzgugpz2222222111（对于同一流线上的任意两个点）（对于同一流线上的任意两个点）上式即是理想流体恒定元流的伯努利方程。上式即是理想流体恒定元流的伯努利方程。该式表明该

12、式表明：在不可压缩理想流体恒定流情况下，元流内不同的：在不可压缩理想流体恒定流情况下，元流内不同的过流断面上，单位重量流体所具有机械能保持相等过流断面上，单位重量流体所具有机械能保持相等(守恒守恒)。该式是由瑞士科学家。该式是由瑞士科学家伯努利伯努利于于1738年首先推导出来的。年首先推导出来的。 应用条件是：应用条件是：(1)理想液体；理想液体；(2)恒定流动；恒定流动；(3)质量力只有质量力只有重力；重力；(4)沿元流（流线）；沿元流（流线）；(5)不可压缩流体不可压缩流体 。连续性方程说明了流速与过水断面的关系，是运动学方程；水流能量方程则是从动力学的观点讨论水流各运动要素之间的关系，是

13、能量守恒在水流运动中的具体表现。二、理想液体恒定流微小流束的能量方程式二、理想液体恒定流微小流束的能量方程式 今在理想液体恒定流中取一微小流束，并截取1-1和2-2断面间的ds微分流段来研究。 根据牛顿第二定律：作用在ds流段上的外力沿s方向的合力，应等于该流段质量 与其加速度 的乘积。1-1断面动水压力 pdA2-2断面动水压力 (p+dp)dA重力沿s方向分力则对微小流束上任意两个过水断面不可压缩理想液体恒定流微小流束的能量方程式。dAdsdtdudtdudAdsgdAdzdAdpppdA)(gdAdzdsdzgdAdsagdAdsadGcoscos 对一元恒定流代入 同除 可得：将上式沿

14、流程s积分得对微小流束上任意两个过水断面有：)2(2udsddsduudtdsdsdudtdudtdudAdsgdAdzdAdpppdA)(0)2(2gugpzdsdCgugpz22gdA)2(12udsddsgdzgdpgugpzgugpz2222222111伯努利方程的物理意义伯努利方程的物理意义1.几何意义几何意义 ：位置水头；：位置水头； ：压强水头；：压强水头； ：流速高度：流速高度(速度水头速度水头);gpgu22理想流体的伯努理想流体的伯努利方程表明沿同一利方程表明沿同一元流上元流上(沿同一流线沿同一流线)各断面的总水头相各断面的总水头相等，总水头线是水等，总水头线是水平线。平线

15、。gpz：测压管水头：测压管水头;gugpz22：总水头。：总水头。总水头线总水头线测压管水头线测压管水头线gu222gu221gP11Z2ZgP22.能量意义能量意义：单位重量流体所具有的位置势能单位重量流体所具有的位置势能(位能位能)； ：代表单位重量流体：代表单位重量流体所具有所具有的压强势能的压强势能(压能压能) ：单位重量流体所具有的动能；：单位重量流体所具有的动能； ：单位重量流体所具有的总势能；：单位重量流体所具有的总势能； ：单位重量流体所具有的机械能。：单位重量流体所具有的机械能。gpgu22gpzgugpz22沿同一元流（流线），单位重量流体机械能守恒。沿同一元流（流线），

16、单位重量流体机械能守恒。 在管道均匀流中任意选择在管道均匀流中任意选择1-1与与2-2两过水断面，分两过水断面，分别在两过水断面上装上测压管，则同一断面上各测压别在两过水断面上装上测压管，则同一断面上各测压管水面必上升至同一高度。即管水面必上升至同一高度。即 ，但不同断面，但不同断面上测压管水面所上升的高程是不同的。上测压管水面所上升的高程是不同的。Cgpz 今在均匀流过水断面上取一微今在均匀流过水断面上取一微 元柱体，其轴线元柱体，其轴线n-n与流线正交与流线正交 并与铅垂线呈夹角并与铅垂线呈夹角 。 作用于微分柱体下端动水压 力为 上端动水压力为上、下端面摩擦力垂直于轴线n-n ；侧面动水

17、压力垂直于轴线n-n 。柱体自重沿n方向的投影为N方向无加速度故有pdAdAdpp)(gdAdzagdAdnadGcoscosCgpzdpgdzgdAdzdAdpppdA00)(例例 有一贮水装置如有一贮水装置如图图所示，贮水池足够大，当阀所示，贮水池足够大，当阀门关闭时，压强计读数为门关闭时，压强计读数为2.8个大气压强。而当将阀门个大气压强。而当将阀门全开，水从管中流出时，压强计读数是全开，水从管中流出时，压强计读数是0.6个大气压强个大气压强试求当水管直径试求当水管直径d=12cm时，通过出口的体积流量。时，通过出口的体积流量。解解 当阀门全开时列当阀门全开时列1-1、2-2截面截面的伯

18、努利方程的伯努利方程 当阀门关闭时，根据压强计的读数，应用流体静力学当阀门关闭时，根据压强计的读数，应用流体静力学基本方程求出基本方程求出H值：值：apgH8 . 2gVgpHa26 . 000022O)(mH289800980008 . 28 . 22gpHa则：则：代入到上式代入到上式 所以管内流量所以管内流量 )/(78.209800980006 . 08 . 28 . 926 . 022smgpHgVa235. 078.2012. 0785. 04222VdqV（m3/s）物体绕流如图所示，上游无穷远处流速V=1.2m/s , 压强为p=0的水流受到迎面物体的障碍后，在物体表面上的顶冲

19、点S处的流速减至V=0，压强升高，称S点为驻点。求驻点处的压强ps Vps例题Vps解：ssszgpgVzgpgV2222)( 073. 08 . 922 . 122222mgVgpgVgpss故 ps= 0.073 mH2O例题2222211122whgugpzgugpz二、实际流体恒定元流的伯努利方程二、实际流体恒定元流的伯努利方程 实际流体具有粘性，流动时，粘性流体克服阻力实际流体具有粘性，流动时，粘性流体克服阻力作功而消耗了一部分流体自身作功而消耗了一部分流体自身的机械能，产生能量损失的机械能，产生能量损失(也也叫水头损失叫水头损失)。设流体由。设流体由1-1断面流到断面流到2-2断面

20、的单位重量断面的单位重量的能量损失为的能量损失为hw，则粘性流，则粘性流体元流的伯努利方程可写为：体元流的伯努利方程可写为：u22/2g1122z1P1/gu12/2gz2P1/g00三、实际流体恒定总流的伯努利方程三、实际流体恒定总流的伯努利方程 1、实际流体恒定总流的伯努利方程的推导、实际流体恒定总流的伯努利方程的推导 不可压缩实际流体恒定元流的能量方程为不可压缩实际流体恒定元流的能量方程为 各项乘以重量流量各项乘以重量流量 ，并分别在总流的两个过，并分别在总流的两个过流断面流断面A1及及A2上积分得：上积分得： 2222211122whgugpzgugpzvgdqvqwvqvqvqvqg

21、dqhgdqgugdqgpzgdqgugdqgpzvvvvv222221112)(2)(共含有三种类型积分：共含有三种类型积分： 1) 第一类积分第一类积分 若过流断面为渐变流，则在断面上若过流断面为渐变流，则在断面上 积分可积分可得得 vvqvvqdqggpzgdqgpz)()(vgqgpz)( vqgdqgpzv)(Cgpz 2) 第二类积分第二类积分 因因 所以所以 式中式中 为动能修正系数为动能修正系数(流过过流断面真实动能流过过流断面真实动能与以断面平均速度计算动能的比值与以断面平均速度计算动能的比值)，流速分布愈均匀，流速分布愈均匀，愈接近于愈接近于1；不均匀分布时，；不均匀分布时

22、， 1； 在渐变流时，对于圆管层流在渐变流时，对于圆管层流 =2；对于圆管紊流；对于圆管紊流 =1.051.1。为计算简便起见，通常取。为计算简便起见，通常取 1。22222332vAvqqAdAugdqguvAvdAuA33vqgdqguv22udAdqv 3) 第三类积分第三类积分 假定各元流单位重量流体所损失的能量假定各元流单位重量流体所损失的能量 都用一个平都用一个平均值均值 来代替，则第三类积分变为：来代替，则第三类积分变为： 得不可压缩实际流体恒定总流的能量方程。得不可压缩实际流体恒定总流的能量方程。 上式反映了总流中不同过流断面上上式反映了总流中不同过流断面上( )值和断面平均流

23、值和断面平均流速速v的变化规律。的变化规律。 wvqvwvqwhgqdqghgdqhvv21222222111122whggpzggpzvwqvgdqhwhwhgpz方程的使用条件：方程的使用条件：(1)恒定流动；恒定流动；(2)不可压缩流体；不可压缩流体；(3)质量力只有重力；质量力只有重力；(4)渐变流过流断面；渐变流过流断面；(5)流动连续无分支；流动连续无分支；(6)无外加能量。无外加能量。21222222111122whggpzggpz总流伯努利方程的意义总流伯努利方程的意义能量能量均指断面上的单位重量流体所具有的均指断面上的单位重量流体所具有的平均平均能量。能量。 是过流断面上单位

24、重量流体的平均势能，又称测是过流断面上单位重量流体的平均势能，又称测压管水头，对于渐变流断面则等于常数，可取断面上任一压管水头，对于渐变流断面则等于常数，可取断面上任一点为代表。点为代表。 过流断面上单位重量流体的平均机械过流断面上单位重量流体的平均机械能，又称总水头。能，又称总水头。gpzgVgpzH22 物理意义物理意义几何意义几何意义单位重流体的位能单位重流体的位能位置水头位置水头单位重流体的压能单位重流体的压能压强水头压强水头单位重流体的动能单位重流体的动能流速水头流速水头单位重流体总势能单位重流体总势能测压管水头测压管水头总机械能总机械能总水头总水头ggpz22能量方程的解题步骤能量

25、方程的解题步骤 三选一列三选一列 1.选择基准面选择基准面:基准面可任意选定，但应以简化计算基准面可任意选定，但应以简化计算为原则。例如选过流断面形心为原则。例如选过流断面形心(z=0)，或选自由液面，或选自由液面(p=0)等。等。 2.选择计算断面：计算断面应选择均匀流断面或渐选择计算断面：计算断面应选择均匀流断面或渐变流断面，并且应选取已知量尽量多的断面。变流断面，并且应选取已知量尽量多的断面。 3.选择计算点：管流通常选在管轴上，明渠流通常选择计算点：管流通常选在管轴上，明渠流通常选在自由液面。对同一个方程，必须采用相同的压强选在自由液面。对同一个方程，必须采用相同的压强标准。标准。 4

26、.列能量方程解题列能量方程解题 注意与连续性方程的联合使用。注意与连续性方程的联合使用。问题问题 实际流体在等直管道中流动，在过流断面实际流体在等直管道中流动，在过流断面1，2上有上有A，B，C点，则下面关系式成立的是：点，则下面关系式成立的是： A. C. D. B.例例：如图，以如图，以d=100mm的水管从水库引水，已知的水管从水库引水，已知H=4m（恒定），水头损失为恒定），水头损失为hw=3mH2O。求。求qV。V200V1=01122Hv22/2ghw21222222111122whgVgpzgVgpz解：以过水管出口解：以过水管出口中心的水平面为基准中心的水平面为基准面，列面，列

27、1-1与与2-2的能的能量方程：量方程： v1=0, v2待求待求取取 ，将各项代入伯努利方程得：，将各项代入伯努利方程得：1221 222322200222 9.8 434.43(/ )4.430.10.0348(/ )34.8( / )4lwVHhgVg Hhm sQQV AmsL sHgpz11022gpz qv2、实际流体恒定总流能量方程的图示、实际流体恒定总流能量方程的图示 实际流体恒定总流能量方程中共包含了四个物理量。实际流体恒定总流能量方程中共包含了四个物理量。位置水头位置水头Z，平均压强水头，平均压强水头 ，流速水头，流速水头 ，水头，水头损失损失 。 称为测压管水头。工程流体

28、力学中称为测压管水头。工程流体力学中,习惯习惯把单位重量流体所具有总机械能称为总水头把单位重量流体所具有总机械能称为总水头,用用 表示。表示。gpgpzgv22whgvgpzH22 实际流体恒定总流各项水头沿程变化可用几何曲线表实际流体恒定总流各项水头沿程变化可用几何曲线表示示(称为相应的各种水头线称为相应的各种水头线) 。水头线水头线 水头线：沿程水头水头线：沿程水头(如总水头或测压管水头如总水头或测压管水头)的变化的变化曲线。曲线。 总水头线是对应总水头线是对应 的变化曲线，它代表水的变化曲线，它代表水头头损失沿流程的分布状况。损失沿流程的分布状况。 测压管水头线是对应测压管水头线是对应

29、的变化曲线，它代表压的变化曲线，它代表压强沿流程的变化状况。强沿流程的变化状况。 实际流体总流的总水头线和测压管水头线实际流体总流的总水头线和测压管水头线实际流体总流的总实际流体总流的总水头线必定是一条水头线必定是一条逐渐下降的线（直逐渐下降的线（直线或曲线）：而测线或曲线）：而测压管水头线则可能压管水头线则可能是下降的线（直线是下降的线（直线或曲线）也可能是或曲线）也可能是上升的线甚至可能上升的线甚至可能是一条水平线。是一条水平线。 总水头线坡度：总水头线坡度：总水头线沿流程的降低值与流程长度总水头线沿流程的降低值与流程长度之比。也称水力坡度，常用之比。也称水力坡度，常用 J 来表示。来表示

30、。dsgugpzddsdhdsdHJw22（恒正）（恒正）测压管水头线坡度测压管水头线坡度（可正可负）（可正可负）dsgpzdJp注意：注意：1.理想流动流体的总水头线为水平线；理想流动流体的总水头线为水平线；2.实际流动流体的总水头线恒为下降曲线；实际流动流体的总水头线恒为下降曲线；3.测压管水头线可升、可降、可水平。测压管水头线可升、可降、可水平。4.若是均匀流，则总水头线平行于测压管水头线。若是均匀流，则总水头线平行于测压管水头线。5.总水头线和测压管水头线之间的距离为相应段的总水头线和测压管水头线之间的距离为相应段的流速水头。流速水头。 3、应用恒定总流能量方程式的注意点、应用恒定总流

31、能量方程式的注意点 1) 基准面的选择是可以任意的，但在计算基准面的选择是可以任意的，但在计算不同断面的位置水头不同断面的位置水头z值时，必须选取同一基值时，必须选取同一基准面。准面。 2) 能量方程中能量方程中 项，可以用相对压强，也项，可以用相对压强，也可以有绝对压强，但对同可以有绝对压强，但对同 一问题必须采用相同一问题必须采用相同的标准。的标准。 gp 3) 在计算过流断面的测压管水头值在计算过流断面的测压管水头值 时，可时，可以选取过流断面上任意点来计算，以计算方便为宜。以选取过流断面上任意点来计算，以计算方便为宜。对于管道一般可选管轴中心点来计算较为方便，对于对于管道一般可选管轴中

32、心点来计算较为方便，对于明渠一般在自由表面上选一点来计算比较方便。明渠一般在自由表面上选一点来计算比较方便。 4) 不同过流断面上的动能修正系数不同过流断面上的动能修正系数 与与 严格严格来讲是不相等的，且不等于来讲是不相等的，且不等于1，实用上对渐变流多数，实用上对渐变流多数情况可令情况可令 = =1，但在某些特殊情况下，值需根，但在某些特殊情况下，值需根据具体情况酌定。据具体情况酌定。 gpz21124.有能量输入（出）的伯努利方程有能量输入（出）的伯努利方程 水泵扬程水泵扬程：水泵对单位重量流体所水泵对单位重量流体所做的功，即单位重量流体经过水泵做的功，即单位重量流体经过水泵后所增加的能

33、量，以后所增加的能量，以H表示。对水池表示。对水池断面断面1-1与水箱断面与水箱断面2-2列能量方程为列能量方程为 水泵提供的能量用来增加水能和克服阻力做功水泵提供的能量用来增加水能和克服阻力做功2211 1222122222211 1212122()()22wwwpVpVZHZhggpVpVHZZhggZZhgggg112-2z1z2恒定总流伯努利方程的应用恒定总流伯努利方程的应用1、皮托管测流速、皮托管测流速 当水流受到迎面物体的阻碍，被迫向两边当水流受到迎面物体的阻碍，被迫向两边(或四周或四周)分流时，在物体表面上受水流顶冲的分流时，在物体表面上受水流顶冲的A点流速等于零，点流速等于零，

34、称为滞止点称为滞止点(或驻点或驻点)。在滞止点处水流的动能全部转化。在滞止点处水流的动能全部转化为势能。皮托管就是利用这个原理制成的一种量测流为势能。皮托管就是利用这个原理制成的一种量测流速的仪器。速的仪器。 如图，列如图，列A、B点伯努利方程点伯努利方程 加系数加系数修正：修正：0huABP/g0P/guhgpgpgu22ughgppgu22gpgugp220huABP/g0P/gughu2 修正原因：修正原因： 1实际流体粘性作用引起水头损失。实际流体粘性作用引起水头损失。 2皮托管放入流体中所产生的扰动影响。皮托管放入流体中所产生的扰动影响。 称为皮托管的校正系数，一般称为皮托管的校正系

35、数，一般 约为约为0.98- 1.0。 想一想想一想：皮托管通常用来测量：皮托管通常用来测量( )水头，而测压管所测水头，而测压管所测量的是量的是( )水头，两者之差为水头，两者之差为( )水头。水头。ughu2总总测压管测压管流速流速2、文丘里流量计、文丘里流量计 文丘里流量计是测量管道中流量大小的一种装置，文丘里流量计是测量管道中流量大小的一种装置，由两段锥形管和一段较细的管子相联结而成。前面部分由两段锥形管和一段较细的管子相联结而成。前面部分为收缩段，中间叫喉管，后面部分叫扩散段。为收缩段，中间叫喉管，后面部分叫扩散段。 对对1-1和和2-2断面，总流的能断面，总流的能 量方程量方程 不

36、计水头损失有不计水头损失有 而而 whgvgpzgvgpz222222221111gvvhhh221222122112)(ddvv 水头损失会促使流量减少，对于这个误差一般水头损失会促使流量减少，对于这个误差一般也是用文丘里管修正系数来修正，实际流量也是用文丘里管修正系数来修正，实际流量 流量系数流量系数 一般约为一般约为0.950.98 hKqv1)(2442121ddgdK1)(242121ddgvh1)(24211ddghv所以有所以有 因此通过文丘里流量计的流量为因此通过文丘里流量计的流量为 式中式中hKddghdvAqv1)(244212111注意：注意：此式适此式适用于管用于管轴线

37、水轴线水平或倾平或倾斜。斜。问题问题1.文丘里流量计是通过测两个断面的文丘里流量计是通过测两个断面的( )来测量计算管道的流量的。来测量计算管道的流量的。2.文丘里流量计流量公式能不能用来测量倾斜管道文丘里流量计流量公式能不能用来测量倾斜管道中的流量？中的流量？测压管水头差测压管水头差(能能)三、孔口恒定出流的计算三、孔口恒定出流的计算 在容器侧壁上开孔，液体将从孔中流出，这种水流现象称为孔口出流孔口出流。 1恒定流 当容器中水面保持恒定不变，通过孔口的水流则为恒定流。过水断面的收缩：过水断面的收缩：流线只能逐渐弯曲不能拐直角，孔口平面上流线不相互平行，其后流束横断面积比孔口面积小。即 c-c

38、 断面，该断面流线彼此平行。 对断面1-1： 对 c-c 断面列能量方程得令 ， H：孔口水头。H0孔口全水头。 ：行近流速水头。则 式中 为流速系数。0,11gpHz0, 0gpzccwcchgvgvH222200gvhcw220gvHH22000gv2200000221gHgHvcc 流量为 式中 为孔口的收缩系数。 为孔口出流的流量系数。 根据实验，小孔口的 ， ， =0.600.62。不同边界形式的孔口的流速系数 、收缩系数 或流量系数 可参考有关手册。64. 063. 098. 097. 00022gHAgHAAvQcc 2非恒定流 当容器上游水位改变时为孔口非恒定流，如水池放空、船

39、闸充水和泄水水等。均需计算充水和放水时间。 不计行近水头有 ，在 dt时段内从孔口流过的体积为 同一时段内容器 内水体积的变化量为 故 若孔口水头从H1变 化到H2，对上式进行积分，得 所需时间)(2221HHgAt(a)gHAQ2dtgHAQdt2dHHdHgAdt2 当H2=0，即放空容器，或使容器充水涨至与上游水位齐平时所需时间 由此可见变水头时放空或充满容器所需的时间是水头不变的恒定流时放水或充水所需时间的2倍。(b)1112222gHAHgAHt四、管嘴恒定出流的计算四、管嘴恒定出流的计算 管嘴出流：管嘴出流：若在孔口上连接一段长为（34）d 的短管（d为孔径）液体经短管而流出的现象

40、。1-1断面与收缩断面 c-c 断面能量方程同样令则 其中 gvgpgvgpgvHcccca22220200gvHH22000)(20gppHgvcac01c 则通过管嘴的流量在孔口面积相同的情况下，通过管嘴的流量比孔口要大。管嘴的有效水头多了一项 ，此项恰为收缩断面上的真空值。 gppca)(2)(200gppHgAgppHgAAvAvQcacaccc 例例2-1 有一直径缓慢变化的锥形水管（如图），1-1断面处直径d1为0.15m，中心点A的相对压强为7.2kpa，2-2断面处直径d2为0.3m，中心点B的相对压强为6.1kpa,断面平均流速 为1.5m/s，A、B两点高差为1米，试判别管

41、中水流方向，并求1、2两断面的水头损失。2 解：解：首先利用连续原理求断面1-1的平均流速。 因 ，故2211AA 因水管直径变化缓慢，1-1及2-2断面水流可近似看作渐变流，以过A点水平面为基准面分别计算两断面的总能量。222212221222121)15. 030. 0()(44ddddAAsm/642 因 ，管中水流应从A流向B的水头损失为： mggpz57. 28 . 9268 . 92 . 702221111mggpz74. 18 . 925 . 18 . 91 . 61222222ggpzggpz222222221111mggpzggpzhw83. 074. 157. 2)2()2

42、(2222221111第三节第三节 实际液体恒定总流的动量方程式实际液体恒定总流的动量方程式质点系运动的动量定律：质点系的动量在某一方向的变质点系运动的动量定律：质点系的动量在某一方向的变化，等于作用于该质点系上所有外力的冲量在同一方向上化，等于作用于该质点系上所有外力的冲量在同一方向上投影的代数和。投影的代数和。今在恒定总流中，取出某一今在恒定总流中，取出某一流段来研究。该流段两端过流段来研究。该流段两端过水断面为水断面为1-1及及2-2。经微小时。经微小时段段dt后，设原流段后，设原流段1-2移至新移至新的位置的位置1-2。流段内动量的。流段内动量的变化变化 应等于应等于1-2与与1-2流

43、段内液体的动量流段内液体的动量P1-2和和P1-2之差。之差。p有有而而 故有故有任取一微小流束任取一微小流束MN，微小流束，微小流束1-1流段内液体的动量流段内液体的动量 。对断面。对断面A1积分有积分有同理同理采用断面平均流速采用断面平均流速v代替代替u，有，有2121ppp211121ppp222121 ppp1122ppp111udtdAu111111111dAuudtdtdAuupAA2222222222dAuudtdtdAuupAA111111111QvdtdAudtpA2222222222QvdtdAudtpA ，动量修正系数是表示单位时间内通，动量修正系数是表示单位时间内通过断

44、面的实际动量与单位时间内以相应的断面平均流速通过断面的实际动量与单位时间内以相应的断面平均流速通过的动量的比值。常采用过的动量的比值。常采用 ，AvdAuQvdAuuAA220 . 1111111111dAuudtdtdAuupAA111111111QvdtdAudtpA实际液体恒定总流的动量方程式实际液体恒定总流的动量方程式故有：故有：于是得恒定总流的动量方程为：于是得恒定总流的动量方程为：在直角坐标系中在直角坐标系中的投影为：的投影为：FQ)(1122zzzyyyxxxFQFQFQ)()()(112211221122)(1122vvQdtp111111111QvdtdAudtpA22222

45、22222QvdtdAudtpA实际液体恒定总流的动量方程式实际液体恒定总流的动量方程式上述动量方程可推广应用于流场中任意选取的封闭体。上述动量方程可推广应用于流场中任意选取的封闭体。如图所示分叉管路，当对分叉段如图所示分叉管路，当对分叉段水流应用动量方程时，可以把沿水流应用动量方程时，可以把沿管壁以及上下游过水断面所组成管壁以及上下游过水断面所组成的封闭体作为的封闭体作为控制体控制体，此时该封，此时该封闭体的动量方程为闭体的动量方程为FvQvQvQ111333222动量方程的解题步骤动量方程的解题步骤 1. 选控制体：根据问题的要求，将所研究的两个渐选控制体：根据问题的要求，将所研究的两个渐

46、变流断面之间的水体取为控制体；变流断面之间的水体取为控制体； 2. 选坐标系：选定坐标轴的方向，确定各作用力及选坐标系：选定坐标轴的方向，确定各作用力及流速的投影的大小和方向；流速的投影的大小和方向； 3. 作计算简图：分析控制体受力情况，并在控制体作计算简图：分析控制体受力情况，并在控制体上标出全部作用力的方向；上标出全部作用力的方向； 4. 列动量方程解题：将各作用力及流速在坐标轴上列动量方程解题：将各作用力及流速在坐标轴上的投影代入动量方程求解。计算压力时，压强采用相的投影代入动量方程求解。计算压力时，压强采用相对压强。注意与能量方程及连续性方程联合使用。对压强。注意与能量方程及连续性方

47、程联合使用。Fvqvqvqvvv111333222对于分叉水流，对于分叉水流，动量方程应用条件：动量方程应用条件：恒、渐、不可压缩恒、渐、不可压缩。 应用动量方程式时要注意的问题：应用动量方程式时要注意的问题： 1) 动量方程式是向量式，因此，必须首先选定投影动量方程式是向量式，因此，必须首先选定投影轴，标明正方向，其选择以计算方便为宜。轴，标明正方向，其选择以计算方便为宜。 2) 控制体一般取整个总流的边界作为控制体边界，控制体一般取整个总流的边界作为控制体边界，横向边界一般都是取过流断面。横向边界一般都是取过流断面。 3) 动量方程式的左端，必须是输出的动量减去输入动量方程式的左端，必须是

48、输出的动量减去输入的动量，不可颠倒。的动量，不可颠倒。 4) 对欲求的未知力，可以暂时假定一个方向，若求对欲求的未知力，可以暂时假定一个方向，若求得该力的计算值为正，表明原假定方向正确，若求得的得该力的计算值为正，表明原假定方向正确，若求得的值为负，表明与原假定方向相反。值为负，表明与原假定方向相反。 5) 动量方程只能求解一个未知数，若方程中未知数多动量方程只能求解一个未知数，若方程中未知数多于一个时，必须借助于和其他方程式（如连续性方程、于一个时，必须借助于和其他方程式（如连续性方程、能量方程）联合求解。能量方程）联合求解。想一想想一想：由动量方程求得由动量方程求得的的力若为负值时说明什么

49、问题？待求未力若为负值时说明什么问题？待求未知力的大小与控制体的大小有无关系？应用中如何选取知力的大小与控制体的大小有无关系？应用中如何选取控制体？控制体？(方向反；无关方向反；无关(无重力时无重力时)；计算断面与固体壁面；计算断面与固体壁面)恒定总流动量方程式应用举例恒定总流动量方程式应用举例一、弯管内水流对管壁的作用力一、弯管内水流对管壁的作用力 弯管中水流为急变流，动水压强分布规律和静水压强 不同，因此不能用静水压力的计算方法来计算弯管中液体对管壁的作用力。取如图所示控制体，作用于控制体上的力包括两端断面上的 动水压力，还有管壁对水流的反作用力。ApFApFpp2211, 沿沿x轴方向动

50、量方程为轴方向动量方程为 因 ， 代入上式可解出沿z轴动量方程由上式可解出xRFApApQ221112cos)cos(11AQ22AQ2211122cos)cos1(ApApAAQFxRzRFGApQsin)sin(0111GApAQFzRsinsin1112 液体对弯管离心力的作用使弯头有发生位移的趋势，同时由于动水压力的脉动影响可以使管道产生振动，为此在工程大型管道转弯的地方，都设置有体积较大的镇墩将弯道加以固定。二、水流对溢流坝面的水平总作用力二、水流对溢流坝面的水平总作用力 液体流经图示溢流坝坝体附近时，流线弯曲较剧烈，故坝面上动水压强分布也不符合静水压强分布规律，不能按静水压力计算方

51、法来确定坝面上的动水总压力。取如图所示控制体，并把1-1和2-2断面取在符合渐变流条件位置。作用在控制体积上的外力在X轴方向上的投影，包括1-1断面上的动水压力Fp1；2-2断面上的动水压力Fp2；坝体对水流的反作用力FRx，液体的重力在x方向投影为零。 因 ， 沿x轴方向动量方程式为 因 令 ，可解出 2121gbhFP2221tPgbhFxRtRXPPxFhhgbFFFF)(212221xxxFQ)(1122bhQx11ttxbhQ221)11(2212222hhbQghghbFttRx三、射流对垂直固定平面壁的冲击力三、射流对垂直固定平面壁的冲击力 设从喷嘴中喷出的水流，以速度v0射向一

52、与水流方向垂直的固定平面壁，当水流被平面壁阻挡以后，对称地分开。沿壁面的流速为v，若考虑的流动在一个平面上，则重力不起作用，求此时射流对壁面的冲击力。 故 RFQ0000000QFR 例例2-2 有一沿铅垂直立墙壁敷设的弯管如图所示，弯头转角为900， 起始断面1-1与终止断面2-2间的轴线长度L为3.14m，两断面中心高差 为2m，已知1-1断面中心处动水压强 为117.6kN/m2，两断面之间水头损失hw为0.1m，已知管径d为0.2m，试求当管中通过流量Q为0.06m3/s时，水流对弯头的作用力。z1p 解：解： （1）求管中流速 （2）求2-2断面中心处动水压强 以2-2断面为基准面，

53、对1-1与2-2断面写能量方程为 于是 whgagpgagpz2022221whgpzgp122psmdAQ/91. 1)2 . 0(414. 306. 0)(406. 022（3）求弯头内水重 （4）计算作用于1-1断面与2-2断面上动水总压力 kNdLggVG98. 0)2 . 0(414. 314. 38 . 9422kNdpFkNdpFPP28. 44)20(14. 362.1347 . 34)20(14. 376.11422222121212/2 .136) 1 . 08 . 96 .1172(8 . 9)(mkNhgpzgpw将hw=0.1m， =117.6kN/m2代入上式可求出

54、：1p（5）对弯头内水流沿x、y方向分别写动量方程式 令管壁对水体的反作用力在水平和铅垂方向的分力为FRx及FRy。 沿X方向动量方向方程： xPRFQ1)0(kNQFFPRx815. 391. 106. 0117 . 31 沿y方向动量方程： 管壁对水流的总作用力 令反作用力FR与水平轴x的夹角为，则 水流对管壁的作用力与FR大小相等，方向相反。yPRGFQ2)0(kNQGFFPRy415. 391. 106. 01198. 028. 42kNFFFxRyRR12. 5)415. 3()815. 3(2222895. 0tanxyRRFF04841恒定总流动量方程应用举例恒定总流动量方程应用

55、举例 例例 ：管路中一段水平放置的等直径弯管，直径：管路中一段水平放置的等直径弯管，直径d=200mm，转角，转角 ，管中，管中1-1断面平均流速为断面平均流速为 ,其形心相对压强其形心相对压强p1等于一个工程大气压。若不计等于一个工程大气压。若不计管流的水头损失，求水流对弯管的作用力。管流的水头损失，求水流对弯管的作用力。解：取渐变流断面解：取渐变流断面1-1与与2-2间的水体作为分析对间的水体作为分析对象，建立直角坐标系象，建立直角坐标系xoy。两端水压力：两端水压力：YXO1122v1v2p1p2RxRy045smV/41ApFApF2211弯管对水流的作用力设为弯管对水流的作用力设为R

56、x、Ry，如图所示。如图所示。因是等直径，因是等直径，V大小没变化，但方向改变，动量也改大小没变化，但方向改变，动量也改变。应用动量方程之前要先求变。应用动量方程之前要先求V2和和p2。由由连连：V1A1= V2A2, 得得 V2=4 m/s由由能能：式中，式中，Z1= Z2 ,hw =0, 代入可得代入可得 p2 = p1=1个工程大气压个工程大气压=9.8N/cm2=98000 N/m22211221222wpVpVZZhggggYXO1122v1v2p1p2RxRy式中，式中，代入已知数据得：代入已知数据得：Rx=1049（N） Ry=2532 （N） 水流对弯管的作用力方向相反。水流对

57、弯管的作用力方向相反。 应用动量方程求应用动量方程求Rx、Ry：YXO1122v1v2p1p2RxRy045sin45sin045cos45cos0202102021VqRApVVqRApApvyvxsmVdqv/126. 042 . 041413212例例 有一沿铅垂直立墙壁敷设的弯管如图所示，弯头转有一沿铅垂直立墙壁敷设的弯管如图所示，弯头转角为角为900， 起始断面起始断面1-1与终止断面与终止断面2-2间的轴线长度间的轴线长度L为为3.14m，两断面中心高差，两断面中心高差 为为2m，已知，已知1-1断面中心处断面中心处动水压强动水压强 为为117.6kN/m2，两断面之间水头损失，两

58、断面之间水头损失hw为为0.1m，已知管径，已知管径d为为0.2m，试求当管中通过流量，试求当管中通过流量qv为为0.06m3/s时，水流对弯头的作用力。时，水流对弯头的作用力。 z1p 解解： （1）求管中流速求管中流速 （2）求求2-2断面中心处动水压强断面中心处动水压强 以以2-2断面为基准面，对断面为基准面，对1-1与与2-2断面写能量方断面写能量方程为程为 于是于是whgagpgagpz2022221whgpzgp122psmdAqv/91. 1)2 . 0(414. 306. 0)(406. 022（3）求弯头内水重求弯头内水重 （4）计算作用于计算作用于1-1断面与断面与2-2断

59、面上动水总压力断面上动水总压力 kNdLggVG98. 0)2 . 0(414. 314. 38 . 9422kNdpFkNdpFPP28. 44)20(14. 362.1347 . 34)20(14. 376.11422222121212/2 .136) 1 . 08 . 96 .1172(8 . 9)(mkNhgpzgpw将将hw=0.1m， =117.6kN/m2代入上式可求出：代入上式可求出：1p （5）对弯头内水流沿对弯头内水流沿x、y方向分别写动量方程式方向分别写动量方程式 令管壁对水体的反作用力在水平和铅垂方向的分力令管壁对水体的反作用力在水平和铅垂方向的分力为为Rx及及Ry。

60、沿沿X方向动量方程：方向动量方程： xPvRFq1)0(kNqFRvPx815. 391. 106. 0117 . 31 沿沿y方向动量方程：方向动量方程： 管壁对水流的总作用力管壁对水流的总作用力 令反作用力令反作用力R与水平轴与水平轴x的夹角为的夹角为，则，则 水流对管壁的作用力与水流对管壁的作用力与R大小相等，方向相反。大小相等，方向相反。yPvRGFq2)0(kNqGFRvPy415. 391. 106. 01198. 028. 42kNRRRyx12. 5)415. 3()815. 3(2222895. 0tanxyRR048413-7 流体微团运动的分析流体微团运动的分析 一、流体