数学百家：波恩哈德·黎曼

1、昆明学院数学系数数 学学 百百 家家波恩哈德黎曼制作：杨荣涛制作：杨荣涛（201115010226）数学）数学2班班昆明学院数学系数数 学学 百百 家家 波恩哈德黎曼姓名：姓名：波恩哈德波恩哈德黎曼（黎曼（Riemann,Georg Friedrich Bernhard）人物档案人物档案国籍：国籍：德国德国 出生地：出生地：德国德国 出生日期：出生日期：1826年年9月月17日日 逝世日期：逝世日期：1866年年7月月20日日 主要成就：主要成就：1 1、对数学分析和微分几何做出了重要贡献；、对数学分析和微分几何做出了重要贡献； 2 2、引入三角级数理论建立黎曼几何学；、引入三角级数理论建立黎

2、曼几何学； 3 3、他引入黎曼曲面对近代拓扑学影响很大。他引入黎曼曲面对近代拓扑学影响很大。昆明学院数学系数数 学学 百百 家家 波恩哈德黎曼提纲（提纲（Outline）一、人物简介一、人物简介二、二、主要成果主要成果三、生平经历三、生平经历四、四、主要贡献主要贡献五、人物评价五、人物评价昆明学院数学系数数 学学 百百 家家 波恩哈德黎曼人物简介人物简介 出出生生： 1826年年9月月17日生于德国北部汉诺威布列斯伦茨日生于德国北部汉诺威布列斯伦茨 去世去世：1866年年7月月20日卒于意大利塞那斯加日卒于意大利塞那斯加 波恩哈德波恩哈德.黎曼是德国数学家，物理学家。父亲是一个乡村的穷苦牧师他

3、黎曼是德国数学家，物理学家。父亲是一个乡村的穷苦牧师他6岁开始上学，岁开始上学，14岁进入大岁进入大学预科学习，学预科学习，19岁按其父亲的意愿进入哥丁根大学攻读哲学和神学，以便将来继承父志也当一名牧岁按其父亲的意愿进入哥丁根大学攻读哲学和神学，以便将来继承父志也当一名牧师，由于从小酷爱数学，他在学习哲学和神学的同时，也听些数学课。当时的哥丁根大学是世界数学师，由于从小酷爱数学，他在学习哲学和神学的同时，也听些数学课。当时的哥丁根大学是世界数学的中心之一。一些著名的数学家，如高斯、韦伯、斯持尔在校执教，黎曼被这里的数学教学和数学研的中心之一。一些著名的数学家，如高斯、韦伯、斯持尔在校执教，黎曼

4、被这里的数学教学和数学研究的气氛所感染，决定放弃神学专攻数学。究的气氛所感染，决定放弃神学专攻数学。1847年他转到柏林大学学习，成为雅可比、狄利克雷、年他转到柏林大学学习，成为雅可比、狄利克雷、施泰纳、艾森斯坦的学生，施泰纳、艾森斯坦的学生，1849年重回哥丁根大学攻读博士学位，成为高斯晚年的学生。年重回哥丁根大学攻读博士学位，成为高斯晚年的学生。l851年获年获数学博士学位。数学博士学位。l854年被聘为哥丁根大学的编外讲师。年被聘为哥丁根大学的编外讲师。1857年晋升为副教授，年晋升为副教授，1859年接替去世的狄年接替去世的狄利克雷被聘为教授。因长年贫困、劳累，利克雷被聘为教授。因长年

5、贫困、劳累，1862年婚后不到一个月患胸膜炎和肺结核，先后三次到意年婚后不到一个月患胸膜炎和肺结核，先后三次到意大利治病、疗养。大利治病、疗养。1366年病逝于意大利、终年年病逝于意大利、终年39岁。黎曼是世界数学史上最具独创精神的数学家之岁。黎曼是世界数学史上最具独创精神的数学家之一，在其短暂的一生中为学的众多领域作了许多奠基性、创造性的工作，为世界数学建立了丰功伟绩。一，在其短暂的一生中为学的众多领域作了许多奠基性、创造性的工作，为世界数学建立了丰功伟绩。 昆明学院数学系数数 学学 百百 家家 波恩哈德黎曼l1847年，黎曼转到柏林大学学习，成为雅可比、狄利克莱、施泰纳、艾森斯坦的学生。1

6、849年重回哥廷根大学攻读博士学位，成为高斯晚年的学生。l1851年，黎曼获得数学博士学位；l854年被聘为哥廷根大学的编外讲师；1857年晋升为副教授；1859年接替去世的狄利克雷被聘为教授。柏林大学柏林大学图书馆图书馆昆明学院数学系数数 学学 百百 家家 波恩哈德黎曼主要成果主要成果 l9世纪数学最独特的创造是复函数理论的创立。它是世纪数学最独特的创造是复函数理论的创立。它是18世纪人们对复数及复函数理论研究的延续。柯西、黎曼和外世纪人们对复数及复函数理论研究的延续。柯西、黎曼和外尔斯特拉斯是世界公认的复函数论的主要奠基人，而且后来尔斯特拉斯是世界公认的复函数论的主要奠基人，而且后来证明在

7、处理复函数理论的方法上黎曼的方法是本质的，柯西证明在处理复函数理论的方法上黎曼的方法是本质的，柯西和黎曼的思想被融合起来，外尔斯特拉斯的思想逐渐从柯西和黎曼的思想被融合起来，外尔斯特拉斯的思想逐渐从柯西一黎曼观点推导出来。在黎曼对多值函数的处理中，最关键一黎曼观点推导出来。在黎曼对多值函数的处理中，最关键的是他引入了被后人称的是他引入了被后人称“黎曼面黎曼面”的概念。通过黎曼面给多的概念。通过黎曼面给多值函数以几何直观，且在黎曼面上表示的多值函数是单值的。值函数以几何直观，且在黎曼面上表示的多值函数是单值的。他在黎曼面上引入支点、横剖线、定义连通性，开展对函数他在黎曼面上引入支点、横剖线、定义

8、连通性，开展对函数性质的研究获得一系列成果。经黎曼处理的复函数，单值函性质的研究获得一系列成果。经黎曼处理的复函数，单值函数是多值函数的待例，他把单值函数的一些已知结论推广到数是多值函数的待例，他把单值函数的一些已知结论推广到多值函数中。尤其他按连通性对函数分类的方法，极大地推多值函数中。尤其他按连通性对函数分类的方法，极大地推动了拓扑学的初期发展。他研究了阿贝尔函数和阿贝尔积分动了拓扑学的初期发展。他研究了阿贝尔函数和阿贝尔积分及阿贝尔积分的反演，得到著名的黎曼一罗赫定理。及阿贝尔积分的反演，得到著名的黎曼一罗赫定理。 1、复函数论的奠基人、复函数论的奠基人昆明学院数学系数数 学学 百百 家

9、家 波恩哈德黎曼黎曼函数l黎曼猜想（RH）是关于黎曼函数(s)的零点分布的猜想。黎曼函数在任何复数s 1上有定义。它在负偶数上也有零点（例如，当s = 2, s = 4, s = 6, .）。这些零点是“平凡零点”。黎曼猜想关心的是非平凡零点。（非平凡零点(在此情况下是指s不为-2、-4、-6 等点的值)的实数部份是。）黎曼函数：昆明学院数学系数数 学学 百百 家家 波恩哈德黎曼黎曼函数在临界线Re(s) = 1/2上的实部（红色）和虚部（蓝色）。我们可以看到最起初的几个非平凡零点就位于Im(s) = 14.135, 21.022和 25.011上 。 黎曼函数实部与虚部的数值比较图，也就是R

10、e(s) vs. Im(s)，沿着临界线s = it + 1/2，t 由 0到34.昆明学院数学系数数 学学 百百 家家 波恩哈德黎曼l经黎曼处理的复函数，单值函数是多值函数的待例，他把单值函数的一些已知结论推广到多值函数中，尤其他按连通性对函数分类的方法，极大地推动了拓扑学的初期发展。他研究了阿贝尔函数和阿贝尔积分及阿贝尔积分的反演，得到著名的黎曼罗赫定理，首创的双有理变换构成19世纪后期发展起来的代数几何的主要内容。 l黎曼为完善其博士论文，在结束时给出其函数论在保形映射的几个应用，将高斯在1825年关于平面到平面的保形映射的结论推广到任意黎曼面上，并在文字的结尾给出著名的黎曼映射定理。

11、用现代记法，亏格为 g 的紧黎曼曲面与一个典范除子 K 的黎曼罗赫定理表述为：l(D) l(K D) = deg(D) g + 1. 这对所有除子除子 D 均成立。除子是曲面上点的自自由阿贝尔群由阿贝尔群中一个元素。等价地，一个除子是曲面上一些点的整系数线性组合。我们定义一个亚纯函数 f 的除子为昆明学院数学系数数 学学 百百 家家 波恩哈德黎曼l黎曼对数学最重要的贡献还在于几何方黎曼对数学最重要的贡献还在于几何方面，他开创的高维抽象几何的研究，处理面，他开创的高维抽象几何的研究，处理几何问题的方法和手段是几何史上一场深几何问题的方法和手段是几何史上一场深刻的革命，他建立了一种全新的后来以其刻

12、的革命，他建立了一种全新的后来以其名字命名的几何体系，对现代几何乃至数名字命名的几何体系，对现代几何乃至数学和科学各分支的发展都产生了巨大的影学和科学各分支的发展都产生了巨大的影响。响。昆明学院数学系数数 学学 百百 家家 波恩哈德黎曼主要成果主要成果 德国数学家黎曼德国数学家黎曼19世纪中期提出的几何学理论。世纪中期提出的几何学理论。1854年黎曼在格丁根大学发表的题为年黎曼在格丁根大学发表的题为论作为论作为几何学基础的假设几何学基础的假设的就职演说，通常被认为是黎曼几何学的源头。在这篇演说中，黎曼将曲面本身的就职演说，通常被认为是黎曼几何学的源头。在这篇演说中，黎曼将曲面本身看成一个独立的

13、几何实体，而不是把它仅仅看作欧几里得空间中的一个几何实体。他首先发展了空间看成一个独立的几何实体，而不是把它仅仅看作欧几里得空间中的一个几何实体。他首先发展了空间的概念，提出了几何学研究的对象应是一种多重广义量的概念，提出了几何学研究的对象应是一种多重广义量 ，空间中的点可用，空间中的点可用n个实数（个实数（x1，xn）作为坐标来描述。这是现代作为坐标来描述。这是现代n维微分流形的原始形式，为用抽象空间描述自然现象奠定了基础。这种维微分流形的原始形式，为用抽象空间描述自然现象奠定了基础。这种空间上的几何学应基于无限邻近两点（空间上的几何学应基于无限邻近两点（x1，x2，xn）与（）与（x1dx

14、1，xndxn）之间的距离，）之间的距离，用微分弧长度平方所确定的正定二次型理解度量。亦即（用微分弧长度平方所确定的正定二次型理解度量。亦即（gij）是由函数构成的正定对称矩阵。这便是）是由函数构成的正定对称矩阵。这便是黎曼度量。赋予黎曼度量的微分流行，就是黎曼流形。黎曼度量。赋予黎曼度量的微分流行，就是黎曼流形。 2、黎曼几何的创始人、黎曼几何的创始人黎曼几何黎曼几何（1）、黎曼流形上的几何学）、黎曼流形上的几何学 昆明学院数学系数数 学学 百百 家家 波恩哈德黎曼主要成就主要成就（2）、黎曼几何）、黎曼几何 - 与欧氏几何的不同与欧氏几何的不同 黎曼几何，光线按曲线运动；而欧氏几何中，光线

15、按直线运动。黎曼几何，光线按曲线运动；而欧氏几何中，光线按直线运动。 欧式几何是把认识停留在平面上了欧式几何是把认识停留在平面上了,所研究的范围是绝对的平的问题所研究的范围是绝对的平的问题,认为人生活在一个绝对平的认为人生活在一个绝对平的世界里世界里,因此在平面里画出的三角形三条边都是直的因此在平面里画出的三角形三条边都是直的,两点之间的距离也是直的，在平面上，两点间的两点之间的距离也是直的，在平面上，两点间的最短距离是线段，但是在双曲面上，两点间的最短距离则是曲线，因为平面上的最短距离在平面上，最短距离是线段，但是在双曲面上，两点间的最短距离则是曲线，因为平面上的最短距离在平面上，那么曲面上

16、的最短距离也只能在曲面上，而不能跑到曲面外伸直，所以这个最短距离只能是曲线。若那么曲面上的最短距离也只能在曲面上，而不能跑到曲面外伸直，所以这个最短距离只能是曲线。若我们把双曲面舒展成平面以后，再继续朝平面的另一个方向变，则变成了椭圆面或圆面，这个时候，我们把双曲面舒展成平面以后，再继续朝平面的另一个方向变，则变成了椭圆面或圆面，这个时候，如果我们在这个椭圆面上画三角形，将发现，无论怎么画，这个三角形的内角和都大于如果我们在这个椭圆面上画三角形，将发现，无论怎么画，这个三角形的内角和都大于180度，两点度，两点间的最短距离依然是曲线，这个几何就是黎曼几何间的最短距离依然是曲线，这个几何就是黎曼

17、几何 。 这个几何在物理上非常有用，因为光在空间上就是沿着曲线跑的，并非是直线，我们生活在地球这个几何在物理上非常有用，因为光在空间上就是沿着曲线跑的，并非是直线，我们生活在地球上，因此我们的空间也是曲面，而不是平面，但为了生活方便，都不做严格规定，都近似地当成了平上，因此我们的空间也是曲面，而不是平面，但为了生活方便，都不做严格规定，都近似地当成了平面。面。 昆明学院数学系数数 学学 百百 家家 波恩哈德黎曼主要成就主要成就（3）、黎曼猜想与素数定理）、黎曼猜想与素数定理 黎曼黎曼 函数函数 ， ，非平凡零点，非平凡零点(在此情况下是指在此情况下是指s不为不为-2、-4、-6 等点的值等点的

18、值)的实数部份是的实数部份是。 黎曼猜想（黎曼猜想（RH）是关于黎曼）是关于黎曼函数，函数，(s)的零点分布的猜想。黎曼的零点分布的猜想。黎曼函数在任何复数函数在任何复数s 1上有定义。它上有定义。它在负偶数上也有零点（例如，当在负偶数上也有零点（例如，当s = 2, s = 4, s = 6, .）。这些零点是）。这些零点是“平凡零点平凡零点”。黎曼猜想关心。黎曼猜想关心的是非平凡零点。的是非平凡零点。黎曼猜想提出黎曼猜想提出： 黎曼黎曼函数非平凡零点的实数部份是函数非平凡零点的实数部份是，即所有的非平凡零点都应该位于直线，即所有的非平凡零点都应该位于直线 + ti（“临界线临界线”）上。）

19、上。t为一实数，而为一实数，而i为虚数的基本单位。沿临界线的黎曼为虚数的基本单位。沿临界线的黎曼函数有时通过函数有时通过Z-函数进行研究。它的实零点对应于函数进行研究。它的实零点对应于函数在临界线上的零点。函数在临界线上的零点。 1901年年Helge von Koch指出，黎曼猜想与强条件的素数定理指出，黎曼猜想与强条件的素数定理 等价。现等价。现在已经验证了最初的在已经验证了最初的1,500,000,000个素数对这个定理都成立。但是是否所有的解对此定理都成立，至今个素数对这个定理都成立。但是是否所有的解对此定理都成立，至今尚无人给出证明尚无人给出证明 。未解决的数学问题未解决的数学问题:

20、 黎曼黎曼函数的每个非平凡零点的实部是否同为函数的每个非平凡零点的实部是否同为？昆明学院数学系数数 学学 百百 家家 波恩哈德黎曼黎曼猜想的提出黎曼函数非平凡零点的实数部份是l即所有的非平凡零点都应该位于直线 + ti（“临界线”）上。t为一实数，而i为虚数的基本单位。沿临界线的黎曼函数有时通过Z-函数函数进行研究。它的实零点对应于函数在临界线上的零点。l素数在自然数中的分布问题在纯粹数学和应用数学上都很重要。素数在自然数中的分布并没有简单的规律。黎曼黎曼（1826-1866）发现素数出现的频率与黎曼函数紧密相关。l1901年Helge von Koch指出，黎曼猜想与强条件的素数定理 等价。

21、现在已经验证了最初的1,500,000,000个素数对这个定理都成立。但是是否所有的解对此定理都成立，至今尚无人给出证明。l黎曼猜想所以被认为是当代数学中一个重要的问题，主要是因为很多深入和重要的数学和物理结果都能在它成立的大前提下被证明。大部份数学家也相信黎曼猜想是正确的（约翰.恩瑟.李特尔伍德与赛尔伯格赛尔伯格曾提出怀疑。塞尔伯格于晚年部分改变了他的怀疑立场。在1989年的一篇论文中，他猜测黎曼猜想对更广泛的一类函数也应当成立。）克雷数学研究所设立了$1,000,000美元的奖金给予第一个得出正确证明的人。昆明学院数学系数数 学学 百百 家家 波恩哈德黎曼黎曼猜想证明历史l黎曼1859年在

22、他的论文ber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Gre 中提及了这个著名的猜想，但它并非该论文的中心目的，他也没有试图给出证明。黎曼知道函数的不平凡零点对称地分布在直线s = + it上，以及他知道它所有的不平凡零点一定位于区域0 Re(s) 1中。l1896年，雅克雅克.阿达马阿达马和Charles Jean de la Valle-Poussin分别独立地证明了在直线Re(s) = 1上没有零点。连同了黎曼对于不非凡零点已经证明了的其他特性，这显示了所有不平凡零点一定处于区域0 Re(s) 0，我们有，我们有 （(x)为素数计

23、数函数，为素数计数函数，ln(x)为为x 的自然对数，以及右手边用上了大的自然对数，以及右手边用上了大0符号）。符号）。一个由一个由Lowell Schoenfeld提出的非近似版本，表示黎曼猜想等价于。提出的非近似版本，表示黎曼猜想等价于。黎曼黎曼函数的零点与素数满足一个称为明确公式的对偶性，这表明了：在调和分析的意义下，黎曼函数的零点与素数满足一个称为明确公式的对偶性，这表明了：在调和分析的意义下，黎曼函数的零点可视函数的零点可视为素数分布的谐波。将黎曼为素数分布的谐波。将黎曼函数代为更一般的函数代为更一般的L-函数，此时仍有相应的猜想：整体函数，此时仍有相应的猜想：整体L-函数的非平凡零

24、点的实部必函数的非平凡零点的实部必等于。这被称为广义黎曼猜想。函数域上的广义黎曼猜想已被证明，数域的情形仍悬而未决。等于。这被称为广义黎曼猜想。函数域上的广义黎曼猜想已被证明，数域的情形仍悬而未决。 黎曼黎曼函数实部与虚部的数值函数实部与虚部的数值比较图，也就是比较图，也就是Re(s) vs. Im(s)，沿着临界线，沿着临界线s = it + 1/2，t 由由0到到34昆明学院数学系数数 学学 百百 家家 波恩哈德黎曼l黎曼除对几何和复变函数方面的开拓性工作以外，还以其对l9世纪初兴起的完善微积分理论的杰出贡献载入史册。l18世纪末到l9世纪初，数学界开始关心数学最庞大的分支微积分在概念和证

25、明中表现出的不严密性。并对其进行论证。昆明学院数学系数数 学学 百百 家家 波恩哈德黎曼主要成果主要成果 黎曼除对几何和复函数方面的开拓性工作以外，还以其对黎曼除对几何和复函数方面的开拓性工作以外，还以其对l9世纪初兴起的完善微积分理论的杰出贡世纪初兴起的完善微积分理论的杰出贡献载入史册。献载入史册。 18世纪末到世纪末到l9世纪初，数学界开始关心数学最庞大的分支一微积分在概念和证明中的不严密性。波世纪初，数学界开始关心数学最庞大的分支一微积分在概念和证明中的不严密性。波尔查诺、柯西、阿贝尔、狄利克雷进而外尔斯特拉斯以全力投入到分析的密化工作中。黎曼由于在柏林尔查诺、柯西、阿贝尔、狄利克雷进而

26、外尔斯特拉斯以全力投入到分析的密化工作中。黎曼由于在柏林大学从师狄利克雷研究数学，且对柯西和阿贝尔的工作有深入的了解，因而对微积分理论有其独到的见大学从师狄利克雷研究数学，且对柯西和阿贝尔的工作有深入的了解，因而对微积分理论有其独到的见解。解。 1854年黎曼为取得哥丁根大学编外讲师的资格，当面要他递交一篇反映他学术水平的论文。他交出年黎曼为取得哥丁根大学编外讲师的资格，当面要他递交一篇反映他学术水平的论文。他交出的是的是“关于利用三角级数表示一个函数的可能性的关于利用三角级数表示一个函数的可能性的”文章。这是一篇内容丰富、思想深刻的杰作，对完文章。这是一篇内容丰富、思想深刻的杰作，对完善分析

27、理论产生深远的影响。柯西曾证明连续函数必定是可积的。黎曼指出可积函数不一定是连续的。善分析理论产生深远的影响。柯西曾证明连续函数必定是可积的。黎曼指出可积函数不一定是连续的。关于连续与可微性的关系上，柯西和他那个时代的几乎所有的数学家都相信，而且在后来关于连续与可微性的关系上，柯西和他那个时代的几乎所有的数学家都相信，而且在后来50年中许多教年中许多教科书都科书都“证明证明”连续函数一定是可微的。黎曼给了一个连续而不可微的著名反例，最终讲清连续与可微连续函数一定是可微的。黎曼给了一个连续而不可微的著名反例，最终讲清连续与可微的关系。他建立了如现在微积分教科书所讲的黎曼积分的概念，给出了这种积分

28、存在的必要充分条件。的关系。他建立了如现在微积分教科书所讲的黎曼积分的概念，给出了这种积分存在的必要充分条件。他用自己独特的方法研究傅立叶级数，推广了保证博里叶展开式成立的狄利克雷条件即关于三角级数收他用自己独特的方法研究傅立叶级数，推广了保证博里叶展开式成立的狄利克雷条件即关于三角级数收敛的黎曼条件，得出关于三角级数收敛、可积的一系列定理。他还证明：可以把任一条件收敛的级数的敛的黎曼条件，得出关于三角级数收敛、可积的一系列定理。他还证明：可以把任一条件收敛的级数的项适当重排，使新级数收敛于任何指定的和或者发散为项适当重排，使新级数收敛于任何指定的和或者发散为 无穷大或负无穷大无穷大或负无穷大

29、。3、微积分理论的创造性贡献、微积分理论的创造性贡献昆明学院数学系数数 学学 百百 家家 波恩哈德黎曼主要成就主要成就哥丁根大学1850年回到哥丁根大学年回到哥丁根大学昆明学院数学系数数 学学 百百 家家 波恩哈德黎曼主要成果主要成果 l9世纪数论中的一个重要发展是由狄利克雷开创的解析方法和解析成果的导入。世纪数论中的一个重要发展是由狄利克雷开创的解析方法和解析成果的导入。黎曼百创用复解析函数研究数论问题的先例，取得跨世纪的成果。黎曼百创用复解析函数研究数论问题的先例，取得跨世纪的成果。 1859年，黎曼发表了年，黎曼发表了“在给定大小之下的素数个数在给定大小之下的素数个数”的论文。他将素数的

30、分布的问题归结为的论文。他将素数的分布的问题归结为函数的问题，函数的问题， 现在称为黎曼函数。黎曼证明了函数的一些重要性质，并简要地断言了其它的性质现在称为黎曼函数。黎曼证明了函数的一些重要性质，并简要地断言了其它的性质而未予证明。在他死后的一百多年中，世界上许多最优秀的数学家，尽了最大的努力想证明他的而未予证明。在他死后的一百多年中，世界上许多最优秀的数学家，尽了最大的努力想证明他的这些断言，并在作出这些努力的过程中为分析创立了新的内容丰富的新分支，如今，除了他的一这些断言，并在作出这些努力的过程中为分析创立了新的内容丰富的新分支，如今，除了他的一个断言外，其余都按黎曼所期望的那样得到了解决

31、。那个未解决的问题现称为个断言外，其余都按黎曼所期望的那样得到了解决。那个未解决的问题现称为“黎曼猜想黎曼猜想”。数。数论中很多问题的解决有赖于这个猜想的解决。黎曼的这一工作既是对解析数沦理论的贡献，也极论中很多问题的解决有赖于这个猜想的解决。黎曼的这一工作既是对解析数沦理论的贡献，也极大地丰富了复函数论的内容。大地丰富了复函数论的内容。4、解析数论跨世纪的成果、解析数论跨世纪的成果昆明学院数学系数数 学学 百百 家家 波恩哈德黎曼主要成果主要成果 在黎曼博士论文发表以前，已有一些组合拓扑的零散结果，其中著名的如欧拉关于闭凸多面体的项点、在黎曼博士论文发表以前，已有一些组合拓扑的零散结果，其中

32、著名的如欧拉关于闭凸多面体的项点、棱、面数关系的欧拉定理。还有一些看起来简单又长期得不到解决的问题：如哥尼斯堡七桥问题、四色问题，棱、面数关系的欧拉定理。还有一些看起来简单又长期得不到解决的问题：如哥尼斯堡七桥问题、四色问题，促使人们对组合拓扑学当时被人们称为位置几何学或位置分析学的研究。但拓扑研究的最大推动力来自黎曼促使人们对组合拓扑学当时被人们称为位置几何学或位置分析学的研究。但拓扑研究的最大推动力来自黎曼的复变函数论的工作。的复变函数论的工作。 黎曼在黎曼在1851年博士论文中以及在他的阿贝尔函数的研究里，都强调说，要研究函数，就不可避免地需要年博士论文中以及在他的阿贝尔函数的研究里，都

33、强调说，要研究函数，就不可避免地需要位置分析学的一些定理。他利用横剖线降低连通性的阶。他按连通性把曲面分类。按现代拓扑学术语来说，位置分析学的一些定理。他利用横剖线降低连通性的阶。他按连通性把曲面分类。按现代拓扑学术语来说，黎曼审实上已经对闭曲面按亏格分类，如果曲面是亏格黎曼审实上已经对闭曲面按亏格分类，如果曲面是亏格P的，把它剪成单连通的曲面所需要的纽形剖线的个的，把它剪成单连通的曲面所需要的纽形剖线的个数就是数就是2p，并用，并用2P+1条就能把这曲面剪成两片。黎曼面及阿贝尔积分的分类是组合拓扑学的早期最精彩的条就能把这曲面剪成两片。黎曼面及阿贝尔积分的分类是组合拓扑学的早期最精彩的一页，

34、有的学者认为他在复分析中的几何方法是拓扑学的真正开始。值得提到的是，在其学位论文中，他说一页，有的学者认为他在复分析中的几何方法是拓扑学的真正开始。值得提到的是，在其学位论文中，他说到某些函数的全体组成到某些函数的全体组成(空间点的空间点的)连通闭区域是最早的泛函思想。比萨大学的数学教授贝蒂曾在意大利与黎连通闭区域是最早的泛函思想。比萨大学的数学教授贝蒂曾在意大利与黎曼相会，黎曼由于病魔缠身曼相会，黎曼由于病魔缠身, 自身已无能力继续发展其思想，把方法传授给了贝蒂。贝蒂把黎曼面的拓扑分自身已无能力继续发展其思想，把方法传授给了贝蒂。贝蒂把黎曼面的拓扑分类推广到高维图形的连通性，并在拓扑学的其他

35、领域作出杰出的贡献。黎曼是当之无愧的组合拓扑的先期开类推广到高维图形的连通性，并在拓扑学的其他领域作出杰出的贡献。黎曼是当之无愧的组合拓扑的先期开拓者。拓者。 5、组合拓扑的开拓者、组合拓扑的开拓者昆明学院数学系数数 学学 百百 家家 波恩哈德黎曼主要成果主要成果 19世纪后半叶，人们对黎曼研究阿贝尔积分和阿贝尔函数所创造的双有理变换的方法产生极大的兴趣。世纪后半叶，人们对黎曼研究阿贝尔积分和阿贝尔函数所创造的双有理变换的方法产生极大的兴趣。当时他们把代数不变量和双有理变换的研究称为代数几何，而后当时他们把代数不变量和双有理变换的研究称为代数几何，而后20世纪代数几何指的是后者。世纪代数几何指

36、的是后者。 黎曼在黎曼在1857年的论文中认为所有能彼此双有理变换的方程年的论文中认为所有能彼此双有理变换的方程(或曲面或曲面)属于同一类，它们有相同的亏格属于同一类，它们有相同的亏格P。然而，不同的类别可具有相同的然而，不同的类别可具有相同的P值值(因为歧点可以不同因为歧点可以不同)亏格为亏格为P的最普遍的类。当的最普遍的类。当P0时，用时，用3P3个个(复复数数)常数常数(方程中的系数方程中的系数)去刻划；当去刻划；当Pl时，用一个常数刻划；当时，用一个常数刻划；当P0时，用零个常数去刻划。在椭圆函时，用零个常数去刻划。在椭圆函数的情况下，数的情况下，P1，于是有一个常量。对于三角函数，于

37、是有一个常量。对于三角函数P0，故没有任何常量。黎曼把常量的个数叫做，故没有任何常量。黎曼把常量的个数叫做“类模数类模数”，常量在双有理变换下是不变量。，常量在双有理变换下是不变量。“类模数类模数”的概念是现在的概念是现在“参模参模”的特殊情况。研究参模上的特殊情况。研究参模上的结构是现代最热门的领域之一。著名的代数几何学家克莱布什的结构是现代最热门的领域之一。著名的代数几何学家克莱布什(R.F.A.Clebsch1833.1.191872.11.7)后来到哥丁根大学担任数学教授，进一步熟悉了黎曼的工作，并对黎曼的工作给予新的发展。虽然黎曼由后来到哥丁根大学担任数学教授，进一步熟悉了黎曼的工作

38、，并对黎曼的工作给予新的发展。虽然黎曼由于年轻早逝，但世人公认，研究曲线的双有理变换的第一个大的步骤是由黎曼的工作引起的。于年轻早逝，但世人公认，研究曲线的双有理变换的第一个大的步骤是由黎曼的工作引起的。 6、代数几何的开源贡献、代数几何的开源贡献昆明学院数学系数数 学学 百百 家家 波恩哈德黎曼主要成果主要成果 黎曼不但对纯数学作出了划时代的贡献，他也十分关心物理及数学与物理世界的关系，他写了关于热、黎曼不但对纯数学作出了划时代的贡献，他也十分关心物理及数学与物理世界的关系，他写了关于热、光、磁、气体理论、流体力学及声学方面的有关论文。他是对冲击波作数学处理的第一人。他企图将引力与光光、磁、

39、气体理论、流体力学及声学方面的有关论文。他是对冲击波作数学处理的第一人。他企图将引力与光统一起来，并研究人耳的数学结构。他将物理问题抽象出的常微分方程、偏微分方程进行定论研究得到一系列统一起来，并研究人耳的数学结构。他将物理问题抽象出的常微分方程、偏微分方程进行定论研究得到一系列丰硕成果。丰硕成果。 黎曼在黎曼在1857年写的一个没有发表而后收集在其全集中的一个片断中他处理了超几何微分方程和讨论带代年写的一个没有发表而后收集在其全集中的一个片断中他处理了超几何微分方程和讨论带代数系数的数系数的n阶线性微分方程。这是关于微分方程奇点理论的重要文献。黎曼对复的阶线性微分方程。这是关于微分方程奇点理

40、论的重要文献。黎曼对复的x证明了：为得到有三个奇证明了：为得到有三个奇点的二阶微分方程的特解在奇点附近的性态的一些结论，不必知道微分方程本身，而只需知道当自变量沿着围点的二阶微分方程的特解在奇点附近的性态的一些结论，不必知道微分方程本身，而只需知道当自变量沿着围绕三个奇点的诸闭路变动时，两个独立解是怎样变动的。他还考虑比有三个奇点的二阶方程更为普遍的方程。绕三个奇点的诸闭路变动时，两个独立解是怎样变动的。他还考虑比有三个奇点的二阶方程更为普遍的方程。他假定有一个函数，除了在某些指定点他假定有一个函数，除了在某些指定点(奇点奇点)上之外，是一致、有限和连续的。然后他证明这种函数系要满足上之外，是

41、一致、有限和连续的。然后他证明这种函数系要满足一个一个n阶线性微分方程，但是他没有证明这些分枝点阶线性微分方程，但是他没有证明这些分枝点(奇点奇点)和这些替换可以任意选择，留下一个称做黎曼问题和这些替换可以任意选择，留下一个称做黎曼问题的未解决的问题。的未解决的问题。 l9世纪后半期许多数学家花了很多精力研究黎曼问题，然而都失败了，直到世纪后半期许多数学家花了很多精力研究黎曼问题，然而都失败了，直到1905年希尔伯特和年希尔伯特和Kellogg借借助当时已经发展了的积分方程理论才第一次给出完全解。黎曼在常微分方程理论中的自守函数的研究上也有建助当时已经发展了的积分方程理论才第一次给出完全解。黎

42、曼在常微分方程理论中的自守函数的研究上也有建树，在他的树，在他的1858一一1859年关于超几何级数的讲义和年关于超几何级数的讲义和1867年发表的关于极小正曲面的一篇遗著中他建立了为研年发表的关于极小正曲面的一篇遗著中他建立了为研究二阶线性微分方程究二阶线性微分方程 而引进的自守函数理论，即现在通称的黎曼而引进的自守函数理论，即现在通称的黎曼许瓦兹定理。在偏微分方程的理论和应许瓦兹定理。在偏微分方程的理论和应用上，黎曼在用上，黎曼在1858年一年一1859年论文中，他创造的解波动方程初值问题的新方法简化了许多物理问题的难度。年论文中，他创造的解波动方程初值问题的新方法简化了许多物理问题的难度

43、。他推广了格林定理。他对关于微分方程的解的存在性的狄里克雷原理作了杰出的工作，他推广了格林定理。他对关于微分方程的解的存在性的狄里克雷原理作了杰出的工作，黎曼在物理学中使黎曼在物理学中使用的偏微分方程的讲的用的偏微分方程的讲的数学物理的微分方程数学物理的微分方程编辑出版，这是一本历史名著编辑出版，这是一本历史名著 。7、在数学物理、微分方程等其他领域的丰硕成果、在数学物理、微分方程等其他领域的丰硕成果 昆明学院数学系数数 学学 百百 家家 波恩哈德黎曼生平经历生平经历l1826年，他出生于汉诺威王国（今德国）的小镇布列斯伦茨（年，他出生于汉诺威王国（今德国）的小镇布列斯伦茨（Breselenz

44、）。他的父亲弗雷德里希）。他的父亲弗雷德里希波恩波恩哈德哈德黎曼是当地的路德会牧师。他在六个孩子中排行第二。黎曼是当地的路德会牧师。他在六个孩子中排行第二。l1840年，黎曼搬到汉诺威和祖母生活并进入中学学习。年，黎曼搬到汉诺威和祖母生活并进入中学学习。l1842年祖母去世后，他搬到吕内堡（年祖母去世后，他搬到吕内堡（Lneburg）的约翰纽姆（）的约翰纽姆（Johanneum）。）。l1846年，按照父亲的意愿，黎曼进入哥廷根大学学习哲学和神学。在此期间他去听了一些数学讲座，包年，按照父亲的意愿，黎曼进入哥廷根大学学习哲学和神学。在此期间他去听了一些数学讲座，包括高斯关于最小二乘法的讲座。在

45、得到父亲的允许后，他改学数学。括高斯关于最小二乘法的讲座。在得到父亲的允许后，他改学数学。l1847年春，黎曼转到柏林大学，投入雅戈比、狄利克雷和年春，黎曼转到柏林大学，投入雅戈比、狄利克雷和Steiner门下。两年后他回到哥廷根。门下。两年后他回到哥廷根。 哥廷根大学哥廷根大学柏林大学柏林大学昆明学院数学系数数 学学 百百 家家 波恩哈德黎曼生平经历生平经历l1854年他初次登台作了题为年他初次登台作了题为“论作为几何基础的假设论作为几何基础的假设”的演讲，开创了黎曼几何，并为爱因斯坦的广义相对论的演讲，开创了黎曼几何，并为爱因斯坦的广义相对论提供了数学基础。提供了数学基础。l1857年升为

46、哥廷根大学的编外教授；年升为哥廷根大学的编外教授；l1859年狄利克雷去世后成为正教授。年狄利克雷去世后成为正教授。l1862年，他与爱丽丝年，他与爱丽丝科赫（科赫（Elise Koch）结婚。）结婚。 l1866年，他在第三次去意大利的的途中因肺结核在塞拉斯卡（年，他在第三次去意大利的的途中因肺结核在塞拉斯卡（Selasca）去世。）去世。昆明学院数学系数数 学学 百百 家家 波恩哈德黎曼主要贡献主要贡献l他对他对数学分析数学分析和和微分几何微分几何做出了重要贡献，对做出了重要贡献，对微分方程微分方程也有很大贡献。也有很大贡献。l他引入三角级数理论，从而指出积分论的方向，并奠定了近代他引入三

47、角级数理论，从而指出积分论的方向，并奠定了近代解析数论解析数论的基础，提出一系列的基础，提出一系列问题；他最初引入问题；他最初引入黎曼曲面黎曼曲面这一概念，对近代这一概念，对近代拓扑学拓扑学影响很大；在代数函数论方面，如黎曼影响很大；在代数函数论方面，如黎曼-诺赫定理也很重要。在微分几何方面，继高斯之后建立黎曼几何学。诺赫定理也很重要。在微分几何方面，继高斯之后建立黎曼几何学。l他的名字出现在黎曼他的名字出现在黎曼函数，函数，黎曼积分黎曼积分，黎曼引理黎曼引理，黎曼流形黎曼流形，黎曼映照定理，黎曼，黎曼映照定理，黎曼-希尔伯希尔伯特问题，特问题，柯西柯西-黎曼方程黎曼方程，黎曼思路回环矩阵中。

48、，黎曼思路回环矩阵中。昆明学院数学系数数 学学 百百 家家 波恩哈德黎曼黎曼生平l1826年，他出生于汉诺威王国（今德国）的小镇布列斯伦茨（Breselenz）。他的父亲弗雷德里希波恩哈德黎曼是当地的路德会牧师。他在六个孩子中排行第二。l 1840年，黎曼搬到汉诺威和祖母生活并进入中学学习。l1842年祖母去世后，他搬到吕内堡的约翰纽姆。1846年，按照父亲的意愿，黎曼进入哥根廷大学学习哲学和神学。在此期间他去听了一些数学讲座，包括高斯的最小二乘法的讲座。在得到父亲的允许后，他改学数学。l 1847年春，黎曼转到柏林大学，投入雅戈比、狄利克雷和Steiner门下。两年后他回到哥廷根。l 185

49、4年他初次登台作了题为“论作为几何基础的假设”的演讲，开创了黎曼几何，并为爱因斯坦的广义相对论提供了数学基础。他在1857年升为哥廷根大学的编外教授，并在1859年狄利克雷去世后成为正教授。l1862年，他与爱丽丝科赫（Elise Koch）结婚。 l1866年，他在第三次去意大利的的途中因肺结核在塞拉斯卡（Selasca）去世 。 昆明学院数学系数数 学学 百百 家家 波恩哈德黎曼l黎曼在1851年他的博士论文中，以及在他的阿贝尔函数的研究里都强调说，要研究函数，就不可避免地需要位置分析学的一些定理。按现代拓扑学术语来说，黎曼事实上已经对闭曲面按亏格分类。值得提到的是，在其学位论文中，他说到

50、某些函数的全体组成(空间点的)连通闭区域的思想是最早的泛函思想。l比萨大学的数学教授贝蒂曾在意大利与黎曼相会，黎曼由于当时病魔缠身，自身已无能力继续发展其思想，把方法传授给了贝蒂。贝蒂把黎曼面的拓扑分类推广到高维图形的连通性，并在拓扑学的其他领域作出杰出的贡献。黎曼是当之无愧的组合拓扑的先期开拓者。 历史上的七桥问题昆明学院数学系数数 学学 百百 家家 波恩哈德黎曼l黎曼在1857年的论文中认为，所有能彼此双有理变换的方程(或曲面)属于同一类，它们有相同的亏格。黎曼把常量的个数叫做“类模数”，常量在双有理变换下是不变量。“类模数”的概念是现在“参模”的特殊情况，研究参模上的结构是现代最热门的领域之一。l著名的代数几何学家克莱布什后来到哥廷根大学担任数学教授，他进一步熟悉了黎曼的工作，并对黎曼的工作给予新的发展。虽然黎曼英年早逝，但世人公认，研究曲线的双有理变换的第一个大的步骤是由黎曼的工作引起的。几何草稿昆明学院数学系数数 学学 百百 家家 波恩哈德黎曼人物评价黎曼是数学史上最具独创精神的数学家之一，在他的诸多思想成果中，他亲手创造出来的黎曼几何，也就是黎曼是数学史上最具独创精神的数学家之一，在他的