中考数学 第一部分 基础知识过关 第一章 数与式 第4讲 二次根式课件 (24)

1、第第2020讲讲 矩形、菱形、正方形矩形、菱形、正方形泰安考情分析泰安考情分析基础知识过关基础知识过关泰安考点聚焦泰安考点聚焦总纲目录总纲目录随堂巩固练习随堂巩固练习泰安考情分析基础知识过关知识点一知识点一 矩形矩形知识点二知识点二 菱形菱形知识点三知识点三 正方形正方形知识点四知识点四 平行四边形、矩形、菱形、正方形平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系的关系定义有 一个角是直角 的平行四边形叫做矩形性质(1)矩形具有 平行四边形 的一切性质;(2)矩形的四个角都是 直角 ;(3)矩形的对角线 相等 判定(1)定义法:有一个角是直角的 平行四边形 是矩形;(2)对角线 相等 的平行四边形是矩形

2、;(3)有 三个角 都是直角的四边形是矩形;(4)对角线 相等且互相平分 的四边形是矩形知识点一知识点一 矩形矩形温馨提示温馨提示 (1)矩形既是轴对称图形,又是中心对称图形.它有2条对称轴,对称中心是两条对角线的交点.(2)矩形的对角线把矩形分成四个等腰三角形.知识点二知识点二 菱形菱形温馨提示温馨提示 (1)菱形既是轴对称图形,又是中心对称图形.它有2条对称轴,分别是对角线所在的直线;对称中心是两条对角线的交点.(2)菱形的对角线把菱形分为四个全等的直角三角形.定义有一组 邻边相等 的平行四边形是菱形性质(1)菱形具有 平行四边形 的一切性质;(2)菱形的四条边都 相等 ;(3)菱形的两条

3、对角线 互相垂直 ,并且每一条对角线 平分一组对角 ;(4)菱形的面积等于两条对角线长 乘积的一半 判定(1)定义法:有 一组邻边 相等的平行四边形是菱形;(2)对角线互相 垂直 的平行四边形是菱形;(3) 四条边 都相等的四边形是菱形知识点三知识点三 正方形正方形温馨提示温馨提示 (1)正方形既是轴对称图形,又是中心对称图形,它有4条对称轴.(2)正方形的对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形.定义有一组 邻边相等 的矩形叫做正方形性质(1)正方形的四条边都 相等 ,两组对边分别 平行 ;(2)正方形的四个角都等于 90 ;(3)正方形的对角线互相 垂直、平分且相等 ,每条对角线平分一组

4、对角判定(1)定义法;(2)对角线 相等 的菱形是正方形;(3)对角线 垂直 的矩形是正方形;(4)有一个角是直角的 菱形 是正方形知识点四知识点四 平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系1.平行四边形与特殊平行四边形的包含关系2.从四边形到特殊平行四边形的演变关系温馨提示温馨提示 依次连接四边形各边的中点所得到的新的四边形的形状与原四边形的对角线有关系,若对角线相等,则新的四边形是菱形;若对角线垂直,则新的四边形是矩形.泰安考点聚焦考点一考点一 矩形的性质和判定矩形的性质和判定考点二考点二 菱形的性质与判定菱形的性质与判定考点三考点三 正方形的性质与判定正方

5、形的性质与判定考点一考点一 矩形的性质和判定矩形的性质和判定中考解题指导中考解题指导口诀“矩形就是长方形,周长、面积仍然用,平行四边形性质它均用,四角相等皆直角”;判定矩形首先要分清楚所给的条件是四边形还是平行四边形,再确定矩形的判定方法.例例1如图,在矩形ABCD中,DE平分ADC交BC于点E,EFAD交AD于点F,若EF=3,AE=5,则AD等于( C )A.5 B.6 C.7 D.8解析解析四边形ABCD是矩形,ADC=90,EFAD,EFCD,FED=EDC,DE平分ADC,FDE=EDC,FED=FDE,DF=EF=3,EFAD,AFE=90,AE=5,EF=3,由勾股定理得AF=4

6、,AD=AF+DF=4+3=7,故选C.变式变式1-1 (2017济南)如图,在矩形ABCD中,AD=AE,DFAE于点F.求证:AB=DF.证明证明四边形ABCD是矩形,ADBC,B=90,AEB=DAF,DFAE,AFD=90,在ABE和DFA中,ABE DFA,AB=DF.,AEBDAFBAFDADAE 方法方法技巧方法方法技巧矩形是特殊的平行四边形,其特殊性在于内角均为直角,故在应用其性质时常会和直角三角形相结合.考点二考点二 菱形的性质和判定菱形的性质和判定例例2 (2017北京)如图,在四边形ABCD中,BD为一条对角线,ADBC,AD=2BC,ABD=90,点E为AD的中点,连接

7、BE.(1)求证:四边形BCDE为菱形;(2)连接AC,若AC平分BAD,BC=1,求AC的长.解析解析(1)证明:AD=2BC,E为AD的中点,DE=BC.ADBC,四边形BCDE是平行四边形.ABD=90,AE=DE,BE=DE,四边形BCDE是菱形.(2)ADBC,AC平分BAD,BAC=DAC=BCA,AB=BC=1.AD=2BC=2,sinADB=,ADB=30,DAC=30,ADC=60,ACD=90.在RtACD中,AD=2,CD=1,AC=.123变式变式2-1 (2018泰安)如图,在菱形ABCD中,AC与BD交于点O,E是BD上一点,EFAB,EAB=EBA,过点B作DA的

8、垂线,交DA的延长线于点G.(1)DEF和AEF是否相等?若相等,请证明;若不相等,请说明理由;(2)找出图中与AGB相似的三角形,并证明;(3)BF的延长线交CD的延长线于点H,交AC于点M.求证:BM2=MFMH.解析解析(1)DEF=AEF.理由如下:EFAB,DEF=EBA,AEF=EAB,又EAB=EBA,DEF=AEF.(2)EOAAGB.证明如下:四边形ABCD是菱形,AB=AD,ACBD,GAB=ABE+ADB=2ABE.又AEO=ABE+BAE=2ABE,GAB=AEO,又AGB=AOE=90,EOAAGB.(3)证明:连接DM.四边形ABCD是菱形,由对称性可知:BM=DM

9、,ADM=ABM.ABCH,ABM=H,ADM=H.又DMH=FMD,MFDMDH, = ,DMMHMFDMDM2=MFMH,BM2=MFMH.方法方法技巧方法方法技巧要判断一个四边形是菱形,可以先说明它是平行四边形,再说明它的一组邻边相等或对角线垂直;也可说明它的四条边都相等或它的对角线互相垂直平分.在具体问题中,要根据题目给出的已知条件选择合适的方法.考点三考点三 正方形的性质和判定正方形的性质和判定例例3 (2017济南)如图,正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,AB=3,E为OC上一点,OE=1,连接BE,过点A作AFBE于点F,与BD交于点G,则BF的长是( A )A. B.

10、2 C. D. 23 10523 543 22解析解析四边形ABCD是正方形,AB=3,AOB=90,AO=BO=CO=3.AFBE,EBO=GAO.在GAO和EBO中,GAOEBO,OG=OE=1,BG=2.在RtBOE中,BE=,BFG=BOE=90,GBF=EBO,BFGBOE,2,GAOEBOAOBOAOGBOE 22OBOE10 = ,即 = ,解得BF= ,故选A.方法方法技巧方法方法技巧正方形既是特殊的矩形又是特殊的菱形,具备了矩形和菱形的所有性质.同时,在解决以正方形为背景的问题时,常与直角三角形、等腰三角形、相似三角形相结合进行解答,特别注意角和角、边和边之间的数量关系和位置

11、关系.BFBOBGBE3BF2103 105一、选择题一、选择题1.(2017临沂)在ABC中,点D是边BC上的点(与B,C两点不重合),过点D作DEAC,DFAB,分别交AB,AC于E,F两点,下列说法正确的是( D )A.若ADBC,则四边形AEDF是矩形B.若AD垂直平分BC,则四边形AEDF是矩形C.若BD=CD,则四边形AEDF是菱形D.若AD平分BAC,则四边形AEDF是菱形二、填空题二、填空题2.(2017泰山模拟)矩形的两条对角线的一个夹角为60,两条对角线的长度的和为8 cm,则这个矩形的一条较长边的长为 2cm.解析解析如图,四边形ABCD是矩形,ABC=90,AC=BD=

12、4cm,OA=OC,OD=OB,OA=OB=2cm,由题意得AOB=60,AOB是等边三角形,OA=OB=AB=AC=2cm.在RtABC中,由勾股定理得BC=2cm.这个矩形的一条较长边的长为2cm.1222ACAB333.(2017新泰模拟)边长为5 cm的菱形的一条对角线的长是6 cm,则另一条对角线的长是 8 cm.解析解析如图,在菱形ABCD中,AB=5 cm,AC=6 cm,对角线互相垂直平分,AOB=90,AO=3 cm.在RtAOB中,BO= =4 cm,BD=2BO=8 cm.22ABAO4.(2018滨州)如图,在矩形ABCD中,AB=2,BC=4,点E、F分别在BC、CD

13、上,若AE=,EAF=45,则AF的长为 .54 103解析解析取AB的中点M,连接ME,在AD上截取ND=DF,设DF=DN=x,四边形ABCD是矩形,D=BAD=B=90,NF=x,AN=4-x,AB=2,AM=BM=1,AE=,25BE=1,ME=,EAF=45,MAE+NAF=45,MAE+AEM=45,MEA=NAF,又ANF=EMA=180-45=135,AMEFNA,=,=,22BMBE2AMFNMENA12x24x解得x=,AF=.4322ADDF4 1035.(2017莱芜)如图,在矩形ABCD中,BEAC,BE交AC,AD于点F,E,若AD=1,AB=CF,则AE= .51

14、2解析解析四边形ABCD是矩形,BC=AD=1,BAE=ABC=90,ABE+CBF=90.BEAC,BFC=90,BCF+CBF=90,ABE=FCB,在ABE和FCB中,ABE FCB,90,EABBFCAB C FABEFC B BF=AE,BE=BC=1.BAF+ABF=90,ABF+AEB=90,BAF=AEB,BAE=AFB,ABEFBA,=,=,AE=AB2.在RtABE中,根据勾股定理得,AB2+AE2=BE2=1,ABBFBEABABAE1ABAE+AE2=1,AE0,AE=.三、解答题三、解答题6.(2017莱芜模拟)如图,菱形ABCD中,BEAD,BFCD,垂足分别为点E,F,AE=ED,求EBF的度数.512解析解析如图,连接BD.BEAD,AE=ED,AB=BD,四边形ABCD是菱形,AB=BC=CD=AD,AB=AD=BD,A=60,ADC=120,BEAD,BFCD,BED=BFD=90,EBF=60.7.(2017青岛)如图,在菱形ABCD中,点E,O,F分别为AB,AC,AD的中点,连接CE,CF,OE,OF.(1)求证:BCEDCF;(2)当AB与BC满足什么关系时,四