第三章 数学教育的中国道路(双基教学)

1、数学双基研究华东师范大学数学系华东师范大学数学系张奠宙张奠宙2005,102005,10。 永安永安 谨慎地谨慎地接受西方接受西方的教育理的教育理论！论！ 杜威的教育思想不能照搬n 知识必须学生自己发现？n 必须体现知识的发生过程？n 一定要结合学生的日常生活经验？n 非得合作学习？n 教师只是组织者， 引导者、合作者？n 这些都是一定条件下成立的命题。不是绝对真理建构主义的某些主张并不新鲜n 知识是学生自己建构的n 学生不是一张白纸n 学生的头脑不是一张空桶n 知识是不能灌输的。n 建构主义教育建议：自主、探究、合作。 我们都同意！以前也是这样提倡的！我们都同意！以前也是这样提倡的！ 能动的

2、反映论n 教师为主导， 学生为主体。n 师傅领进门， 修行在个人。n 启发式教学，师生讨论， 反对满堂灌。n 谁说“学生是一张白纸？” “能动的反映论”！n 知识是不能传授的？科学传授+主动接受是好的教育？认识论 教学论n 教育要讲究效率， 因为我们是把人类几千年积累的知识， 取其精华， 在“很短的时间内， 让学生掌握， 并形成能力。n 建构主义是认识论。 n 实践论也是解决认识论问题。n 建构主义认识论比较精致， 但是有唯心倾向。建构主义的定义(http:/www.mathforum）建构主义是一种科学理论，建构主义是一种科学理论， 不能庸俗化。台湾的失败。不能庸俗化。台湾的失败。 （知识是

3、个人学习的， 大白话。）“什么是建构主义？如下的解释能够同意吗如下的解释能够同意吗? “ 学生需要对每一个数学概念构造自己的理解， 使得“教”的作用不再是演讲、解释、或者企图去“传送”知识， 而是为促使学生进行心智建构创设学习环境和条件。这种教学方法的关键， 是将每一个数学概念按皮亚杰的知识理论分解成许多发展性的步骤，这些步骤的确定要基于对学生的观察和谈话人的知识多半是主动接受而来人的知识多半是主动接受而来大多是间接经验， 少量的直接经验n 书籍、报刊的阅读，n 电视的传播，世纪大讲堂。n 领导的讲话， 听名人报告。n 政府颁布的法律，遵守就是了n 交通规则的遵守， 学开车知道照办 这些都是这

4、些都是“单向传输的单向传输的”n为什么教师在课堂讲授就是错误的？为什么教师在课堂讲授就是错误的？n 西方课堂上教师与学生讲话西方课堂上教师与学生讲话 8 8：1 1n香港是香港是 16 16：1 1 （TIMSSTIMSS调查，调查，19991999） 数学教育的核心是让学数学教育的核心是让学生掌握数学本质；生掌握数学本质； 教育数学的目标是为学教育数学的目标是为学生提供优质数学。生提供优质数学。 第10届国际数学家大会 2004。7月。 哥本哈根n F 克莱因奖和H 弗赖登塔尔奖三个大会报告：寻求平衡n 数学家和数学教育家之间的协调n 大众数学和精英数学之间的平衡n 数学教育中理论研究和实践

5、之间的关系中国大陆的报告n刘意竹（人民教育出版社）：刘意竹（人民教育出版社）： 数学教材中练习题的编制数学教材中练习题的编制n 张奠宙（华东师范大学）张奠宙（华东师范大学） 戴再平戴再平 （浙江教育学院）（浙江教育学院） “中国双基数学教学和开放题教学中国双基数学教学和开放题教学”演讲后提问情况n 第三届东亚数学教育会议第三届东亚数学教育会议-2005年年8月月主题：基础与创造。东亚数学教育的长处与不足主题：基础与创造。东亚数学教育的长处与不足n J Kilpatrick（美国）大会报告 小学课程： 是实践性的： practical. 中学课程： 是智力性的： intellectural 这表

6、明： 联系生活实际是有限度的。中学数学教学主要是培养智力， 提高理性数学思维。朴昊美（韩国）大会报告n Teachers mathematical knowledge is a critical foundation in the practice of teaching, and instruction is shaped by what teachers know and do not know about the subject they teach. n 教师的数学知识是教学实践的关键。 教学是由教师所教的那些懂和不懂的内容所形成的。n pedagogy without mathema

7、tics is empty, mathematics without pedagogy is blind. n教学没有数学是空洞的， 数学没有教学是盲目的 （康德）朴汉植（韩国前数学教育会长）n 将教学内容和教学方法整合起来n 韩国需要解决的问题是： 数学教师应当懂得他所教的数学， 遗憾的是， 他们往往做不到。例如： 所有的抛物线都是相似的， 对吗？Nagaoka:日本数学教育的危机n TIMSS表明：表明： 日本学生的数学基本知日本学生的数学基本知识和基本技能在衰退。识和基本技能在衰退。n 缺乏练习，缺乏实践，缺乏练习，缺乏实践， 缺乏思考；缺乏思考；n在东方传统数学教育环境中，在东方传统数

8、学教育环境中， “黑板、黑板、粉笔粉笔”仍然最有效仍然最有效 （较计算机演示）（较计算机演示）n 最严重的问题是，最严重的问题是， 日本的数学教育正在日本的数学教育正在远离数学远离数学 - 数学家所从事的数学。数学家所从事的数学。Clarke (澳大利亚）n 分析三对相互关联的三个方面： 1。 教与学。 不能只讲“学”的重要性， 忽视“教”的重要性。 2。 学生中心与教师中心。 这是交替出现的， 不能说那一个是中心 3。 讲还是不讲。 教师必须“讲”， 讲的好。 但是， 不能否定讲10个神数学教育神话个神数学教育神话n原载原载2005年年5月月31日美国华盛顿邮日美国华盛顿邮报。报。 作者是该

9、报记者作者是该报记者Jay Mathews。神话神话1。 只有学生自己发现的知识才能真正掌握只有学生自己发现的知识才能真正掌握n反对派：反对派：学生们学习的方法是多种多样的。让学生自己发现知识大都需要化费大量的时间，而这不仅不能保证学生在结束时掌握正确的概念，还可能耽误甚至妨碍下一阶段的学习。成功的教学应该让学生发现其中一部分经过精挑细选的知识，而不是全部。NCTM: 我们从未把发现法作为教学中的唯一方式或者主要方法。事实上，我们也同样认为学生学习的方法是多种多样的，而且只有在恰当的时机采用恰当的方法才能使学习卓有成效。学习的目标不仅是了解数学中的事实和过程，还包括思考、推理和应用数学。学生必

10、须在深刻理解的基础上发展他们的能力。神话神话2n我们期待孩子们自己发明、用自己的方我们期待孩子们自己发明、用自己的方法来进行基本算术操作，而不是被动地法来进行基本算术操作，而不是被动地接受标准的算术算法和理论并付诸操练。接受标准的算术算法和理论并付诸操练。 这样，他们对数学的理解会更深刻，有这样，他们对数学的理解会更深刻，有更强的归属感。更强的归属感。 n争论的焦点是：算法，争论的焦点是：算法， 例如长除法是否例如长除法是否重要？重要？神话神话3 通过问题解决来加深概念理解通过问题解决来加深概念理解, 只有概只有概念才是重要的念才是重要的. 孩子们不需要化太多的时间来做孩子们不需要化太多的时间

11、来做练习或复习基本的算术操作过程练习或复习基本的算术操作过程n 反对派：反对派：学生只能记住他们曾大量练习过的学生只能记住他们曾大量练习过的内容内容只能对那些多年来持续不变的练习内只能对那些多年来持续不变的练习内容有长时间的记忆容有长时间的记忆这是无法回避的事实这是无法回避的事实。 nNCTM：数学教学方式并没有走向两个极端。有许多行之有效的教学方式。任何一个老师都不会每天用同一种方式教学。一个优秀的教师会把各种最好的方法加以综合运用，使学生既能理解数学概念，也能精通数学程序。 关于“双基”的口号n 起源：1960年代对1958年大跃进的教育反思。n 沈阳论数学课程标准， 研究数学双基的继承问

12、题。n 台湾教改的失败， 引发对双基的思考n 数学教学改革的平衡， 不能走极端n “双基”的与时俱进， 继承与发扬。 双基数学教学引起重视n 10月19日， 沈阳举行9年义务教育数学课程标准研讨会。n 圆桌讨论会的议题之一是“双基”的理解。n 基本理念： * * 双基是优良传统之一双基是优良传统之一 * * “ “双基双基”必须必须“与时俱进与时俱进”台湾教改新闻n 建构主义教改失败。n 理解和记忆的关系。n（记忆）九九表： 7 x4 = 28n 建构（理解） 7 +7 =14， 14+7=21，21+7 =28。n 民怨沸腾。台湾教育界认为指挥失当n 月亮是外国的圆。 教育理论照搬外国， 不

13、看文化背景。n “教改象月亮， 初一十五不一样”， 片面性。 “教育生活化”， 联系学生生活实际和打好双基， 各唱各的调。n 月亮自己不发光， 照到那里那里亮。 有些教育家自己不会上课， 却指导别人上课。教师的作用n 教师的主导作用， 新标准不提了。n 教师是数学学习的组织者、引导者、与合作者。（全国标准 第二页）n 误解：建构主义认为，教师不应该直接告诉任何知识，要学生自己去建构。n 启发式就是符合建构主义观点的！“数学教育幽默之一n一。一。 合作学习合作学习 在一堂数学公开课上， n 女生：你的头发有点乱。n男生：你的眉毛画得太浓n评课者：这堂课合作学习搞得很好，学生很活跃。n 数学教育幽

14、默之二n二 “探究式教学”n数学老师问：“3 4 是多少？” n学生甲：“等于7。” 老师说：“不对， 比答案小了。”n学生乙：“等于34”， 老师说：“不对， 比答案大得多了。”n于是老师左手伸出一个指头，右手伸出两个指头。众学生：“答案是12！”n老师：“你们真聪明， 发现了数学真理！”数学教育幽默之三n排中律和选择题排中律和选择题 n四个士兵出外打靶。士兵甲扣动扳机，未打中，偏右。士兵乙打第二枪，偏左。士兵丙开第三枪， 偏上， 也未中靶。 第四位士兵丁， 没有开枪，却胜利高呼了：“我打中了， 我胜利了。” 2003年年12月月21日文汇报刊登日文汇报刊登 台湾佛光大台湾佛光大学艺术学研究

15、所所长林谷芳在北京大学的演讲学艺术学研究所所长林谷芳在北京大学的演讲n“一种美声唱法，一种美声唱法， 占据了主流教育系统占据了主流教育系统100年，年， 这个这个社会还是部照你们的方式唱歌，社会还是部照你们的方式唱歌， 到底是谁出了问题？音到底是谁出了问题？音乐家说，乐家说， 我们出问题的几率较大。我们出问题的几率较大。n如果我们不是受限于西方的结构体系，如果我们不是受限于西方的结构体系， 我们是否也能我们是否也能象西方音乐家（看到他们的音乐）一样，象西方音乐家（看到他们的音乐）一样， 看到我们音看到我们音乐的特质？乐的特质？ 其实我们原本就有一个丰富的系统在那里其实我们原本就有一个丰富的系统

16、在那里。 n每一次每一次“以西非中以西非中“的时候，的时候， 一直认为我们不如西方。一直认为我们不如西方。 当然这种提法不代表我们要固步自封，当然这种提法不代表我们要固步自封， 而是要在谈发而是要在谈发展之前，展之前， 我们有没有停下脚步，我们有没有停下脚步， 看看自己有多少东西。看看自己有多少东西。 免得在发展时，免得在发展时， 不仅没有把自己的东西好好整理，不仅没有把自己的东西好好整理， 甚甚至把自己的东西丢掉至把自己的东西丢掉。n 教训：要平衡， 不要搞片面性n 双基与发展。 中国双基教学是否过时？n 记忆与理解。 三角公式要不要背？n 独立思考与合作交流。 数学是个人思考为主？n 知识

17、积累与探究创新。 公开课课都必须探究？n 科学模型与日常经验。数学的日常经验是哪些？n 形式演绎与问题驱动。 冰冷美丽和火热思考n 艰苦学习与愉快学习。 如何才是愉快？n 事先探究与事后反思。 反思教学的缺失 高楼是美丽的，高楼是美丽的， 但是基础更重要！但是基础更重要！当心在花岗岩基础当心在花岗岩基础上只盖茅草房上只盖茅草房一。双基数学教学的定义和框架一。双基数学教学的定义和框架n 在掌握“基本知识”“和基本技能”的基础上，注重学生的创新发展。n “双基”教学不是只打基础， 成为题海战术的借口 n 中国中国“双基双基”数学教学的数学教学的框架框架 5层层 发展层：发展层： 数学建模。数学建模

18、。 研究性学习。研究性学习。 文文化思考。化思考。 反思质疑。反思质疑。 开放式教学。开放式教学。 题型改革。题型改革。 数学思想方法数学思想方法4 4层层 基础层基础层 “双基模块双基模块”与与“双基平台双基平台”，问题，问题求解求解3 3层层 双基内涵。速度与效率、记忆与理解、逻辑表双基内涵。速度与效率、记忆与理解、逻辑表达与思想方法、重复训练与变化。达与思想方法、重复训练与变化。2层层 教学传统教学传统 启发式启发式 。 “问题引入问题引入”。 “ “精讲精讲多练多练”。 变式练习。逻辑辨析。变式练习。逻辑辨析。 题型训练。题型训练。1层层 文化背景文化背景 “稻作文化稻作文化”。 “

19、“儒家文儒家文化化”。 “ “考试文化考试文化”。“考据文化考据文化”。“ “ 熟能生巧熟能生巧” 二。双基教学是 中国固有文化的产物中国固有文化的产物n 稻作文化稻作文化。精耕细作。 与游牧文化的差异。n 儒家文化。 不能创新， 只能演绎， 侧重基础的把握与训练n 考试文化考试文化。 考试只能检验一部分的知识和能力， 主要是基础部分。n 考据文化考据文化。 重视证据、逻辑推断，着重细枝末节。三。“双基双基”教学的传统教学的传统n教学传统教学传统 * 启发式启发式， 帮助学生理解；帮助学生理解； * * 问题引导问题引导。 每堂课都重视每堂课都重视“问题的引入问题的引入” * * 逻辑辨析逻辑

20、辨析。 对概念、命题、推理的逻辑成对概念、命题、推理的逻辑成分十分注意；分十分注意； * * 注意表达注意表达。 通过提问，学生复述，教师板通过提问，学生复述，教师板书。书。 训练学生的数学表示能力；训练学生的数学表示能力； * * 题型训练。题型训练。 * * 提炼数学思想方法提炼数学思想方法双基教学的模式n 常规模式：问题引入 师生讨论 巩固练习三段论n 教学方式：教师主导的由教师提问、师生讨论的方式。 n定理证明的教学：小步走， 小转弯， 小坡度，提问式教学法n 练习课复习课：大容量、快节奏、高密度的问题链串接。三.双基教学的内涵：四个维度n 运算速度：运算速度： 速度赢得效率速度赢得效

21、率n 知识记忆：知识记忆： 记忆通向理解记忆通向理解n 逻辑精确：逻辑精确： 必要的形式化必要的形式化n 变式训练：变式训练： 变化中求重复变化中求重复3.1 运算速度整式运算38题(田中)n 化简n1) (2/3) ab + (3/4) ab + ab = n2) y2 2x2 ( 3y2 ) = n3) 3 x2 y(1/2) x(2xy2) = n4) 3x2 y + (1/3) xy (xy) =n5) (2n) 23 =n n因子分解n1) (a + b)2 (x y) 2 n2) (x + y)2+ 5 (x + y) + 6 n3)(m n)2+ 4(m n) + 4n n配方:

22、 n(1/2) x + x + (2/3)江苏苏州测试 年级年级 8 9 10 11 12 平均正确率正确率 17.82 20.73 28.11 29.43 31.00 25.78 其他量表n 张晓霞张晓霞( (成都教育学院成都教育学院):): n 胡建军胡建军( (宁波效实中学宁波效实中学):): n 李左杰李左杰( (宁波象山中学宁波象山中学):): 待定: 3.2 记忆与理解n 九九表背诵n 负负得正, 先做后说, 在运算中加深理解n 基本公式: 一元二次方程求根公式等n 计算规则要成为直觉n 三角公式如“和差化积等, 是否要记忆. (高考题目多, 时间短, 建议延长为3小时).模式直观

23、与记忆证明： Cnm = Cn-1m + Cn-1m-1 （m，n 2）n证法1：直接验证n证法2：在n个元素中固定一个元a，那么从n个元中取m个元可分为两种情形。一定不取a，共有种取法；一定取a，共有种取法，加起来共个取法。 3.3 精确地表达n 几何论证的演绎模式n 证明的严密性. 勾股定理不能把拼接作为证明.n 逻辑的训练. n例例(1991(1991年高考题年高考题): ): 下列命题中哪一个正确下列命题中哪一个正确 (A) 存在 and , 使得 cos (+)= coscos+ sinsin, (B) 没有无限多个 和 , 使得 cos(+)= coscos+ sinsin, (

24、C) 对任何的 和 , cos(+)= coscos+ sinsin都成立 (D) 不存在 和 , 使得 cos(+)= coscos+ sinsin, (选 A )3.4 重复与变式n 技能的形成必须通过重复的练习.但是我们借助“变式”.n 顾泠沅黄荣金鲍建生 1. 概念变式. 如三角形“高”的位置 2. 过程变式. 问题化归过程 3. 结构变式(孙旭花, 香港中文大学博士生)结构变式(孙旭花)n题组一：2/3 的的 3/4 是多少？是多少？n 2的1倍是多少？ 2的2倍是多少？n 1/2的 1倍是多少？2的1/2倍是多少？n2/3的1倍是多少？ 2/3的1/2倍是多少？2/3的3倍是多少？

25、n 2/3 的1/4是多少？n 2/3的 是多少？四. 双基数学教学“基础建设”n超经验的知识， 规则， 打好双基的基桩基桩建设。建设。 n选择典型例题，通过变式手段， 构作“双基模块双基模块”。 n 加强数学连接，运用成套题形， 创造“双基平台双基平台”第一层次n 知识点，陈述 接受。多数不需要发现n 知识点之间的连接（connections)往往是最重要的.“连接”把知识点织成一张网。n 发现“连接”， 理解“连接”是深层次的数学思考。n 知识点，探究点。4.1 “双基模块”n用变式奖许多知识串联成一个完整的知识块。n 双基模块是“中国数学双基”的核心。双基模块（一）变式串联双基模块（一）

26、变式串联n 答案为（3）。 但是必须去掉 b轴(a不为0）这是一道错题。n 12名院士联名发表声明， 要求国家考试中心认错。 中心至今没有承认。 辩称有“不包含边界”字样。n来源：新华社独家提供n高考数学题引来院士质疑一文在本报刊登后，12位院士联名倡议书的发起人、中国科学院力学研究所博士生导师朱如曾教授向记者表示：“我期待教育部看到报道后，再组织一次专家论证，对这道数学题的对与错给出一个客观正确的答案。” 这是一道反映“双基”的好题n y = ax2 +bx +a .n 判别式 b 4a 2 0.n (b 2a) (b+2a) 0n 得到区域 (x x)n 但是， 有两个交点意味着 a 不能

27、为 0。 xxxxxx双基模块（2）典型例题演变n 典型例题（鳖臑）题目：题目：在四面体中，面n问题：（1）有多少对线线垂直？n （2）有多少对线面垂直？n （3）有多少对面面垂直？ ABCDABCDEFMNABCDEF在四面体中ABCD中角BCD 为直角AB垂直面BCD，B在AC，AD上的射影分别为E，F，连接EF，又C在BD，AD上的射影分别为M，N，连接MN 双基模块（三）基本技能模块 n整式的运算。合并同类项、因子分解、配方。n分式化简n根式化简n 函数作图n 立体几何作图4.2 双基平台（一） 连接性平台（抛物线）n（物理）抛物线 高楼放烟火。参数方程。开口向下。n （代数）抛物线。

28、 一元二次函数。开口向上。n （解析几何）抛物线。 准线、焦点、离心率 开口向右 n （圆锥曲线）抛物线。圆锥的截线。无坐标。n 四个不同的角度，四个不同的角度， 如何沟通起来，如何沟通起来， 才是需才是需要要“探究探究”“”“发现发现”“”“体验过程体验过程” ” ！ 双基平台（二） 综合性平台n综合练习 函数函数 y = x + 1/x y = x + 1/x 的研究的研究n 正比例函数和反比例函数之和n 函数图象：奇偶性， 单调性n 几何性质：双曲线n 不等式n 极值 双基平台（三）题型平台n 参数的取值范围问题。 设定义域为设定义域为R R的奇函数的奇函数f(x)f(x)是减函数，是减

29、函数， 当当0 0/2 /2 时，时， f(cos2+sin2)+ f(-f(cos2+sin2)+ f(-2m-2) 2m-2) 0, 0, 求求m m的的取值范围取值范围 n一类不等式的证明n 解析几何中的定值问题。n 应用问题的数学建模 五。 双基发展n 问题解决套路、推广，自己编题。n 数学思想方法。理性认识。n 探究数学的文化价值、美学意义n 强调应用， 数学建模 双基教学与高考n 高考对检验“双基”是合适的。n 田中等的工作： 对38道整式运算题要求学生在10分钟里尽量做， 看能完成多少。n 无数的测验和考试成绩， 只能反映双基， 无法衡量“创造”和“探究能力”。n 考试文化是一把双刃剑。2003年12月23日文汇报记者报道 弹萧邦要尽量多情。有时技巧是音乐的敌人弹萧邦要尽量多情。有时技巧是音乐的敌人。n记者：