模糊数学及其应用(1-3讲)

1、模糊数学及其应用模糊数学及其应用Fuzzy Mathematics and Its Applications 授课教师：史战红授课教师：史战红1.进一步了解和掌握数学的应用进一步了解和掌握数学的应用3.为写好一篇优秀的毕业论文做好准备为写好一篇优秀的毕业论文做好准备5.为研究生阶段写学术论文打下基础为研究生阶段写学术论文打下基础2.较好的完成较好的完成SRTP（大学生科研训练）项目（大学生科研训练）项目4.参加全国大学生数学建模竞赛参加全国大学生数学建模竞赛课程学时：课程学时：32课程学分：课程学分：2课程性质：公共选修课课程性质：公共选修课适用专业：全校各专业适用专业：全校各专业预修课程：高

2、等数学、线性代数预修课程：高等数学、线性代数 第一章第一章 模糊集的基本概念模糊集的基本概念 第二章第二章 模糊聚类分析模糊聚类分析第三章第三章 模糊综合评价模糊综合评价第四章第四章 模糊模式识别模糊模式识别第五章第五章 层次分析法和层次分析法和TOPSIS方法方法第六章第六章 模糊数学在数学建模中的应用模糊数学在数学建模中的应用 谢季坚，刘承平编著，谢季坚，刘承平编著，模糊数学方法模糊数学方法及其应用及其应用(第三版第三版) ，华中科技大学出，华中科技大学出版社版社, 2006 考试考核方式：考试考核方式： o 考勤占考勤占30分分o 上课笔记占上课笔记占30分（注：每人必须有一个笔记本）分

3、（注：每人必须有一个笔记本）o 课程论文课程论文40分分 模糊数学已在科技、工程等领域显示出了强大的生命模糊数学已在科技、工程等领域显示出了强大的生命力，并在人文科学（经济、管理、社会等）领域里，也力，并在人文科学（经济、管理、社会等）领域里，也已获得了相当多的应用。该课程主要介绍模糊数学的基已获得了相当多的应用。该课程主要介绍模糊数学的基本内容：模糊集合、模糊关系、模糊综合评价、模糊聚本内容：模糊集合、模糊关系、模糊综合评价、模糊聚类分析以及模糊数学在数学建模中的应用。类分析以及模糊数学在数学建模中的应用。 通过本课程的学习，使学生了解并初步掌握模糊数学通过本课程的学习，使学生了解并初步掌握

4、模糊数学的基本思想，基础理论和方法，并能够运用所学的知识的基本思想，基础理论和方法，并能够运用所学的知识解决实际问题，同时，通过介绍模糊数学在数学建模中解决实际问题，同时，通过介绍模糊数学在数学建模中的应用以培养和提高学生应用数学的思维、知识、方法的应用以培养和提高学生应用数学的思维、知识、方法解决实际问题的意识和能力。解决实际问题的意识和能力。模糊数学简介模糊数学简介1.什么是模糊？什么是模糊？年轻、热、美、厚、薄、快、慢、大、年轻、热、美、厚、薄、快、慢、大、小、高、低、长、短、强、弱、软、小、高、低、长、短、强、弱、软、硬硬2.为什么要研究模糊问题？为什么要研究模糊问题？（1）用传统数学

5、（经典集合）解决实际问题时往往会）用传统数学（经典集合）解决实际问题时往往会出现一些悖论出现一些悖论 如如：“秃顶悖论秃顶悖论”秃顶悖论秃顶悖论: 天下所有的人都是秃顶天下所有的人都是秃顶设头发根数为设头发根数为 nn=1 显然显然若若n=k 为秃子为秃子则则n=k+1 亦为秃子亦为秃子证明如下：证明如下：综上知对所有的综上知对所有的 n 结论成立结论成立o 模糊概念：是指从属于该概念到不属于该概模糊概念：是指从属于该概念到不属于该概念之间无明显分界线的概念念之间无明显分界线的概念出现这类问题的原因：出现这类问题的原因：“秃顶秃顶”是是模糊概念模糊概念（2）我们所处的生活中处处存在模糊）我们所

6、处的生活中处处存在模糊例如：要你到火车站去接一个例如：要你到火车站去接一个“大胡子大胡子高个子高个子长头发长头发戴戴宽边宽边黑色眼镜的黑色眼镜的中年中年男人男人”. 尽管这里只提供了一个精确信息尽管这里只提供了一个精确信息男人，而其他信息男人，而其他信息大胡子、高个子、长头发、宽边黑色眼镜、中年等都大胡子、高个子、长头发、宽边黑色眼镜、中年等都是模糊概念，但是你只要将这些模糊概念经过头脑的综合是模糊概念，但是你只要将这些模糊概念经过头脑的综合分析判断，就可以接到这个人分析判断，就可以接到这个人. 模糊数学就是用数学的办法去解决生活中模糊数学就是用数学的办法去解决生活中的模糊问题的模糊问题3.什

7、么是模糊数学？什么是模糊数学？其主要工具是：隶属函数、模糊矩阵其主要工具是：隶属函数、模糊矩阵1965年，年，Zadeh（扎德）提出（扎德）提出Fuzzy Sets4.模糊数学的起源模糊数学的起源拉特飞拉特飞 扎德（扎德（Lotfi A. Zadeh，1921 ）美国自动控制专家，美国工程科学院院士。美国自动控制专家，美国工程科学院院士。1921年年2月生于苏联巴库。月生于苏联巴库。 1949年获哥伦比亚大学电机年获哥伦比亚大学电机工程博士。现任伯克利加利福尼亚大学电机工程工程博士。现任伯克利加利福尼亚大学电机工程与计算机科学系教授。与计算机科学系教授。L. A. Zadeh, Fuzzy s

8、ets, Information and Control 8(3) (1965) 338-353.提供了一种分析复杂系统的新方法提供了一种分析复杂系统的新方法 ，标志，标志着模糊数学的诞生。着模糊数学的诞生。5.模糊数学的应用模糊数学的应用利用模糊数学和模糊逻辑，能很好地处理各种利用模糊数学和模糊逻辑，能很好地处理各种模糊问题。模糊问题。如计算机使用模糊数学，便能大大提高模式识如计算机使用模糊数学，便能大大提高模式识别能力，可模拟人类神经系统的活动。在工业别能力，可模拟人类神经系统的活动。在工业控制领域中，应用模糊数学，可使空调器的温控制领域中，应用模糊数学，可使空调器的温度控制更为合理，洗衣

9、机可节电、节水、提高度控制更为合理，洗衣机可节电、节水、提高效率效率 等等。等等。o 此外，模糊数学在气象、农业、军事等领域此外，模糊数学在气象、农业、军事等领域都有着广泛的应用都有着广泛的应用6.模糊数学在中国模糊数学在中国 在美国，日本，法国等世界数学强国相继在美国，日本，法国等世界数学强国相继研究模糊数学，并取得一些阶段性的进展研究模糊数学，并取得一些阶段性的进展的同时，的同时，1976年中国开始注意模糊数学的年中国开始注意模糊数学的研究研究 。1980年成立了中国模糊集与系统协会。年成立了中国模糊集与系统协会。1981年，年，创办创办模糊数学模糊数学杂志，杂志，1987年，创办了年，创

10、办了模模糊系统与数学糊系统与数学杂志。还出版过大量的颇有价杂志。还出版过大量的颇有价值的论著。例如：汪培庄教授所著值的论著。例如：汪培庄教授所著模糊集合模糊集合论及其应用论及其应用，张文修教授编著的，张文修教授编著的模糊数学模糊数学基础基础等。等。最后，不要认为自己数学基础不好而垂头丧气。其实：最后，不要认为自己数学基础不好而垂头丧气。其实：o 数学不好的数学不好的8个好处个好处：http:/ o 1. 数学不好的人都比较爱笑，因为没有数学就没有烦数学不好的人都比较爱笑，因为没有数学就没有烦恼。恼。o 2. 数学不好的人都比较天真烂漫，比较感性。数学不好的人都比较天真烂漫，比较感性。o 3.

11、数学不好的人都比较幽默，生活充满乐趣，感情和数学不好的人都比较幽默，生活充满乐趣，感情和想象力都比较丰富。想象力都比较丰富。o 4. 数学不好的人都比较直爽、实在，不会拐弯抹角。数学不好的人都比较直爽、实在，不会拐弯抹角。o 5. 数学不好的人通常长得比较好看。数学不好的人通常长得比较好看。o 6. 数学不好的人抗挫折能力都比较强。数学不好的人抗挫折能力都比较强。o 7. 数学不好的人比较喜欢付出数学不好的人比较喜欢付出,不求回报，不求回报，因为他们不会用数学方法去计算今天的因为他们不会用数学方法去计算今天的付出会不会给日后带来较大的收益。付出会不会给日后带来较大的收益。o 8. 数学不好的人

12、对于数字不敏感，不会数学不好的人对于数字不敏感，不会对人民币的面值斤斤计较。对人民币的面值斤斤计较。一一. . 经典集合经典集合(Cantor(Cantor集合集合) ) 经典集合具有两条基本属性：元素彼此相异，经典集合具有两条基本属性：元素彼此相异，即无重复性；范围边界分明即无重复性；范围边界分明, ,即一个元素即一个元素x要么属于要么属于集合集合A( (记作记作x A),),要么不属于集合要么不属于集合( (记作记作x A) )，二，二者必居其一者必居其一. .第一章第一章 模糊集的基本概念模糊集的基本概念-“非此即彼非此即彼”o 1.集合的表示法：集合的表示法： (1)枚举法，枚举法，A

13、=x1 , x2 , xn； (2)描述法，描述法，A=x | P(x).o 2.集合间的关系：集合间的关系： A B 若若x A，则则x B； A B 若若x B，则则x A； A=B A B且且 A B.o 3.集合间的运算：集合间的运算： 并集并集AB = x | x A或或x B ； 交集交集AB = x | x A且且x B ； 余集余集Ac = x | x A .o 4.集合的运算规律集合的运算规律(1)幂等律：幂等律： AA = A， AA = A；(2)交换律：交换律： AB = BA， AB = BA；(3)结合律：结合律：( AB )C = A( BC )， ( AB )C

14、 = A( BC )；(4)吸收律：吸收律： A( AB ) = A， A ( AB) = A；(5)分配律：分配律：( AB )C =( AC )( BC )； ( AB )C = ( AC )( BC )；(6)0-1律：律：AU = U ， AU = A ； A = A ， A = ；(7)还原律：还原律： (Ac)c = A ；(8)对偶律（摩根律）：对偶律（摩根律）： (AB)c = AcBc， (AB)c = AcBc； (9)排中律：排中律： AAc = U， AAc = ；U 为全集，为全集， 为空集为空集.0,( )1,AxAxxA 5.5.集合的特征函数：集合的特征函数：集

15、合集合 A A 的特征函数为的特征函数为注：注：集合集合 A 的特征函数为一个映射：的特征函数为一个映射： A(x)：U0,1特征函数与集合间的关系如下：特征函数与集合间的关系如下：; 0)(, 1)(xAxUAAA);()(xxBABA( )( )ABABxx)()()(xxxBABA)()()(xxxBABA)(1)(xxAAc表示：“取小取小”，表示：“取大取大”二二. . 模糊集合模糊集合(Fuzzy sets)(Fuzzy sets)1.定义定义 设设U是论域，称映射是论域，称映射 A(x)：U0,1确定了一个确定了一个U上的模糊子集上的模糊子集A，映射，映射A(x)称为称为A的的隶

16、属函数隶属函数，它表示，它表示x对对A的的隶属程度隶属程度. 注：注： （1）使使A(x) = 0.5的点的点x称为称为A的过渡点，此点的过渡点，此点最具模糊性最具模糊性. （2 2）当映射当映射A(x)只取只取0或或1时，模糊子集时，模糊子集A就是就是经典子集，而经典子集，而A(x)就是它的特征函数就是它的特征函数. 可见经典可见经典集合是模糊集合的特殊情形集合是模糊集合的特殊情形.例例1 设论域设论域U = x1 (140), x2 (150), x3 (160), x4 (170), x5 (180), x6 (190)(单位：单位：cm)表示人的身高，那么表示人的身高，那么U上的一个模

17、糊集上的一个模糊集“高高个子个子”(A)的隶属函数的隶属函数A(x)可定义为：可定义为：140190140)(xxA此即：此即：A(x1)=0, A(x2)=0.2,A(x3)=0.4, A(x4)=0.6, A(x5)=0.8, A(x6)=1例例1 1中的模糊集中的模糊集A A用用Zadeh表示法表示如下：表示法表示如下：65432118 .06 .04 .02 .00 xxxxxxAZadeh对模糊集的表示法：对模糊集的表示法：A=A(x1)/x1+A(x2)/x2+A(xn)/xno 还可用还可用向量表示法向量表示法：o A = (0, 0.2, 0.4, 0.6, 0.8, 1).

18、另外，对另外，对例例1 1还可以在还可以在U上建立一个上建立一个“矮个矮个子子”、“中等个子中等个子”等模糊子集等模糊子集. . 从上例可看出：从上例可看出： (1) (1) 一个有限论域可以有无限个模糊子集一个有限论域可以有无限个模糊子集, ,而经典子集是有限的而经典子集是有限的； (2) (2) 一个模糊子集的隶属函数的确定方法是一个模糊子集的隶属函数的确定方法是主观主观的的. . 隶属函数是模糊数学中最重要的概念之一，隶属函数是模糊数学中最重要的概念之一，模糊数学方法是在客观的基础上，特别强调主观模糊数学方法是在客观的基础上，特别强调主观的方法的方法. . 例例2 2 考虑年龄集考虑年龄

19、集U=0,100U=0,100，A=“A=“年老年老”，A A也是一个也是一个年龄集，年龄集，u = 20 u = 20 A A，40 40 呢？呢？扎德给出了扎德给出了 “ “年老年老” ” 模糊集的隶属函数模糊集的隶属函数: :10U50100如：A(70) =(1+1/16)-1 =16/17=0.9410050,)550(1 (500, 0)(12uuuuA例例3 B= = “年轻年轻”也是也是年龄集年龄集U=0,100 的一个模糊子集，的一个模糊子集，ZadehZadeh给出它的隶属函数为：给出它的隶属函数为： 102550UB（u）如：如：B(25)=1 B(30)=0.5 B(4

20、0)=0.1 B(50)=0.0410025,)525(1 (250, 1)(12uuuuB2.模糊集的运算模糊集的运算（1）相等）相等：A = B A(x) = B(x)；（2）包含）包含：A B A(x)B(x)；（3）交）交：AB的隶属函数为的隶属函数为 (AB)(x)=A(x)B(x)；（4）并：）并：AB的隶属函数为：的隶属函数为： (AB)(x)=A(x)B(x)；（5）余：）余：Ac的隶属函数为：的隶属函数为： Ac (x) = 1-A(x). 图例如下：图例如下：例4 设设U=U=x x1 1, ,x x2 2, ,x x3 3, ,x x4 4,A,A和和B B是是U U上的

21、两个模糊子集，且上的两个模糊子集，且：A=0.3/x1+0.5/x2+0.7/x3+0.4/x4B=0.5/x1+1/x2+0.8/x3则：则：Ac=0.7/x1+0.5/x2+0.3/x3+0.6/x4Bc=0.5/x1+0/x2+0.2/x3+1/x4AB=0.3/x1+0.5/x2+0.7/x3AB=0.5/x1+1/x2+0.8/x3+0.4/x4设设A，B，C为论域为论域U上的模糊子集，则有：上的模糊子集，则有：（1）幂等律：）幂等律：AA = A， AA = A；（2）交换律：）交换律：AB = BA，AB = BA；（3）结合律：）结合律：(AB)C = A(BC)， (AB)C

22、 = A(BC) ；（4）吸收律：）吸收律：A(AB) = A， A( AB)= A； （5）分配律：）分配律：(AB)C = (AC)(BC)； (AB)C = (AC)(BC)； 3.模糊集的运算律模糊集的运算律（6）0-1律：律： AU = U，AU = A； A = A，A = ；（7）还原律：）还原律： (Ac)c = A ；（8）对偶律：）对偶律：(AB)c = AcBc， (AB)c = AcBc。证明证明：（8）对偶律的证明：对于任意的对偶律的证明：对于任意的 x U (论域论域)， (AB)c(x) = 1 - (AB)(x) = 1 - (A(x)B(x) = (1 - A

23、(x)(1 - B(x) = Ac(x)Bc(x) = AcBc (x)从而有：从而有： (AB)c = AcBc注：注：模糊集的运算性质基本上与经典集合一致，模糊集的运算性质基本上与经典集合一致，但对于模糊集而言，但对于模糊集而言，排中律不成立排中律不成立，即，即AAc U， AAc .如：如：A=0.3/x1+0.5/x2+0.7/x3+0.4/x4 Ac=0.7/x1+0.5/x2+0.3/x3+0.6/x4 AAc=0.7/x1+0.5/x2+0.7/x3+0.6/x4U 即：模糊集不再具有即：模糊集不再具有“非此即彼非此即彼”的特点，的特点，这正是模糊性带来的本质特征这正是模糊性带来

24、的本质特征. . 例例5 设论域设论域U = x1, x2, x3, x4, x5(商品集商品集)，在，在U上定义两个模糊集：上定义两个模糊集： A =“商品质量好商品质量好”， B =“商品质量坏商品质量坏”，并设，并设A = (0.8, 0.55, 0, 0.3, 1)，B = (0.1, 0.21, 0.86, 0.6, 0).则则Ac=“商品质量不好商品质量不好”, Bc=“商商品质量不坏品质量不坏”.Ac= (0.2, 0.45, 1, 0.7, 0).Bc= (0.9, 0.79, 0.14, 0.4, 1).可见可见Ac B, Bc A. 不再具有不再具有“非非此即彼此即彼”的特

25、的特点点 A = x | A(x) 3. - -截集：截集： 模糊集的模糊集的 - -截集截集A 是一个经典集合，是一个经典集合，由隶属由隶属度不小于度不小于 的成员构成的成员构成. . 称为阈值或置信水平称为阈值或置信水平 例例6 论域论域U=u1, u2, u3, u4 , u5 , u6（学生集），（学生集），其成绩依次为其成绩依次为50,60,70,80,90,95（分），（分），模糊集模糊集A=“成绩好的学生成绩好的学生”，其隶属度分别为：，其隶属度分别为：0.5,0.6,0.7,0.8, 0.9,0.95，则，则A0.9 = u5 , u6, (90分以上者分以上者) A0.6 =

26、 u2, u3, u4 , u5 , u6. (60分以上者分以上者) 注：注： 设设A, B是论域是论域U 上的两个模糊子集上的两个模糊子集， , ,0,1，于是有如下，于是有如下 - -截集的性质：截集的性质：(1) B A B A ；(2) A A ；(3) (AB) = A B ， (AB) = A B . 见下图：见下图：A(x)B(x)ABx(1) B A B A ；A(x)Ax(2) A A A4.1 隶属函数的确定隶属函数的确定1. 模糊统计方法模糊统计方法 如：对如：对“年轻人年轻人”的认识，可进行抽样统计的认识，可进行抽样统计。 2. 指派方法（专家经验法）指派方法（专家经验法） 一种主观方法，一般给出隶属函数的解析表达式。一种主观方法，一般给出隶属函数的解析表达式。4.隶属函数隶属函数亩产亩产（kg）200250300350400450500550700800频数频数81833517696111114121