数学物理方程分离变量法 ppt课件

1、数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法第二章第二章 分离变量法分离变量法一、有界弦的自由振动二、有限长杆上的热传导三、拉普拉斯方程的定解问题四、非齐次方程的解法五、非齐次边界条件的处理六、关于二阶常微分方程特征值问题的一些结论数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法基本思想：基本思想：（1求出具有变量分离形式且满足边界条件的解求出具有变量分离形式且满足边界条件的解; 特点：偏微分方程化为常微分方程特点：偏微分方程化为常微分方程（2由叠加原理作出这些解的线性组合；由叠加原理作出这些解的线性组合； 特点：叠加原理特点：叠

2、加原理（3由其余的定解条件确定叠加系数。由其余的定解条件确定叠加系数。适用范围：适用范围：波动问题、热传导问题、稳定场问题等波动问题、热传导问题、稳定场问题等22222,0,0(0, )0,( , )0,0( ,0)( ,0)( ),( ),0uuaxl ttxutu l ttu xu xxxxlt 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法, 02qrprxrxreCeCy212121rr 实根实根 221prrxrexCCy1)(21ir,21)sincos(21xCxCeyx特特 征征 根根通通 解解求方程的通解的步骤为：求方程的通解的步骤为： (1)

3、写出微分方程的特征方程写出微分方程的特征方程 (2)求出特征根求出特征根 ， (3)根据特征根的情况按下表写出所给微分方程根据特征根的情况按下表写出所给微分方程的通解。的通解。 0 qyypy21, rr二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法20,r 1212r xr xyC eC e 120,0rr 12()yCC x 12(cossin)yCxCx 特特 征征 根根通通 解解求方程的通解的步骤为：求方程的通解的步骤为： (1)写出微分方程的特征方程写出微分方程的特征方程 (2)求出特征根求出特征根

4、， (3)根据特征根的情况按下表写出所给微分方程根据特征根的情况按下表写出所给微分方程的通解。的通解。 0yy 21, rr二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程120,rr 实实根根120,rri 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法解：步骤解：步骤1，求出具有变量分离形式且满足边界条件的解。，求出具有变量分离形式且满足边界条件的解。 令令( , )( ) ( )u x tX x T t带入方程：带入方程：2( ) ( )( ) ( )X x Tta Xx T t2( )( )( )( )XxTtX xa T t 令令2( )( )0(

5、 )( )0XxX xTta T t带入边界条件带入边界条件(0) ( )0,( ) ( )0XT tX l T t(0)0,( )0XX l22222,0,0(0, )0,( , )0,0( ,0)( ,0)( ),( ),0uuaxl ttxutu l ttu xu xxxxlt 1 求两端固定的弦自由振动的规律求两端固定的弦自由振动的规律一一 有界弦的自由振动有界弦的自由振动数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法( )( )0(0)0,( )0XxX xXX l分情况讨论：01）( )xxX xAeBe 00llABAeBe 00ABX02）( )

6、X xAxB00ABX( )cossinX xAxBx0sin0ABl03） 令 ， 为非零实数 2(1,2,3,)nnl222(1,2,3,)( )sin(1,2,3,)nnnnnlnXxBxnl222nl特征值问题特征值与特征函数数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法2222 ( )( )0nna nTtT tl( ) cos sin(1,2,3,)nnnn atn atT tCDnll( , )(cossin)sin(1,2,3,)nnnn an anux tCtDtxnlll11( , )( , )(cossin)sin(1,2,3,)nnnnn

7、u x tux tn an anCtDtxnlll2( )( )0( )( )0XxX xTta T t22222,0,0(0, )0,( , )0,0( ,0)( ,0)( ),( ),0uuaxl ttxutu l ttu xu xxxxlt 222(1,2,3,)nnnl( )sin(1,2,3,)nnnXxBxnl步骤步骤2，叠加原理做出解的线性组合。，叠加原理做出解的线性组合。 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法01( , )( ,0)sin( )ntnnu x tu xCxxl10( , )sin( )nntu x tn anDxxtll

8、1sin)sincos(nnnxlntlanDtlanCu2001 cos 2/sindd22llnlnlx xxl001sinsindcoscosd02llnmnmnmxx xxxxllll xxlmxlnCxxlmxlnnldsinsindsin)(010 mCl2lmxxlmxlC0dsin)(2lnxxlnxanD0dsin)(2lnxxlnxlC0dsin)(2步骤步骤3，其余的定解条件求出系数。，其余的定解条件求出系数。 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法)()(),(tTxXtxu2/lnnxlnBxXnnsin)(tlanDtlanC

9、Tnnnsincos1sin)sincos(nnnxlntlanDtlanC11nnnnnTXuulnxxlnxanD0dsin)(2lnxxlnxlC0dsin)(20 XX02 TaT分离变量求特征值和特征函数求另一个函数求通解确定常数分离变量法可以求解具有齐次边界条件的齐次偏微分方程。 lxxtxuxxuttlututlxxuatu0),()0 ,(),()0 ,(0, 0),(, 0), 0(0,0,22222数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法2 解的性质 x=x0时：( , )(cossin)sinnnnn an anux tCtDtxll

10、l其中：22arctannnnnnnnDn aACDlC00(, )sincos()nnnnnux tAxtlcos()sinnnnnAtxlxlnsin驻波法 2nlnlt=t0时：00( , )cos()sinnnnnnux tAtxl(1,2,3,)n 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法驻波法： 研究的弦是有限长的，它有两个端点，波就在两个端点之间往复反射。驻波：两列反向行进的同频率的波形形成驻波。波腹：振幅最大的点; 节点：振幅最小的点( )( ):tT tXxXxX x 驻波没有波形传播现象，即各点振动周期并不依次滞后，它们按同一方式随时间

11、 震动，可以统一表示为，但是各点的振幅 却随点 而异，即振幅是 的函数，这样，驻波的一般表示式为( , )( ) ( )u x tX x T t 0,( / ),2( / ),., ( / ),/0, ,2 ,.,( )sin0/ ,2 /xl nl nn l nln x lnn xX xl nll n在即 这些点相应的从而振幅，这些点正是节点。两相邻节点间隔应为半个波长，由此可见驻波的波长。数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法 102/ 212 /1/ ,/ 2nxxllalnnnl nnnaln的驻波除两端和外没有其他节点，它的波长在所有本征振动中

12、是最长的；相应地，它的频率在所有本征振动中是最低的。这个驻波叫做基波。的各个驻波分别叫做 次谐波。次谐波的波长是基波的频率则是基波的 倍。傅里叶级数法数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法例1：设有一根长为10个单位的弦，两端固定，初速为零，初位移为 ，求弦作微小横向振动时的位移。( )(10) 1000 xxx)()(),(tTxXtxuTXTX 410TTXX 41010 XX0104 TT0)()0(), 0(tTXtu 0)10(, 0)0(100, 0XXxXX0)0(X0)()10(),10(tTXtu0)10(X100, 0)0 ,(,10

13、00)10()0 ,(0, 0),10(), 0(0,100,1022422xtxuxxxuttututxxutu解：数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法 0)10(, 0)0(100, 0XXxXX20 02 XX1010(0)0( )0XABX lAeBe0 BA0)(xXxxBeAexX)(0BAxxX)(0 BA0)(xX0 X20(0)0(10)sin100XAXB, 3 , 2 , 1,10/nnn100/22nnxnBxXnn10sin)(xBxAxXsincos)(02 XX数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变

14、量法章分离变量法, 3 , 2 , 1,100/22nnnxnBxXnn10sin)(0104 TT010022 nnTnTtnDtnCTnnn10sin10cos1110sin)10sin10cos(nnnnnxntnDtnCuunnnTXu )10sin10cos(10sintnDtnCxnBnnnxntnDtnCnn10sin)10sin10cos(100, 0)0 ,(,1000)10()0 ,(0, 0),10(), 0(0,100,1022422xtxuxxxuttututxxutu0 XX0104 TT数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法

15、110sin)10sin10cos(nnnxntnDtnCu1000)10(10sin)0 ,(1xxxnCxunn0sin)0 ,(1nnxlnlanDtxu0nD100d10sin1000)10(102xxnxxCn13310) 12(sin) 12(10cos) 12(54nxntnnu100d10sin)10(50001xxnxx)cos1 (5233nn为奇数，为偶数，nnn33540100, 0)0 ,(,1000)10()0 ,(0, 0),10(), 0(0,100,1022422xtxuxxxuttututxxutu数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离

16、变量法章分离变量法弦的振动振幅放大100倍，红色、蓝色、绿色分别为n=1,2,3时的驻波。数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法)()(),(tTxXtxu2XTa X T21XTXaT0 XX20Ta T0)()0(), 0(tTXtu0,010(0)0,( )0XXxXX l0)0(X( , )( ) ( )0u l tX l T tx( )0X l222222,0,0( , )(0, )0,0,0( ,0)( ,0)2 ,0,0uuaxl ttxu l tuttxu xu xxlxxlt解：例2求下列定解问题数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊

17、函数第第2 2章分离变量法章分离变量法0,0(0)0,( )0XXxlXX l20 02 XX(0)0( )0llXABX lA eB e0 BA0)(xXxxBeAexX)(0BAxxX)(0 BA0)(xX0 X20(0)0( )cos0XAX lBl(21)/2 ,1,2,3,nnln222(21)/4nnl(21)( )sin2nnnXxBxlxBxAxXsincos)(02 XX数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法222(21)/4nnl(21)( )sin2nnnXxBxl20Ta T2222(21)04nnnaTTl(21)(21)cos

18、sin1,2,3,22nnnnanaTCtDtnll11(21)(21)(21)(cossin)sin222nnnnnnananuuCtDtxlllnnnTXu (21)(21)(21)(cossin)sin222nnnananCtDtxlll222222,0,0( , )(0, )0,0,0( ,0)( ,0)2 ,0,0uuaxl ttxu l tuttxu xu xxlxxlt0 XX20Ta T数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法1(21)(21)(21)(cossin)sin222nnnnananuCtDtxlll21(21)( ,0)sin

19、22nnnu xCxxlxl1( ,0)(21)(21)sin022nnu xnanDxtll0nD202(21)(2 )sind2lnnCxlxx xll2331321(21)(21)cossin(21)22nlnanutxnll 23332(21)ln 2( ,0)( ,0)2 ,0u xu xxlxt初始条件数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法222222,0,0( , )(0, )0,0,0( ,0)( ,0)2 ,0,0uuaxl ttxu l tuttxu xu xxlxxlt2331321(21)(21)cossin(21)22nlnan

20、utxnll 若l=1,a=10时的震动。数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法上述方程实际是个单簧管振动模型直径均匀的细管，一端封闭，一端开放0202(0, )( ,2 )|0,|0, |0|0|0sin,2|0sin)|cos222(21)cossin22xxx lxlxxlxx lx lllluuuuun xnln xnnunllnkn xnl把函数从区间偶延拓到区间上。延拓后，条件是和决定了本征函数为：是整数限制了整数 只能是奇数，因为(若 是偶数，则并不等于零。所以本征函数为数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分

21、离变量法)()(),(tTxXtxuTXTX TTXX 0 XX0 TT0)() 1 (), 1 (0)()0(), 0(tTXtutTXtu0) 1 (, 0)0(XX 0) 1 (, 0)0(10, 0XXxXX10, 0)0 ,(,sin)0 ,(0, 0), 1 (), 0(0, 10,2222xtxuxxuttututxxutu例3 求下列定解问题解：数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法 0) 1 (, 0)0(10, 0XXxXX0202 XX(0)0(1)0XABXAeBe0 BA0)(xXxxBeAexX)(0BAxxX)(0 BA0)

22、(xX0 X02xBxAxXsincos)(0sin) 1 (, 0)0(BXAX, 3 , 2 , 1,nnn22nnxnBxXnnsin)(02 XX10, 0)0 ,(,sin)0 ,(0, 0), 1 (), 0(0, 10,2222xtxuxxuttututxxutu数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法, 3 , 2 , 1,22nnnxnBxXnnsin)(0 TT022 nnTnTtnDtnCTnnnsincos11sin)sincos(nnnnnxntnDtnCuunnnTXu )sincos(sintnDtnCxnBnnnxntnDt

23、nCnnsin)sincos(xxnCxunnsinsin)0 ,(10sin)0 ,(1nnxnnDtxu0nD1011nnCn，xtusincos10, 0)0 ,(,sin)0 ,(0, 0), 1 (), 0(0, 10,2222xtxuxxuttututxxutu数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法10, 0)0 ,(,sin)0 ,(0, 0), 1 (), 0(0, 10,2222xtxuxxuttututxxutuxtusincos数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法lxxxuttlututlx

24、xuatu0),()0 ,(0, 0),(, 0), 0(0,0,222)()(),(tTxXtxuXTaXT 2002 TaTXX 0)(, 0)0(00lXXlxXXXXTaT 20)()(),(0)()0(), 0(tTlXtlutTXtu0)(, 0)0(lXX令令带入方程：带入方程：令令例例4 求下列定解问题求下列定解问题解：解：二二 有限长杆上的热传导有限长杆上的热传导数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法 0)(, 0)0(00lXXlxXX0202 XXxxBeAeX0X00 XBAxX0X 0202 XXxBxAXsincoslnnxl

25、nBXnnsin0)0(BAX0)( llBeAelX0 BA0)0( AX0sin)(lBlX, 3 , 2 , 1,22nlnnn数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法lxxxuttlututlxxuatu0),()0 ,(0, 0),(, 0), 0(0,0,22202TaT02222nnTlnaTtlnanneAT2222nnnTXu 11sin2222ntlnannnxlneCuuxlneBAtlnannsin22222222sina ntlnnnuC exlxlnBXnnsin, 3 , 2 , 1,22nlnnn1sin)()0 ,(nnx

26、lnCxxuxxlnxlClndsin)(20数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法三三 拉普拉斯方程的定解问拉普拉斯方程的定解问题题axxbxuxxubyyauyubyaxyuxu0),(),(),()0 ,(0, 0),(), 0(0 ,0, 02222XYu 0 YXYXYYXX 0 XX0 YY 0)()0(0, 0aXXaxXX0)()(),(0)()0(), 0(yYaXyauyYXyu0)(, 0)0(aXX1 1 直角坐标系下的拉普拉斯问题直角坐标系下的拉普拉斯问题解：解：矩形区域数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分

27、离变量法章分离变量法axxbxuxxubyyauyubyaxyuxu0),(),(),()0 ,(0, 0),(), 0(0 ,0, 02222 0)()0(0, 0aXXaxXX0202 XXxxBeAeX0X0)0(BAX0)( aaBeAeaX0 BA00 XBAxX0X0202 XXxBxAXcossinannxanAXnnsin0)0( BX0sin)(aAaX, 3 , 2 , 1,22nannn数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法axxbxuxxubyyauyubyaxyuxu0),(),(),()0 ,(0, 0),(), 0(0 ,0

28、, 02222xanAXnnsin, 3 , 2 , 1,2nann0 YY0222 nnYanYyannyannneDeCYnnnYXu 1nnuu1sinnyannyannxaneDeCxaneDeCyannyannsinsinnnyyaannnnnuC eD eAxa数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法axxbxuxxubyyauyubyaxyuxu0),(),(),()0 ,(0, 0),(), 0(0 ,0, 022221sinnyannyannxaneDeCuxanDCxxunnn1sin)()0 ,(xaneDeCxbxunabnnabn

29、n1sin)(),(xxanxaDCnndsin)(2a0 xxanxaeDeCabnnabnndsin)(2a0022( )( ) sind1n baann banx exx xaaCe022( )( ) sind1n baann banx exx xaaDe数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法22222222220,( , )xyauuxyaxyuf x y222110,0,02( , )( )( , )( ,2 )(0, )uuau afuuu 有限值cossinxy解：令，解：令，2 2 圆域内的拉普拉斯问题圆域内的拉普拉斯问题圆形区域数学物理

30、方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法第一步：求满足齐次方程、周期边值条件和第一步：求满足齐次方程、周期边值条件和原点约束条件的变量分离形式的解原点约束条件的变量分离形式的解(,)()( )uR 把上式代入微分方程可得：把上式代入微分方程可得：2110RRR 即即2RRR 从而，我们可得到常微分方程：从而，我们可得到常微分方程：数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法0( )(2 ) 20(0)RRRR有限值 与：与：周期本征值问题周期本征值问题欧拉方程欧拉方程20RRR0 再利用定解条件可得：再利用定解条件可得：数学物理方

31、程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法第二步：求解周期本征值问题和欧拉方程第二步：求解周期本征值问题和欧拉方程0( )(2 ) 2( )cossin0,1,2,nnnnnanbnn20(0)RRRR有限值( ),0,1,2,nnnR rcn数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法第三步：利用叠加原理和边界条件求得原定第三步：利用叠加原理和边界条件求得原定解问题的解解问题的解01(,)cossinnnnnuaanbn 20020201( )21( )cos1( )sinnnnnafdafn dabfn da 再利用边界条件，有再

32、利用边界条件，有:数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法20,cos),(20 , 01100222uuu)2 ,()0 ,(uu),(u( , )( ) ( )u 0112 0112 21120 0 )2()0( )2()0(20, 0)()2()()0(例例5 求下列定解问题求下列定解问题解：解：数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法20,cos),(20 , 01100222uuu )2()0(20, 00202 BeAe000 AB00A02sincosBAnn, 3 , 2 , 1,22nnnnnBnAn

33、nnsincos02 欧拉方程 lntet令ddd1 ddd ddPPtPtt 222d1 d1dd()()ddddPPPttt 0 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法20,cos),(20 , 01100222uuu000A, 3 , 2 , 1,2nnnnBnAnnnsincos000000lnCD tCD 0C02 nntntnnnnnnnC eD eCD nnC000unnnu100sincosnnnnnnnFnEEuu000ECAnnnnnnnnFnECnBnAsincossincos1000sincoscos),(nnnnnFnEEu01

34、Ecos0u其它为零0 02 数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法22222yuxuu22,arctanyxxysin,cos221cos,sin/1122222yxyxxyxyxyxuu2222222222222sincoscos2sinsinuuuuuyuxuxuxu2222222222222sinsinsin2sincosuuuuuxuuuuyuxu11222222222cossinuuyuyuyusincosuu22211uu附附录录：数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法四四 非齐次方程的解法非齐次方程

35、的解法求下列定解问题求下列定解问题方程是非齐次的，是否可以用分离变量法？方程是非齐次的，是否可以用分离变量法？22222( , ),0,0(0, )( , )0,0( ,0)( ,0)( ),( ),0uuaf x txl ttxutu l ttu xu xxxxlt非齐次方程的求解思路非齐次方程的求解思路用分解原理得出对应的齐次问题用分解原理得出对应的齐次问题解出齐次问题解出齐次问题求出任意非齐次特解求出任意非齐次特解叠加成非齐次解叠加成非齐次解考虑考虑数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法2222222222( , ),0,0,(0, )( , )0,(0, )( , )0,0,( ,0)( ,0)( ,0)( ),( )( ,0)0,0,WWVVaaf x txl ttxtxWtW l tVtV l ttW xV xW xxxV xxltt22222( , ),0,0(0, )( , )0,0( ,0)( ,0)( ),( ),0uuaf x txl ttxutu l ttu xu xxxxlt( , )( , )( , )u x tV x tW x t令：令：数学物理方程与特殊函数数学物理方程与特殊函数第第2 2章分离变量法章分离变量法1( )sinnnnVv txl),(sin)(sin)