概论：印象数学

1、 调查结果：调查结果：(1) (1) 数学是重要的，同时又是抽象和枯燥的。数学是重要的，同时又是抽象和枯燥的。(2) (2) 学数学意味着在题海中沉浮。学数学意味着在题海中沉浮。(3) (3) 数学是深奥的枯燥理论和艰涩难懂符号的堆彻。数学是深奥的枯燥理论和艰涩难懂符号的堆彻。 数学是机械记忆和解题训练加黑板上令人昏昏欲数学是机械记忆和解题训练加黑板上令人昏昏欲 睡的讲解睡的讲解(5) (5) 数学只给我们压力，不给我们魅力。数学只给我们压力，不给我们魅力。 “数学是壮丽多彩，千姿百数学是壮丽多彩，千姿百态，引人入胜的态，引人入胜的”-华罗庚华罗庚 “正确地说，数学不仅拥有正确地说，数学不仅拥

2、有真理，而且还拥有极度的真理，而且还拥有极度的美美一种冷静和朴素的一种冷静和朴素的美，犹如雕塑那样，虽然美，犹如雕塑那样，虽然没有任何诱惑我们脆弱本没有任何诱惑我们脆弱本性的内容，没有绘画或音性的内容，没有绘画或音乐那样华丽的外衣。但是，乐那样华丽的外衣。但是，却显示了极端的纯粹和只却显示了极端的纯粹和只有伟大的艺术才能表现出有伟大的艺术才能表现出来的严格的完美。来的严格的完美。” ” 罗素认识到了数学中得美，他也曾尽力描绘出这种美：罗素认识到了数学中得美，他也曾尽力描绘出这种美： 数学是大千世界永恒的语数学是大千世界永恒的语言言 朝辞白帝彩云间，千里江陵一日还，朝辞白帝彩云间，千里江陵一日还

3、，两岸猿声啼不住，轻舟已过万重山。两岸猿声啼不住，轻舟已过万重山。飞流直下三千尺，疑是银河落九天，飞流直下三千尺，疑是银河落九天，数学内在美数学内在美 对称美对称美（一）数和式的对称美，如二项式定理，杨辉三（一）数和式的对称美，如二项式定理，杨辉三角。角。（二）图形的对称美。如毕达哥拉斯学派认为，（二）图形的对称美。如毕达哥拉斯学派认为，一切空间图形中，最美的是球形；一切平面图形一切空间图形中，最美的是球形；一切平面图形中，最美的是圆形。圆是中心对称圆形中，最美的是圆形。圆是中心对称圆形圆心圆心是它的对称中心，原也是轴对称图形是它的对称中心，原也是轴对称图形任何一任何一条直径都是它的对称轴。条

4、直径都是它的对称轴。（三）数学思想和方法的对称美。如分析法和综（三）数学思想和方法的对称美。如分析法和综合法，直接法和反证法，逻辑思维和逆向思维等。合法，直接法和反证法，逻辑思维和逆向思维等。（一）有一些数字，往往要通过计算。通过不同（一）有一些数字，往往要通过计算。通过不同数字的组合，可以得到一些非常奇妙的排列，数字的组合，可以得到一些非常奇妙的排列，令人看后叫绝，回味无穷。令人看后叫绝，回味无穷。 111 1111121 11111112321 111111111234321 1111111111123454321 11111111111112345654321 1111111111111

5、11234567654321 1111111111111111123456787654321 11111111111111111112345678987654321 99788 9896888 987958888 98769488888 9876593888888 987654928888888 98765439188888888 9876543290888888888 19211 1293111 123941111 12349511111 1234596111111 123456971111111 12345679811111111 1234567899111111111 123456789

6、9101111111111 9981 99999801 999999998001 9999999999980001 99999999999999800001 999999999999999998000001 9999999999999999999980000001 1819 128298 12383987 1234849876 123458598765 12345686987654 1234567879876543 123456788898765432 12345678989987654321 （二）在自然界中，许多美的东西（二）在自然界中，许多美的东西都具有对称性，比如花卉、叶片、都具有对称

7、性，比如花卉、叶片、动物、艺术品、建筑物等。动物、艺术品、建筑物等。 （三）在数学中，很多曲线和（三）在数学中，很多曲线和曲面曲面，比如，比如二次曲线、二次曲线、双纽线双纽线、玫瑰线玫瑰线、雪花曲雪花曲线线等等，也具有对称性。等等，也具有对称性。Copyright by ARTCOM PT All rights reserved.www.art-com.co.krCompany LogoLogo 著名的黄金分割比，即著名的黄金分割比，即.6.618033981803398被达被达 芬奇称为芬奇称为 “神神圣比例圣比例”他认为他认为“美感完全建美感完全建立在各部分之间神圣的比例关系立在各部分之间

8、神圣的比例关系上上”。 维纳斯的美被所有人所公认，她维纳斯的美被所有人所公认，她的身材比也恰恰是黄金分割比。的身材比也恰恰是黄金分割比。 Copyright by ARTCOM PT All rights reserved.www.art-com.co.krCompany LogoLogol在正五在正五边边形中，形中，边长与对边长与对角角线长线长的比是的比是黄黄金分割比。金分割比。黄黄金分割比在金分割比在许许多多艺术艺术作品中、作品中、在建筑在建筑设计设计中都有广泛的中都有广泛的应应用。巴黎用。巴黎圣圣母母院、北京故院、北京故宫宫的的构图构图都融入了都融入了黄黄金分割的金分割的匠心；孕育着生命

9、的水，液匠心；孕育着生命的水，液态态的的温温度范度范围围是是0 0100100度，其度，其两个黄两个黄金分割点之一的金分割点之一的温温度度为为3838度左右，正度左右，正与与人体正常体人体正常体温温吻合；吻合；人的人的脑电图脑电图波，若高低波，若高低频频率之比率之比为为1 1：0 0618618时时，则则是身心愉是身心愉悦悦的的时时刻刻真真是奇妙无比是奇妙无比 又如：在椭圆：又如：在椭圆： 中，记左焦点为中，记左焦点为F，右顶点为，右顶点为A，短轴上方的端点为短轴上方的端点为B，若该椭圆的离，若该椭圆的离心率为心率为 则则 ABF 。这样的椭圆不妨称。这样的椭圆不妨称之为之为“优美椭圆优美椭圆

10、”。222210 xyabab512e2Oyx 数学是一门同人民大众贴得很近的学科，数学是一门同人民大众贴得很近的学科，它所讨论的宇宙，远比现实的所谓宇宙它所讨论的宇宙，远比现实的所谓宇宙宏伟雄大。通常所说的宇宙只是三维空宏伟雄大。通常所说的宇宙只是三维空间，而数学则建立起了四维、五维乃至间，而数学则建立起了四维、五维乃至n n维空间，并且，集合论的超限数的空间，维空间，并且，集合论的超限数的空间，远远超过了通常无穷大的空间，它们都远远超过了通常无穷大的空间，它们都远比我们现实的宇宙更具有庄严美、雄远比我们现实的宇宙更具有庄严美、雄伟美。伟美。 那晶莹剔透的雪花曾引起无数诗人的那晶莹剔透的雪花

11、曾引起无数诗人的赞叹。但若问起雪花的形状是怎样的，能赞叹。但若问起雪花的形状是怎样的，能回答上来的同学不一定很多。也许有人会回答上来的同学不一定很多。也许有人会说，雪花是六角形的，这既对，但又不完说，雪花是六角形的，这既对，但又不完全对。雪花到底是什么形状呢？全对。雪花到底是什么形状呢？1904年瑞年瑞典数学家科赫讲述了一种描述雪花的方法。典数学家科赫讲述了一种描述雪花的方法。雪花到底是什么形状雪花到底是什么形状? ?先画一个等边三角形，把边长为原来三角形边长的三分之先画一个等边三角形，把边长为原来三角形边长的三分之一的小等边三角形选放在原来三角形的三条边上，由此得一的小等边三角形选放在原来三

12、角形的三条边上，由此得到一个六角星；再将这个六角星的每个角上的小等边三角到一个六角星；再将这个六角星的每个角上的小等边三角形按上述同样方法变成一个小六角星形按上述同样方法变成一个小六角星如此一直进行下如此一直进行下去，就得到了雪花的形状。去，就得到了雪花的形状。 从上面的描述过程我们可以看出：原来雪花的从上面的描述过程我们可以看出：原来雪花的每一部分经过放大都可以与它的整体一模一样，每一部分经过放大都可以与它的整体一模一样，小小的雪花竟然有这么多学问。现在已经有了小小的雪花竟然有这么多学问。现在已经有了一个专门的数学学科来研究像雪花这样的图形，一个专门的数学学科来研究像雪花这样的图形，这就是这

13、就是20世纪世纪70年代由美国计算机专家曼德布年代由美国计算机专家曼德布罗特创立的分形几何。所谓分形几何就是研究罗特创立的分形几何。所谓分形几何就是研究不规则曲线的几何学。目前分形几何已经在很不规则曲线的几何学。目前分形几何已经在很多领域得到了应用。多领域得到了应用。1 1、数学史上的三次危机的产生、数学史上的三次危机的产生第一次数学危机第一次数学危机无理数的产生无理数的产生希伯索思根据勾股定理通过逻辑推理发现，边长为希伯索思根据勾股定理通过逻辑推理发现，边长为1 1的的正正方形的对角线长度既不是整数，也不是整数方形的对角线长度既不是整数，也不是整数的比所能表示，这个发现使古希腊数学家们感到惊

14、的比所能表示，这个发现使古希腊数学家们感到惊奇不安，这意味着边长为奇不安，这意味着边长为1 1的正方形的对线长度的正方形的对线长度竟竟然不能用任何然不能用任何“数数”表示出来表示出来 第二次数学危机第二次数学危机无穷小是零吗？无穷小是零吗？ 牛顿在求牛顿在求xnxn的导数时，采取了先给的导数时，采取了先给x x以增量，应以增量，应用二项式（用二项式（x+0 x+0）n n，从中减去，从中减去xnxn以求得增量，并以求得增量，并除以以求出除以以求出xnxn的增量与的增量与x x的增量之比，然后又让的增量之比，然后又让消逝，这样得出增量的最终比。这里牛顿做了消逝，这样得出增量的最终比。这里牛顿做了

15、违反矛盾律的手续违反矛盾律的手续先设先设x x有增量，又令增量为有增量，又令增量为零，也即假设零，也即假设x x没有增量。没有增量。“他认为无穷小他认为无穷小dxdx既等既等于零又不等于零，召之即来，挥之即去，真是荒于零又不等于零，召之即来，挥之即去，真是荒谬谬 由此而引起了数学界甚至哲学界长达一个半世纪的由此而引起了数学界甚至哲学界长达一个半世纪的争论。导致了数学史上的第二次数学危机。争论。导致了数学史上的第二次数学危机。第三次数学危机第三次数学危机-悖论的产生悖论的产生 罗素于罗素于19191919年给出的，它涉及到某村理发师的困境。年给出的，它涉及到某村理发师的困境。理发师宣布了这样一条

16、原则：他给所有不给自己刮脸理发师宣布了这样一条原则：他给所有不给自己刮脸的人刮脸，并且，只给村里这样的人刮脸。当人们试的人刮脸，并且，只给村里这样的人刮脸。当人们试图回答下列疑问时，就认识到了这种情况的悖论性质：图回答下列疑问时，就认识到了这种情况的悖论性质： 理发师是否自己给自己刮脸？理发师是否自己给自己刮脸？ 如果他不给自己刮脸，如果他不给自己刮脸，那么他按原则就该为自己刮脸；如果他给自己刮脸，那么他按原则就该为自己刮脸；如果他给自己刮脸，那么他就不符合他的原则。那么他就不符合他的原则。 2、哥德巴赫猜想与质数问题、哥德巴赫猜想与质数问题“任何不小于任何不小于6 6的偶数都是两个奇质数的和

17、的偶数都是两个奇质数的和”，这个命，这个命题叫做哥德巴赫猜想。题叫做哥德巴赫猜想。19371937年，苏联数学家维诺格拉夫证明年，苏联数学家维诺格拉夫证明“充分大的充分大的奇数可以表示为三个质数之和奇数可以表示为三个质数之和”，由此推出每一，由此推出每一个充分大的正整数都是四个质数之和个充分大的正整数都是四个质数之和 19381938年，我国数学家华罗庚证明了年，我国数学家华罗庚证明了“几乎全部偶数都几乎全部偶数都能表示成两个质数之和能表示成两个质数之和” ” 1966年，我国数学家陈景润证明了年，我国数学家陈景润证明了“每一个充分大每一个充分大的偶数都能表示为一个质数及一个不超过二个质数的偶

18、数都能表示为一个质数及一个不超过二个质数之乘积之和之乘积之和”，就是著名的，就是著名的“1+2”，但离最后还有，但离最后还有一步之遥。一步之遥。有一位科学家说：“感受到自然和人类的美，并用美丽的语言讴歌她，这就是诗歌；用美丽的色彩和形态去表现她，这就是绘画；而感受到存在于数与形的美，并以理智引导下的证明去表现她，这就是数学。” “数学，不但拥有真理，而且也具有至上的美。这种美没有绘画或音乐那些华丽的装饰，她可以纯净到崇高的地步，能够达到严格的只有最伟大的艺术才能显示的那种完满的境地。”数学就是这样一门“既美而又真”的科学。数学在各领域中的应用 研究军事密码编制和破译技术的学研究军事密码编制和破

19、译技术的学科。主要研究：编码与破译理论；编码科。主要研究：编码与破译理论；编码与破译工程；信号的侦察、分析与识别；与破译工程；信号的侦察、分析与识别；各类密码编制的保密强度等。它广泛用各类密码编制的保密强度等。它广泛用于通信保密、数据保密和计算机保密等于通信保密、数据保密和计算机保密等领域。领域。数学与军事数学与军事军事密码学：军事密码学：雷达雷达原子弹原子弹人类有人类有史以来最史以来最可怕的武可怕的武器器气象学空气动力学弹道学生活中的数学生活中的数学 “卖西红柿卖西红柿，一元钱三斤。，一元钱三斤。”这一句简单的叫卖，就有数学问题。这一句简单的叫卖，就有数学问题。也就是说，在我们生活的周围有很也就是说，在我们生活的周围有很多的数学问题，这些数学问题、现多的数学问题，这些数学问题、现象贯穿于生活的方方面面，不仅有象贯穿于生活的方方面面，不仅有一般生活中的常识，也有生产实践一般生活中的常识，也有生产实践中的不在意，还有