初二趣味数学(第九周)

1、 据说著名犹太历史学家据说著名犹太历史学家约约瑟夫瑟夫 (Josephus)(Josephus)有过以下的故有过以下的故事：在罗马人占领乔塔帕特后，事：在罗马人占领乔塔帕特后，39 39 个犹太人与个犹太人与约瑟夫约瑟夫 (Josephus)及他的朋友躲到一及他的朋友躲到一个洞中，个洞中，3939个犹太人决定宁愿个犹太人决定宁愿死也不要被人抓到，于是决定死也不要被人抓到，于是决定了一个自杀方式，了一个自杀方式，4141个人排成个人排成一个圆圈，由第一个圆圈，由第1 1个人开始报数，个人开始报数，每报数到第每报数到第3 3人该人就必须自杀，人该人就必须自杀，然后再由下一个重新报数，直然后再由下一

2、个重新报数，直到所有人都自杀身亡为止。到所有人都自杀身亡为止。约瑟夫及他的朋友应排在那个位置才会存活下来？约瑟夫及他的朋友应排在那个位置才会存活下来？例例1 1 把把1 1999999这这999999个自然数按顺时针的方向依次排列在一个自然数按顺时针的方向依次排列在一个圆圈上（如下图）。从个圆圈上（如下图）。从1 1开始按顺时针的方向，保留开始按顺时针的方向，保留1 1，擦去，擦去2 2；保留；保留3 3，擦去，擦去44这样每隔一个数擦去一个数，转圈擦下这样每隔一个数擦去一个数，转圈擦下去。问：最后剩下一个数时，剩下的是哪个数？去。问：最后剩下一个数时，剩下的是哪个数？分析：分析：当有当有 个

3、数时，个数时， 那么转一圈擦去一半，剩下那么转一圈擦去一半，剩下 个数，起始个数，起始数还是数还是1； 再转一圈擦去剩下的一半，又剩下再转一圈擦去剩下的一半，又剩下 个数，起始数还是个数，起始数还是11转了转了n n圈后，就剩下圈后，就剩下一个数是一个数是1 1。 当有当有 （ ）个数时，）个数时， 那么当擦去那么当擦去d d个数时，剩下个数时，剩下 个数，此时的第一个数是最后将剩下的数。个数，此时的第一个数是最后将剩下的数。因为擦去的第因为擦去的第d d个数是个数是2d2d，所以，所以2d+12d+1就是最就是最后剩下的整数。后剩下的整数。 2n2n2n2nd2nd 12n22n2n999=

4、29+487，最后剩下的一个数是，最后剩下的一个数是4872+1=975 例例2 2 1000 1000个学生坐成一圈，依次编号为个学生坐成一圈，依次编号为1 1，2 2，3 3，10001000。现在进行现在进行1 1，2 2报数：报数：1 1号学生报号学生报1 1后立即离开，后立即离开，2 2号学生报号学生报2 2并并留下，留下，3 3号学生报号学生报1 1后立即离开，后立即离开，4 4号学生报号学生报2 2并留下并留下学生学生们依次交替报们依次交替报1 1或或2 2，凡报，凡报1 1的学生立即离开，报的学生立即离开，报2 2的学生留下，的学生留下，如此进行下去，直到最后还剩下一个人。问：

5、这个学生的编如此进行下去，直到最后还剩下一个人。问：这个学生的编号是几号？号是几号？解解：如果有：如果有2n2n个人，那么报完第个人，那么报完第1 1圈后，剩下的是圈后，剩下的是2 2的倍数号；的倍数号；报完第报完第2 2圈后，剩下的是圈后，剩下的是2222的倍数号的倍数号报完第报完第n n圈后，剩下圈后，剩下的是的是2n2n的倍数号，此时，只剩下一人，是的倍数号，此时，只剩下一人，是2n2n号。号。如果有（如果有（2n2nd d）（）（1d1d2n2n）人，那么当有）人，那么当有d d人退出圈子人退出圈子后还剩下后还剩下2n2n人。因为下一个该退出去的是（人。因为下一个该退出去的是（2d2d

6、1 1）号，所）号，所以此时的第（以此时的第（2d2d1 1）号相当于）号相当于2n2n人时的第人时的第1 1号，而号，而2d2d号相当号相当于于2n2n人时的第人时的第2n2n号，所以最后剩下的是第号，所以最后剩下的是第2d2d号。由号。由1000=291000=29488488知，最后剩下的学生的编号是知，最后剩下的学生的编号是4884882=9762=976 总结上题及例1例2：可归纳为两种情况： 1、留1，杀2类： 剩下号（总数小于总数最大的剩下号（总数小于总数最大的2的次方数）的次方数）21 2、杀1，留2类： 剩下号（总数小于总数最大的剩下号（总数小于总数最大的2的次方数）的次方数

7、）2 记住留1要加1，杀1不用加1。 有有100张的一摞卡片，玲玲拿着它们，从最上面的一张张的一摞卡片，玲玲拿着它们，从最上面的一张开始按如下的顺序进行操作：把最上面的第一张卡片舍去，开始按如下的顺序进行操作：把最上面的第一张卡片舍去，把下一张卡片放在这一摞卡片的最下面。再把原来的第三把下一张卡片放在这一摞卡片的最下面。再把原来的第三张卡片舍去，把下一张卡片放在最下面。反复这样做，直张卡片舍去，把下一张卡片放在最下面。反复这样做，直到手中只剩下一张卡片，那么剩下的这张卡片是原来那一到手中只剩下一张卡片，那么剩下的这张卡片是原来那一摞卡片的第几张？摞卡片的第几张？分析： N=100，因为100=

8、26+36，236=72，所以剩下这张卡片是原来那一摞卡片的第72张。 唯一分解定理：唯一分解定理：每一个大于每一个大于1 1的自然数的自然数n n都可以写成质数的连乘都可以写成质数的连乘 积，即积，即其中其中p1p1p2p2pkpk为质数，为质数，a1a1，a2a2，akak为自然数，并为自然数，并且这种表示是唯一的。（且这种表示是唯一的。（1 1）式称为）式称为n n的质因数分解或标准分解。的质因数分解或标准分解。约数个数定理：约数个数定理：设设n n的标准分解式为（的标准分解式为（1 1），则它的正约数个），则它的正约数个数为：数为： d d（n n）= =（a1+1a1+1）（）（a2

9、+1a2+1）（ak+1ak+1）。）。例例1 1 求自然数求自然数N N，使得它能被，使得它能被5 5和和4949整除，并且包整除，并且包 括括1 1和和N N在内，它共有在内，它共有1010个约数。个约数。解：把数解：把数N N写成质因数乘积的形式写成质因数乘积的形式由于由于N N能被能被5 5和和72=4972=49整除，故整除，故a31a31，a42a42，其余的指数，其余的指数akak为自然数或零。依题意，有为自然数或零。依题意，有（a1+1a1+1）（）（a2+1a2+1）（an+1an+1）=10=10。由于由于a3+12a3+12，a4+13a4+13，且，且10=210=25 5，故，故a1+1=a2+1=a5+1=an+1=1a1+1=a2+1=a5+1=an+1=1， 即即a1=a2=a5=an=0a1=a2=a5=an=0，N N只能有只能有2 2个不