大学高等数学23常系数齐次非齐次欧拉方程幂级数与习题课

1、常系数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第八节齐次线性微分方程 基本思路: 求解常系数线性齐次微分方程 求特征方程(代数方程)之根转化 第十二章 二阶常系数齐次线性微分方程:),(0为常数qpyqypy xrey 和它的导数只差常数因子,代入得0)(2xre qprr02qrpr称为微分方程的特征方程特征方程,1. 当042qp时, 有两个相异实根,21r ,r方程有两个线性无关的特解:,11xrey ,22xrey 因此方程的通解为xrxreCeCy2121( r 为待定常数 ),xrer函数为常数时因为,所以令的解为 则微分其根称为特征根特征根.机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.

2、 当042qp时, 特征方程有两个相等实根21rr 则微分方程有一个特解)(12xuyy 设另一特解( u (x) 待定)代入方程得:1xre)(1urup0uq)2(211ururu 1r注意是特征方程的重根0 u取 u = x , 则得,12xrexy 因此原方程的通解为xrexCCy1)(21,2p.11xrey )(1xuexr0)()2(1211 uqrprupru机动 目录 上页 下页 返回 结束 3. 当042qp时, 特征方程有一对共轭复根irir21,这时原方程有两个复数解:xiey)(1)sin(cosxixexxiey)(2)sin(cosxixex 利用解的叠加原理 ,

3、 得原方程的线性无关特解:)(21211yyy)(21212yyyixexcosxexsin因此原方程的通解为)sincos(21xCxCeyx机动 目录 上页 下页 返回 结束 小结小结:),(0为常数qpyqypy ,02qrpr特征方程:xrxreCeCy212121,:rr特征根21rr 实根 221prrxrexCCy1)(21ir,21)sincos(21xCxCeyx特 征 根通 解以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 若特征方程含 k 重复根,ir若特征方程含 k 重实根 r , 则其通解中必含对应项xrkkexCxCC)(121xxCx

4、CCekkxcos)( 121sin)(121xxDxDDkk则其通解中必含对应项)(01) 1(1)(均为常数knnnnayayayay特征方程: 0111nnnnararar),(均为任意常数以上iiDC推广推广:机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1.032 yyy求方程的通解.解解: 特征方程, 0322rr特征根:,3,121rr因此原方程的通解为xxeCeCy321例例2. 求解初值问题0dd2dd22ststs,40ts20ddtts解解: 特征方程0122rr有重根,121 rr因此原方程的通解为tetCCs)(21利用初始条件得, 41C于是所求初值问题的解为tets)2

5、4(22C机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3.xxo解解: 由第七节例1 (P293) 知, 位移满足质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上,在无外力作用下做自由运动,初始求物体的运动规律 ,0v速度为. )(txx 立坐标系如图, ,0 xx 设 t = 0 时物体的位置为取其平衡位置为原点建 00ddvtxt,00 xxt22ddtx02xktxndd2因此定解问题为自由振动方程 , 机动 目录 上页 下页 返回 结束 方程:22ddtx02xk特征方程:, 022 krkir2,1特征根:tkCtkCxsincos21利用初始条件得:,01xC 故所求特解:tkkvtkxxsi

6、ncos00A)sin(tkA0 xkv0方程通解:1) 无阻尼自由振动情况无阻尼自由振动情况 ( n = 0 )kvC020022020tan,vxkkvxA机动 目录 上页 下页 返回 结束 解的特征解的特征:)sin(tkAx0 xAAxto简谐振动 A: 振幅, : 初相,周期: kT2:mck 固有频率 T0dd00vtxt, 000 xxt下图中假设机动 目录 上页 下页 返回 结束 (仅由系统特性确定)方程:特征方程:0222krnr222,1knnr特征根:小阻尼: n k临界阻尼: n = k 22ddtx02xktxndd2)sincos(21tCtCextn)(22nk

7、trtreCeCx2121tnetCCx)(21解的特征解的特征解的特征解的特征解的特征解的特征机动 目录 上页 下页 返回 结束 ( n k ) 大阻尼解的特征大阻尼解的特征: 1) 无振荡现象; trtreCeCx2121222,1knnr其中22knn0.0)(limtxttxo0 x此图参数: 1, 5 . 1kn5 . 10 x073. 50v2) 对任何初始条件即随时间 t 的增大物体总趋于平衡位置.机动 目录 上页 下页 返回 结束 ( n = k ) 临界阻尼解的特征临界阻尼解的特征 : 任意常数由初始条件定, tnetCCx)(21)() 1tx最多只与 t 轴交于一点; 取

8、何值都有无论21,CC)(lim)3txt即随时间 t 的增大物体总趋于平衡位置.0)(lim21tntetCC2) 无振荡现象 ;机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4.052)4( yyy求方程的通解. 解解: 特征方程, 052234rrr特征根:irrr21, 04,321因此原方程通解为xCCy21)2sin2cos(43xCxCex例例5.0)4()5( yy解方程解解: 特征方程:, 045rr特征根 :1, 054321rrrrr原方程通解:1CyxC223xC34xCxeC5(不难看出, 原方程有特解), 132xexxx推广 目录 上页 下页 返回 结束 02)(222

9、22rr例例6. . )0(0dd444wxw解方程解解: 特征方程:44r即0)2)(2(2222rrrr其根为),1(22,1ir)1(24,3ir方程通解 :xew2)2sin2cos(21xCxCxe2)2sin2cos(43xCxC机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例7.02)4( yyy解方程解解: 特征方程:01224rr0)1(22r即特征根为,2,1irir4,3则方程通解 :xxCCycos)(31xxCCsin)(42机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结),(0为常数qpyqypy 特征根:21, rr(1) 当时, 通解为xrxreCeCy21212

10、1rr (2) 当时, 通解为xrexCCy1)(2121rr (3) 当时, 通解为)sincos(21xCxCeyxir2, 1可推广到高阶常系数线性齐次方程求通解 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习 求方程0 yay的通解 .答案答案:0a通解为xCCy21:0a通解为xaCxaCysincos21:0a通解为xaxaeCeCy21作业作业 P310 1 (3) , (6) , (10) ; 2 (2) , (3) , (6) ; 3第九节 目录 上页 下页 返回 结束 备用题备用题,2cos,2,321xyexyeyxx求一个以xy2sin34为特解的 4 阶常

11、系数线性齐次微分方程,并求其通解 .解解: 根据给定的特解知特征方程有根 :, 121 rrir24, 3因此特征方程为2) 1( r0)4(2r即04852234rrrr04852)4( yyyyy故所求方程为其通解为xCxCexCCyx2sin2cos)(4321机动 目录 上页 下页 返回 结束 常系数非齐次线性微分方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第九节型)()(xPexfmxxxPexflxcos)()(型sin)(xxPn一、一、二、二、 第十二章 )(xfyqypy ),(为常数qp二阶常系数线性非齐次微分方程 :根据解的结构定理 , 其通解为Yy *y非齐次方程特解齐次

12、方程通解求特解的方法根据 f (x) 的特殊形式 ,*y给出特解的待定形式,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数 . 待定系数法待定系数法机动 目录 上页 下页 返回 结束 )(xQex )()2(xQp)()(2xQqp)(xPemx一、一、 型)()(xPexfmx 为实数 ,)(xPm设特解为, )(*xQeyx其中 为待定多项式 , )(xQ )()(*xQxQeyx )()(2)(*2xQxQxQeyx 代入原方程 , 得 )(xQ (1) 若 不是特征方程的根, , 02qp即则取),(xQm从而得到特解形式为. )(*xQeymx)()2(xQp)()(2xQqp)(xPm为

13、m 次多项式 .Q (x) 为 m 次待定系数多项式机动 目录 上页 下页 返回 结束 (2) 若 是特征方程的单根 , , 02qp,02 p)(xQ则为m 次多项式, 故特解形式为xmexQxy)(*(3) 若 是特征方程的重根 , , 02qp,02 p)(xQ 则是 m 次多项式,故特解形式为xmexQxy)(*2小结小结 对方程,)2, 1, 0()(*kexQxyxmk此结论可推广到高阶常系数线性微分方程 .)(xQ )()2(xQp)(xPm)()(2xQqp即即当 是特征方程的 k 重根 时,可设特解机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1.1332 xyyy求方程的一个特解

14、.解解: 本题而特征方程为,0322rr不是特征方程的根 .设所求特解为,*10bxby代入方程 :13233010 xbbxb比较系数, 得330 b13210bb31,110bb于是所求特解为.31*xy0,0机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2. xexyyy265 求方程的通解. 解解: 本题特征方程为,0652 rr其根为对应齐次方程的通解为xxeCeCY3221设非齐次方程特解为xebxbxy210)(*比较系数, 得120 b0210bb1,2110bb因此特解为.)1(*221xexxy3, 221rr代入方程得xbbxb01022所求通解为xxeCeCy3221.)(2

15、221xexx ,2机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3. 求解定解问题 0)0()0()0( 123yyyyyy解解: 本题特征方程为, 02323rrr其根为设非齐次方程特解为,*xby 代入方程得, 12b故,*21xy 0321CCC21322CC2, 1, 0321rrr故对应齐次方程通解为1CY xeC2xeC23原方程通解为x211Cy xeC2xeC23由初始条件得0432CC,0机动 目录 上页 下页 返回 结束 于是所求解为xeeyxx2141432解得)423(412xxeex41 143321CCC机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、二、型xxPxxPexfn

16、lxsin)(cos)()(ximexPxf)()()(ximexP)()(第二步第二步 求出如下两个方程的特解ximexPyqypy)()( yqypy分析思路:第一步第一步 将 f (x) 转化为第三步第三步 利用叠加原理求出原方程的特解第四步第四步 分析原方程特解的特点ximexP)()(机动 目录 上页 下页 返回 结束 第一步第一步 利用欧拉公式将 f (x) 变形xexf)(ixPxPnl2)(2)(xie)(ixPxPnl2)(2)(xie)(ximexPxf)()()(ximexP)()(ximexP)()(ximexP)()(则令,maxlnm )(xPl2xixiee)(x

17、Pnieexixi2机动 目录 上页 下页 返回 结束 第二步第二步 求如下两方程的特解 i是特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1), ximkexQxy)(1)()(次多项式为mxQm故ximexPyqypy)(111)()()( 等式两边取共轭 :ximexPyqypy)(111)(1y这说明为方程 的特解 .ximexPyqypy)()( ximexPyqypy)()( 设则 有特解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 第三步第三步 求原方程的特解 利用第二步的结果, 根据叠加原理, 原方程有特解 :11*yyy xkexximximeQeQ原方程 yqypy xxPxxPenlx

18、sin)(cos)(xkex)sin(cosxixQm)sin(cosxixQm xkexxRmcosxRmsinmmRR,其中均为 m 次多项式 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 第四步第四步 分析的特点yxRxRexyyymmxksincos11因11yy*yy所以mmRR,因此均为 m 次实多项式 .11yyy本质上为实函数 ,11yy机动 目录 上页 下页 返回 结束 小小 结结:xxPxxPenlxsin)(cos)(对非齐次方程yqypy ),(为常数qpxRxRexymmxksincos*则可设特解:其中 为特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1), ilnm,max上述

19、结论也可推广到高阶方程的情形.机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4. xxyy2cos 求方程的一个特解 .解解: 本题 特征方程, 2, 0故设特解为xdxcxbxay2sin)(2cos)(*不是特征方程的根,ii2代入方程得xxxadxcxcbxa2cos2sin)433(2cos)433(012r,)(xxPl, 0)(xPn比较系数 , 得9431,da.2sin2cos*9431xxxy于是求得一个特解13 a043cb03 c043ad0 cb机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例5. xxyy3sin303cos189 求方程的通解. 解解: 特征方程为, 092r其根

20、为对应齐次方程的通解为xCxCY3sin3cos21)3sin3cos(*xbxaxy比较系数, 得,5a,3b因此特解为)3sin33cos5(*xxxyir32, 1代入方程:xaxb3sin63cos6所求通解为xCxCy3sin3cos21为特征方程的单根 ,i3)3sin33cos5(xxxxx3sin303cos18因此设非齐次方程特解为机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例6.xyyysin2) 1 ()4( 解解: (1) 特征方程, 01224rr, 0)1(22r即有二重根, ir所以设非齐次方程特解为(*2xy )sincosxbxa(2) 特征方程, 024 rr0)

21、1(22rr即有根irr4,32, 1, 0 xexyyxsin3)2()4( 利用叠加原理 , 可设非齐次方程特解为)(*2baxxyxec)sincos(xkxdx设下列高阶常系数线性非齐次方程的特解形式:机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例7.求物体的运动规律. 解解: 问题归结为求解无阻尼强迫振动方程 tphxktxsindd222 当p k 时, 齐次通解: tkCtkCXcossin21)(sintkAt pbtpaxcossin非齐次特解形式:0,22bpkha因此原方程之解为第七节例1 (P294)中若设物体只受弹性恢复力 f,sin的作用ptHF 和铅直干扰力xox代入可

22、得: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 当干扰力的角频率 p 固有频率 k 时,)(sintkAxtppkhsin22自由振动强迫振动!22将很大振幅pkh 当 p = k 时, )cossin(tkbtkatx非齐次特解形式:代入可得: khba2, 0方程的解为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 若要利用共振现象, 应使 p 与 k 尽量靠近, 或使 )(sintkAxtktkhcos2随着 t 的增大 , 强迫振动的振幅tkh2这时产生共振现象 .可无限增大,若要避免共振现象, 应使 p 远离固有频率 k ;p = k .自由振动强迫振动xox对机械来说, 共振可能引起破坏作用, 如

23、桥梁被破坏,电机机座被破坏等, 但对电磁振荡来说, 共振可能起有利作用, 如收音机的调频放大即是利用共振原理. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结xmexPyqypy)(. 1 为特征方程的 k (0, 1, 2) 重根,xmkexQxy)(*则设特解为sin)(cos)(. 2xxPxxPeyqypynlx 为特征方程的 k (0, 1 )重根, ixkexy*则设特解为sin)(cos)(xxRxxRmmnlm,max3. 上述结论也可推广到高阶方程的情形.机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习时可设特解为 xxxfcos)() 1当xexxxf22co

24、s)()2当xy *xbxacos)(*yxdxcxbxa2sin)(2cos)(xek2)(xfyy 时可设特解为 xxPxxPexfnlxsin)(cos)()(xkexy*lnm,max提示提示:xdcxsin)(1 . (填空) 设sin)(cos)(xxRxxRmm机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 求微分方程xeyyy 44的通解 (其中为实数 ) .解解: 特征方程,0442rr特征根:221 rr对应齐次方程通解:xexCCY221)(2时,xeAy令代入原方程得,2)2(1A故原方程通解为xexCCy221)(xe2)2(12时,2xexBy令代入原方程得,21B故原方

25、程通解为xexCCy221)(xex221机动 目录 上页 下页 返回 结束 3. 已知二阶常微分方程xecybyay 有特解, )1 (2xxexey求微分方程的通解 .解解: 将特解代入方程得恒等式xxxxecexbaeaeba)1 ()2()1 (比较系数得01baca 201ba0a1b2c故原方程为xeyy2 对应齐次方程通解:xxeCeCY21xxexey原方程通解为xxeCeCy21xex机动 目录 上页 下页 返回 结束 作业作业P317 1 (1) , (5) , (6) , (10) ; 2 (2) , (4) ; 3 ; 6习题课2 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目

26、录 上页 下页 返回 结束 第十节欧拉方程 欧拉方程欧拉方程 )(1) 1(11)(xfypyxpyxpyxnnnnnn)(为常数kp,tex 令常系数线性微分方程xtln即 第十二章 欧拉方程的算子解法欧拉方程的算子解法: )(1) 1(11)(xfypyxpyxpyxnnnnnn,tex 令则xyddxttyddddtyx dd122ddxyxttyxtdd)dd1(ddtytyxdddd1222计算繁! tyyxddtytyyxdddd222 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ,ln xt 则,ddtD 记则由上述计算可知: yDyxyDyDyx 22, ), 3, 2(ddktDkk

27、kyDD) 1(用归纳法可证 ykDDDyxkk) 1() 1()(于是欧拉方程 )(1) 1(11)(xfypyxpyxpyxnnnnnn)(11tnnnefybyDbyD转化为常系数线性方程:)(dddd111tnnnnnefybtybty即机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1. .ln2ln2222的通解求方程xxyyxyx 解解:,tex 令,ln xt 则,ddtD 记则原方程化为ttyyDyDD222) 1(2亦即ttytyty22dd3dd222其根,2, 121rr则对应的齐次方程的通解为特征方程, 0232 rrttyDD2)23(22即 tteCeCY221机动 目录

28、 上页 下页 返回 结束 的通解为41ln21ln212221xxxCxCy4121212221tteCeCytt换回原变量, 得原方程通解为设特解:CtBtAy2代入确定系数, 得4121212tty机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2.22的通解求方程xxyxyy 解解: 将方程化为xyyxyx22 (欧拉方程) ,ddtD 记则方程化为,tex 令teyDDD2)1) 1(即teyDD2) 12(2特征根:, 121 rr设特解:,2 tetAy 代入 解得 A = 1,ttetetCCy221)(xxxxCC221ln)ln(所求通解为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3

29、.满足设函数)(xyy 1,ln5d)(321 xxttytyyxx,01xy且. )(xy求解解: 由题设得定解问题xyyxyx524 0) 1 (,0) 1 (yy,tex 令,ddtD 记则化为teyDDD54) 1(teyD5)4(2特征根: ,2ir设特解: ,teAy代入得 A1 机动 目录 上页 下页 返回 结束 得通解为tetCtCy2sin2cos21xxCxC1)ln2sin()ln2cos(21利用初始条件得21, 121CC故所求特解为xxxy1)ln2sin(21)ln2cos(机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考思考: 如何解下述微分方程提示提示:)()()(2

30、12xfypyaxpyax axu先令)(dddd21222aufypuyupuyu,teu 令原方程直接令 teax作业作业 P319 2 ; 6; 8 第11节 目录 上页 下页 返回 结束 tDdd记)() 1(21aefypDpDDttDdd记机动 目录 上页 下页 返回 结束 第十一节微分方程的幂级数解法 一、一阶微分方程问题一、一阶微分方程问题 二、二阶齐次线性微分方程问题二、二阶齐次线性微分方程问题微分方程解法: 积分法 只能解一些特殊类型方程 幂级数法 本节介绍 数值解法 计算数学内容本节内容本节内容: 第十二章 一、一阶微分方程问题一、一阶微分方程问题 ),(ddyxfxy0

31、0yyxx.),(00的多项式及是其中yyxxyxf幂级数解法: 202010)()(xxaxxayy将其代入原方程, 比较同次幂系数可定常数 ,21aa由此确定的级数即为定解问题在收敛区间内的解. 设所求解为本质上是待定系数法nnxxa)(0机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 2yxy求方程解解:根据初始条件, 设所求特解为nnxaxaxay221代入原方程, 得.00的特解满足xy453423215432xaxaxaxaa233221)(xaxaxax43122321221)2(2xaaaxaaxax比较同次幂系数, 得, 01a,212a, 03a, 04a,2015a故所求解

32、的幂级数前几项为 52201xxy机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、二阶齐次线性微分方程二、二阶齐次线性微分方程 0)()( yxQyxPy定理定理. nnnxay0则在R x 4 时,111nnana44)2)(1(1ann! ) 1(1n机动 目录 上页 下页 返回 结束 因此nnnxay0nnxn4! ) 1(1nnxnx3!1,!10nnxxne)211(2xxexyx注意到:此题的上述特解即为机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理 目录 上页 下页 返回 结束 例例3.0) 1(2)1 (2 ynnyxyx)( 为常数n解解:,12)(2xxxP21) 1()(xnnxQ内都

33、可在)1 , 1(求解勒让德 (Legendre) 方程 展成幂级数, 满足定理条件(因其特点不用具体展开它).设方程的解为,0kkkxay代入: 22) 1(kkkxakkkkkxakk2) 1(kkkxak120) 1(0kkkxann整理后得:0) 1)() 1)(2(20kkkkxaknknakk比较系数, 得), 1 ,0() 1)(2() 1)(2kakkknknakk例如:02!2) 1(anna13!3)2)(1(anna2443)2)(2(anna0!4)3)(1()2(annnn3554)4)(3(anna1!5)4)(2)(1)(3(annnn机动 目录 上页 下页 返回

34、 结束 于是得勒让德方程的通解: 420!4)3)(1()2(!2) 1(1xnnnnxnnay31!3)2)(1(xnnxa5!5)4)(2)(1)(3(xnnnn) 11(x上式中两个级数都在(1, 1 )内收敛, 10, aa可以任意取, 它们是方程的两个线性无关特解. 作业作业 P323 1 (1),(4); 2(2)第12节 目录 上页 下页 返回 结束 常系数线性微分方程组 机动 目录 上页 下页 返回 结束 *第十二节解法举例解方程组解方程组 高阶方程求解高阶方程求解 消元消元代入法 算子法 第十一章 常系数线性微分方程组解法步骤解法步骤:第一步 用消元法消去其他未知函数 , 得

35、到只含一个 函数的高阶方程 ;第二步 求出此高阶方程的未知函数 ;第三步 把求出的函数代入原方程组 ,注意注意: 一阶线性方程组的通解中,任意常数的个数 = 未知函数个数一般通过求导求导得其它未知函数 .如果通过积分求其它未知函数 , 则需要讨论任意常数的关系.机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 解微分方程组 zyxy23ddzyxz 2dd解解: 由得zxzydd21代入, 化简得0dd2dd22zxzxz特征方程: 0122 rr通解: xexCCz)(21将代入, 得xexCCCy)22(21221机动 目录 上页 下页 返回 结束 原方程通解:xexCCz)(21xexCCC

36、y)22(21221注意: 是不独立的而它们与21,CC1) 不能由式求 y, 因为那将引入新的任意常数, (它们受式制约). ,的表达式中因此 y不能用另一任意常数212CC .,213也不能去掉系数代替C3) 若求方程组满足初始条件0000,zzyyxx的特解, 只需代入通解确定21,CC即可.2) 由通解表达式可见, 其中任意常数间有确定的关系, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 解微分方程组 textytxdddd220dddd22ytxty解解: ,ddtD 记则方程组可表为teyDxD ) 1(20) 1(2yDxD用代数方法消元自作 根据解线性方程组的克莱姆法则, 有

37、1122DDDDy012DeDt机动 目录 上页 下页 返回 结束 即teyDD) 1(24其特征方程: 0124rr特征根:2512, 1r2154, 3ir记记i,teAy 令代入可得 A1, 故得的通解: tttetCtCeCeCysincos4321求 x : D得teyDx3teyDx3)(213tteCeCtetCtC2)cossin(433,联立即为原方程的通解. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 作业作业 P226 (*习题 12-12) 1 (3),(6); 2 (2), (4) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一阶微分方程的 机动 目录 上页 下页 返回 结束 习题课

38、 (一)一、一阶微分方程求解一、一阶微分方程求解二、解微分方程应用问题二、解微分方程应用问题解法及应用 第十二章 一、一阶微分方程求解一、一阶微分方程求解 1. 一阶标准类型方程求解 关键关键: 辨别方程类型 , 掌握求解步骤2. 一阶非标准类型方程求解 (1) 变量代换法 代换自变量自变量代换因变量因变量代换某组合式某组合式(2) 积分因子法 选积分因子, 解全微分方程四个标准类型: 可分离变量方程, 齐次方程, 线性方程, 全微分方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 求下列方程的通解; 01) 1 (32xyeyy提示提示: (1),33xyxyeee因故为分离变量方程:通解

39、;)2(22yyxyx;21)3(2yxy.2336)4(3223yyxyxxyxeyeyxydd32Ceexy331机动 目录 上页 下页 返回 结束 方程两边同除以 x 即为齐次方程 , ,0时xyyxyx22)2(时，0 x21uux21uuxxyxyy21xyxyy21令 y = u x ,化为分离变量方程.调换自变量与因变量的地位 ,221)3(yxy,2dd2yxyx用线性方程通解公式求解 .化为机动 目录 上页 下页 返回 结束 32232336)4(yyxyxxy方法方法 1 这是一个齐次方程 .方法方法 2 化为微分形式 0d)23(d)36(3223yyyxxyxx故这是一

40、个全微分方程 .xyu 令机动 目录 上页 下页 返回 结束 xQyxyP6例例2. 求下列方程的通解:)lnln() 1(yxyyyx提示提示: (1)令 u = x y , 得(2) 将方程改写为0d)1ln(dln2)2(2xxyyyxxyyxxyxy22363)3(220d)31(d)3()4(22yyxxyxyuxuxulndd)(ln)(yxyyxxyyxxxy2ln21dd3(贝努里方程) 2 yz令(分离变量方程)原方程化为机动 目录 上页 下页 返回 结束 令 y = u tyyxxyxy22363)3(22) 1(2) 1(3dd22xyyxxy(齐次方程)ytytty23

41、dd22令 t = x 1 , 则tyxttyxydddddddd可分离变量方程求解化方程为机动 目录 上页 下页 返回 结束 0d)31(d)3()4(22yyxxyxy变方程为yxxydd2两边乘积分因子2 y0)dd(3dd2yxxyyyxx用凑微分法得通解:Cyxyx321120)dd(32yxxyy机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3.机动 目录 上页 下页 返回 结束 设F(x)f (x) g(x), 其中函数 f(x), g(x) 在(,+)内满足以下条件:, 0)0(),()(),()(fxfxgxgxf且(1) 求F(x) 所满足的一阶微分方程 ;(03考研) (2)

42、求出F(x) 的表达式 .解解: (1) )()()()()(xgxfxgxfxF)()(22xfxg)()(2)()(2xgxfxfxg)(2)2(2xFex所以F(x) 满足的一阶线性非齐次微分方程:.2)()(xexgxf机动 目录 上页 下页 返回 结束 (2) 由一阶线性微分方程解的公式得CxeeexFxxxd4)(d22d2Cxeexxd442代入上式，将0)0()0()0(gfF1C得于是 xxeexF22)(xexFxF24)(2)(xxCee22练习题练习题:(题3只考虑方法及步骤)P326 题2 求以1)(22yCx为通解的微分方程.提示提示:1)(22yCx02)(2yy

43、Cx消去 C 得1) 1(22 yyP327 题3 求下列微分方程的通解:xyyyx2) 1 (提示提示: 令 u = x y , 化成可分离变量方程 :uu2) 1ln(ln)2(xxayxyx提示提示: 这是一阶线性方程 , 其中,ln1)(xxxP)ln11()(xaxQP326 题1，2，3(1), (2), (3), (4), (5), (9), (10)机动 目录 上页 下页 返回 结束 )ln(2dd)3(xyyxy提示提示: 可化为关于 x 的一阶线性方程yyxyyxln22dd0dd)4(33yxyxxy提示提示: 为贝努里方程 , 令2 yz0dddd)5(22yxyxyy

44、yyxx提示提示: 为全微分方程 , 通解Cyxyxarctan)(21220dd)3()9(24xyxyxy提示提示: 可化为贝努里方程xyxyxy43dd令2xz 微分倒推公式微分倒推公式机动 目录 上页 下页 返回 结束 原方程化为 yxxy2)10(xyxu2, 即,22uuxy则xydduxuuxudd)(22故原方程通解Cyxxyx23)(33222ddxuuxuuexd2Cueuud2d2Cuuud21222232uCu u2xuxdd2xuudd2提示提示: 令机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 设河边点 O 的正对岸为点 A , 河宽 OA = h, 一鸭子从点 A

45、 游向点二、解微分方程应用问题二、解微分方程应用问题利用共性建立微分方程 , 利用个性确定定解条件.为平行直线,且鸭子游动方向始终朝着点O ,h提示提示: 如图所示建立坐标系. 设时刻t 鸭子位于点P (x, y) ,设鸭子(在静水中)的游速大小为bP求鸭子游动的轨迹方程 . O ,水流速度大小为 a ,两岸 ),(ab )0,(aa abyxAo则关键问题是正确建立数学模型, 要点:则鸭子游速 b 为机动 目录 上页 下页 返回 结束 定解条件 a由此得微分方程yxvvyxddyxybyxa22即v鸭子的实际运动速度为( 求解过程参考P273例3 ).0hyxyxddyxyxba12( 齐次

46、方程 )b0PObb ,dd,ddtytxv bavhPabyxAo2222,yxybyxxb2222,yxyyxx机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考思考: 能否根据草图列方程?),(yxMyxo练习题练习题:P327 题 5 , 6P327 题题5 . 已知某曲线经过点( 1 , 1 ),轴上的截距等于切点的横坐标 , 求它的方程 .提示提示: 设曲线上的动点为 M (x,y),)(xXyyY令 X = 0, 得截距, xyyY由题意知微分方程为xxyy即11yxy定解条件为.11xyyxxtanx此点处切线方程为它的切线在纵机动 目录 上页 下页 返回 结束 P327 题题6. 已知

47、某车间的容积为,m630303,CO%12. 02的其中含的新鲜空气问每分钟应输入多少才能在 30 分钟后使车间空2CO气中的含量不超过 0.06 % ?提示提示: 设每分钟应输入,m3k t 时刻车间空气中含2CO,m3x为则在,ttt内车间内2CO x两端除以 ,t并令0t25005400ddkxktx与原有空气很快混合均匀后, 以相同的流量排出 )得微分方程tk10004. 0txk54005400( 假定输入的新鲜空气 2CO%04. 0现以含输入 , 的改变量为 机动 目录 上页 下页 返回 结束 t = 30 时5406. 0540010006. 0 x2504ln180k2500

48、5400ddkxktx5412. 00tx解定解问题)04. 008. 0(545400tkex因此每分钟应至少输入 250 3m新鲜空气 .初始条件540010012. 00tx5412. 0得机动 目录 上页 下页 返回 结束 k = ? 作业作业 P269 3 , 7; P276 *4 (2) ; P282 9 (2) , (4) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二阶微分方程的 机动 目录 上页 下页 返回 结束 习题课 (二)二、微分方程的应用二、微分方程的应用 解法及应用 一、两类二阶微分方程的解法一、两类二阶微分方程的解法 第十二章 一、两类二阶微分方程的解法一、两类二阶微分方

49、程的解法 1. 可降阶微分方程的解法可降阶微分方程的解法 降阶法降阶法)(dd22xfxy)dd,(dd22xyxfxy令xyxpdd)(),(ddpxfxp)dd,(dd22xyyfxy令xyypdd)(),(ddpyfypp逐次积分求解 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2. 二阶线性微分方程的解法二阶线性微分方程的解法 常系数情形齐次非齐次代数法 欧拉方程yx 2yxpyq)(xftDextdd,令qpDDD ) 1(y)(tef练习题练习题: P327 题 2 ; 3 (6) , (7) ; 4(2)； 8机动 目录 上页 下页 返回 结束 解答提示解答提示P327 题题2 求以xx

50、eCeCy221为通解的微分方程 .提示提示: 由通解式可知特征方程的根为,2,121rr故特征方程为,0)2)(1(rr0232 rr即因此微分方程为023 yyyP327 题题3 求下列微分方程的通解, 01)6(2 yyy.2sin52)7(xyyy 提示提示: (6) 令, )(ypy 则方程变为,01dd2 pyppyyypppd1d2即机动 目录 上页 下页 返回 结束 特征根:xyyy2sin52)7( ,212, 1ir齐次方程通解:)2sin2cos(21xCxCeYx令非齐次方程特解为xBxAy2sin2cos*代入方程可得174171,BA思思 考考若 (7) 中非齐次项

51、改为,sin2x提示提示:,sin22cos12xxxBxAy2sin2cos*故D原方程通解为xx2sin2cos174171)2sin2cos(21xCxCeyx特解设法有何变化 ?机动 目录 上页 下页 返回 结束 P327 题题4(2) 求解02 yay,00 xy10 xy提示提示: 令),(xpy 则方程变为2ddpaxp积分得,11Cxap利用100 xxyp11C得再解,11ddxaxy并利用,00 xy定常数.2C思考思考若问题改为求解0321 yy,00 xy10 xy则求解过程中得,112xp问开方时正负号如何确定正负号如何确定?机动 目录 上页 下页 返回 结束 P32

52、7 题题8 设函数222, )(zyxrrfu在 r 0内满足拉普拉斯方程, 0222222zuyuxu)(rf其中二阶可导, 且,1) 1 () 1 ( ff试将方程化为以 r 为自变量的常微分方程 , 并求 f (r) .提示提示:rxrfxu)( 2222)(rxrfxu )(rf r132rx利用对称性, 0)(2)( rfrrf即0)(2)(2 rfrrfr( 欧拉方程欧拉方程 )原方程可化为机动 目录 上页 下页 返回 结束 0)(2)(2 rfrrfr,lnrt 令1) 1 () 1 ( ff.12)(rrf解初值问题:,ddtD 记则原方程化为 02) 1(fDDD02fDD即

53、通解: teCCrf21)(rCC121利用初始条件得特解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 xxCxCysincos21特征根 :,2 , 1ir例例1. 求微分方程2, xxyy,00 xy,00 xy提示提示:,2时当x故通解为)(sin2xxxy2,04 xyy满足条件2x在解满足xyy ,00 xy00 xy处连续且可微的解.设特解 :,BAxy代入方程定 A, B, 得xy , 0, 000 xxyy利用得机动 目录 上页 下页 返回 结束 2x由处的衔接条件可知,2时当x04 yy,122xy12xy解满足故所求解为y,sinxx 2221,2cos)1 (2sinxxx2x

54、xCxCy2cos2sin21其通解:定解问题的解:2221,2cos)1 (2sinxxxy机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2.,)(二阶导数连续设xf且满足方程xtdtftxxxf0)()(sin)(. )(xf求提示提示: ,)()(sin)(00 xxtdtfttdtfxxxf则xxfcos)()(sin)(xfxxf xtdtf0)()(xfx)(xfx问题化为解初值问题:xxfxfsin)()( ,0)0(f1)0( f最后求得xxxxfcos2sin21)(机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考思考: 设, 0)0(,d)()(0 xxuuxxex?)(x如何求提示提示

55、: 对积分换元 ,uxt 令则有xxttex0d)()()()(xexx 解初值问题: xexx )()(,0)0(1)0(答案:xxexex41) 12(41)(机动 目录 上页 下页 返回 结束 的解. 例例3.设函数),()(在xyy,)()(, 0的函数是xyyyxxy内具有连续二阶导机动 目录 上页 下页 返回 结束 (1) 试将 xx( y) 所满足的微分方程 变换为 yy(x) 所满足的微分方程 ;(2) 求变换后的微分方程满足初始条件 0)dd)(sin(dd322yxxyyx, 0)0(y数, 且23)0( y解解: ,1ddyyx, 1ddyxy即上式两端对 x 求导, 得

56、: (1) 由反函数的导数公式知(03考研考研)机动 目录 上页 下页 返回 结束 0)(dddd222 yyxyxy222)(ddddyyxyyx 3)(yy 代入原微分方程得 xyysin (2) 方程的对应齐次方程的通解为 xxeCeCY21设的特解为 ,sincosxBxAy代入得 A0,21B,sin21xy故从而得的通解: 题 目录 上页 下页 返回 结束 xeCeCyxxsin2121由初始条件 ,23)0(, 0)0(yy得1, 121CC故所求初值问题的解为 xeeyxxsin21二、微分方程的应用二、微分方程的应用 1 . 建立数学模型 列微分方程问题建立微分方程 ( 共性

57、 )利用物理规律利用几何关系确定定解条件 ( 个性 )初始条件边界条件可能还要衔接条件2 . 解微分方程问题3 . 分析解所包含的实际意义 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 解解:欲向宇宙发射一颗人造卫星, 为使其摆脱地球 引力, 初始速度应不小于第二宇宙速度, 试计算此速度.设人造地球卫星质量为 m , 地球质量为 M , 卫星的质心到地心的距离为 h , 由牛顿第二定律得: 222ddhmMGthm00dd,vthRht,0v为(G 为引力系数)则有初值问题: 222ddhMGth又设卫星的初速度，已知地球半径51063R机动 目录 上页 下页 返回 结束 ),(ddhvth设

58、,dddd22hvvth则代入原方程, 得2ddhMGhvvhhMGvvdd2两边积分得ChMGv221利用初始条件, 得RMGvC2021因此RhMGvv112121202221limvhRMGv12120注意到 机动 目录 上页 下页 返回 结束 为使,0v应满足0vRMGv20因为当h = R (在地面上) 时, 引力 = 重力, )sm81. 9(22ggmhmMG即,2gRMG故代入即得81. 910632250gRv) s(m102 .113这说明第二宇宙速度为 skm2 .11机动 目录 上页 下页 返回 结束 求质点的运动规例例5. 上的力 F 所作的功与经过的时间 t 成正比 ( 比例系数,0