高等数学微积分上(本科)全册配套精品完整课件

1、高等数学微积分上高等数学微积分上(本科本科)全册全册配套精品完整课件配套精品完整课件第一节 数列的极限一、数列的定义二、数列的极限三、数列极限的性质一、数列的定义例如例如;,2 , 8 , 4 , 2n;,21,81,41,21n2n21n定义定义: 自变量取自然数的函数称为数列,)(nfxn或.nxnx其中 为数列的第n项，称为通项或一般项 .记作按自然数顺序可将对应的函数值排列起来：12,nxxx说明：说明： 数列对应着数轴上一个点列，可看作一数列对应着数轴上一个点列，可看作一动点在数轴上依次取动点在数轴上依次取.,21nxxx1x2x3x4xnx;,)1( , 1 , 1, 11 n)1

2、(1 n;,)1(,34,21, 21nnn )1(1nnn ,333,33, 3 二、数列的极限.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn问题问题: 当当 无限增大时无限增大时, 是否无限接近于某一是否无限接近于某一确定的数值确定的数值?如果是如果是,如何确定如何确定?nxn. 1)1(1,1无限接近于无限接近于无限增大时无限增大时当当nxnnn ,1001给定给定,10011 n由由,100时时只要只要 n,10011 nx有有,10001给定给定,1000时时只要只要 n,1000011 nx有有,100001给定给定,10000时时只要只要 n,100011 nx

3、有有0, 任任意意给给定定,)1(时时只要只要 Nn.1成立成立有有 nx问题问题: “无限接近无限接近”意味着什么意味着什么?如何用数学语言如何用数学语言刻划它？刻划它？ 1nxnnn11)1(1 此时也称数列为收敛数列，否则称数列为发散数列此时也称数列为收敛数列，否则称数列为发散数列.说明：说明：;. 1的无限接近的无限接近与与刻划了刻划了不等式不等式axaxnn 2.N 不不是是唯唯一一的的，通通常常与与 有有关关x1x2x2 Nx1 Nx3x几何解释几何解释: 2 a aa.)(,),(,落在其外落在其外个个至多只有至多只有只有有限个只有有限个内内都落在都落在所有的点所有的点时时当当N

4、aaxNnn :定义定义N 因此数列的收敛性及其极限与它前面的有限项无关因此数列的收敛性及其极限与它前面的有限项无关.lim0,.nnnxaNnNxa使使得得当当时时 恒恒有有所以，改变数列的前有限项不改变其收敛性和极限所以，改变数列的前有限项不改变其收敛性和极限.数列极限的定义未给出求极限的方法数列极限的定义未给出求极限的方法.例例1. 1)1(lim1 nnnn证明证明证证1 nx1)1(1 nnnn1 0, 1,nx 要要使使,1 n只要只要1,n 即即所以所以,1 N取取,时时则当则当Nn 1)1(1nnn就有就有. 1)1(lim1 nnnn即即注意：注意：例例2.lim),(CxC

5、Cxnnn 证明证明为常数为常数设设证证Cxn CC ,成成立立 ,0 任给任给所以所以,0 ,n对于一切自然数对于一切自然数.limCxnn 说明说明:常数列的极限等于同一常数常数列的极限等于同一常数.小结小结:用定义证数列极限存在时用定义证数列极限存在时,关键是任意给关键是任意给定定 寻找寻找N,但不必要求最小的但不必要求最小的N., 0 例例3. 1, 0lim qqnn其中其中证明证明证证0, 0,nnxqlnln ,nq 只只要要,lnlnqN 取取,时时则当则当Nn ,0 nq就有就有. 0lim nnq, 0 q若若; 00limlim nnnq则则, 10 q若若,lnlnqn

6、 0,nnxq 要要使使例例4.lim, 0lim, 0axaxxnnnnn 求证求证且且设设证证.limaxnn 故故,limaxnn 0,nNnNxaa使使得得当当时时恒恒有有axaxaxnnn 从而有从而有aaxn aa nnnnxaxaxaxaa 23baab22abnabax证证: 用反证法.axnnlim及,limbxnn且. ba 取,2ab因,limaxnn故存在 N1 , ,2abnax从而2banx同理, 因,limbxnn故存在 N2 , 使当 n N2 时, 有2banx1. 收敛数列的极限唯一收敛数列的极限唯一使当 n N1 时, 2ba2ab2ab假设22abnab

7、bxnbax223ab,2abnbx从而2banx矛盾.因此收敛数列的极限必唯一.则当 n N 时, ,max21NNN 取故假设不真 .nx满足的不等式三、数列极限的性质2.有界性有界性定义定义: 对数列对数列nx, 若存在正数若存在正数M, 使得一切自使得一切自然数然数n, 恒有恒有Mxn 成立成立, 则称数列则称数列nx有界有界,否则否则, 称为无界称为无界.例如例如,;1 nnxn数列数列.2nnx 数列数列数轴上对应于有界数列的点数轴上对应于有界数列的点nx都落在闭区间都落在闭区间,MM 上上.有界有界无界无界定理定理 收敛的数列必定有界收敛的数列必定有界. .证证,limaxnn

8、设设由定义由定义, 1 取取, 1, axNnNn时恒有时恒有使得当使得当则则. 11 axan即有即有,1,1,max1 aaxxMN记记,Mxnn 皆有皆有则对一切自然数则对一切自然数 .有界有界故故nx注意：注意：推论推论 无界数列必定发散无界数列必定发散. .此性质反过来不一定成立 .例如,1)1(n虽有界但不收敛 .数列12,knnnxxx在数列nx中任意抽取无限多项并保持这些项在原数列中的先后次序，这样得到的一个数列称为的子数列（或子列）原数列nx设在数列 中，nx第一次抽取 ，1nx第二次在 后抽取 ，1nx2nx第三次在 后抽取 ，2nx3nx这样无休止地抽取下去，得到一个数列

9、knx这个数列 就是数列 的一个子数列.nx注意：注意：在子数列 中，knxknx一般项 是第k项，Kn而在原数列中却是第 项.3.收敛数列与子数列间的关系收敛数列与子数列间的关系显然， . knk ,axkn定理：收敛数列的任一子数列收敛于同一极限 .Kn证证: 设数列knx是数列nx的任一子数列 .若,limaxnn则,0,N当 Nn 时, 有axn现取,KN 则当Kk 时, 有knNn 从而有由此证明 .limaxknkN 由此性质可知 , 若数列有两个子数列收敛于不同的极限 ,例如， ),2, 1() 1(1nxnn; 1lim12kkx1lim2kkx发散 则原数列一定发散 .说明说

10、明: 说明：一个发散的数列也可能有收敛的子数列.内容小结1. 数列极限的 “ N ” 定义及应用2. 收敛数列的性质: 唯一性 ; 有界性 ; 任一子数列收敛于同一极限思考与练习1. 如何判断极限不存在?方法1. 找一个发散的子数列;方法2. 找两个收敛于不同极限的子数列.lim0nnnx y 证证明明：lim0nny 又又， 2.nx设设数数列列有有界界，第二节 函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限二、自变量趋向有限值时函数的极限三、函数极限的性质四、小结第二章( ),yf x 对对于于函函数数 000(4) xxxxx从从 的的左左右右两两侧侧趋趋向向于于00000(5)(xxxxx

11、xxxx 且且即即 从从右右侧侧趋趋于于 ）00000(6)(xxxxxxxxx 且且即即 从从左左侧侧趋趋于于 ） (1) xxx 既既可可取取正正值值也也可可取取负负值值且且无无限限增增大大(2)(xx 取取正正值值无无限限增增大大） (3) xxx 取取负负值值且且无无限限增增大大自变量变化过程的六种形式:limnnxa :nx对对于于数数列列0,nNnNxa 使使得得当当时时恒恒有有( )( )f xAf xA 表表示示任任意意小小xXx 表表示示的的过过程程如何用数学语言刻划函数如何用数学语言刻划函数“无限接近无限接近”.一、自变量趋向无穷大时函数的极限Xx说说明明 充充分分大大的的

12、程程度度0, 定定义义X 0,0,( )XxXf xA使使得得当当时时 恒恒有有 Axfx)(lim:(),)( ,)()fD fRD f 设设是是一一个个函函数数,(-,(-:.10情形情形x.)(, 0, 0 AxfXxX恒有恒有时时使当使当:.20情形情形xlim( )xf xA.)(, 0, 0 AxfXxX恒有恒有时时使当使当lim( )xf xA另两种情形另两种情形: Axfx)(lim:定定理理lim( )lim( ).xxf xf xA 几何解释几何解释:A A X X.2,)(,的带形区域内的带形区域内宽为宽为为中心线为中心线直线直线图形完全落在以图形完全落在以函数函数时时或

13、或当当 AyxfyXxXxA例例1. 0sinlim xxx证明证明证证sinsin0 xxxx1x 1x 即即, 0 ,1 X取取时恒有时恒有则当则当Xx sin0,xx 要要使使. 0sinlim xxx故故coslim0 xxx 证证明明例例2,0sin xx1x 只只要要二、自变量趋向有限值时函数的极限;)()(任意小任意小表示表示AxfAxf 000.xxxx 表表示示的的过过程程x0 x 0 x 0 x ,0邻域邻域的去心的去心点点 x.0程度程度接近接近体现体现xx 0, 定义定义 00,0,0,( ).xxf xA 使使得得当当时时恒恒有有 0:fU xR设设是是一一个个函函数

14、数几何解释几何解释:)(xfy AAA0 x0 x0 xxyo.2,)(,0的带形区域内的带形区域内宽为宽为为中心线为中心线线线图形完全落在以直图形完全落在以直函数函数域时域时邻邻的去心的去心在在当当 Ayxfyxx注意：注意：00001. ( )( )( )( );f xxxf xxf xxf xx在在时时的的极极限限只只与与在在的的某某去去心心 邻邻域域的的值值有有关关，与与在在处处是是否否有有定定义义或或在在处处取取值值的的大大小小无无关关. 2有有关关与与任任意意给给定定的的正正数数 例例3).( ,lim0为常数为常数证明证明CCCxx 证证Axf )(,成立成立 0 .lim0CC

15、xx 例例4.lim00 xxxx 证明证明证证0( )f xAxx, 取取00,xx 当当时时0)(xxAxf ,成立成立 .lim00 xxxx Axf)(CC 0故,0对任意的当00 xx时 , 总有,0,0故例例5. 211lim21 xxx证明证明证证21( )21xf xAx 0, 1,x 只只要要,00时时当当 xx(函数在点函数在点x=1处没有定义处没有定义)1 x,)( Axf要使要使,2112 xx就有就有. 211lim21 xxx, 取取例6. 证明证明: 当当0( )f xAxx00 x证证:001xxx,00 xx因此只要,00 xxx00limxxxx.lim00

16、 xxxx时00 xxxx故取0 x 则当00 xx时,必有,)( Axf要使要使例例72221lim44xxx 证证明明证证221( )44xf xAx 0, 22221( ),444212xxxf xAxx 只只要要,00时时当当 xx242xx ,)( Axf要使要使. 211lim21 xxx min 1,12, 取取02xxx由由于于，故故可可限限制制 在在 的的一一个个小小邻邻域域内内考考虑虑极极限限，(2,1)021,xUx不不妨妨限限制制 在在内内考考虑虑极极限限，即即23x 从从而而212 ,x 即即22144xx 左极限左极限00,0,0,( ).xxf xA 使使当当时时

17、恒恒有有右极限右极限00,0,0,( ).xxf xA 使使当当时时恒恒有有000:000 xxxxxxxxx 注注意意Axfxfxx )(lim)0(00记作记作Axfxfxx )(lim)0(00记作记作,0 xx从左侧无限趋近从左侧无限趋近);0(00 xxxx或或记记作作,0 xx从右侧无限趋近从右侧无限趋近);0(00 xxxx或或记记作作另两种情形另两种情形:.)0()0()(lim:000AxfxfAxfxx 定理定理.lim0不存在不存在验证验证xxxyx11 o00limlimxxxxxx 左右极限存在但不相等左右极限存在但不相等,.)(lim0不存在不存在xfx例例8证证0

18、lim( 1)1x 00limlimxxxxxx 0lim 11x 说明：若左右极限中有一个不存在或者虽然左右说明：若左右极限中有一个不存在或者虽然左右极限都存在但不相等极限都存在但不相等,则此时极限不存在则此时极限不存在.在函数极限不存在的情况中，还有一种比较特别： 0:fU xR设设是是一一个个函函数数. .00,0,0,Mxx若若使使得得当当时时( )f xM 恒恒有有0( )xxf x则则称称当当时时的的极极限限为为无无穷穷大大， 00lim( )( )xxf xf xxx 记记作作或或0lim( )xxf x ( )f xM 恒恒有有0lim( )xxf x ( )f xM 恒恒有有

19、00,0,0,Mxx使使得得当当时时00,0,0,Mxx使使得得当当时时类似：三、函数极限的性质2.局部有界性局部有界性1.唯一性唯一性, 00)(lim0 与与存存在在，则则若若MxfxxMxfxUx )(),(0都都有有使使得得 00lim( ),0(0),0,(, ),( )0( )0).xxf xAAAxU xf xf x若若且且或或则则当当时时或或定理定理( (局部保号性局部保号性) )00lim( ),0,(, ),( )0( )0),0(0).xxf xAxU xf xf xAA若若且且当当时时或或则则或或推论推论思考: 若推论中的条件改为, 0)(xf是否必有?0A不能不能0l

20、im20 xx如 3.不等式性质不等式性质推论推论000lim( ), lim( ),0,(, ),( )( ).xxxxf xAg xBABxU xf xg x 设设且且则则有有定理定理( (局部保序性局部保序性) )000lim( ), lim( ).0,(, ),( )( ),.xxxxf xAg xBxU xf xg xAB 设设若若有有则则四、小结函数极限的统一定义函数极限的统一定义;)(limAnfn ;)(limAxfx ;)(limAxfx ;)(limAxfx ;)(lim0Axfxx ;)(lim0Axfxx .)(lim0Axfxx .)(, 0)(lim AxfAxf恒

21、有恒有从此时刻以后从此时刻以后时刻时刻(见下表见下表)过过 程程时时 刻刻从此时刻以后从此时刻以后 n xxxNNn Nx Nx Nx )(xf Axf)(0 xx 00 xx 0 xx 0 xx 00 xx00 xx过过 程程时时 刻刻从此时刻以后从此时刻以后 )(xf Axf)(1lim( )xf x 1lim( 31)2,xx 左极限存在左极限存在,1lim( )xf x 1lim1,xx 右极限存在右极限存在,1lim( )xf x 1lim( )xf x 1lim( )xf x不不存存在在习题：习题：解解第三节 极限运算法则一、极限运算法则二、求极限方法举例三、小结第二章一、极限运算

22、法则定理（四则运算法则）定理（四则运算法则）00000000000lim( ), lim( ),(1)lim ( )( )lim( )lim( );(2)lim ( )( )lim( ) lim( );lim( )( )(3)lim,0.( )lim( )xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxf xAg xBf xg xf xg xABf xg xf xg xA Bf xf xABg xg xB设设则则其其中中x 此定理对于 等情形也成立.推论推论1 1000lim(),lim()lim()xxxxxxf xccf xcf x 如如果果存存在在 而而 为为常常数数 则则常数因子可以提到极

23、限记号外面常数因子可以提到极限记号外面.000lim(),lim ()lim()xxnnxxxxfxnfxfx 如如果果存存在在 而而 是是正正整整数数 则则推论推论2 2 定理（复合运算法则）：定理（复合运算法则）： AufxgfxxxgfAufuxgxuxguuxxuuxx 0000lim)(lim)()(lim)(,)(lim0000存在，且存在，且时的极限也时的极限也当当则复合函数则复合函数，又，又邻域内邻域内的某去心的某去心但在点但在点设设 0000lim ( )( )limlim( )xxuuxxf g xug xf ug xu 说说明明：通通常常求求可可通通过过变变量量代代换换，

24、化化为为求求的的极极限限问问题题, ,其其中中证证: ,0,0当00uu 时, 有 Auf)(,010, 当010 xx 时, 有0( )g xu 则对上述取,min21则当00 xx时0( )g xu 故0 ( )f g xA 恒恒有有0lim( )uuf uA 由由可可得得00lim( )xxg xu 又又由由于于020200( )xxxg xu依依题题不不妨妨设设在在点点 的的去去心心邻邻域域即即时时,0 12min,0,00 xx 当当时时 00lim ( )limxxuuf g xAf u即即二、求极限方法举例例例1 1.531lim232 xxxx求求解解)53(lim22 xxx

25、5lim3limlim2222 xxxxx5limlim3)lim(2222 xxxxx52322 , 03 531lim232 xxxx)53(lim1limlim22232 xxxxxx.37 3123 小结小结: :1011.( ),nnnP xa xa xa 设设多多项项式式则则有有000101lim( )(lim)(lim)nnnxxxxxxP xaxaxa nnnaxaxa 101000()P x 则有则有且且设设, 0)(,)()()(. 20 xQxQxPxf)(lim)(lim)(lim000 xQxPxfxxxxxx )()(00 xQxP ).(0 xf ., 0)(0则

26、商的法则不能应用则商的法则不能应用若若 xQ分析：分析：例例2 2.321lim221 xxxx求求.,1分母的极限都是零分母的极限都是零分子分子时时x1.x 先先约约去去极极限限为为0 0的的公公因因子子后后再再求求极极限限2211lim23xxxx 解解：31lim1 xxx.21 )00(型型(消去零因子法消去零因子法)商商的的法法则则不不能能应应用用1(1)(1)lim(3)(1)xxxxx 例3. 求 33lim33xxxx 31lim3xx 解解: 令.93lim23xxx932xxu2333limlim9xxxux 故 原式 =uu61lim616616 例4. 求解解: 方法方

27、法 1.11lim1xxx,xu 则, 1lim1ux令11112uuxx1 u 原式) 1(lim1uu2方法方法 211lim1xxx1) 1)(1(lim1xxxx) 1(lim1xx2解解例例5 532112lim28xxx 求求23228lim8xxxx 原原式式 2224lim224xxxxxx 224lim24xxxx ()型型12 )00(型型00 说说明明：对对 - - 型型未未定定式式通通常常通通过过通通分分可可以以化化为为型型未未定定式式例例6 6.147532lim2323 xxxxx求求分析：分析：.,分母的极限都是无穷大分母的极限都是无穷大分子分子时时 x)(型型

28、3,.x先先用用分分母母的的最最高高次次去去除除分分子子分分母母 再再求求极极限限332323147532lim147532limxxxxxxxxxx 解：解：.72 商商的的法法则则不不能能应应用用对有理分式函数一般有如下结果（*）：00(0,a bm k 为为非非负负常常数数）km 当当10111011limkkkkmmxmmaa xaxa xbb xbxb x ,kmab,0,km 当当km 当当说明：一般以分母中自变量的最高次幂除分子、说明：一般以分母中自变量的最高次幂除分子、分母分母, , 然后再求极限然后再求极限. .定理： 若若10111011limkkkkmmnmmaa nan

29、a nbb nbnb n ,lim,limByAxnnnn则有)(lim) 1 (nnnyx nnnyxlim)2(,00)3(时且当BynBAyxnnnlimBABA由于数列是一种特殊的函数 ,从而关于数列也有类似的极限四则运算法则，即km 当当,kmab,0,km 当当km 当当xn利利用用此此定定理理，将将上上页页结结果果（* *）中中的的换换成成 有有相相应应的的结结果果，即即例例7 7 14 251lim(1)(2)(3)nnnnnn0 5451lim56nnnnn 例例8 8 111lim1 22 31nn n11111lim12231nnn 1lim 11nn 1 3(1)(2)

30、(3)lim4nnnnn22212lim()nnnnn2)1(21limnnnn 12 212limnnn 例例9 922112(1)(21)6nn nn 22211321(41)3nnn 2222222424 12(1)(21)3nnn nn1. 极限运算法则(1) 极限四则运算法则(2) 复合函数极限运算法则注意使用条件2. 求函数极限的方法(1) 分式函数极限求法0) 1xx 时, 用代入法( 分母不为 0 )0)2xx 时, 对00型 , 约去公因子x)3时 , 分子分母同除以分母最高次幂(2) 复合函数极限求法设中间变量三、小结解：没有极限解：没有极限假设假设 有极限，有极限，)()

31、(xgxf )(xf有极限，有极限，由极限运算法则可知：由极限运算法则可知： )()()()(xfxgxfxg 必有极限，必有极限，与已知矛盾，与已知矛盾，故假设不成立故假设不成立 在某个过程中，若在某个过程中，若 有极限，有极限， 无极限，那么无极限，那么 是否有极限？为是否有极限？为什么？什么？)(xf)(xg)()(xgxf 思考题思考题练习：练习： 3.lim1nnnn 4.lim221nnnn 113( 2)2.lim3( 2)nnnnn 12 13 0 21111.lim(1)(2)xxxx2 12 203050(23) (32)5.lim(21)xxxx 217.lim41xxx

32、 6.lim()xxxxx18.lim2mnmnxxxxx mnmn 303( )2 0 +(,)m nZ 第四节 极限存在准则 两个重要极限一、极限存在准则二、重要极限三、小结第二章一、极限存在准则1.夹逼准则夹逼准则证证),(),( naznaynn使得使得, 0, 0, 021 NN ,1 ayNnn时时恒恒有有当当,2 azNnn时恒有时恒有当当,max21NNN 取取恒有恒有时时当当,Nn , ayan即即, azan上两式同时成立上两式同时成立, azxyannn,nxa 即即成成立立.limaxnn 说明说明: :nnyz利利用用夹夹逼逼准准则则不不但但可可以以证证明明极极限限存

33、存在在，而而且且还还能能求求出出极极限限，求求极极限限的的关关键键是是构构造造出出与与，nnyz并并且且与与 的的极极限限是是容容易易求求的的，应应用用中中通通常常利利用用放放大大或或缩缩小小技技术术。准则准则和和准则准则称为称为夹逼准则或夹逼原理夹逼准则或夹逼原理.上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限I(1)( )( )( )g xf xh x 准准则则 中中的的条条件件改改为为，结结论论如如何何呢呢？I(1)nnnyxz准准则则 中中的的条条件件改改为为，结结论论是是否否成成立立呢呢？例例1 1).12111(lim222nnnnn 求求解解

34、,11112222 nnnnnnnnnnnnnn111limlim2 又又, 1 22111lim1limnnnnn , 1 由夹逼原理得由夹逼原理得. 1)12111(lim222 nnnnn例例2 2 lim10nnaa证证明明：证明证明:1.a 当当时时结结论论显显然然成成立立111,0nnnnaaaxx 当当，则则，不不妨妨令令则则 1nnax从从而而1111nnaaxn 故故1lim1lim 11nnan 又又 lim11nnaa故故11011limlim11nnnnaaaa当当时时，故故0.a 综综上上所所述述，对对于于任任何何结结论论均均成成立立2(1)112nnnnnn nnx

35、xxnx lim1nnn 同同理理可可证证例例3 3 121212limmaxknnnnkknaaakaaaaaa设设 ， ， ，为为 个个正正数数，证证明明：， ， ，证明证明: 12maxkaaaA 令令， ， ，12nnnnnkAaaaA k则则有有lim1nnk 又又12limnnnnknaaaA故由夹逼原理得故由夹逼原理得x1x2x3x1 nxnx2.单调有界准单调有界准则则 满足条件满足条件如果数列如果数列nx,121 nnxxxx单调增加单调增加,121 nnxxxx单调减少单调减少单调数列单调数列 从数轴上看，对应于单调数列的点只可能向一个从数轴上看，对应于单调数列的点只可能向

36、一个方向移动，方向移动，A（判别数列收敛的一个常用方法）（判别数列收敛的一个常用方法）因此只有两种情形：因此只有两种情形： 点列沿数轴移向无穷远；点列沿数轴移向无穷远；或者点列无限趋向于某一个定点，或者点列无限趋向于某一个定点，此时数列有极限此时数列有极限.例例4 4 11333()3,3.nnnxnxxx 证证明明数数列列重重根根式式的的极极限限存存在在证证,1nnxx 显然显然 ;是单调递增的是单调递增的nx, 331 x又又, 3 kx假定假定kkxx 3133 , 3 ;是有界的是有界的nx.lim存在存在nnx ,31nnxx ,321nnxx ),3(limlim21nnnnxx

37、,32AA 2131,2131 AA解得解得(舍去舍去).2131lim nnxAC二、两个重要极限(1)1sinlim0 xxx)20(, xxAOBO 圆心角圆心角作单位圆作单位圆AOBAOBAOC 由由图图可可知知：的的面面积积扇扇形形的的面面积积的的面面积积，xoBD.ACO ，得，得作单位圆的切线作单位圆的切线,xOAB的圆心角为的圆心角为扇形扇形,BDOAB 的的高高为为 111sintan222xxx所所以以,tansinxxx , 1sincos xxx即即.02也成立也成立上式对于上式对于 x,20时时当当 xxcos10 2sin22x 2)2(2x ,22x , 02li

38、m20 xx, 0)cos1(lim0 xx0limcos1xx , 11lim0 x又又. 1sinlim0 xxx从而从而例1. 求求.tanlim0 xxx解解: xxxtanlim0 xxxxcos1sinlim0 xxxsinlim0 xxcos1lim01例2. 求.arcsinlim0 xxx解解: 令,arcsin xt 则,sintx 因此原式tttsinlim0 1lim0tttsin1例例3 3.cos1lim20 xxx 求求解解2202sin2limxxx 原式原式220)2(2sinlim21xxx 20)22sin(lim21xxx 2121 .21 (2)exx

39、x )11(lim先考虑先考虑x取正整数取正整数n的情况：的情况：ennn )11(limnnnx)11( 设设 21! 2)1(1! 11nnnnn).11()21)(11(!1)11(! 2111nnnnnn nnnnnnn1!)1()1( exxx 10)1(lim).11()221)(111()!1(1)111()221)(111(!1)111(! 21111 nnnnnnnnnnnxn,1nnxx 显然显然 ;是单调递增的是单调递增的nx!1! 2111nxn 1212111 n1213 n, 3 ;有上界有上界nx.lim存在存在nnx ennn )11(lim记为记为)71828

40、. 2( e类似地类似地,1时时当当 x, 1 xxx有有,)11()11()111(1 xxxxxx)11(lim)11(lim)11(lim1xxxxxxxx 而而, e 11)111(lim)111(lim)111(lim xxxxxxxx, e .)11(limexxx , xt 令令ttxxtx )11(lim)11(limttt)111(lim )111()111(lim1 tttt. e exxx )11(lim,1xt 令令ttxxtx)11(lim)1(lim10 . e exxx 10)1(lim例例4 4.)11(limxxx 求求解解xxx )11(1lim1)11(l

41、im xxx原式原式.1e 例例5 5.)23(lim2xxxx 求求解解422)211()211(lim xxxx原式原式.2e 三、小结exxx 10)1(lim1.两个准则两个准则2.两个重要极限两个重要极限夹逼准则夹逼准则; 单调有界准则单调有界准则 .(1)1sinlim0 xxx(2)exxx )11(limennn )11(lim0limcos1xx ._3cotlim40 xxx、._sinlim10 xxx 、._3sin2sinlim20 xxx、._2sinlim5 xxx、练练 习习 :16.limsin_ .xxx 0arcsin3.lim_.xxx 321 310

42、1 217lim()_.xxxx 、8lim()_.xxxaxa 、329lim(1)_.3nnn、2eae22110lim(1)_.nnn、2e1 第五节 函数的连续性一、函数的连续性二、函数的间断点三、小结第二章一、函数的连续性:定义定义 1.连续函数的概念连续函数的概念.)()(, 0, 000 xfxfxx恒有恒有时时使当使当.0，称为自变量的增量，称为自变量的增量令令xxx 的增量的增量为函数为函数)()()()(000 xfxxfxfxfy .0lim)()(0000处处连连续续在在，则则称称函函数数若若内内有有定定义义，在在设设函函数数处处连连续续的的另另一一定定义义：在在于于是

43、是可可得得函函数数xfyxUxfxfx .这就是连续这就是连续函数值的变化也很小，函数值的变化也很小，化很小时，引起化很小时，引起此定义表明当自变量变此定义表明当自变量变2.单侧连续单侧连续定理定理.)()(00处既左连续又右连续处既左连续又右连续在在函数函数处连续处连续在在函数函数xxfxxf0000( ), )lim( )()( )xxf xx bf xf xf xx 若若函函数数在在内内有有定定义义，且且，则则称称在在点点 处处右右连连续续. .0000( )( ,lim( )(),( )xxf xa xf xf xf xx 若若函函数数在在内内有有定定义义，且且则则称称在在点点 处处左

44、左连连续续；3.连续函数与连续区间连续函数与连续区间( , )( , )fa ba b若若 在在内内每每一一点点处处连连续续，则则称称它它在在内内连连续续；连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.显然显然,2012( )(,)nnP xaa xa xa x 在在内内是是连连续续的的；( , ), , .fa babfa b若若 在在开开区区间间内内连连续续 并并且且在在左左端端点点 处处右右连连续续在在右右端端点点 处处左左连连续续 则则称称在在闭闭区区间间上上连连续续.f若若 在在定定义义区区间间上上处处处处连连续续，则则称称它它是是该该区区间间上上的的

45、连连续续函函数数( )( )( )P xF xQ x 在在其其定定义义域域内内的的每每一一点点都都是是连连续续的的. .例例2 2.),(sin内内连连续续在在区区间间函函数数证证明明 xy证证),(0 x0sinsinxx 0, 故故.),(sin都是连续的都是连续的对任意对任意函数函数即即 xxy002cossin22xxxx 02 sin2xx 0 xx00lim sinsinxxxx 即即cos(,).yx 类类似似可可证证函函数数在在区区间间内内连连续续(0,1)(,).xyaaa 指指数数函函数数在在内内连连续续0,0sinsinxx 0 xx 当当时时二、函数的间断点:)(0列三

46、个条件列三个条件处连续当且仅当满足下处连续当且仅当满足下在点在点函数函数xxf;)()1(0处处有有定定义义在在点点xxf;)(lim)2(0存在存在xfxx).()(lim)3(00 xfxfxx 00,( ),( ).f xxxf x如如果果上上述述三三个个条条件件中中只只要要有有一一个个不不满满足足则则称称在在点点处处不不连连续续并并称称点点为为的的间间断断点点;)()1(0处无定义处无定义在点在点xxf;)(lim)()2(00不存在不存在处有定义，但处有定义，但虽在虽在xfxxfxx0000(3)( )lim( )lim( )().xxxxf xxf xf xf x 虽虽在在处处有有

47、定定义义，且且存存在在，但但有有下下列列三三种种情情形形之之一一：)(xf.)(0处处不不连连续续在在则则xxf0( )( ).f xxf x使使函函数数不不连连续续的的点点称称为为的的间间断断点点例例1 121( )11xf xxx 讨论函数在处的连续性.解解2111lim( )lim1xxxf xx 1.x 所以为函数的间断点( )1,f xx 显显然然在在处处没没有有定定义义1lim(1)xx( )1.f xx 故函数在处不连续分析：xoy121,1( )12 ,1xxf xxx 补充定义( )1.f xx 则则可可使使在在处处连连续续说明：2 例例2 21sin,0,( )01,0,x

48、xf xxxx 讨论函数在处的连续性.解解0lim( )xf x 0lim( )(0)xf xf 故，01limsinxxx0 (0)1f 显显然然( )0f xx 所所以以在在处处不不连连续续, ,1sin,0( )0,0 xxf xxx 改变定义( )0.f xx 则则可可使使在在处处连连续续0.x 为为函函数数的的间间断断点点说明：00000( ),( )lim( )()( ).xxf xxf xxf xf xxf x 如如果果函函数数在在点点处处的的极极限限存存在在 但但 函函数数在在这这一一点点处处没没有有定定义义，或或者者虽虽然然有有定定义义但但，则则称称点点为为函函数数的的可可去

49、去间间断断点点 可去间断点只要可去间断点只要补充补充或者或者改变改变间断点处间断点处函数的定义，则可使其变为连续点函数的定义，则可使其变为连续点. .注意：注意：例例3 3,0( )0.1,0 xxf xxxx 讨讨论论函函数数在在处处的的连连续续性性解解0lim( )xf x 0lim( )xf x oxy),(lim)(lim00 xfxfxx 0lim()xx 0 0lim(1)xx 1 ( )0.f xx 所所以以在在处处不不连连续续00( ),( ).f xxxf x如如果果在在点点处处左左 右右极极限限都都存存在在但但不不相相等等 则则称称点点为为的的跳跳跃跃间间断断点点左左、右右

50、极极限限都都存存在在的的间间断断点点称称为为第第一一类类间间断断点点；.不不是是第第一一类类的的间间断断点点都都称称为为第第二二类类间间断断点点（左、右极限至少有一个不存在）（左、右极限至少有一个不存在）可去间断点：可去间断点：左右极限都存在并相等左右极限都存在并相等跳跃间断点：跳跃间断点：左右极限都存在但不相等左右极限都存在但不相等例例4 4( )tan2f xxx 讨论函数在点处的连续性,若不连续请判断间断点的类型.22lim( )lim tanxxf xx ( )tan2f xxx 显显然然函函数数在在处处没没有有定定义义，解解( ).2f xx 所所以以在在处处不不连连续续xytan2

51、xyo22lim( )lim tanxxf xx ( ).2xf x 因因此此是是的的第第二二类类间间断断点点这这种种使使函函数数值值趋趋于于无无穷穷大大的的间间断断点点称称为为无无穷穷间间断断点点. .1( )sin0,.f xxx讨讨论论函函数数在在处处的的连连续续性性若若不不连连续续请请判判断断间间断断点点的的类类型型( )0,f xx 显显然然在在处处没没有有定定义义01lim sinxx 又又不不存存在在，011x 显显然然当当时时，函函数数值值在在与与之之间间变变动动无无限限多多次次，这这类类间间断断点点称称为为振振荡荡间间断断点点. .例例5 5解解( )0.f xx 所所以以在

52、在处处不不连连续续01lim sinxx 不不存存在在, ,10sin.xx 因因此此为为的的第第二二类类间间断断点点oyx例例6 6.0, 0, 0,cos)(,处连续处连续在在函数函数取何值时取何值时当当 xxxaxxxfa解解xxfxxcoslim)(lim00 , 1 )(lim)(lim00 xaxfxx , a ,)0(af ),0()00()00(fff 要使要使,1时时故当且仅当故当且仅当 a.0)(处连续处连续在在函数函数 xxf, 1 a三、小结1.函数在一点连续必须满足的三个条件函数在一点连续必须满足的三个条件;3.间断点的分类与判别间断点的分类与判别;2.区间上的连续函

53、数区间上的连续函数;第一类间断点第一类间断点:可去型可去型,跳跃型跳跃型.第二类间断点第二类间断点:无穷型无穷型,振荡型振荡型.间断点间断点(见下图见下图)可去型可去型第一类间断点第一类间断点oyx跳跃型跳跃型无穷型无穷型振荡型振荡型第二类间断点第二类间断点oyx0 xoyx0 xoyx0 xo1x2x3xyx xfy 判断下列间断点类型判断下列间断点类型:解解)(xf在在0 x连续，连续，)()(lim00 xfxfxx )()()()(000 xfxfxfxf 且且)()(lim00 xfxfxx )(lim)(lim)(lim0002xfxfxfxxxxxx)(02xf 故故| )(|x

54、f、)(2xf在在0 x都连续都连续.思考题 若若)(xf在在0 x连连续续，则则| )(|xf、)(2xf在在0 x是是否否连连续续？又又若若| )(|xf、)(2xf在在0 x连连续续，)(xf在在0 x是是否否连连续续？但反之不成立但反之不成立.例例 0, 10, 1)(xxxf在在00 x不不连连续续但但| )(|xf、)(2xf在在00 x连连续续习题1解解sin( )01(1)xf xxxx x 讨讨论论函函数数在在、处处的的连连续续性性，若若不不连连续续请请判判断断间间断断点点的的类类型型. .( )01,f xxx 显显然然在在、处处没没有有定定义义( )01.f xxx所所以

55、以在在、处处不不连连续续00sinlim( )lim(1)xxxf xx x 0sin1lim1xxxx 00sin1limlim(1)xxxxx 1 0( ).xf x 因因此此为为函函数数的的可可去去间间断断点点11sinlim( )lim(1)xxxf xx x 1( ).xf x 因因此此为为函函数数的的无无穷穷间间断断点点又2.2.11sinlim( )lim(1)xxxf xx x 第六节 连续函数的运算与 初等函数的连续性一、四则运算的连续性二、反函数与复合函数的连续性三、初等函数的连续性四、小结第二章一、四则运算的连续性定理定理.)0)()()(),()(),()(,)(),(

56、000处也连续处也连续在点在点则则处连续处连续在点在点若函数若函数xxgxgxfxgxfxgxfxxgxf 例如例如,),(cos,sin内连续内连续在在xx.csc,sec,cot,tan在在其其定定义义域域内内连连续续故故xxxx二、反函数与复合函数的连续性定理定理例如例如,2,2sin上单调增加且连续上单调增加且连续在在 xy.1 , 1arcsin上也是单调增加且连续上也是单调增加且连续在在故故 xy;1 , 1arccos上单调减少且连续上单调减少且连续在在同理同理 xyarctan ,cot,).yx yarcx 在在( (上上单单调调且且连连续续 1:,( ),.yfa bRfI

57、y yf xxa b 设设是是单单调调增增加加（或或单单调调减减少少）的的连连续续函函数数，则则其其反反函函数数在在对对应应区区间间上上单单调调增增加加（或或单单调调减减少少）且且连连续续(0,1)(,)log(0,1)(0,).xayaaayx aa 由由在在内内单单调调且且连连续续，则则在在内内单单调调且且连连续续 .)(,)()(,)()()()(0000处连续处连续也在也在则则处连续处连续在对应的在对应的处连续处连续在在复合而成的函数，若复合而成的函数，若与与是由是由设设xxgfyxguufxxgxguufyxgfy 定理定理证明：证明：00lim( )(),xxg xg x 由由于于

58、 0lim( )xxf g x 0( )yf g xx 即即在在处处连连续续. .0lim( )uuf u 0()f u 0()f g x ( ),ug x 令令00limxxuu 则则0lim( )xxfg x 上述定理表明上述定理表明 即在求连续函数的极限时，极限符号与函数符号即在求连续函数的极限时，极限符号与函数符号可以交换次序可以交换次序.例例1 1.)1ln(lim0 xxx 求求. 1 xxx10)1ln(lim 原式原式)1(limln10 xxx eln 解解 )(lim)()(lim000 xgfxgfxgfxxxx例例2 2.1lim0 xexx 求求. 1 )1ln(li

59、m0yyy 原式原式解解,1yex 令令),1ln(yx 则则. 0,0yx时时当当yyy10)1ln(1lim 同理可得同理可得.ln1lim0axaxx 三、初等函数的连续性三角函数及反三角函数在它们的定义域内是三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的连续的.)1, 0( aaayx指数函数指数函数;),(内单调且连续内单调且连续在在)1, 0(log aaxya对数函数对数函数;), 0(内单调且连续内单调且连续在在定理定理5 5 基本初等函数在定义域内是连续的基本初等函数在定义域内是连续的. . xy xaalog ,uay .log xua 内连续内连续在在), 0( 定理定理6

60、 6 一切初等函数在其一切初等函数在其定义区间定义区间内都是连内都是连续的续的. .定义区间是指包含在定义域内的区间定义区间是指包含在定义域内的区间. .1. 初等函数仅在其定义区间内连续初等函数仅在其定义区间内连续, 在在其定义域内不一定连续其定义域内不一定连续;例如例如, 1cos xy,4,2, 0: xD定义域不是一个区间，而是离散点集（这些孤立定义域不是一个区间，而是离散点集（这些孤立点的邻域内没有定义），从而谈不上连续点的邻域内没有定义），从而谈不上连续.,)1(32 xxy, 1, 0: xxD及及在在0点的邻域内没有定义，点的邻域内没有定义，.), 1 上连续上连续函数在区间函